沖擊波基本理論

沖擊波基本理論2024/4/2522沖擊波基本理論

2.1一維等熵流動2.2正沖擊波基本關系式*#2.3沖擊波雨貢紐曲線及沖擊波的性質2.4沖擊波的正反射2.5沖擊波的斜反射2024/4/253

①波：在彈性介質中，某個局部受到作用后，由于物質點的相互作用，由近及遠地使物質質點陸續(xù)發(fā)生擾動，這種擾動在介質的傳播就稱為波。常見的如：水波，音波，電磁波···

②波陣面：介質的原始狀態(tài)與擾動狀態(tài)的交界面稱波陣面

③縱波與橫波：波陣面移動方向與介質質點振動方向平行的波稱縱波。

波陣面移動方向與介質質點振動方向垂直的波稱橫波。

④波速：波陣面在介質中傳播的速度。

⑤波的傳播方向：波陣面的移動方向。

2.1一維等熵流動波的基本概念(復習）2024/4/254⑥壓縮波：波陣面到達之處，介質的狀態(tài)（P、ρ、T）參數增加的波稱壓縮波，波的傳播方向與介質運動方向相同。（圖5.1）

⑦膨脹波（稀疏波）：波陣面到達之處，介質的狀態(tài)（P、ρ、T）參數減小的波稱膨脹波，波的傳播方向與介質運動方向相反。（下圖5.2）

2024/4/255⑧音波：介質質點在原來的位置振動，而波向左右傳播，這種波稱音波，音波是弱壓縮波或膨脹波的合成。

⑨沖擊波：是波面以突躍面的形式在彈性介質中傳播的壓縮波，波陣面上介質的狀態(tài)參數變化是突躍的。

⑩爆轟波：是含有化學反應能量支持的沖擊波，因為有化學反應能量的支持，因此爆轟波所以具有穩(wěn)定的傳播特性。2024/4/256完全氣體，量熱完全氣體與等熵關系（補物理化學知識）理想氣體(完全氣體perfectgas)：不考慮分子間的作用力和分子的體積情況下，一種理想化后的氣體。它滿足：PV=nRT，e=e(T)和Cv=Cv(T)世上無理想氣體，熱完全氣體是真實氣體在一定溫度，壓力范圍內的近似，即近似看成理想氣體來處理。對于熱完全氣體，有：de=CvdT=Cv(T)dT，dh=CpdT=Cp(T)dT，e=e(T)，h=h(T)可近似認為一定溫度范圍內，Cv，Cp，

（Cp-

Cv=R）保持不變。但一般說來，Cv=Cv(T)，Cp=Cp(T)2024/4/257多方氣體就是指量熱完全氣體(caloricallyperfectgas)：

Cp

，Cv

，保持不變的完全氣體。

e=Cv(T)，h=Cp(T)e=Cv(T)，h=Cp(T)8

：分子平動和轉動的總自由度（不包括振動）(因為，)所以：對單原子分子氣體：，，對雙原子分子氣體：，，對三原子分子氣體：，，

——γ為多方指數或絕熱指數adiabaticexponent）自由度解釋：決定一個物體位置所需要的獨立坐標數，這里指的是熱力學自由度亦稱準自由度，不同于一般的力學自由度。2024/4/259等熵關系的建立：一般地：

