2022-2023學(xué)年天津市和平區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2天津市和平區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.是虛數(shù)單位，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.2.一組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為（）A.7 B.6 C.5 D.4〖答案〗C〖解析〗將數(shù)據(jù)從小到大排列為，共7個(gè)數(shù)據(jù)，由，故第30百分位數(shù)是第三個(gè)數(shù)據(jù)為5.故選：C.3.設(shè)向量，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，，?故選：B.4.在中，，，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在中，由余弦定理得：，所以.故選：D.5.已知平面向量，且與的夾角為，則（）A.12 B.16 C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知：，所以.故選：C.6.設(shè)表示不同的直線，表示不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，且，則C.若，則D.若，則〖答案〗B〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，若，則與可能會(huì)相交或平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，若，且，根據(jù)線面垂直可知，.故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若，則可能會(huì)平行、相交或異面，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，若，則與可能會(huì)相交或平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B.7.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，滿足，則的形狀為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形〖答案〗D〖解析〗在中，對(duì)于，由正弦定理得：，即，所以或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形.故選：D.8.為了加深師生對(duì)黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨?知史愛國(guó)的熱情，某校舉辦了“學(xué)黨史?育文化”暨“喜迎黨的二十大”黨史知識(shí)競(jìng)賽，并將1000名師生的競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分，成績(jī)?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯(cuò)誤的為（）A.a的值為0.005B.估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75C.估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為86D.估計(jì)成績(jī)低于60分的有25人〖答案〗D〖解析〗對(duì)A：，即，，故A正確；對(duì)B：由面積最大的小長(zhǎng)方形可知，估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75，故B正確；對(duì)C：前4組頻率之和為，前5組頻率之和為，設(shè)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為，則，，故C正確；對(duì)D：成績(jī)低于60分的頻率為，故估計(jì)成績(jī)低于60分的有人，D錯(cuò)誤.故選：D.9.如圖，正方體，棱長(zhǎng)為是的中點(diǎn)，則二面角的正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉檎襟w，所以，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面，所以是二面角的平面角，，，，，所以二面角的正弦值?故選：B.10.如圖，一艘船向正北方向航行，航行速度為每小時(shí)海里，在處看燈塔在船的北偏東的方向上.1小時(shí)后，船航行到處，在處看燈塔在船的北偏東的方向上，則船航行到處時(shí)與燈塔之間的距離為（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里〖答案〗B〖解析〗，，，，則，即，.故選：B.二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)給3分，全部答對(duì)的給5分.）11.某高中學(xué)校進(jìn)行問卷調(diào)查，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從該校三個(gè)年級(jí)中抽取36人進(jìn)行問卷調(diào)查，其中高一年級(jí)抽取了15人，高二年級(jí)抽取了12人，且高三年級(jí)共有學(xué)生900人，則該高中的學(xué)生總數(shù)為__________人.〖答案〗〖解析〗由題意可知：高三年級(jí)抽取了人，由于高三共有900人，所以抽樣比為，所以高中學(xué)生總數(shù)為.故〖答案〗為：.12.已知向量，則向量在方向上的投影向量的坐標(biāo)為__________.〖答案〗〖解析〗向量，則，所以向量在方向上的投影向量為.故〖答案〗為：.13.在三棱錐中，平面，則三棱錐的外接球的表面積為__________.〖答案〗〖解析〗由題意可知，可將該三棱錐在長(zhǎng)方體中作出，所以三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，為外接球的直徑，所以，所以外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為.故〖答案〗為：.14.甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為.在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則甲在兩輪活動(dòng)中恰好猜對(duì)一個(gè)成語(yǔ)的概率為__________；“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)分別表示甲兩輪猜對(duì)1個(gè)，2個(gè)成語(yǔ)的事件，分別表示乙兩輪猜對(duì)1個(gè)，2個(gè)成語(yǔ)的事件，則有，，設(shè)A=“兩輪活動(dòng)‘星隊(duì)’猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”，則，且與互斥，與，與分別相互獨(dú)立，所以，因此，“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率是．故〖答案〗為：.15.如圖，在中，是線段上的點(diǎn)，且，是線段的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，則__________；若為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，則__________.〖答案〗〖解析〗由于，則，又是線段的中點(diǎn)，故，結(jié)合得，故；設(shè)，而，是線段中點(diǎn)，故，又三點(diǎn)共線，故，則，故，又為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，則.故〖答案〗為：.三、解答題（本大題共5小題，共45分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.設(shè)復(fù)數(shù)，m為實(shí)數(shù)．（1）當(dāng)m為何值時(shí)，z是純虛數(shù);（2）若，求的值;（3）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（1）若z是純虛數(shù)，則，解得，所以當(dāng)時(shí)，z是純虛數(shù).（2）若，則，所以.（3）因?yàn)閺?fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則，解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.17.已知向量，滿足.（1）若，求向量的坐標(biāo)；（2）若，求向量與向量夾角的余弦值.解：（1）設(shè)，則，解得或，故或.（2）易知，由可得，即，故.18.一個(gè)盒子中裝有4個(gè)編號(hào)依次為1?2?3?4的球，這4個(gè)球除號(hào)碼外完全相同，采用放回方式取球，先從盒子中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為.（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）設(shè)事件A=“兩次取出球的編號(hào)之和小于4”，事件B=“編號(hào)”，分別求事件A，B，AB發(fā)生的概率.解：（1）由題意可知所有可能的結(jié)果共有16種，樣本空間為{}.（2）由題意可知事件A=，共三個(gè)結(jié)果，故，事件B=，共六個(gè)結(jié)果，故，事件包含的結(jié)果有一個(gè)，故.19.在中，角所對(duì)的邊分別為，.（1）求的值；（2）若，求的面積；（3）求的值.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理可?