二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)和全微分之間的關(guān)系

二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)和全微分之間的關(guān)系通過證明或反例說明二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)，全微分之間的關(guān)系。標(biāo)簽：二元函數(shù)；連續(xù)；偏導(dǎo)數(shù)；全微分對于一元函數(shù)來講，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和微分之間的關(guān)系比較簡單：可導(dǎo)與可微是等價(jià)的，可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)。但對于二元函數(shù)來講，連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)和全微分之間的關(guān)系要相對復(fù)雜一些，本文通過證明或反例來說明三者之間的關(guān)系。1連續(xù)和偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系1.1已知偏導(dǎo)數(shù)存在，但不一定連續(xù)例1函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在：但是在點(diǎn)卻不連續(xù)，事實(shí)上，令點(diǎn)沿趨向點(diǎn)，有：1.2已知連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不一定存在例2函數(shù)，顯然：故在點(diǎn)處連續(xù)，而由：知不存在，所以在點(diǎn)處不是可偏導(dǎo)的。2偏導(dǎo)數(shù)和全微分之間的關(guān)系2.1若可微，則偏導(dǎo)數(shù)一定存在證明：由于在點(diǎn)處可微，于是在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有：其中。特別地，當(dāng)時(shí)，上式變?yōu)椋涸谠撌絻啥烁鞒?，再令，則得：從而偏導(dǎo)數(shù)存在，且；同樣可證存在，且。2.2已知偏導(dǎo)數(shù)存在，但不一定可微例3函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在：但是在點(diǎn)卻不可微，事實(shí)上：令沿趨向，則：這說明當(dāng)時(shí)，并不是的高階無窮小，所以在點(diǎn)處不可微。3連續(xù)和全微分之間的關(guān)系3.1若可微，則一定連續(xù)證明：由于在點(diǎn)處可微，即有：其中。于是，即有，從而，即在點(diǎn)處連續(xù)。3.2已知連續(xù)，但不一定可微在例2中，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，在點(diǎn)處不是可偏導(dǎo)的。由偏導(dǎo)和可微之間的關(guān)系，知在點(diǎn)處不可微。綜上，二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)和全微分之間的關(guān)系：函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性和函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)的存在性之間沒有任何關(guān)系；函數(shù)在一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在是函數(shù)在該點(diǎn)可微的一個(gè)必要非充分條件，函數(shù)在一點(diǎn)可微是函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在的一個(gè)充分非必要條件；函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可微的一個(gè)必要非充分條件，函數(shù)在一點(diǎn)可微是函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)的一個(gè)充分非必要條件。參考文獻(xiàn)：[1]大連理工大學(xué)城市學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部.應(yīng)用微積分（下冊）[M].大連理工大學(xué)出版社，2013.[2]大連理工大學(xué)城市學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部.應(yīng)用微積分同步輔導(dǎo)[M].大連理工大學(xué)出版社，2013.[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（下冊）[M].高等教育出版社