高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題專題18 數(shù)列（解答題壓軸題）（原卷版）

專題18數(shù)列（解答題壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①數(shù)列求通項，求和 1②數(shù)列中的恒成立（能成立）問題 5③數(shù)列與函數(shù) 8④數(shù)列與概率 11①數(shù)列求通項，求和1．（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)集合SKIPIF1<0，將集合SKIPIF1<0的所有非空子集中最小的元素相加，其和記為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．2．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0的首項SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，從①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0中任選一個條件作為已知，并解答下列問題.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）.3．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？家荒＃┮阎黜椌鶠檎龜?shù)的數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)若對任意SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時，總有SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.4．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0（取整函數(shù)SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的整數(shù)，如SKIPIF1<0），求數(shù)列SKIPIF1<0的前100項的和SKIPIF1<0.5．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．6．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0(1)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，求使得不等式SKIPIF1<0成立的n的最小值．7．（2023·山西運城·山西省運城中學(xué)校校考二模）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.8．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.9．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．10．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的首項SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）之間插入SKIPIF1<0個3，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列SKIPIF1<0.記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，求SKIPIF1<0.11．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0是遞增的等差數(shù)列，SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列．(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．證明：SKIPIF1<0．12．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列.從下面三個條件中選擇一個，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.②數(shù)列中的恒成立（能成立）問題1．（2023·吉林·長春吉大附中實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）圖中的數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成等比數(shù)列，且公比均為實數(shù)SKIPIF1<0．SKIPIF1<0(1)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，是否存在實數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0恒成立，若存在，求出SKIPIF1<0的所有值，若不存在，請說明理由．2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在曲線SKIPIF1<0上.(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列；(2)若SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0對一切正整數(shù)SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的值.3．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若對任意的正整數(shù)SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.4．（2023·浙江·二模）記SKIPIF1<0為正數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，已知SKIPIF1<0是等差數(shù)列.(1)求SKIPIF1<0；(2)求最小的正整數(shù)SKIPIF1<0，使得存在數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.5．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）對于數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，對任意正整數(shù)SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，則稱數(shù)列SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的“接近數(shù)列”.已知SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的“接近數(shù)列”，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是正整數(shù)），求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是正整數(shù)），是否存在SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是正整數(shù)），使得SKIPIF1<0，如果存在，請求出SKIPIF1<0的最小值，如果不存在，請說明理由；(3)若SKIPIF1<0為無窮等差數(shù)列，公差為SKIPIF1<0，求證：數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列的充要條件是SKIPIF1<0.6．（2023·四川雅安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）給出以下條件：①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列；③SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等差中項．從中任選一個，補充在下面的橫線上，再解答．已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，______．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)令SKIPIF1<0是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．③數(shù)列與函數(shù)1．（2023·上海楊浦·復(fù)旦附中校考模擬預(yù)測）設(shè)SKIPIF1<0是定義域為SKIPIF1<0的函數(shù)，如果對任意的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均成立，則稱SKIPIF1<0是“平緩函數(shù)”.(1)若SKIPIF1<0，試判斷SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是否為“平緩函數(shù)”?并說明理由;(參考公式:SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立)(2)若函數(shù)SKIPIF1<0是“平緩函數(shù)”，且SKIPIF1<0是以1為周期的周期函數(shù)，證明:對任意的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0;(3)設(shè)SKIPIF1<0為定義在SKIPIF1<0上函數(shù)，且存在正常數(shù)SKIPIF1<0使得函數(shù)SKIPIF1<0為“平緩函數(shù)”.現(xiàn)定義數(shù)列SKIPIF1<0滿足:SKIPIF1<0，試證明:對任意的正整數(shù)SKIPIF1<0.2．（2023春·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．證明：數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列；(2)設(shè)SKIPIF1<0．