2024屆湖南省婁底市高三上學期期末質量檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2湖南省婁底市2024屆高三上學期期末質量檢測數(shù)學試題一、選擇題1.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為集合，所以.故選：C.2.已知復數(shù)在復平面上對應的點為為虛數(shù)單位，則點的坐標是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以點坐標是.故選：D.3.一個圓柱形容器的底面半徑為，高為，將該圓柱注滿水，然后將一個半徑為的實心球緩慢放入該容器內，當球沉到容器底部時，留在圓柱形容器內的水的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意可知留在容器內水的體積為等于圓柱體積減去實心球的體積，即.故選：B.4.恩格爾系數(shù)是由德國統(tǒng)計學家恩斯特?恩格爾提出的，計算公式是“恩格爾系數(shù)”.恩格爾系數(shù)是國際上通用的衡量居民生活水平高低的一項重要指標，一般隨居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格爾系數(shù)達60%以上為貧困，為溫飽，為小康，為富裕，低于為最富裕.如圖是近十年我國農(nóng)村與城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)折線圖，由圖可知下列結論正確的是（）A.城鎮(zhèn)居民從2013年開始進入“最富?！彼紹.農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)低于C.城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的第45百分位數(shù)高于D.全國居民恩格爾系數(shù)等于農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)〖答案〗C〖解析〗對于A：從折線統(tǒng)計圖可知2015年開始城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)均低于，即從2015年開始進入“最富?！彼?，故A錯誤；對于B：農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)只有2017?2018?2019這三年在30%到32%之間，其余年份均大于，且2012?2013這兩年大于（等于），故農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)高于，故B錯誤；對于C：城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)從小到大排列（所對應的年份）前5位分別為2019?2018?2017?2021?2020，因為，所以第45百分位數(shù)為第5位，即2020年的恩格爾系數(shù)，由圖可知2020年的恩格爾系數(shù)高于，故C正確；對于D：由于無法確定農(nóng)村居民與城鎮(zhèn)居民的比例，故不能用農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)作為全國居民恩格爾系數(shù)，故D錯誤.故選：C.5.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的〖解析〗式可能是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于選項A，由，得，不符合函數(shù)圖象，所以選項A錯誤，對于選項B，因為，且的定義域為，關于原點對稱，所以是奇函數(shù)，不符合函數(shù)圖象，所以選項B錯誤，對于選項C，因為的定義域為，不符合函數(shù)圖象，所以選項C錯誤，對于選項D，〖解析〗式符合圖象特征.故選：D.6.已知平面非零向量的夾角為，且滿足，則的最小值為（）A. B.12 C. D.24〖答案〗D〖解析〗由已知非零向量的夾角為，所以，由，兩邊平方得當且僅當時等號成立，所以，所以的最小值為24.故選：D.7.已知拋物線的焦點為，拋物線的準線與軸交于點，過點的直線與拋物線相切于點，連接，在中，設，則的值為（）A. B.1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗由已知，設點在準線上的射影為，則，因為直線與拋物線相切.設的方程為，與聯(lián)立得，由，解得，當時，.在三角形中由正弦定理可知：.故選：A.8.已知函數(shù)的定義域為，對任意，有，則“”是“"的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件〖答案〗A〖解析〗設，該函數(shù)的定義域為，則，所以在上單調遞增.由可得，即，又在上單調遞增，所以，解得，顯然集合是集合的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A二、多選題9.