（2）若，則，由余弦定理，即，整理得，解得或（舍去），所以的面積.（3）因?yàn)?，則，則，又因，即，則，可得，所以.20.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，為中點(diǎn)，平面，，為中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）證明：平面；（3）求直線與平面所成角的余弦值.解：（1）連接，，因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅危瑸橹悬c(diǎn)，故與相交于，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）因?yàn)?，由余弦定理得，即，解得，因?yàn)椋浴?，因?yàn)椤推矫?，平面，所以⊥，因?yàn)槠矫?，，所以平?（3）取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)椤推矫?，所以⊥平面，則為直線與平面所成角，其中，故，因?yàn)椤?，，由勾股定理得，故，由勾股定理得，所?天津市和平區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.是虛數(shù)單位，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.2.一組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為（）A.7 B.6 C.5 D.4〖答案〗C〖解析〗將數(shù)據(jù)從小到大排列為，共7個(gè)數(shù)據(jù)，由，故第30百分位數(shù)是第三個(gè)數(shù)據(jù)為5.故選：C.3.設(shè)向量，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，，?故選：B.4.在中，，，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在中，由余弦定理得：，所以.故選：D.5.已知平面向量，且與的夾角為，則（）A.12 B.16 C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知：，所以.故選：C.6.設(shè)表示不同的直線，表示不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，且，則C.若，則D.若，則〖答案〗B〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，若，則與可能會(huì)相交或平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，若，且，根據(jù)線面垂直可知，.故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若，則可能會(huì)平行、相交或異面，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，若，則與可能會(huì)相交或平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B.7.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，滿足，則的形狀為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形〖答案〗D〖解析〗在中，對(duì)于，由正弦定理得：，即，所以或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形.故選：D.8.為了加深師生對(duì)黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨?知史愛國(guó)的熱情，某校舉辦了“學(xué)黨史?育文化”暨“喜迎黨的二十大”黨史知識(shí)競(jìng)賽，并將1000名師生的競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分，成績(jī)?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯(cuò)誤的為（）A.a的值為0.005B.估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75C.估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為86D.估計(jì)成績(jī)低于60分的有25人〖答案〗D〖解析〗對(duì)A：，即，，故A正確；對(duì)B：由面積最大的小長(zhǎng)方形可知，估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75，故B正確；對(duì)C：前4組頻率之和為，前5組頻率之和為，設(shè)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為，則，，故C正確；對(duì)D：成績(jī)低于60分的頻率為，故估計(jì)成績(jī)低于60分的有人，D錯(cuò)誤.故選：D.9.如圖，正方體，棱長(zhǎng)為是的中點(diǎn)，則二面角的正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉檎襟w，所以，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面，所以是二面角的平面角，，，，，所以二面角的正弦值?故選：B.10.如圖，一艘船向正北方向航行，航行速度為每小時(shí)海里，在處看燈塔在船的北偏東的方向上.1小時(shí)后，船航行到處，在處看燈塔在船的北偏東的方向上，則船航行到處時(shí)與燈塔之間的距離為（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里〖答案〗B〖解析〗，，，，則，即，.故選：B.二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)給3分，全部答對(duì)的給5分.）11.某高中學(xué)校進(jìn)行問卷調(diào)查，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從該校三個(gè)年級(jí)中抽取36人進(jìn)行問卷調(diào)查，其中高一年級(jí)抽取了15人，高二年級(jí)抽取了12人，且高三年級(jí)共有學(xué)生900人，則該高中的學(xué)生總數(shù)為__________人.〖答案〗〖解析〗由題意可知：高三年級(jí)抽取了人，由于高三共有900人，所以抽樣比為，所以高中學(xué)生總數(shù)為.故〖答案〗為：.12.已知向量，則向量在方向上的投影向量的坐標(biāo)為__________.〖答案〗〖解析〗向量，則，所以向量在方向上的投影向量為.故〖答案〗為：.13.在三棱錐中，平面，則三棱錐的外接球的表面積為__________.〖答案〗〖解析〗由題意可知，可將該三棱錐在長(zhǎng)方體中作出，所以三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，為外接球的直徑，所以，所以外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為.故〖答案〗為：.14.甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為.在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則甲在兩輪活動(dòng)中恰好猜對(duì)一個(gè)成語(yǔ)的概率為__________；“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)分別表示甲兩輪猜對(duì)1個(gè)，2個(gè)成語(yǔ)的事件，分別表示乙兩輪猜對(duì)1個(gè)，2個(gè)成語(yǔ)的事件，則有，，設(shè)A=“兩輪活動(dòng)‘星隊(duì)’猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”，則，且與互斥，與，與分別相互獨(dú)立，所以，因此，“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率是．故〖答案〗為：.15.如圖，在中，是線段上的點(diǎn)，且，是線段的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，則__________；若為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，則__________.〖答案〗〖解析〗由于，則，又是線段的中點(diǎn)，故，結(jié)合得，故；設(shè)，而，是線段中點(diǎn)，故，又三點(diǎn)共線，故，則，故，又為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，則.故〖答案〗為：.三、解答題（本大題共5小題，共45分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.設(shè)復(fù)數(shù)，m為實(shí)數(shù)．（1）當(dāng)m為何值時(shí)，z是純虛數(shù);（2）若，求的值;（3）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（1）若z是純虛數(shù)，則，解得，所以當(dāng)時(shí)，z是純虛數(shù).（2）若，則，所以.（3）因?yàn)閺?fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則，解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.17.已知向量，滿足.（1）若，求向量的坐標(biāo)；（2）若，求向量與向量夾角的余弦值.解：（1）設(shè)，