數(shù)學與統(tǒng)計學院數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程第二版(魏宗舒)階段考試卷(文檔)

PAGE5-課程測試試題以下為教師填寫I、命題院（部）：數(shù)學與統(tǒng)計學院II、課程名稱：概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程III、測試學期：2012－2013學年度第1學期IV、測試對象：數(shù)學與統(tǒng)計學院2010級數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)V、問卷頁數(shù)（A4）：2頁VI、答卷頁數(shù)（A4）：4頁VII、考試方式：閉卷（開卷、閉卷或課程小論文，請?zhí)顚懬宄￢III、問卷內(nèi)容：（請老師在出題時安排緊湊，填空題象征性的留出一點空格，學生將所有的答案做在答題紙上的規(guī)定位置，并寫清楚大題、小題的題號）已知：簡答題（共7題，每題10分，共70分。解答過程分步計分，答錯或不答計0分。）1、已知一個母雞生個蛋的概率為，而每一個蛋能孵化成小雞的概率為，證明：一個母雞恰有個下一代（即小雞）的概率為。解用表示“母雞生個蛋”，表示“母雞恰有個下一代”，則2、設隨機變量服從poisson分布，且，求。解。由于得（不合要求）。所以。3、一本500頁的書共有500個錯誤，每個錯誤等可能地出現(xiàn)在每一頁上（每一頁的印刷符號超過500個）。試求指定的一頁上至少有三個錯誤的概率。解在指定的一頁上出現(xiàn)某一個錯誤的概率，因而，至少出現(xiàn)三個錯誤的概率為利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于4、設獨立隨機變量分別服從二項分布：與，求的分布列。解設為重貝努里試驗中事件發(fā)生的次數(shù)（在每次試驗中），為重貝努里試驗中事件發(fā)生的次數(shù)（在每次試驗中），而相互獨立，所以為重貝努里試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，因而。5、函數(shù)是不是某個隨機變數(shù)的分布密度？如果的取值范圍為（1）；（2）；（3）。解：（1）當時，且=1，所以可以是某個隨機變量的分布密度；（2）因為=2，所以不是隨機變量的分布密度；（3）當時，，所以不是隨機變量的分布密度。6、設隨機變數(shù)的分布函數(shù)為求常數(shù)及密度函數(shù)。解：因為，所以，密度函數(shù)為7、一本書共有一百萬個印刷符號，排版時每個符號被排錯的概率為0.0001，校對時每個排版錯誤被改正的概率為0.9，求在校對后錯誤不多于15個的概率。解：令因為排版與校對是兩個獨立的工序，因而是獨立同分布隨機變量序列，，令，其中，由中心極限定理有其中，查分布表即可得，即在校對后錯誤不多于15個的概率。二、證明題（共3題，每題10分，共30分。解答過程分步計分，答錯或不答計0分。）8、對于任意的隨機事件、、，證明：證明9、設與都是分布函數(shù)，又是兩個常數(shù)，且。證明也是一個分布函數(shù)，并由此討論，分布函數(shù)是否只有離散型和連續(xù)型這兩種類型？證：因為與都是分布函數(shù)，當時，，，于是又所以，也是分布函數(shù)。取，又令這時顯然，與對應的隨機變量不是取有限個或可列個值，故不是離散型的，而不是連續(xù)函數(shù)，所以它也不是連續(xù)型的。10、證明隨機變量序列依概率收斂于隨機變量的充要條件為：證：充分性，令，，則，故是的單調(diào)上升函數(shù)，因而，于是有對任