2024屆江蘇省揚(yáng)州市高三第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2江蘇省揚(yáng)州市2024屆高三第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知單位向量的夾角為，則（）A B.0 C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗因為單位向量的夾角為，所以，故選：A.2.在正方體中，下列關(guān)系正確是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：D.3.一組樣本數(shù)據(jù)刪除一個數(shù)后，得到一組新數(shù)據(jù)：10，21，25，35，36，40.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，則刪除的數(shù)為（）A.25 B.30 C.35 D.40〖答案〗B〖解析〗依題意，新數(shù)據(jù)組有6個數(shù)，其中位數(shù)是，顯然原數(shù)據(jù)組有7個數(shù)，因此刪除的數(shù)是中位數(shù)30.故選：B.4.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為由于，則．故選：B5.設(shè)，，，則的最小值為（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗因為，所以，因為，，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等.故選：C.6.若函數(shù)有大于零的極值點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)，可得，若，此時單調(diào)遞增，無極值點，故，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故是的極值點由于函數(shù)有大于零的極值點，，解得．故選：C．7.設(shè)拋物線的焦點為F，C的準(zhǔn)線與x軸交于點A，過A的直線與C在第一象限的交點為M，N，且，則直線MN的斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意可得拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，則有，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，可得，則，得，故，設(shè)，，到準(zhǔn)線距離為，到準(zhǔn)線距離為，又，有，即，得，，又，解得，，又，解得.故選：A.8.若，，成等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，，成等比數(shù)列，得，即，，所以故選：B.二、選擇題9.已知雙曲線的右焦點為F，直線是C的一條漸近線，P是l上一點，則（）A.C的虛軸長為 B.C的離心率為C.的最小值為2 D.直線PF的斜率不等于〖答案〗AD〖解析〗雙曲線的漸近線方程為，依題意，，解得，對于A，的虛軸長，A正確；對于B，的離心率，B錯誤；對于C，點到直線的距離，即的最小值為，C錯誤；對于D，直線的斜率為，而點不在上，點在上，則直線PF的斜率不等于，D正確.故選：AD.10.已知，.若隨機(jī)事件A，B相互獨立，則（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對B，，B正確；對A，，，A錯誤；對C，，，C正確；對D，，D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，的定義域均為R，的圖象關(guān)于點(2，0)對稱，，，則（）A.為偶函數(shù) B.為偶函數(shù) C. D.〖答案〗ACD〖解析〗令，則，注意到不恒為，故，故A正確；因為的圖象關(guān)于點(2，0)對稱，所以，令，得，故，故B錯誤；令，得，令，得，故，從而，故,令，得，化簡得，故C正確；令，得，而，故D正確.故選：ACD三、填空題12.設(shè)，i為虛數(shù)單位.若集合，，且，則m＝________.〖答案〗1〖解析〗集合，，且，則有或，解得.故〖答案〗為：113.在中，，，M為BC的中點，，則________.〖答案〗〖解析〗在中，取的中點，連接，由為的中點，得，在中，由余弦定理得，則，即，而，所以.故〖答案〗為：14.若正四棱錐的棱長均為2，則以所有棱的中點為頂點的十面體的體積為________，該十面體的外接球的表面積為________.〖答案〗〖解析〗正四棱錐的所有棱長為2，點是所在棱的中點，如圖，顯然，即有，則正四棱錐的高為，于是，到平面的距離，所以所求十面體的體積為；令，以直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，則，，設(shè)外接球球心，半徑，則，因此，解得，所以十面體的外接球的表面積為.故〖答案〗為：；四、解答題15.甲公司推出一種新產(chǎn)品，為了解某地區(qū)消費者對新產(chǎn)品的滿意度，從中隨機(jī)調(diào)查了1000名消費者，得到下表：滿意不滿意男44060女46040（1）能否有的把握認(rèn)為消費者對新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān)；（2）若用頻率估計概率，從該地區(qū)消費者中隨機(jī)選取3人，用X表示不滿意的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：，.0.10.050.01k2.7063.8416.635解：（1）補(bǔ)全列聯(lián)表如圖所示：滿意不滿意總計男44060500女46040500總計9001001000，故有的把握認(rèn)為消費者對新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān)．（2）由題知，從該地區(qū)的消費者中隨機(jī)抽取1人，不滿意的概率為，的所有可能取值為0，1，2，3，且．，所以的分布列為：0123所以．16.設(shè)函數(shù).已知的圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為，且.