2021版物理人教版選擇性必修第一冊(cè)教學(xué)案：2單擺

4單擺

5實(shí)驗(yàn)：用單擺測(cè)量重力加速度

教材要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)

知識(shí)結(jié)構(gòu)圖解重點(diǎn)問(wèn)題聚焦

1.實(shí)際擺看成單擺的條件是什么？單擺

111的回復(fù)力是由什么力提供的？單擺的振動(dòng)在

摩―女力1用單提測(cè)

比甫:力加什么情況下可以看成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)？

組成:擺周期公式速度

線、質(zhì)點(diǎn)［比］睡1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)2.單擺的周期公式是什么？在實(shí)際問(wèn)題

的條件7=2■區(qū)

中如何確定單擺的擺長(zhǎng)和重力加速度？

?課前自主學(xué)習(xí)-

一、單擺

1.由細(xì)線和小球組成,如果細(xì)線的長(zhǎng)度不可改變，細(xì)線的質(zhì)量與

小球的質(zhì)量相比可以忽略，球的直徑與線的長(zhǎng)度相比也可以忽略.忽

略擺動(dòng)過(guò)程中所受阻力的作用，是理想化模型.

2.單擺的回復(fù)力

(1)回復(fù)力的提供：擺球的重力沿圓弧切線方向的分力.

(2)回復(fù)力的特點(diǎn)：在偏角很小時(shí)，單擺所受的回復(fù)力和它偏離平

衡位置的位移大小成正比，方向總是指向平衡位置，即方=一端.

(3)運(yùn)動(dòng)規(guī)律：?jiǎn)螖[在偏角很小時(shí)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),其振動(dòng)圖像遵循正

弦函數(shù)規(guī)律.

戲點(diǎn)I訓(xùn)

結(jié)合單擺模型的特點(diǎn)想一想，下列裝置能否視為單擺？為什么？

鐵球乒乓球大木球

(1)(2)(3)

提示：都不能，(1)中橡皮筋的伸縮不能忽略；(2)(3)中乒乓球和大

木球擺動(dòng)時(shí)，空氣阻力不能忽略且乒乓球的質(zhì)量與繩相比、大木球的

直徑與繩長(zhǎng)相比也不能忽略.

二'單擺的周期

1.荷蘭物理學(xué)家惠里斯確定了計(jì)算單擺周期的公式T=27rJ|,

其中I表示擺長(zhǎng),弁表示當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?由公式可以看出單擺的周

期與擺球質(zhì)量無(wú)關(guān)，在振幅較小時(shí)與振幅無(wú)關(guān).

2.由單擺周期公式可得g=竽，只要測(cè)出單擺的擺長(zhǎng)

和周期,就可以求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?

觀副聞2

機(jī)械擺鐘是單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的一個(gè)典型應(yīng)用，其走時(shí)快慢是由擺

鐘的周期決定的.如果有條件，可以拆開(kāi)擺鐘看看，在分析其原理后,

說(shuō)明如何調(diào)整其走時(shí)快慢.

提示：機(jī)械擺鐘工作是以鐘擺完成一定數(shù)量的全振動(dòng)，從而帶動(dòng)

分針、時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)的，因此擺鐘振動(dòng)的周期就反映了擺鐘走時(shí)的快

慢.鐘擺振動(dòng)的頻率與時(shí)間有關(guān)，它振動(dòng)的周期越長(zhǎng)，在一定時(shí)間內(nèi)

全振動(dòng)的次數(shù)就越少，擺鐘顯示的時(shí)間走得就越慢.因此，如果擺鐘

變快，其振動(dòng)頻率也加大，振動(dòng)周期變小了，所以要恢復(fù)正常，應(yīng)該

增大其擺長(zhǎng)；如果擺鐘走時(shí)變慢，其振動(dòng)頻率也變小，振動(dòng)周期變大

了，所以要恢復(fù)正常，應(yīng)該減小其擺長(zhǎng).

三、用單擺測(cè)量重力加速度

1.原理

由丁=2%?得g=挈.所以，只要測(cè)出單擺的擺長(zhǎng)和周期，就可

計(jì)算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?

2.器材

鐵架臺(tái)及鐵夾，金屬小球(有孔)、停表、細(xì)線(1m左右)、刻度尺、

游標(biāo)卡尺.

3.實(shí)驗(yàn)步驟

(1)讓細(xì)線穿過(guò)球上的小孔，在細(xì)線的穿出端打一個(gè)稍大一些的線

結(jié)，制成一個(gè)單擺.

(2)將鐵夾固定在鐵架臺(tái)上端，鐵架臺(tái)放在實(shí)驗(yàn)桌邊，使鐵夾伸出

桌面之外，然后把單擺上端固定在鐵夾上，使擺球自由下垂.在單擺

平衡位置處做上標(biāo)記.

(3)用刻度尺量出懸線長(zhǎng)7,用游標(biāo)卡尺測(cè)出擺球的直徑d,然后

計(jì)算出懸點(diǎn)到球心的距離/=/+f,即為擺長(zhǎng).

(4)把此單擺從平衡位置拉開(kāi)一個(gè)角度，并使這個(gè)角度不大于5°,

再釋放小球.當(dāng)擺球擺動(dòng)穩(wěn)定以后，經(jīng)過(guò)最低位置時(shí)，用停表開(kāi)始計(jì)

時(shí)，測(cè)量單擺全振動(dòng)30次(或50次)的時(shí)間，求出一次全振動(dòng)的時(shí)間，

即單擺的振動(dòng)周期.

(5)改變擺長(zhǎng)，反復(fù)測(cè)量幾次，將數(shù)據(jù)填入表格.