已知傾斜角為的直線過點，動點在直線上，為坐標原點，動點滿足，則下列結論正確的是（）A.直線的方程為B.動點的軌跡方程為C.的最大值為D.的最小值為〖答案〗BD〖解析〗由傾斜角為得出斜率為1，,直線過點，得直線的方程為，故選項錯誤；設，可得動點的軌跡為圓，故選項B正確；因為圓心到直線的距離，所以由可知線段最小值為，線段無最大值，所以選項錯誤?正確.故選:.10.已知函數(shù)的最小正周期為，方程在的解為，則下列結論正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關于點對稱C.函數(shù)在上單調遞減D.〖答案〗ABD〖解析〗由函數(shù)的最小正周期為，得，所以，故選項A正確；因為，得，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，故選項B正確；由，得，所以函數(shù)在上先減后增，故選項C錯誤；當時，，依題意有，結合圖象可知，，即，所以，故選項D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，下列結論正確的是（）A.函數(shù)的圖象關于點中心對稱B.函數(shù)存在極大值點和極小值點C.若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是D.對任意，不等式恒成立〖答案〗ABD〖解析〗因為；當時，，所以為奇函數(shù)，則關于點對稱，故選項正確；當時，.令，解得；令，解得，在上單調遞增，在上單調遞減.又由為奇函數(shù)，，，，可得的大致圖象如下所示，故選項B正確；因為函數(shù)有三個不同的零點，所以函數(shù)與的圖象有三個不同的交點.由圖象可得：實數(shù)的取值范圍是，故選項C錯誤；因為所以結合函數(shù)的圖象可得：當時，，.所以對任意，，故選項D正確.故選ABD.12.如圖，已知正方體的棱長為為底面的中心，交平面于點，點為棱的中點，則（）A.三點共線B.點到平面的距離為C.用過點的平面截該正方體所得的較小部分的體積為D.用過點且平行于平面的平面截該正方體，則截得的兩個多面體的能容納的最大球的半徑均為〖答案〗ACD〖解析〗由已知平面平面平面，又平面平面平面，所以三點都在平面與平面的交線上，即三點共線，故A正確；因平面平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，因為，平面，所以平面，則的長度就是點到平面的距離，顯然為正三角形的中心，因為正方體的棱長為4，所以正三角形的邊長為，所以，又，所以，即點到平面的距離為，故B錯誤；取的中點，連接，因為，所以等腰梯形就是過點的平面截該正方體所得的截面，如圖：所以過點的平面截該正方體所得的較小部分為三棱臺，其體積為，故C正確；過點且平行平面的平面截該正方體，所截得的兩個多面體全等，如下圖所示，該七面體能容納的最大球亦為正三棱錐的內切球（如下圖所示），，設為的中心，則，高，設正三棱錐的內切球的半徑為，則，①在中，，得，，代入①，得，故D正確.故選：ACD.三、填空題13.已知隨機變量，則__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以.故〖答案〗為：.14.已知數(shù)列滿足則的值為__________.〖答案〗32〖解析〗因為，所以，兩式相除得，故數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，由，所以.故〖答案〗為：32.15.已知直線與曲線相切于點，且與曲線相切于點，則__________.〖答案〗3〖解析〗由已知直線與曲線相切于點，因為，所以直線方程為，即，又直線與曲線相切于點，因為，所以直線的方程為，即，所以，所以，即，所以.故〖答案〗為：16.已知雙曲線，直線和相互平行，直線與雙曲線交于兩點，直線與雙曲線交于兩點，直線和交于點（異于坐標原點）.若直線的斜率為3，直線是坐標原點的斜率，則雙曲線的離心率的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗由題意，，故，設的中點的中點，則，兩式相減，得，化簡得，所以，所以①，同理②，因為，所以三點共線，所以，將①②代入得，即，因為，所以，所以，所以雙曲線的離心率為.所以雙曲線的離心率的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題17.設等差數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，若，求證：.（1）解：設的公差為，依題意可得即解得所以（2）證明：由（1）可得，所以..18.