（1）若在區(qū)間上有最大值無最小值，求實數(shù)m的取值范圍；（2）設(shè)l為曲線在處的切線，證明：l與曲線有唯一的公共點.（1）解：由題意可得周期，故，，由于，故，故，當(dāng)時，，由于在區(qū)間上有最大值無最小值，故，解得，故（2）證明：，，，故直線方程為，令，則，故在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，又，因此有唯一的的零點，故l與曲線有唯一的交點，得證.17.如圖，邊長為4的兩個正三角形，所在平面互相垂直，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，點G在棱AD上，，直線AB與平面相交于點H.（1）從下面兩個結(jié)論中選一個證明：①；②直線HE，GF，AC相交于一點；注：若兩個問題均作答，則按第一個計分.（2）求直線BD與平面的距離.解：（1）選擇條件①，由,分別為,的中點，得，又平面平面，則平面，又平面，平面平面，所以.選擇條件②，在中，為中點，則與不平行，設(shè)，則，又平面平面，于是平面平面，又平面平面，因此，所以,,相交于一點.（2）若第（1）問中選①，由（1）知，平面，則點到平面的距離即為與平面的距離，若第（1）問中選②，由,分別為,的中點，則，又平面平面，于是平面，因此點到平面的距離即為與平面的距離，連接,，由均為正三角形，為的中點，得，又平面平面，平面平面平面，于是平面，又平面，則，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，,，設(shè)平面的一個法向量為,則，令，得，設(shè)點到平面的距離為，則，所以與平面的距離為.18.已知數(shù)列的前n項和為，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和；（3）是否存在正整數(shù)p，q（），使得，，成等差數(shù)列？若存在，求p，q；若不存在，說明理由.（1）證明：，，當(dāng)時，，兩式相減得，即，則有，當(dāng)時，，則，即，所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）得，，則，數(shù)列是等差數(shù)列，于是，解得，則，所以的前項和.（3）解：由（1）知，，由成等差數(shù)列，得，整理得，由，得，又，，不等式成立，因此，即，令，則,從而，顯然，即，所以存在，使得成等差數(shù)列.19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓Γ：的離心率為，直線l與Γ相切，與圓O：相交于A，B兩點.當(dāng)l垂直于x軸時，.（1）求Γ的方程；（2）對于給定的點集M，N，若M中的每個點在N中都存在距離最小的點，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為.（?。┤鬗，N分別為線段AB與圓O上任意一點，P為圓O上一點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求；（ⅱ）若，均存在，記兩者中較大者為.已知，，均存在，證明：.（1）解：因為當(dāng)垂直于軸時，，而直線與Γ相切，則，解得，又橢圓的離心率為，則橢圓的半焦距，，所以的方程為.（2）（i）解：當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)的方程為：，由消去得：，由直線與橢圓相切，得，整理得，于是圓心到直線的距離，則的面積為，設(shè)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當(dāng)時，取得最大值，此時，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，由（1）知，，由，得，則.對于線段上任意點，連接并延長與圓交于點，則是圓上與最近的點，當(dāng)為線段的中點時，取得最大值，所以.（ii）證明：因為均存在，設(shè)點，且，設(shè)是集合中到的最近點，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)，令點到集合的最近點為，點到集合的最近點為，因為是集合中所有點到集合最近點距離的最大值，則，因為是集合中所有點到集合最近點距離的最大值，則，因此，而在坐標(biāo)平面中，，又點是集合中到點的最近點，則，所以.

江蘇省揚(yáng)州市2024屆高三第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知單位向量的夾角為，則（）A B.0 C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗因為單位向量的夾角為，所以，故選：A.2.在正方體中，下列關(guān)系正確是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：D.3.一組樣本數(shù)據(jù)刪除一個數(shù)后，得到一組新數(shù)據(jù)：10，21，25，35，36，40.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，則刪除的數(shù)為（）A.25 B.30 C.35 D.40〖答案〗B〖解析〗依題意，新數(shù)據(jù)組有6個數(shù)，其中位數(shù)是，顯然原數(shù)據(jù)組有7個數(shù)，因此刪除的數(shù)是中位數(shù)30.故選：B.4.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為由于，則．故選：B5.設(shè)，，，則的最小值為（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗因為，所以，因為，，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等.故選：C.6.若函數(shù)有大于零的極值點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)，可得，若，此時單調(diào)遞增，無極值點，故，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故是的極值點由于函數(shù)有大于零的極值點，，解得．