4.數(shù)據(jù)處理

方法1：平均值法：將每次測(cè)出的周期T及測(cè)得的擺長(zhǎng)/代入公式

g=寫(xiě),求出重力加速度的值，然后求g的平均值.

方法2：圖像法：對(duì)表格中列出的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，以F為縱軸，

以/為橫軸建立直角坐標(biāo)系，作出T2-l圖像,根據(jù)圖像可以求得斜率k,

,l4加2

則n

溫馨提示：1.選擇材料時(shí)應(yīng)選擇細(xì)而不易伸長(zhǎng)的線，比如用單根尼

龍絲、絲線等，長(zhǎng)度一般不應(yīng)短于1m,小球應(yīng)選用密度較大的金屬

球，直徑應(yīng)較小，最好不超過(guò)2cm.

2.擺動(dòng)時(shí)控制擺線偏離豎直方向的角度不大于5。.

3.擺球擺動(dòng)時(shí)，要使之保持在同一豎直平面內(nèi)，不要形成圓錐擺.

4.計(jì)算單擺的振動(dòng)次數(shù)時(shí)，應(yīng)從擺球通過(guò)最低位置時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí),

要測(cè)多次(如30次或50次)全振動(dòng)的時(shí)間，用取平均值的辦法求周期.

倒?課堂考點(diǎn)演練?/

考點(diǎn)一單擺

［考點(diǎn)解讀］

1.定義：如右圖所示，在一根長(zhǎng)細(xì)線下懸掛一個(gè)小球，如果細(xì)線

的質(zhì)量與小球相比可以忽略，球的直徑與線的長(zhǎng)度相比也可以忽略，

這樣的裝置就叫作單擺，它是實(shí)際擺的理想化模型.

2.實(shí)際擺看成單擺的條件

(1)懸線的形變量與懸線長(zhǎng)度相比小得多.懸線的質(zhì)量與擺球質(zhì)量

相比小得多.這時(shí)可把懸線看成是不可伸長(zhǎng)且沒(méi)有質(zhì)量的細(xì)線.

⑵擺球的大小與懸線長(zhǎng)度相比小得多，這時(shí)可把擺球看成是沒(méi)有

大小只有質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn).

【方法指導(dǎo)】理想模型法

為了滿足上述條件及盡量減小空氣阻力的影響，組成單擺的擺球

應(yīng)選擇質(zhì)量大而體積小的球，線應(yīng)盡量選擇細(xì)而輕且彈性小的線.單

擺是實(shí)際擺的理想化模型.

3.擺長(zhǎng)和最大偏角

⑴擺長(zhǎng)：擺球重心到擺動(dòng)圓弧圓心的距離/=，（）+￡.（其中跖為細(xì)線

長(zhǎng)，￡為小球半徑）

（2）最大偏角：擺球擺到最高點(diǎn)時(shí)，細(xì)線與豎直方向的夾角為以

［考點(diǎn)例析］

【例1】下圖中的各種擺的模型，哪種或哪些是單擺？

。OO

①②③④⑤

隹【審題指導(dǎo)】

單擺是理想的模型，忽略繩子的質(zhì)量和伸縮，忽略小球的直徑.

【解析】①的懸繩是粗繩，繩的質(zhì)量不可忽略，不是單擺；

②的懸繩是橡皮筋，伸縮不可忽略，不是單擺；

③的懸繩長(zhǎng)度不是遠(yuǎn)大于球的直徑，不是單擺；

④是單擺；

⑤的上端沒(méi)有固定，也不是單擺.

【答案】④是單擺

（多選）單擺是為研究振動(dòng)而抽象出的理想化模型,其理想化條件是

（ABC）

A.擺線質(zhì)量不計(jì)

B.擺線長(zhǎng)度不伸縮

C.擺球的直徑比擺線長(zhǎng)度短得多

D.只要是單擺的運(yùn)動(dòng)就是一種簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

解析：?jiǎn)螖[由擺線和擺球組成，擺線只計(jì)長(zhǎng)度不計(jì)質(zhì)量，擺球只

計(jì)質(zhì)量不計(jì)大小，且擺線不伸縮，A、B、C正確.但把單擺作為簡(jiǎn)諧

運(yùn)動(dòng)來(lái)處理是有條件的，只有在擺角很?。ㄏΓ?。）的情況下才能視單擺運(yùn)

動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).

考點(diǎn)二單擺的回復(fù)力

［考點(diǎn)解讀］

1.單擺的平衡位置

如右圖所示，擺球靜止在0點(diǎn)時(shí)，懸線豎直下垂，擺球所受到的

重力G與懸線的拉力方平衡，合力為零，小球保持靜止，所以。點(diǎn)是

單擺的平衡位置.

2.單擺的回復(fù)力

⑴如上圖所示，擺球運(yùn)動(dòng)到某點(diǎn)P時(shí)，擺球受重力G和繩子拉力

F'兩個(gè)力作用，將重力沿切向、徑向正交分解，則繩子的拉力，與

重力的徑向分量Gi的合力提供了擺球做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，而

重力的切向分力?則提供了擺球振動(dòng)所需要的回復(fù)力F=mgsinO.

單擺的回復(fù)力不是由合力提供的.

⑵單擺在擺角很小時(shí)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

設(shè)單擺的擺長(zhǎng)為I,在最大偏角e很小的條件下，擺球?qū)Α｜c(diǎn)的

位移X的大小與e角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)。尸、夕角所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)0P都近似相

等，即x=。尸=QP,

單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是有條件的.