某無人飛機研發(fā)中心最近研發(fā)了一款新能源無人飛機，在投放市場前對100架新能源無人飛機進行了單次最大續(xù)航里程的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）估計這100架新能源無人飛機的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）經(jīng)計算第（1）問中樣本標準差的近似值為50，根據(jù)大量的測試數(shù)據(jù)，可以認為這款新能源無人飛機的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布（用樣本平均數(shù)和標準差分別作為和的近似值），現(xiàn)任取一架新能源無人飛機，求它的單次最大續(xù)航里程的概率；（參考數(shù)據(jù)：若隨機變量，則）（3）該無人飛機研發(fā)中心依據(jù)新能源無人飛機的載重量和續(xù)航能力分為卓越A型?卓越型和卓越型，統(tǒng)計分析可知卓越A型?卓越型和卓越型的分布比例為，研發(fā)中心在投放市場前決定分別按卓越A型?卓越型和卓越型的分布比例分層隨機共抽取6架，然后再從這6架中隨機抽取3架進行綜合性能測試，記隨機變量是綜合性能測試的3架中卓越A型的架數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.解：（1）估計這100架新能源無人飛機的單次最大續(xù)航里程的平均值為：.（2），.（3）由題設可知抽取的6架新能源無人飛機中，卓越A型?卓越型和卓越型的架數(shù)分別為3架?2架和1架，隨機變量的可能取值為.，，隨機變量的分布列如下表：0123.19.如圖所示，在平面四邊形中，角為鈍角，且.（1）求鈍角的大小；（2）若，求的大小.解：（1）因為，所以，所以，又，所以，即，解得或者，又為鈍角，所以.（2）設，四邊形內角和為，由（1）的結論知：，在中，由正弦定理得：，即，在中，，即，又，則，即，即，，即，，即，即大小為.20.在四棱錐中，底面是長方形，側棱底面，且是側棱的中點，是側棱上（異于端點）的點，且，連接.（1）求證：平面；（2）若，銳二面角的余弦值為，求四棱錐的體積.（1）證明：因為底面底面，所以，由底面為長方形，有，而平面，所以平面，而平面，所以，又因為，點是的中點，所以，而平面，所以平面，而平面，所以.又平面，所以平面.（2）解：由已知兩兩垂直，以為坐標原點，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標系.因為，則，點是的中點，所以，由（1）平面，又.所以取平面的法向量為.設平面的法向量為，又，所以即令，得.所以.，求得或.當時，，所以.當時，，所以.21.已知函數(shù).（1）當時，討論函數(shù)的單調性；（2）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由得函數(shù)，所以，令得，令得或，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）由，得，又，所以，即對任意,恒成立，令，則，令，則，所以當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，又，所以當時，在內存在唯一的零點，所以當時，單調遞增，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以，，因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.22.已知橢圓的右焦點為，離心率，橢圓上一動點到的距離的最小值為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設斜率為的直線過點，交橢圓于兩點，記線段的中點為，直線交直線于點，直線交橢圓于兩點，求的大小，并求四邊形面積的最小值.解：（1）設橢圓的半焦距為，由已知，求得，所以.所以橢圓的方程為.（2）由已知橢圓的右焦點為，設，直線的方程為，聯(lián)立，可得.則.于是有.因為的中點為，所以，因此直線的斜率，因為直線交直線于點，所以，故直線的斜率為，即得，因此直線與直線垂直，所以，所以.因為，所以直線的方程為，同理可得，所以四邊形的面積.因為，當且僅當，即時等號成立，所以，故四邊形面積的最小值為3.湖南省婁底市2024屆高三上學期期末質量檢測數(shù)學試題一、選擇題1.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為集合，所以.故選：C.2.已知復數(shù)在復平面上對應的點為為虛數(shù)單位，則點的坐標是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以點坐標是.故選：D.3.一個圓柱形容器的底面半徑為，高為，將該圓柱注滿水，然后將一個半徑為的實心球緩慢放入該容器內，當球沉到容器底部時，留在圓柱形容器內的水的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意可知留在容器內水的體積為等于圓柱體積減去實心球的體積，即.故選：B.4.恩格爾系數(shù)是由德國統(tǒng)計學家恩斯特?恩格爾提出的，計算公式是“恩格爾系數(shù)”.恩格爾系數(shù)是國際上通用的衡量居民生活水平高低的一項重要指標，一般隨居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格爾系數(shù)達60%以上為貧困，為溫飽，為小康，為富裕，低于為最富裕.