若對任意SKIPIF1<0均有SKIPIF1<0成立，求m的最大值；(3)是否存在正整數(shù)SKIPIF1<0使得對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立?若存在，求SKIPIF1<0的最小可能值；若不存在，說明理由．3．（2023春·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？计谥校┮阎猄KIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)容易證明SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0都成立，若點SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0圖像上橫坐標(biāo)均大于1的不同兩點，試證明：SKIPIF1<0；(3)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．4．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)令SKIPIF1<0，討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)證明：SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0，對于任意的SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)SKIPIF1<0是其定義域內(nèi)的區(qū)間SKIPIF1<0上的嚴(yán)格增函數(shù)，而SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的嚴(yán)格減函數(shù)，則稱SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的“弱增函數(shù)”.若數(shù)列SKIPIF1<0是嚴(yán)格增數(shù)列，而SKIPIF1<0是嚴(yán)格減數(shù)列，則稱SKIPIF1<0是“弱增數(shù)列”.(1)判斷函數(shù)SKIPIF1<0是否為SKIPIF1<0上的“弱增函數(shù)”，并說明理由（其中SKIPIF1<0是自然對數(shù)的底數(shù)）；(2)已知函數(shù)SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的“弱增函數(shù)”，求SKIPIF1<0的最大值；(3)已知等差數(shù)列SKIPIF1<0是首項為4的“弱增數(shù)列”，且公差d是偶數(shù).記SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0是正整數(shù)，常數(shù)SKIPIF1<0，若存在正整數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0所有可能的值.6．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為正整數(shù)，SKIPIF1<0且為常數(shù)．(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)增區(qū)間；(2)若對于任意SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0內(nèi)均存在唯一零點，求a的取值范圍；(3)設(shè)SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0大于0的零點，其構(gòu)成數(shù)列SKIPIF1<0．問：是否存在實數(shù)a使得SKIPIF1<0中的部分項：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（其中SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0）構(gòu)成一個無窮等比數(shù)列SKIPIF1<0若存在；求出a；若不存在請說明理由．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0公差為SKIPIF1<0，前n項和為SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等比數(shù)列，且存在正整數(shù)p、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為整數(shù)，求SKIPIF1<0的值；(3)若SKIPIF1<0，證明對任意的等差數(shù)列SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立.④數(shù)列與概率1．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）一部電視連續(xù)劇共有SKIPIF1<0集，某同學(xué)看了第一集后，被該電視劇的劇情所吸引，制定了如下的觀看計劃：從看完第一集后的第一天算起，把余下的SKIPIF1<0集電視劇隨機分配在SKIPIF1<0天內(nèi)；每天要么不看，要么看完完整的一集；每天至多看一集．已知這部電視劇最精彩的部分在第SKIPIF1<0集，設(shè)該同學(xué)觀看第一集后的第SKIPIF1<0天觀看該集．(1)求SKIPIF1<0的分布列；(2)證明：最有可能在第SKIPIF1<0天觀看最精彩的第SKIPIF1<0集．2．（2023春·河北唐山·高二校考期末）第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦．在決賽中，阿根廷隊通過點球戰(zhàn)勝法國隊獲得冠軍．(1)撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有SKIPIF1<0的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點球的個數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時的努力訓(xùn)練，甲?乙?丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住．記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知SKIPIF1<0．①試證明：SKIPIF1<0為等比數(shù)列；②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大?。?．（2023·全國·高三專題練習(xí)）小明進行射擊練習(xí)，他第一次射擊中靶的概率為0.7，從第二次射擊開始，若前一次中靶，則該次射擊中靶的概率為0.9，否則中靶概率為0.7.(1)求小明射擊3次恰有2次中靶的概率；(2)①分別求小明第2次，第3次中靶的概率.②求小明第n次中靶的概率.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）學(xué)?；@球隊30名同學(xué)按照1，2，…，30號站成一列做傳球投籃練習(xí)，籃球首先由1號傳出，訓(xùn)練規(guī)則要求：第SKIPIF1<0號同學(xué)得到球后傳給SKIPIF1<0號同學(xué)的概率為SKIPIF1<0，傳給SKIPIF1<0號同學(xué)的概率為SKIPIF1<0，直到傳到第29號（投籃練習(xí)）或第30號（投籃練習(xí)）時，認(rèn)定一輪訓(xùn)練結(jié)束，已知29號同學(xué)投籃命中的概率為SKIPIF1<0，30號同學(xué)投籃命中的概率為SKIPIF1<0，設(shè)傳球傳到第SKIPIF1<0號的概率為SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)證明：SKIPIF1<0是等比數(shù)列；(3)比較29號和30號投籃命中的概率大?。?．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某校為了解該校學(xué)生“停課不停學(xué)”的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)效率，隨機抽查了高一年級100位學(xué)生的某次數(shù)學(xué)成績（單位：分），得到如下所示的頻率分布直方圖：(1)估計這100位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均值SKIPIF1<0；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）(2)根據(jù)整個年級的數(shù)學(xué)成績可以認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績SKIPIF1<0近似地服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，經(jīng)計算，（1）中樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為10，用樣本平均數(shù)SKIPIF1<0作為SKIPIF1<0的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為SKIPIF1<0的估計值，現(xiàn)任抽取一位學(xué)生，求他的數(shù)學(xué)成績恰在64分到94分之間的概率；（若隨機變量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)(3)該年級1班的數(shù)學(xué)老師為了能每天督促學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，提高學(xué)生每天的作業(yè)質(zhì)量及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，特意在微信上設(shè)計了一個每日作業(yè)小程序，每當(dāng)學(xué)生提交的作業(yè)獲得優(yōu)秀時，就有機會參與一次小程序中”玩游戲，得獎勵積分”的活動，開學(xué)后可根據(jù)獲得積分的多少向老師領(lǐng)取相應(yīng)的小獎品.小程序頁面上有一列方格，共15格，剛開始有只小兔子在第1格，每點一下游戲的開始按鈕，小兔子就沿著方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均為SKIPIF1<0，依次點擊游戲的開始按鈕，直到小兔子跳到第1