標(biāo)*

若擺角。用弧度表示，則由數(shù)學(xué)關(guān)系知sin%9=7奇，則重

力沿切向的分力F=mgsinO^m^j,

令k=呼,則尸=依，因?yàn)榉降姆较蚺cx方向相反，故尸=一乙.

由此可見(jiàn)，單擺在擺角很小條件下的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).

3.單擺的振動(dòng)圖像

我們已經(jīng)知道，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像是正弦曲線(或余弦曲線)，而在偏

角很小的情況下，單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，故它的振動(dòng)圖像也是正弦曲線(或

余弦曲線).

［總結(jié)提能］?

判斷一個(gè)振動(dòng)是不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的依據(jù),(1)從動(dòng)力學(xué)角度：F=-kx.

kx

(2)從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度：a=

III/

(3)從位移隨時(shí)(表達(dá)式:％=Asin(a)t+cp)

間變化的角度I圖像:正弦或余弦曲線

4.理解單擺的受力和運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)

(1)擺球以懸掛點(diǎn)為圓心在豎直平面內(nèi)沿圓弧做變速圓周運(yùn)動(dòng)，做

圓周運(yùn)動(dòng)需要向心力，向心力由繩子的拉力與重力的徑向分力的合力

提供.

（2）擺球以最低點(diǎn)為平衡位置做振動(dòng)，做振動(dòng)需要回復(fù)力，回復(fù)力

由擺球重力的切向分力提供（或者說(shuō)是由擺球所受合外力沿圓弧的切

向分力提供）.

（3）單擺的運(yùn)動(dòng)既有圓周運(yùn)動(dòng)，又有簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)（擺角很小的情況下）.

①單擺振動(dòng)的平衡位置：回復(fù)力方為零，而合力不為零，此時(shí)合

力提供擺球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力.

②單擺振動(dòng)的最大位移處：向心力（〃一GD為零，而合力不為零,

此時(shí)合力提供擺球振動(dòng)的回復(fù)力.

［考點(diǎn)例析］

【例2】下列關(guān)于單擺的說(shuō)法，正確的是（）

A.單擺擺球從平衡位置運(yùn)動(dòng)到正向最大位移處時(shí)的位移為A（A

為振幅），從正向最大位移處運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)的位移為一4

B.單擺擺球的回復(fù)力等于擺球所受的合外力

C.單擺擺球的回復(fù)力是擺球重力沿圓弧切線方向的分力

D.單擺擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)加速度為零

隹【審題指導(dǎo)】

1.單擺的位移是怎樣定義的？

2.單擺的回復(fù)力是擺球的合力嗎？

3.彈簧振子經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)加速度多大？

4.單擺擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)擺球的加速度是零嗎？

【解析】簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中的位移是以平衡位置為起點(diǎn)，擺球在正向

最大位移處時(shí)位移為A,在平衡位置時(shí)位移應(yīng)為零，A錯(cuò)；擺球的回

復(fù)力由合外力沿圓弧切線方向的分力（等于重力沿圓弧切線方向的分

力）提供，合外力在擺線方向的分力提供向心力，擺球經(jīng)最低點(diǎn)（振動(dòng)的

平衡位置）時(shí)回復(fù)力為零，但向心力不為零，所以合外力不為零（擺球在

最高點(diǎn)時(shí)，向心力為零，回復(fù)力最大，合外力也不為零），B錯(cuò)，C正

確；單擺經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)所受合外力不為零，此時(shí)回復(fù)力為零，但向

心力不為零，合外力剛好提供向心力，所以此時(shí)擺球加速度不為零，

這與彈簧振子有所不同，彈簧振子經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，所受合外力為零,

加速度為零，D錯(cuò)，故正確答案為C.

【答案】C

2

關(guān)于單擺，下列說(shuō)法中正確的是（A）

A.擺球受到的回復(fù)力方向總是指向平衡位置

B.擺球受到的回復(fù)力是它的合力

C.擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，所受的合力為零

D.擺角很小時(shí)，擺球受的合力的大小跟擺球?qū)ζ胶馕恢玫奈灰拼?/p>

小成正比

解析：本題主要考查單擺的受力和回復(fù)力，根據(jù)回復(fù)力的定義知

選項(xiàng)A正確；單擺的回復(fù)力除指明在最高點(diǎn)外都不是擺球受力的合力，

但不管在哪個(gè)位置均可認(rèn)為是重力沿軌跡圓弧切線方向的分力，所以

選項(xiàng)B錯(cuò)誤；擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，回復(fù)力為零，但合力不為零，因

懸線方向上要受向心力，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，綜上所述選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

考點(diǎn)三單擺的周期

［考點(diǎn)解讀］

1.定性實(shí)驗(yàn)探究

如圖所示：

(1)單擺振動(dòng)的周期和振幅無(wú)關(guān)——單擺的等時(shí)性

把懸掛在同一高度的兩個(gè)相同的單擺的擺球拉到不同高度同時(shí)釋

放，使其做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).

現(xiàn)象：擺球完成一次全振動(dòng)所用時(shí)間相同.

(2)單擺的周期與擺球質(zhì)量無(wú)關(guān)

擺長(zhǎng)相同，將質(zhì)量不同的擺球拉到同一高度同時(shí)釋放，使其做簡(jiǎn)

諧運(yùn)動(dòng).

現(xiàn)象：兩擺球振動(dòng)是同步的.

(3)單擺振動(dòng)的周期和擺長(zhǎng)有關(guān)

擺長(zhǎng)不同，將質(zhì)量相同的擺球拉到同一高度同時(shí)釋放使其做簡(jiǎn)諧

運(yùn)動(dòng).

