數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程第二版(魏宗舒)階段考試卷(文檔)

PAGE5-課程測(cè)試試題以下為教師填寫I、命題院（部）：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院II、課程名稱：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程III、測(cè)試學(xué)期：2012－2013學(xué)年度第1學(xué)期IV、測(cè)試對(duì)象：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2010級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)V、問(wèn)卷頁(yè)數(shù)（A4）：2頁(yè)VI、答卷頁(yè)數(shù)（A4）：4頁(yè)VII、考試方式：閉卷（開卷、閉卷或課程小論文，請(qǐng)?zhí)顚懬宄￢III、問(wèn)卷內(nèi)容：（請(qǐng)老師在出題時(shí)安排緊湊，填空題象征性的留出一點(diǎn)空格，學(xué)生將所有的答案做在答題紙上的規(guī)定位置，并寫清楚大題、小題的題號(hào)）已知：簡(jiǎn)答題（共7題，每題10分，共70分。解答過(guò)程分步計(jì)分，答錯(cuò)或不答計(jì)0分。）1、已知一個(gè)母雞生個(gè)蛋的概率為，而每一個(gè)蛋能孵化成小雞的概率為，證明：一個(gè)母雞恰有個(gè)下一代（即小雞）的概率為。解用表示“母雞生個(gè)蛋”，表示“母雞恰有個(gè)下一代”，則2、設(shè)隨機(jī)變量服從poisson分布，且，求。解。由于得（不合要求）。所以。3、一本500頁(yè)的書共有500個(gè)錯(cuò)誤，每個(gè)錯(cuò)誤等可能地出現(xiàn)在每一頁(yè)上（每一頁(yè)的印刷符號(hào)超過(guò)500個(gè)）。試求指定的一頁(yè)上至少有三個(gè)錯(cuò)誤的概率。解在指定的一頁(yè)上出現(xiàn)某一個(gè)錯(cuò)誤的概率，因而，至少出現(xiàn)三個(gè)錯(cuò)誤的概率為利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于4、設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量分別服從二項(xiàng)分布：與，求的分布列。解設(shè)為重貝努里試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)（在每次試驗(yàn)中），為重貝努里試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)（在每次試驗(yàn)中），而相互獨(dú)立，所以為重貝努里試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，因而。5、函數(shù)是不是某個(gè)隨機(jī)變數(shù)的分布密度？如果的取值范圍為（1）；（2）；（3）。解：（1）當(dāng)時(shí)，且=1，所以可以是某個(gè)隨機(jī)變量的分布密度；（2）因?yàn)?2，所以不是隨機(jī)變量的分布密度；（3）當(dāng)時(shí)，，所以不是隨機(jī)變量的分布密度。6、設(shè)隨機(jī)變數(shù)的分布函數(shù)為求常數(shù)及密度函數(shù)。解：因?yàn)椋?，密度函?shù)為7、一本書共有一百萬(wàn)個(gè)印刷符號(hào)，排版時(shí)每個(gè)符號(hào)被排錯(cuò)的概率為0.0001，校對(duì)時(shí)每個(gè)排版錯(cuò)誤被改正的概率為0.9，求在校對(duì)后錯(cuò)誤不多于15個(gè)的概率。解：令因?yàn)榕虐媾c校對(duì)是兩個(gè)獨(dú)立的工序，因而是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，，令，其中，由中心極限定理有其中，查分布表即可得，即在校對(duì)后錯(cuò)誤不多于15個(gè)的概率。二、證明題（共3題，每題10分，共30分。解答過(guò)程分步計(jì)分，答錯(cuò)或不答計(jì)0分。）8、對(duì)于任意的隨機(jī)事件、、，證明：證明9、設(shè)與都是分布函數(shù)，又是兩個(gè)常數(shù)，且。證明也是一個(gè)分布函數(shù)，并由此討論，分布函數(shù)是否只有離散型和連續(xù)型這兩種類型？證：因?yàn)榕c都是分布函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，于是又所以，也是分布函數(shù)。取，又令這時(shí)顯然，與對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量不是取有限個(gè)或可列個(gè)值，故不是離散型的，而不是連續(xù)函數(shù)，所以它也不是連續(xù)型的。10、證明隨機(jī)變量序列依概率收斂于隨機(jī)變量的充要條件為：證：充分性，令，，則，故是的單調(diào)上升函數(shù)，因而，于是有對(duì)任