（1）對可逆過程：（2）比較（1）和（2）有：（3）2024/4/2510對焓、Helmholtz自由能、Gibbs自由焓的表達式分別微分：

（4）

（5）

（6）而：，，，

——（7）hePVfeTSghTS=+=-=-2024/4/2511將（2）的第一式、（4）、（5）、（6）與（7）的4個式子比較有：

—（8）又因為：

（）

所以：2024/4/2512即：類似有：

——（9）（Maxwell關系）將（9）的第二式代入（1）的第一式有：[（1）的第一式]又由（3）式：，代入上式：有：（10）若，

，（11）

2024/4/2513而類似有：代入（11）的第1式：

（12）（10），（12）就是熵函數的一般表達式（微分形式），也可以寫成積分形式：

（13）2024/4/2514理想氣體：

（14）

（15）定義：——絕熱指數又因為：，

，代入（15）式：2024/4/2515

對絕熱可逆過程（必等熵）：，所以有：又因為：，所以：

或

或

——多方氣體的等熵關系，亦為絕熱關系。

（***）（***）（*****）2024/4/2516定容比熱，定壓比熱以及兩者之間的關系比熱的定義：，質量比熱單位為：

由熱力學第一定律：（16）熱焓定義：

（17）對定容過程，由（16）得：對定壓過程，由（17）得：

（18）2024/4/2517因為：，所以：（19）即：（20）由（18）～（20）有：（21）與（1），（2）式比較，有：(22)

（2）（1）（22）2024/4/2518又由Maxwell關系：（23）故有：（24）對理想氣體：

故：，代入（24）式：(25)由定義（比熱比）：故:流場：流體運動所占據的空間，流場中任一質點流體的物理量如等是空間的位置（）（或）和時間t的函數：或,

或

等。如果流場中的物理量只是位置函數，而與時間無關，則稱為定常流場，這種流動就稱為定常流動（steadyflow）,否則為不定常(unsteadyflow)的。如果流場中各物理量在空間分布只與一個幾何坐標x有關，那么就稱為一維(onedimensional)流場，相應的流動稱為一維流動(onedimensionalflow)。推導條件：忽略氣體的粘性，熱傳導（絕熱），無化學變化，不考慮體積力（如重力（對氣體可忽略），電磁力）對流動的影響，只有體積膨脹功。流場和定常流動方程組連續(xù)性方程的推導（質量守恒方程）：取如下圖所示的控制體（開口系，當地觀點即Euler方法），變截面流管。變截面流管中x1處的截面積為A，密度為，氣體流速為u單位時間內流入控制體的質量為：同樣時間內從x2面流出的質量為：微元dx中氣體質量的變化率為：由質量守恒，單位時間內流入微元體Δx的質量－流出Δx的質量＝微元體Δx的質量對時間的變化率。

Δxx1x2ρAuρAu+即：即：

（控制體體積不變，與t無關）

（1）

（，，）——連續(xù)方程（當地觀點）物質導數（Lagrange導數）的變換關系：稱為Euler導數。物理量的物質導數（或稱隨體導數）是指某個封閉系統(tǒng)中的流體在運動過程中，它所具有的物理量F（如：）對時間的變化率,是物理量F隨流體質點運動時的變化率。物質導數的定義：以求加速度為例，給出物質導數的微分變換關系：設流體質點在流場中沿運動軌跡C運動，從當地觀點出發(fā)，流體速度為：假定t時刻，流體微團在M點，速度為，經時刻后，運動到N點，速度為：加速度：（2）由于流場的非均勻性和不定常性，該微團的速度在運動過程中不止經歷了的變化，而且也經歷了的變化。當然也與時間長短有關。MN（2）式可寫為：

（3）代表沿S方向移動單位長度引起的速度變化，而如今單位時間移動了u的距離，所以S方向的速度變化為。對一維情況有：（4）對于等，亦有同樣的變化關系：

（5）這里，：全導數，物質導數，隨體導數，Lagrange導數。：當地時間導數，局部導數，Euler導數。反映了流場的不定常性，反映了流體微團流過空間固定點上量F對時間的變化率。：遷移導數，對流導數，反映了流場的非均勻性，是流體微團運動到不同位置時所引起的F的變化。實際上，F=F(x,y,z,t),而x=x(t),y=(t),z=z(t)所以：三維（直角坐標系）由（5）式，可將（1）式化為：（6）