現(xiàn)象：兩擺球振動(dòng)不同步，而且擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，振動(dòng)就越慢.

結(jié)論：?jiǎn)螖[的振動(dòng)周期與擺球質(zhì)量無(wú)關(guān)，在振幅較小時(shí)與振幅無(wú)

關(guān)，與擺長(zhǎng)有關(guān).擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，周期越大.

2.定量實(shí)驗(yàn)探究——單擺周期與擺長(zhǎng)的關(guān)系

(1)如圖所示，細(xì)線的上端固定在鐵架臺(tái)上，下端系一個(gè)小鋼球，

于是做成了一個(gè)單擺.用停表測(cè)出單擺做30?50次全振動(dòng)的時(shí)間，計(jì)

算出它的周期，并測(cè)出單擺的擺長(zhǎng)(用刻度尺量出擺線長(zhǎng)度，用游標(biāo)卡

尺測(cè)量擺球的直徑，并算出半徑，擺線長(zhǎng)度與擺球半徑之和就是單擺

的擺長(zhǎng)).

(2)改變擺長(zhǎng)，測(cè)量各組不同擺長(zhǎng)、周期的數(shù)據(jù)，把它們填在表格

中.

(3)先通過(guò)估算，對(duì)周期T與擺長(zhǎng)，的定量關(guān)系作出猜測(cè)，如可能

是m、TP2,或者什3、即，然后按照猜測(cè)來(lái)確定縱坐標(biāo)軸

和橫坐標(biāo)軸.例如，如果我們通過(guò)簡(jiǎn)單的估算，認(rèn)為很可能是78汽

那么可以用縱坐標(biāo)表示T,橫坐標(biāo)表示也作出圖像.如果這樣作出的

圖像確定是一條過(guò)原點(diǎn)的直線，說(shuō)明的確有78/2的關(guān)系，否則再做其

他嘗試.

結(jié)論：?jiǎn)螖[振動(dòng)的周期T與擺長(zhǎng)的二次方根3成正比，即El.

3.單擺的周期公式

由公式可知，單擺振動(dòng)周期與振幅及擺球質(zhì)量無(wú)關(guān).

荷蘭物理學(xué)家惠更斯發(fā)現(xiàn)在偏角很小的情況下，單擺的周期跟擺

長(zhǎng)的二次方根成正比，跟重力加速度的二次方根成反比，而跟擺球的

質(zhì)量和振幅無(wú)關(guān).惠更斯確定了計(jì)算單擺周期的公式

式中/為懸點(diǎn)到擺球球心的距離，g為當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?

［總結(jié)提能］?

。）伽利略發(fā)現(xiàn)了單擺運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性，惠更斯得出了單擺的周期公

式為丁=2八色，并發(fā)明了帶擺的計(jì)時(shí)儀器.

（2）周期為2s的單擺，叫作秒擺.

［考點(diǎn)例析］

【例3】已知在單擺a完成10次全振動(dòng)的時(shí)間內(nèi)，單擺方完成

了6次全振動(dòng)，兩單擺的擺長(zhǎng)之差為1.6m,則兩單擺的擺長(zhǎng)la與h

分別為（）

A.la=2.5m,Zz,=0.9mB.la=Q.9m,lb=2.5m

=

C.la=2.4m,Z/>=4.0mD.Z?4.0m,lb=2.4m

怎【審題指導(dǎo)】

由“、方相同時(shí)間內(nèi)的全振動(dòng)次數(shù)可求周期關(guān)系，由周期關(guān)系可得

到擺長(zhǎng)之比，結(jié)合題目給出的擺長(zhǎng)之差就可解出擺長(zhǎng).

【解析】設(shè)兩單擺的周期分別為T(mén)a和Tb,依題意知10方=6A,

據(jù)可知，=空，所以lalb=T2瑤=36100,

又，》一L=L6m,貝iJ〃=0.9m,lb=2.5m.

地球上同一位置重力加速度相同，單擺的周期跟擺長(zhǎng)的平方根成

正比.

【答案】B

3

如圖所示，擺長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺，若在懸點(diǎn)。的正下方A點(diǎn)固定一顆

釘子，A點(diǎn)距懸點(diǎn)O的距離為芻試求這個(gè)單擺完成一次全振動(dòng)的時(shí)間

是多少？

答案：兀21+卯

解析：在擺角很小時(shí)，單擺的振動(dòng)可視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，當(dāng)擺線碰到

釘子時(shí)，A點(diǎn)成為“懸點(diǎn)”，單擺的擺長(zhǎng)由L變成差.由題意知，T=?

【例4】如圖所示，光滑的半球殼半徑為K,。點(diǎn)在球心01的正

下方，一小球甲由距。點(diǎn)很近的A點(diǎn)靜止放開(kāi)，￡》AO.

.O'

R

A

_____

O

(1)若另一小球乙從球心o'處自由落下，求兩球第一次到達(dá)0點(diǎn)

的時(shí)間比；

(2)若另一小球丙在0點(diǎn)正上方某處自由落下，為使其和甲球在0

點(diǎn)相碰，小球應(yīng)由多高處自由落下？

隹【審題指導(dǎo)】

1.甲球從A點(diǎn)釋放后做什么運(yùn)動(dòng)？

2.能否根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)求出甲球到達(dá)0點(diǎn)所用時(shí)間？

3.把甲球的運(yùn)動(dòng)看成類(lèi)單擺，等效擺長(zhǎng)是什么？

【解析】(1)甲球沿圓弧做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，它第一次到達(dá)。處的時(shí)間

為:花

乙球做自由落體運(yùn)動(dòng)，到達(dá)。處的時(shí)間為b

1l'2R

R=2gt2,所以刀/1t2=^2n4.