如圖是近十年我國農(nóng)村與城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)折線圖，由圖可知下列結論正確的是（）A.城鎮(zhèn)居民從2013年開始進入“最富?！彼紹.農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)低于C.城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的第45百分位數(shù)高于D.全國居民恩格爾系數(shù)等于農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)〖答案〗C〖解析〗對于A：從折線統(tǒng)計圖可知2015年開始城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)均低于，即從2015年開始進入“最富?！彼剑蔄錯誤；對于B：農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)只有2017?2018?2019這三年在30%到32%之間，其余年份均大于，且2012?2013這兩年大于（等于），故農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)高于，故B錯誤；對于C：城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)從小到大排列（所對應的年份）前5位分別為2019?2018?2017?2021?2020，因為，所以第45百分位數(shù)為第5位，即2020年的恩格爾系數(shù)，由圖可知2020年的恩格爾系數(shù)高于，故C正確；對于D：由于無法確定農(nóng)村居民與城鎮(zhèn)居民的比例，故不能用農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)作為全國居民恩格爾系數(shù)，故D錯誤.故選：C.5.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的〖解析〗式可能是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于選項A，由，得，不符合函數(shù)圖象，所以選項A錯誤，對于選項B，因為，且的定義域為，關于原點對稱，所以是奇函數(shù)，不符合函數(shù)圖象，所以選項B錯誤，對于選項C，因為的定義域為，不符合函數(shù)圖象，所以選項C錯誤，對于選項D，〖解析〗式符合圖象特征.故選：D.6.已知平面非零向量的夾角為，且滿足，則的最小值為（）A. B.12 C. D.24〖答案〗D〖解析〗由已知非零向量的夾角為，所以，由，兩邊平方得當且僅當時等號成立，所以，所以的最小值為24.故選：D.7.已知拋物線的焦點為，拋物線的準線與軸交于點，過點的直線與拋物線相切于點，連接，在中，設，則的值為（）A. B.1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗由已知，設點在準線上的射影為，則，因為直線與拋物線相切.設的方程為，與聯(lián)立得，由，解得，當時，.在三角形中由正弦定理可知：.故選：A.8.已知函數(shù)的定義域為，對任意，有，則“”是“"的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件〖答案〗A〖解析〗設，該函數(shù)的定義域為，則，所以在上單調遞增.由可得，即，又在上單調遞增，所以，解得，顯然集合是集合的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A二、多選題9.已知傾斜角為的直線過點，動點在直線上，為坐標原點，動點滿足，則下列結論正確的是（）A.直線的方程為B.動點的軌跡方程為C.的最大值為D.的最小值為〖答案〗BD〖解析〗由傾斜角為得出斜率為1，,直線過點，得直線的方程為，故選項錯誤；設，可得動點的軌跡為圓，故選項B正確；因為圓心到直線的距離，所以由可知線段最小值為，線段無最大值，所以選項錯誤?正確.故選:.10.已知函數(shù)的最小正周期為，方程在的解為，則下列結論正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關于點對稱C.函數(shù)在上單調遞減D.〖答案〗ABD〖解析〗由函數(shù)的最小正周期為，得，所以，故選項A正確；因為，得，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，故選項B正確；由，得，所以函數(shù)在上先減后增，故選項C錯誤；當時，，依題意有，結合圖象可知，，即，所以，故選項D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，下列結論正確的是（）A.函數(shù)的圖象關于點中心對稱B.