——隨體觀點的連續(xù)方程注：歐拉方程—動量守恒方程（運動方程）的推導：取下圖的控制體（閉口系，隨體觀點，即Lagrange方法），設微元體dx的側面積為S，該質點具有的速度為u，β為管壁切線與x軸的夾角（如果管壁是光滑的，則β是無窮小量）顯然：

，即：Δx微元體x1面受到壓力為PA，x2面受到的壓力為：側面所受力為：，即：ΔxPnPn該力在x方向投影為：在與x垂直方向投影為：（互相抵消）微元體受到的總壓力為（不考慮粘性力，重力等）：＝忽略二階小量，總壓力為：按Newton第二定律：(F＝ma)即：（7）或：（8）——歐拉方程（動量守恒方程）由開口體系（Euler觀點推導動量方程）：由x1面流入dx的動量：由x2面流出dx的動量：

（忽略二階以上小量）＝

＝微元體dx受的合外力為：單位時間內，微元體動量變化為：

（忽略二階小量）凈流入的動量：流入－流出＝dxx1x2ρAuρAu+x動量定理：動量的增加率＝凈增加動量+微元體受的外力，即：

（與t無關）即：

（1）式，質量守恒方程能量方程的推導（忽略熱損失，不考慮非體積力做功，只計體積功;開口系，Euler方法）：單位質量氣體總能量為：（e：單位質量內能，：單位質量動能）單位時間內通過x1面進入微元體Δx的能量：單位時間內通過x2面流出微元體Δx的能量：x1面上，外力單位時間內對微元所做的功為：（功率）x2面上微元體單位時間內克服外力所做的功為：微元體Δx的總能量變化率為：由能量守恒：微元體Δx的總能量變化率應等于單位時間內流進的凈能量加上外力做功的和。

與時間無關，（控制體體積不變）

（9）ΔxρAuρAu+x因為：((1)式－連續(xù)方程)故上式可簡化為：

或：（10）

——能量守恒方程

再由（8）式（動量方程）（11）由熱力學第一定律：：環(huán)境給封閉系統(tǒng)傳遞的熱量，：系統(tǒng)內能的增加，：系統(tǒng)對外界（環(huán)境）所做的功。微分形式為：若只考慮體積功，則有：（E：內能；Q：熱量；P：壓力）或：

（q：單位質量的供熱量；e：單位質量內能；P：壓強）又因為：（對封閉體系的可逆過程），，

（12）（同除以dt

)將（11）式、（6）式代入（12）式有：即：或（13）可見，某封閉體系（流體微團）絕熱可逆條件下的流動是等熵的（對于無粘流體）（完全氣體的絕熱流動必為等熵流動）：因為：所以：由以上推導的非定常流動的基本方程組為（變截面，一維）。(6)

連續(xù)方程（質量守恒方程）

運動方程（動量守恒方程）

能量方程

方程組（?）

或

狀態(tài)方程守恒方程是普遍適用的，對任何流體都相同。狀態(tài)方程則反映了流體在流動中的特殊性。四個方程，四個未知數：，方程組封閉，可求解。對等熵過程（完全氣體的絕熱過程），方程組中的第三式（能量方程）（完全氣體的絕熱流動必為等熵流動）可用或來代替。對多方氣體，可用代替對定常流動，所有物理量（等）對時間的偏導數為零。同時用熱焓代替e，可得定常流動方程組：

或

或

或（等截面流管）或方程組（Ⅱ）質量動量能量狀態(tài)2024/4/2538

音波是弱的壓縮波或膨脹波合成的結果，波的傳播速度僅取決于介質狀態(tài)。音速可以看作是介質的狀態(tài)參數，音速是弱擾動在介質中的傳播速度。聲音的傳播2024/4/2539（1）①質量守恒定律:流入波陣面的質量等于流出波陣面的質量音速公式推導（先以壓縮波）