(2)小球甲從A點(diǎn)由靜止釋放運(yùn)動(dòng)到0點(diǎn)的時(shí)間為t=^(2n—l)(n

=1,2,3,…)，由。點(diǎn)正上方自由落下的小球丙到達(dá)。點(diǎn)的時(shí)間也為/

時(shí)兩球才能在。點(diǎn)相碰，所以

1,14n2R,(2n—V)2n2R

力=濟(jì)產(chǎn)(n=l,2,3,-).

▼rg、廠(2〃-1)2712K

【答案】(1)也花4------(〃=1,2,3,…)

就斜魏4

如圖所示，小球瓶自A點(diǎn)以向AD方向的初速度。逐漸接近固定

在D點(diǎn)的小球〃.已知A5=0.8m,AB圓弧半徑￡=10m,AD=10m,

A、B、。、。在同一水平面上，則。為多大時(shí)，才能使機(jī)恰好碰到小

球〃？(g取10m/s2,不id^一1切摩擦)

答案：.m/s(A:=1,2,3,,,,)

解析：小球桃的運(yùn)動(dòng)由兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)合成，這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)分別是：

以速度v沿AD方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和在圓弧面AB方向上的往復(fù)運(yùn)

動(dòng).因?yàn)樗孕∏蛟趫A弧面上的往復(fù)運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，是類(lèi)

單擺，其圓弧半徑￡即為類(lèi)單擺的擺長(zhǎng).設(shè)小球山恰好能碰到小球〃,

則有A7)=我，且滿足/=%T(左=1,2,3,…)，又T=2TV\J^,解以上方

程得0=2~111/5(4=1,2,3,,,,).

K7C

【例5]用單擺測(cè)定重力加速度的實(shí)驗(yàn)裝置如圖所示.

(1)組裝單擺時(shí)，應(yīng)在下列器材中選用(選填選項(xiàng)前的字

母).

A.長(zhǎng)度為1m左右的細(xì)線

B.長(zhǎng)度為30cm左右的細(xì)線

C.直徑為1.8cm的塑料球

D.直徑為L(zhǎng)8cm的鐵球

(2)測(cè)出懸點(diǎn)0到小球球心的距離(擺長(zhǎng))L及單擺完成n次全振動(dòng)

所用的時(shí)間，，則重力加速度g=(用L、小/表示).

(3)下表是某同學(xué)記錄的3組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并做了部分計(jì)算處理.

組次123

擺長(zhǎng)L/cm80.0090.00100.00

50次全振動(dòng)時(shí)間t/s90.095.5100.5

振動(dòng)周期77s1.801.91

重力加速度g/(m-s-2)9.749.73

請(qǐng)計(jì)算出第3組實(shí)驗(yàn)中的T=s,g=m/s2.

(4)用多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作出T2-L圖像，也可以求出重力加速度g.已知

三位同學(xué)作出的停1圖線的示意圖如圖中的&b、c所示，其中“和

方平行，方和c都過(guò)原點(diǎn)，圖線方對(duì)應(yīng)的g值最接近當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊?/p>

值.則相對(duì)于圖線上下列分析正確的是_______(選填選項(xiàng)前的字母).

A.出現(xiàn)圖線a的原因可能是誤將懸點(diǎn)到小球下端的距離記為擺長(zhǎng)

L

B.出現(xiàn)圖線c的原因可能是誤將49次全振動(dòng)記為50次

C.圖線c對(duì)應(yīng)的g值小于圖線力對(duì)應(yīng)的g值

(5)某同學(xué)在家里測(cè)重力加速度.他找到細(xì)線和鐵鎖，制成一個(gè)單

擺，如圖所示，由于家里只有一根量程為。?30cm的刻度尺，于是他

在細(xì)線上的A點(diǎn)做了一個(gè)標(biāo)記，使得懸點(diǎn)。到A點(diǎn)間的細(xì)線長(zhǎng)度小于

刻度尺量程.保持該標(biāo)記以下的細(xì)線長(zhǎng)度不變，通過(guò)改變0、A間細(xì)

線長(zhǎng)度以改變擺長(zhǎng).實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)0、A間細(xì)線的長(zhǎng)度分別為云L時(shí)，

測(cè)得相應(yīng)單擺的周期為八、72.由此可得重力加速度且=(用小

，2、T1、72表示).

隹【審題指導(dǎo)】

(1)“用單擺測(cè)定重力加速度”的實(shí)驗(yàn)中，細(xì)線和小球的選材有什

么要求？

(2)已知擺長(zhǎng)和完成n次全振動(dòng)的時(shí)間，如何根據(jù)實(shí)驗(yàn)原理求解重

力加速度？

(3)已知圖表中給出的數(shù)據(jù)，思考如何求解振動(dòng)周期和重力加速

度？

(4)根據(jù)重力加速度的求解公式，T2-L圖像的斜率和截距各代表什

么物理意義？

(5)單擺的實(shí)際擺長(zhǎng)如何確定，能否列出兩個(gè)方程組成方程組求解

重力加速度？

【解析】(1)組裝單擺時(shí)，應(yīng)選用1m左右的細(xì)線，擺球應(yīng)選擇

體積小、密度大的球，選項(xiàng)A、D正確.

(2)單擺的振動(dòng)周期T=

根據(jù)T=27tA/~,付g=72=^2?

⑶乃=號(hào)=2.01s.

根據(jù)T=2TC\^~^,得g=rp2

9.76m/s2.