故選：C．7.設(shè)拋物線的焦點為F，C的準(zhǔn)線與x軸交于點A，過A的直線與C在第一象限的交點為M，N，且，則直線MN的斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意可得拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，則有，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，可得，則，得，故，設(shè)，，到準(zhǔn)線距離為，到準(zhǔn)線距離為，又，有，即，得，，又，解得，，又，解得.故選：A.8.若，，成等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，，成等比數(shù)列，得，即，，所以故選：B.二、選擇題9.已知雙曲線的右焦點為F，直線是C的一條漸近線，P是l上一點，則（）A.C的虛軸長為 B.C的離心率為C.的最小值為2 D.直線PF的斜率不等于〖答案〗AD〖解析〗雙曲線的漸近線方程為，依題意，，解得，對于A，的虛軸長，A正確；對于B，的離心率，B錯誤；對于C，點到直線的距離，即的最小值為，C錯誤；對于D，直線的斜率為，而點不在上，點在上，則直線PF的斜率不等于，D正確.故選：AD.10.已知，.若隨機(jī)事件A，B相互獨立，則（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對B，，B正確；對A，，，A錯誤；對C，，，C正確；對D，，D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，的定義域均為R，的圖象關(guān)于點(2，0)對稱，，，則（）A.為偶函數(shù) B.為偶函數(shù) C. D.〖答案〗ACD〖解析〗令，則，注意到不恒為，故，故A正確；因為的圖象關(guān)于點(2，0)對稱，所以，令，得，故，故B錯誤；令，得，令，得，故，從而，故,令，得，化簡得，故C正確；令，得，而，故D正確.故選：ACD三、填空題12.設(shè)，i為虛數(shù)單位.若集合，，且，則m＝________.〖答案〗1〖解析〗集合，，且，則有或，解得.故〖答案〗為：113.在中，，，M為BC的中點，，則________.〖答案〗〖解析〗在中，取的中點，連接，由為的中點，得，在中，由余弦定理得，則，即，而，所以.故〖答案〗為：14.若正四棱錐的棱長均為2，則以所有棱的中點為頂點的十面體的體積為________，該十面體的外接球的表面積為________.〖答案〗〖解析〗正四棱錐的所有棱長為2，點是所在棱的中點，如圖，顯然，即有，則正四棱錐的高為，于是，到平面的距離，所以所求十面體的體積為；令，以直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，則，，設(shè)外接球球心，半徑，則，因此，解得，所以十面體的外接球的表面積為.故〖答案〗為：；四、解答題15.甲公司推出一種新產(chǎn)品，為了解某地區(qū)消費者對新產(chǎn)品的滿意度，從中隨機(jī)調(diào)查了1000名消費者，得到下表：滿意不滿意男44060女46040（1）能否有的把握認(rèn)為消費者對新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān)；（2）若用頻率估計概率，從該地區(qū)消費者中隨機(jī)選取3人，用X表示不滿意的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：，.0.10.050.01k2.7063.8416.635解：（1）補(bǔ)全列聯(lián)表如圖所示：滿意不滿意總計男44060500女46040500總計9001001000，故有的把握認(rèn)為消費者對新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān)．（2）由題知，從該地區(qū)的消費者中隨機(jī)抽取1人，不滿意的概率為，的所有可能取值為0，1，2，3，且．，所以的分布列為：0123所以．16.設(shè)函數(shù).已知的圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為，且.（1）若在區(qū)間上有最大值無最小值，求實數(shù)m的取值范圍；（2）設(shè)l為曲線在處的切線，證明：l與曲線有唯一的公共點.（1）解：由題意可得周期，故，，由于，故，故，當(dāng)時，，由于在區(qū)間上有最大值無最小值，故，解得，故（2）證明：，，，故直線方程為，令，則，故在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，又，因此有唯一的的零點，故l與曲線有唯一的交點，得證.17.如圖，邊長為4的兩個正三角形，所在平面互相垂直，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，點G在棱AD上，，直線AB與平面相交于點H.（1）從下面兩個結(jié)論中選一個證明：①；②直線HE，GF，AC相交于一點；注：若兩個問題均作答，則按第一個計分.（2）求直線BD與平面的距離.解：（1）選擇條件①，由,分別為,的中點，得，又平面平面，則平面，又平面，平面平面，所以.選擇條件②，在中，為中點，則與不平行，設(shè)，則，又平面平面，于是平面平面，又平面平面，因此，所以,,相交于一點.（2）若第（1）問中選①，由（1）知，平面，則點到平面的距離即為與平面的距離，若第（1）問中選②，由,分別為,的中點，則，又平面平面，于是平面，因此點到平面的距離即為與平面的距離，連接,，由均為正三角形，為的中點，得，又平面平面，平面平面平面，于是平面，又平面，則，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，,，設(shè)平面的一個法向量為,則，令，得，設(shè)點到平面的距離為，則，所以與平面的距離為.18.已知數(shù)列的前n項和為，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和；（3）是否存在正整數(shù)p，q（），使得，，成等差數(shù)列？若存在，求p，q；若不存在，說明理由.（1）證明：，，當(dāng)時，，兩式相減得，即，則有，當(dāng)時，，則，