PC,P+dPC-u,c（1）2024/4/2540②動量守恒定律（動量的變化=壓力變化×時間）公式變形化簡：（2）

由動量分析：流入的動量流出的動量（2）2024/4/2541

由（1）得

代入（2）所以2024/4/2542∵弱擾動

（3）∴同樣膨脹波也可導出（3）式∴弱的壓縮波的傳播速度只與壓力和介質密度的比值有關。2024/4/2543如果弱擾動的傳播與周圍介質是絕熱的。壓縮和膨脹過程可以看成是等熵的（物化）傳播表達式為：如果音波的傳播介質是理想氣體由于，則由以上可知：則（4）

2024/4/2544在等熵過程中有：

代入（4）理想氣體∴（5）∴音速與介質的溫度、壓力有關，與介質種類有關。K-絕熱指數2024/4/25452.2正沖擊波基本關系式*#

活塞原理

圖2.1沖擊波形成原理示意圖

沖擊波的基本性質

壓縮→密度↑→速度↑→壓縮迭加→P、

、T↑→壓縮追趕→強壓縮波形成→階躍變化（即沖擊波）∴介質狀態(tài)發(fā)生突躍變化的波即是沖擊波。也就是說，沖擊波的波陣面是一個突躍面。2024/4/2547②特點

a.波陣面的兩邊介質狀態(tài)參數差別很大，是突變的或稱有較大梯度。

b.波陣面運動的方向與介質的運動方向相同。

c.波陣面?zhèn)鞑ヒ詨嚎s波形式傳播的。∴波后的>波前2024/4/2548③沖擊波與音波的區(qū)別①傳播速度：（未擾動介質的音速）②狀態(tài)參數變化形式:突躍----接近于零③介質移動:位移－平衡位置來回振動④波速影響因素：強度有關－僅與介質狀態(tài)參數有關、T、P

⑤周期性：無周期－周期⑥熱力學特征：熵增大－等熵2024/4/2549

波陣面兩側介質狀態(tài)參數（T、、P）和運動參數（、）之間的關系稱沖擊波基本關系式。建立依據，三大定律:

質量守恒動量守恒能量守恒

2024/4/25502.2.2沖擊波的三大守恒定律

①質量守恒（物質量相等，物質不滅）

——介質擾動前的密度

——介質擾動后的密度

——沖波的速度

——波陣面前介質的移動速度——波陣面后介質的移動速度（2-1）2024/4/2551②動量守恒動量的變化等于外合力作用的沖量（力×時間）（2-2）∴2024/4/2552（能量變化等于對外所作的功）能量=內能+動能

流入能量

流出

③能量守恒

右側做功左側：

因作用力與運動方向相反，為負號

2024/4/2553化簡整理

（2-3）

沖擊波基本關系式（2-1）、（2-2）、（2-3）2024/4/2554

由沖擊波的三個基本關系式可導出沖擊波的有關參數計算公式由狀態(tài)參數（P、V、）計算沖擊波相關系數（）8個2.2.3沖擊波參數計算

2024/4/2555

由（5-11）式

解出有∴則(2-4)(2-5)2024/4/2556把（5-16）代入（5-13）

（5-17）（5-18）∴（2-6）（2-7）2024/4/2557由（2-3）整理得將（2－6）式代入得（5-19）把（2-2）代入化簡整理（2-8）2024/4/2558

計算沖擊波參數計算公式沖擊波速度方程式（米海爾遜方程）瑞利線沖擊波絕熱方程（沖擊波雨果尼奧方程）2024/4/2559擾動前后氣體介質當成理想氣體狀態(tài)下來處理：（2-9）

代入（2-8）式，整理得：∴由氣體狀態(tài)初始參數（）可利用沖擊波關系式，計算沖擊波波陣面參數（）。[例1]已知一未擾動空氣的初始參數為：=9.8，=1.25，=0，如果