得生匚即當(dāng)時(shí)，停=.出現(xiàn)圖線

(4)根據(jù)T=2L=00

gg

”的原因是計(jì)算擺長(zhǎng)時(shí)，誤將懸點(diǎn)。到小球上端的距離記為擺長(zhǎng)，選

項(xiàng)A錯(cuò)誤.對(duì)于圖線c,其斜率%變小了，根據(jù)a=7,可能是T變小

了或L變大了.由￥=左得且=零，則%變小，重力加速度g變大，

SK

選項(xiàng)C錯(cuò)誤.選項(xiàng)B中誤將49次全振動(dòng)記為50次，則周期T變小，

選項(xiàng)B正確.

(5)設(shè)A點(diǎn)到鐵鎖重心的距離為根據(jù)單擺的周期公式T=

Zi+Zo亨，聯(lián)立以上兩式，解得重

2P得Ti=2n丁，i

a無(wú)看法4.(，IT2)

力加速度g—y2_j-2?

47r

【答案】(DAD(3)2.019.76(4)B

4712al_，2)

⑸T2_T2

魏5

某同學(xué)想在家里做用單擺測(cè)定重力加速度的實(shí)驗(yàn)，但沒(méi)有合適的

擺球，他找到了一塊長(zhǎng)、寬、高均為3cm左右，外形不規(guī)則的石塊代

替小球，如圖所示.他設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)步驟是：

如

叫c

A.將石塊用細(xì)絲線系好，結(jié)點(diǎn)為M,將細(xì)絲線的上端固定于0

點(diǎn)；

B.用刻度尺測(cè)量0M間細(xì)絲線的長(zhǎng)度1/作為擺長(zhǎng)；

C.將石塊拉開(kāi)一個(gè)大約30。的角度，然后由靜止釋放；

D.從擺球擺到最高點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，測(cè)出30次全振動(dòng)的總時(shí)間，,

由丁=一得出周期.

(1)以上實(shí)驗(yàn)步驟中有錯(cuò)誤的是BCD(填寫(xiě)步驟前字母).

(2)如果該同學(xué)改正了錯(cuò)誤，改變0M間細(xì)絲線的長(zhǎng)度做了2次實(shí)

驗(yàn)，記下每次相應(yīng)的線長(zhǎng)度小L和周期Ti、T2,則由上述四個(gè)量得到

重力加速度g的表達(dá)式是與

(3)若該同學(xué)將石塊換成金屬小球，將絲線換成有質(zhì)量的細(xì)桿，把

細(xì)桿長(zhǎng)度加小球半徑作為擺長(zhǎng)L其余操作都正確.他利用周期公式T

=2、巧測(cè)當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭,這樣測(cè)重力加速度g的方式不合理(選

填“合理”或“不合理”).

解析：(1)擺長(zhǎng)等于懸點(diǎn)到擺球重心的距離，故B錯(cuò)誤；當(dāng)擺角小

于5。時(shí)，單擺的運(yùn)動(dòng)才能認(rèn)為是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)到

平衡位置時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，測(cè)量誤差較小，故D錯(cuò)誤；易知A正確.

⑵設(shè)擺線的結(jié)點(diǎn)到石塊重心的距離為r,則根據(jù)單擺的周期公式T=

[L2/Zi+r4712a2—Zi)

付Ti=27f\Jg,Ti=2it\j,聯(lián)五解付g=4_置?(3)

若該同學(xué)將石塊換成金屬小球，將絲線換成有質(zhì)量的細(xì)桿，把細(xì)桿長(zhǎng)

度加小球半徑作為擺長(zhǎng)L,其余操作都正確，但由于細(xì)桿質(zhì)量不可忽

略，實(shí)驗(yàn)器材已不能視為單擺，利用單擺周期公式測(cè)重力加速度不合

理.

學(xué)科素養(yǎng)提升

用單擺測(cè)定重力加速度

知識(shí)解讀

1.實(shí)驗(yàn)原理

單擺在擺角很小時(shí)，由單擺周期公式T=2TTJ|,得且=挈.測(cè)得

單擺的擺長(zhǎng)/和振動(dòng)周期T,就可以測(cè)出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?

對(duì)單擺周期公式丁=24|的理解：

(1)公式成立的條件是單擺的偏角不大于5°.

(2)在振幅較小的條件下，單擺的振動(dòng)周期與單擺的振幅無(wú)關(guān)，與

擺球的質(zhì)量也無(wú)關(guān).

(3)周期公式中的擺長(zhǎng)1是指擺動(dòng)圓弧的圓心到擺球重心的距離，

而不是擺線的長(zhǎng)度.

2.實(shí)驗(yàn)器材

鐵架臺(tái)及鐵夾、金屬小球(最好上面有一個(gè)通過(guò)球心的小孔)、秒表、

細(xì)線(1m左右)、刻度尺(最小刻度為mm)、游標(biāo)卡尺.

3.實(shí)驗(yàn)步驟

(1)做單擺：讓線的一端穿過(guò)小球的小孔，然后打一個(gè)比小孔大一

些的結(jié).把線的上端用鐵夾固定在鐵架臺(tái)上并把鐵架臺(tái)放在實(shí)驗(yàn)桌邊,

使鐵夾伸到桌面以外，讓擺球自由下垂，在單擺平衡位置處作上標(biāo)記.

(2)測(cè)擺長(zhǎng)：1=1'

①用毫米刻度尺量出懸線長(zhǎng)/,如圖甲所示.

②用游標(biāo)卡尺測(cè)出擺球的直徑d,如圖乙所示.