函數(shù)存在極大值點和極小值點C.若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是D.對任意，不等式恒成立〖答案〗ABD〖解析〗因為；當時，，所以為奇函數(shù)，則關于點對稱，故選項正確；當時，.令，解得；令，解得，在上單調遞增，在上單調遞減.又由為奇函數(shù)，，，，可得的大致圖象如下所示，故選項B正確；因為函數(shù)有三個不同的零點，所以函數(shù)與的圖象有三個不同的交點.由圖象可得：實數(shù)的取值范圍是，故選項C錯誤；因為所以結合函數(shù)的圖象可得：當時，，.所以對任意，，故選項D正確.故選ABD.12.如圖，已知正方體的棱長為為底面的中心，交平面于點，點為棱的中點，則（）A.三點共線B.點到平面的距離為C.用過點的平面截該正方體所得的較小部分的體積為D.用過點且平行于平面的平面截該正方體，則截得的兩個多面體的能容納的最大球的半徑均為〖答案〗ACD〖解析〗由已知平面平面平面，又平面平面平面，所以三點都在平面與平面的交線上，即三點共線，故A正確；因平面平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，因為，平面，所以平面，則的長度就是點到平面的距離，顯然為正三角形的中心，因為正方體的棱長為4，所以正三角形的邊長為，所以，又，所以，即點到平面的距離為，故B錯誤；取的中點，連接，因為，所以等腰梯形就是過點的平面截該正方體所得的截面，如圖：所以過點的平面截該正方體所得的較小部分為三棱臺，其體積為，故C正確；過點且平行平面的平面截該正方體，所截得的兩個多面體全等，如下圖所示，該七面體能容納的最大球亦為正三棱錐的內切球（如下圖所示），，設為的中心，則，高，設正三棱錐的內切球的半徑為，則，①在中，，得，，代入①，得，故D正確.故選：ACD.三、填空題13.已知隨機變量，則__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以.故〖答案〗為：.14.已知數(shù)列滿足則的值為__________.〖答案〗32〖解析〗因為，所以，兩式相除得，故數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，由，所以.故〖答案〗為：32.15.已知直線與曲線相切于點，且與曲線相切于點，則__________.〖答案〗3〖解析〗由已知直線與曲線相切于點，因為，所以直線方程為，即，又直線與曲線相切于點，因為，所以直線的方程為，即，所以，所以，即，所以.故〖答案〗為：16.已知雙曲線，直線和相互平行，直線與雙曲線交于兩點，直線與雙曲線交于兩點，直線和交于點（異于坐標原點）.若直線的斜率為3，直線是坐標原點的斜率，則雙曲線的離心率的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗由題意，，故，設的中點的中點，則，兩式相減，得，化簡得，所以，所以①，同理②，因為，所以三點共線，所以，將①②代入得，即，因為，所以，所以，所以雙曲線的離心率為.所以雙曲線的離心率的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題17.設等差數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，若，求證：.（1）解：設的公差為，依題意可得即解得所以（2）證明：由（1）可得，所以..18.某無人飛機研發(fā)中心最近研發(fā)了一款新能源無人飛機，在投放市場前對100架新能源無人飛機進行了單次最大續(xù)航里程的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）估計這100架新能源無人飛機的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）經(jīng)計算第（1）問中樣本標準差的近似值為50，根據(jù)大量的測試數(shù)據(jù)，可以認為這款新能源無人飛機的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布（用樣本平均數(shù)和標準差分別作為和的近似值），現(xiàn)任取一架新能源無人飛機，求它的單次最大續(xù)航里程的概率；（參考數(shù)據(jù)：若隨機變量，則）（3）該無人飛機研發(fā)中心依據(jù)新能源無人飛機的載重量和續(xù)航能力分為卓越A型?卓越型和卓越型，統(tǒng)計分析可知卓越A型?卓越型和卓越型的分布比例為，研發(fā)中心在投放市場前決定分別按卓越A型?卓越型和卓越型的分布比例分層隨機共抽取6架，然后再從這6架中隨機抽取3架進行綜合性能測試，記隨機變量是綜合性能測試的3架中卓越A型的架數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.解：（1）估計這100架新能源無人飛機的單次最大續(xù)航里程的平均值為：.（2），.（3）由題設可知抽取的6架新能源無人飛機中，卓越A型?卓越型和卓越型的架數(shù)分別為3架?2架和1架，隨機變量的可能取值為.，，隨機變量