波陣面的超壓=Pa，試用沖擊波的關系式計算沖擊波的其他參數（假設氣體為熱容不變的理想氣體）解：由于空氣可以看成是雙原子氣體，因此我們可以取=1.4。將，，，，和代入沖擊波有關的關系式中進行計算，得：2024/4/2563①沖擊波陣面上已擾動介質的狀態(tài)參數主要與沖擊波波速有關；②沖擊波相對于未擾動介質是超音速的，即，相對于已擾動的介質是亞音速的，即。③沖擊波速度大于介質移動速度且與介質運動方向相同。④沖擊波衰減最終變?yōu)橐舨?。⑤沖擊波的沖擊壓縮過程是熵增大過程，波陣面介質的狀態(tài)參數變化是突躍的。⑥極強沖擊波陣面上，已擾動介質的密度取決于波陣面上的溫度。2.3沖擊波雨貢紐曲線及沖擊波的性質

2024/4/2564證明：沖擊波相對于未擾動介質是超音速的，即，相對于已擾動的介質是亞音速，即。舉例[證]：由沖擊波基本關系式可導出：，∴∵得證命題一，同樣可證命題二例2沖擊波的傳播速度不僅與介質的初始狀態(tài)有關，而且與沖擊波的強度有關。證明：令稱為激波強度將其代入有：

即：故式中表示了介質初始狀態(tài)的音速，對于聲波，有，，因此聲波傳播速度只與介質狀態(tài)有關。2024/4/2566沖擊波參數計算導出下面兩式:

沖擊波速度方程式（米海爾直線）

沖擊波絕熱方程式（雨果尼奧曲線）

將過程和狀態(tài)表示在P-V圖上（P—縱坐標，V—橫坐標）沖擊波雨貢紐曲線2024/4/2567

當為一定數時，為一直線

滿足:i)過A（P0，V0）

ii）斜率

當為一定數，不同，不同，↑，↑①波速線∴a.波速線為通過介質初始狀態(tài)A（P0，V0）的不同斜率直線與沖擊波波速相對應。

b.波速線反映沖擊波以固定波速V0通過初始狀態(tài)（P0，V0）傳播時所有終起點的軌跡。

沖擊波的波速線2024/4/2569

介質的內能變化與波陣面P1和比容V1之間的關系。②沖擊絕熱線

在P-V圖上，為一條以介質初始狀態(tài)（P0，V0）凹向P軸和V軸的曲線，線上的每一點為不同波速沖擊波經過同一初始狀態(tài)A（P0，V0）的介質后所達到的終點狀態(tài)。2024/4/2570*a.介質由A點（P0，V0）受沖擊壓縮到B點（P1，V1），其狀態(tài)不是沿著沖擊波絕熱曲線變化，而是突躍地從A點壓縮到B點。（∴沖擊波傳播時，終點既滿足波速線又滿足沖擊絕熱線）*b.沖擊波絕熱曲線不是沖擊壓縮過程線，只是具有初始狀態(tài)，受到沖擊波壓縮時，一切可能到達的終態(tài)點B（P1，V1）狀態(tài)的集合。*c.由式在沖擊絕熱線上A點以上所對應的沖擊波，壓縮波A點以下所對應的沖擊波，膨脹波→A點，弱沖擊波，波速線與沖擊絕熱線相切→音波2024/4/2571沖擊波是強縮波，是波速線斜A點以后的斜率均大于切線，強沖擊波*d音波傳播是等熵的∴等熵線與沖擊絕熱線相切于A點*e沖擊波傳播過程是熵增大的∴沖擊波絕熱線在等熵線（過程線）上方

沿沖擊波絕熱線的熵值變化例2：絕熱線A-B是熵增加過程證明：對激波壓縮過程，由熱力學第一定律知：或者(A)如上圖所示，分析由Hugoniot曲線熵初態(tài)點A-B熵值的變化情況。由激波的Hugoniot方程：(B)兩邊取微分得：(C)將式(C)代入式(A)，得：