A

圖甲圖乙

(3)測(cè)周期：將單擺從平衡位置拉開(kāi)一個(gè)角度，且滿足偏角小于5。,

然后釋放擺球，當(dāng)單擺擺動(dòng)穩(wěn)定后，用秒表測(cè)量單擺完成30次(或50

次)全振動(dòng)的時(shí)間，.計(jì)算出平均擺動(dòng)一次的時(shí)間T=；,即為單擺的振動(dòng)

周期.

［總結(jié)提能］?

應(yīng)從擺球經(jīng)平衡位置時(shí)開(kāi)始或停止計(jì)時(shí).

4.求重力加速度：把測(cè)得的周期和擺長(zhǎng)的數(shù)值代入公式，求出重

力加速度g的值.

5.多次測(cè)量求平均值

改變擺長(zhǎng)，重做幾次實(shí)驗(yàn).計(jì)算出每次實(shí)驗(yàn)的重力加速度.最后

求出幾次實(shí)驗(yàn)得到的重力加速度的平均值，即可作為本地區(qū)的重力加

速度.

【拓展延伸】如果要求用圖像法來(lái)測(cè)定重力加速度，那么應(yīng)該如

何建立坐標(biāo)系？

分別以，和停為縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)，作出/二必停的圖像，它應(yīng)該

是過(guò)原點(diǎn)的一條直線，根據(jù)這條直線可以求出斜率%,則重力加速度值

g=4n2k.

由于/一丁的圖像不是直線，不便于進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，所以采用I-

72的圖像，目的是將曲線轉(zhuǎn)換為直線，便于利用直線的斜率計(jì)算重力

加速度.

6.注意事項(xiàng)

(1)細(xì)線的質(zhì)量和彈性要小，如用單根尼龍絲、絲線等，長(zhǎng)度一般

不應(yīng)短于1m,小球要選用體積小、密度大的金屬球，直徑最好不超

過(guò)2cm.

(2)單擺懸線的上端不可隨意卷在鐵夾上，應(yīng)夾緊在鐵夾中，以免

擺動(dòng)時(shí)發(fā)生擺線下滑、擺長(zhǎng)改變的現(xiàn)象.

(3)擺長(zhǎng)是懸點(diǎn)到球心的距離，等于擺線長(zhǎng)加上小球半徑.

(4)注意擺動(dòng)時(shí)控制擺線偏離豎直方向的角度應(yīng)很小.

(5)計(jì)算單擺的振動(dòng)次數(shù)時(shí)，應(yīng)從擺球通過(guò)最低位置時(shí)開(kāi)始計(jì)，以

后擺球從同一方向通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)計(jì)數(shù)；要多測(cè)幾次(如30次或50次)

全振動(dòng)的時(shí)間，用取平均值的辦法求周期.

【拓展延伸】為什么擺球擺動(dòng)時(shí)，要使之保持在同一個(gè)豎直平

面內(nèi)，不要形成圓錐擺？

如圖所示，用細(xì)線懸吊小球，使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),

即細(xì)線所掃過(guò)的面為圓錐面，通常我們稱(chēng)為圓錐擺，實(shí)際上圓錐擺中

小球的運(yùn)動(dòng)不是振動(dòng)，是勻速圓周運(yùn)動(dòng).

設(shè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中細(xì)線與豎直方向夾角為仇線長(zhǎng)為/,則小球做圓周

運(yùn)動(dòng)的半徑r=lsin。,向心力方向二/ngtan。.

由方向=機(jī)陰得圓錐擺的周期黑，顯然該周期小于單

擺周期，所以在用單擺測(cè)重力加速度的實(shí)驗(yàn)中，強(qiáng)調(diào)擺球必須在豎直

面內(nèi)擺動(dòng).

典例透析

【典例】（1）測(cè)量單擺的振動(dòng)周期，測(cè)量時(shí)間應(yīng)從擺球經(jīng)過(guò)

（選填“平衡位置”或“最高點(diǎn)”）時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)；某次測(cè)定了

50次全振動(dòng)的時(shí)間如圖中停表所示，那么停表讀數(shù)是s；該單

擺的周期是T=s（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）.

（2）測(cè)量出多組周期八擺長(zhǎng)L數(shù)值后，畫(huà)出T2~L圖像如圖所示,

此圖線斜率的物理意義是（）

（3）在描點(diǎn)時(shí)若誤將擺線長(zhǎng)當(dāng)做擺長(zhǎng)，那么畫(huà)出的直線將不通過(guò)原

點(diǎn)，則由圖線斜率得到的重力加速度將會(huì)（）

A.偏大B.偏小

C.不變D.都有可能

（4）該小組的另一同學(xué)沒(méi)有使用游標(biāo)卡尺也測(cè)出了重力加速度.他

采用的方法是：先測(cè)出一擺線較長(zhǎng)的單擺的振動(dòng)周期八，然后把擺線

縮短適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度AL,再測(cè)出其振動(dòng)周期於.則可用該同學(xué)測(cè)出的物理

量來(lái)表達(dá)重力加速度為g=.

【思路分析】解答本題的關(guān)鍵是要注意以下兩點(diǎn):

(1)停表的讀數(shù)規(guī)則；

(2)T2-L圖像斜率的意義.

【解析】(1)因擺球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度大，容易觀察和計(jì)時(shí)，

所以測(cè)量時(shí)間應(yīng)從擺球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)開(kāi)始計(jì)時(shí).

停表的讀數(shù)為t=lmin4-7.4s=67.4s

單擺周期1.35s.

(2)根據(jù)單擺的周期公式得T2=^L,所以T2-L圖線

Y5o

4九2

斜率的物理意義是——,選項(xiàng)C正確.

g

(3)若誤將擺線長(zhǎng)當(dāng)做擺長(zhǎng)，設(shè)小球的半徑為r,則有T=

2幾、空,T2=^L+^r,那么畫(huà)出的直線將不通過(guò)原點(diǎn)，但圖

Vo5o

47r2

線的斜率仍為左=外，所以由圖線斜率得到的重力加速度不變，選項(xiàng)

O

C正確.

(4)根據(jù)題意由單擺周期公式：丁=2八]1可知，

[LIL—\L4712AL

ri=27tV?T2=ln^^~'解付

【答案】(1)平衡位置67.41.35(2)C

4九2AL

(3)C(4)Tl-Tl

思悟升華

對(duì)誤差來(lái)源的分析

1.單擺的振動(dòng)不符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的要求引起的系統(tǒng)誤差

⑴單擺不在同一豎直平面內(nèi)振動(dòng)，成為圓錐擺，g值偏大.圓錐

擺周期T=2八歸嵬,其中夕為擺線與豎直方向的夾角,L為擺長(zhǎng).在

計(jì)算g時(shí)，以L代替Leos仇則測(cè)得g值偏大.

(2)振幅過(guò)大，擺線偏離豎直方向的角度超過(guò)5。，g值偏小.擺角

越大，擺球的實(shí)際周期T也越大，求得的且=用值偏小(此問(wèn)題中學(xué)

階段不做過(guò)多研究).

2.測(cè)定擺長(zhǎng)L時(shí)引起的誤差

(1)在未懸掛擺球前測(cè)定擺長(zhǎng)或漏掉加擺球半徑，得到的擺線長(zhǎng)偏

短，g值偏小.

(2)測(cè)擺長(zhǎng)時(shí)擺線拉得過(guò)緊或以擺球的直徑與擺線長(zhǎng)之和作為擺

長(zhǎng)，得到的擺線長(zhǎng)偏長(zhǎng)，g值偏大.

(3)懸點(diǎn)未固定好，振動(dòng)時(shí)出現(xiàn)松動(dòng)，使實(shí)際的擺長(zhǎng)不斷變長(zhǎng)，g

值也偏小.

3.測(cè)定周期時(shí)引起的誤差

(1)開(kāi)始計(jì)時(shí)時(shí)，停表過(guò)遲按下，會(huì)使所測(cè)時(shí)間/偏小，g值偏大；

同理，停止計(jì)時(shí)時(shí)，停表過(guò)早按下，g值偏大.

(2)測(cè)定〃次全振動(dòng)的時(shí)間為。誤數(shù)為(〃+1)次全振動(dòng)，計(jì)算時(shí)，

g值偏大；同理，誤數(shù)為(〃一1)次全振動(dòng)，計(jì)算時(shí)，g值偏小.

⑶計(jì)算單擺的全振動(dòng)次數(shù)時(shí)，從擺球通過(guò)最高點(diǎn)位置時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí),

容易產(chǎn)生較大的計(jì)時(shí)誤差.

?課堂效果檢測(cè)?

1.單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是(D)

A.擺球的重力

B.擺線的拉力

C.擺球重力與擺線拉力的合力

D.擺球重力沿圓弧切線方向的分力

解析：擺線的拉力是沿半徑方向的，在圓弧切線方向上的分力為

零，因此，擺球在切線方向上所受的力就是重力在切線方向上的分力，

正是這個(gè)切線方向上的重力的分力充當(dāng)了回復(fù)力，但這不是擺球重力

與擺線拉力的合力，擺線的拉力與重力沿半徑方向上的分力的合力提

供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，除在最大位移處兩位置外，擺球在半徑方向

上所受的合力均不為零.故正確答案為D.

2.用單擺測(cè)重力加速度的實(shí)驗(yàn)中，測(cè)出的重力加速度的值大于當(dāng)

地的重力加速度，下列原因中可能的是（D）

A.振幅太小導(dǎo)致測(cè)得的周期偏小

B.計(jì)算擺長(zhǎng)時(shí)，只考慮線長(zhǎng)，沒(méi)有加上擺球半徑

C.將〃次全振動(dòng)誤記為（〃一1）次全振動(dòng)

D.將〃次全振動(dòng)誤記為（〃+1）次全振動(dòng)

解析：?jiǎn)螖[周期與振幅無(wú)關(guān)，振幅的大小不會(huì)影響周期的測(cè)量，

則A錯(cuò)；由7=2人?得，重力加速度g=竽，測(cè)得的g偏大，可能

是/的測(cè)量值偏大，也可能是丁的測(cè)量值偏小，所以不加擺球半徑，

是使/偏小，使g偏小，則B錯(cuò)；將〃次全振動(dòng)記為（〃一1）次全振動(dòng)，

T的測(cè)量值偏大，使g偏小，則C錯(cuò)；同理分析知D正確.故正確答

案為D.

3.有一懸線長(zhǎng)為，的單擺，擺球是一個(gè)有一定質(zhì)量的空心金屬球,

球底有一小孔，球內(nèi)盛滿水.在擺動(dòng)過(guò)程中，水從小孔慢慢流出.從

水開(kāi)始流到水流完的過(guò)程中，此擺的周期的變化是（C）

A.由于懸線長(zhǎng)/和重力加速度g不變，所以周期不變

B.由于水不斷外流，周期不斷變大

C.周期先變大，后變小

D.周期先變小，后變大

解析：擺長(zhǎng)I等于懸點(diǎn)到擺球重心的距離.在本題中由于水向外

流，因此擺球重心（球殼和水的合重心）在不斷變化.當(dāng)水