二次函數(shù)綜合題中考真題（解析版）

二次函數(shù)綜合題中考真題1．為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總長為80m的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設(shè)BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；（2）x為何值時(shí)，y有最大值？最大值是多少？【答案】（1）（0＜x＜40）；（2）當(dāng)x=20時(shí)，y有最大值，最大值是300平方米．【詳解】試題分析：（1）根據(jù)三個(gè)矩形面積相等，得到矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍，可得出AE=2BE，設(shè)BE=a，則有AE=2a，表示出a與2a，進(jìn)而表示出y與x的關(guān)系式，并求出x的范圍即可；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值，以及此時(shí)x的值即可．試題解析：（1）∵三塊矩形區(qū)域的面積相等，∴矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍，∴AE=2BE，設(shè)BE=a，則AE=2a，∴8a+2x=80，∴a=-x+10，3a=-x+30，∴y=（-x+30）x=-x2+30x，∵a=-x+10＞0，∴x＜40，則y=-x2+30x（0＜x＜40）；（2）∵y=-x2+30x=-（x-20）2+300（0＜x＜40），且二次項(xiàng)系數(shù)為-＜0，∴當(dāng)x=20時(shí)，y有最大值，最大值為300平方米．考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用．2．某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規(guī)定每千克售價(jià)不低于成本，且不高于80元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，每天的銷售量y(千克)與每千克售價(jià)x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：售價(jià)x/(元/千克)506070銷售量y/千克1008060（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)商品每天的總利潤為W(元)，求W與x之間的函數(shù)表達(dá)式(利潤＝收入－成本)；（3）試說明（2）中總利潤W隨售價(jià)x的變化而變化的情況，并指出售價(jià)為多少時(shí)獲得最大利潤，最大利潤是多少？【答案】（1）y＝－2x＋200（2）W＝－2x2＋280x－8000；（3）當(dāng)時(shí)，W隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，W隨x的增大而減小，售價(jià)為70元時(shí)，獲得最大利潤，這時(shí)最大利潤為1800元．【分析】（1）用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）利用利潤的定義，求W與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求極值．【詳解】解：（1）設(shè)，由題意，得，解得，∴所求函數(shù)表達(dá)式為．（2）．（3），其中，∵，∴當(dāng)時(shí)，W隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，W隨x的增大而減小，當(dāng)售價(jià)為70元時(shí)，獲得最大利潤，這時(shí)最大利潤為1800元．3．小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，第一期培植盆景與花卉各50盆售后統(tǒng)計(jì)，盆景的平均每盆利潤是160元，花卉的平均每盆利潤是19元，調(diào)研發(fā)現(xiàn)：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利潤減少2元；每減少1盆，盆景的平均每盆利潤增加2元；②花卉的平均每盆利潤始終不變．小明計(jì)劃第二期培植盆景與花卉共100盆，設(shè)培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景與花卉售完后的利潤分別為W1，W2（單位：元）（1）用含x的代數(shù)式分別表示W(wǎng)1，W2；（2）當(dāng)x取何值時(shí)，第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤W最大，最大總利潤是多少？【答案】（1）W1=-2x2+60x+8000，W2=-19x+950；（2）當(dāng)x=10時(shí)，W總最大為9160元．【分析】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，則第二期培植盆景（50+x）盆，花卉（50-x）盆，根據(jù)盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利潤減少2元；每減少1盆，盆景的平均每盆利潤增加2元，②花卉的平均每盆利潤始終不變，即可得到利潤W1，W2與x的關(guān)系式；（2）由W總=W1+W2可得關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得．【詳解】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，則第二期培植盆景（50+x）盆，花卉[100-(50+x)]=（50-x）盆，由題意得W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8000，W2=19(50-x)=-19x+950；（2）W總=W1+W2=-2x2+60x+8000+（-19x+950）=-2x2+41x+8950，∵-2＜0，=10.25，故當(dāng)x=10時(shí)，W總最大，W總最大=-2×102+41×10+8950=9160．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，弄清題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．4．一次函數(shù)y=kx+4與二次函數(shù)y=ax2+c的圖像的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2），另一個(gè)交點(diǎn)是該二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)（1）求k，a，c的值；（2）過點(diǎn)A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y=ax2+c的圖像相交于B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記W=OA2+BC2，求W關(guān)于m的函數(shù)解析式，并求W的最小值.【答案】（1）k=-2，a=-2，c=4；（2）,W取得最小值7.【分析】（1）把（1,2）分別代入y=kx+4和y=ax2+c，得k+4=-2和a+c=2，然后求出二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,4），可得c=4，然后計(jì)算得到a的值；（2）由A（0，m）（0＜m＜4）可得OA=m，令y=-2x2+4=m，求出B，C坐標(biāo)，進(jìn)而表示出BC長度，將OA，BC代入W=OA2+BC2中得到W關(guān)于m的函數(shù)解析式，求出最小值即可.【詳解】解：（1）由題意得，k+4=2，解得k=-2，∴一次函數(shù)解析式為：y=-2x+4又二次函數(shù)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,4）∴c=4把（1,2）帶入二次函數(shù)表達(dá)式得a+c=2，解得a=-2（2）由（1）得二次函數(shù)解析式為y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0∴，設(shè)B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，m）（x2，m），則，∴W=OA2+BC2=∴當(dāng)m=1時(shí)，W取得最小值7【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，將二次函數(shù)圖像與直線的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為求一元二次方程的解，得到B，C坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.5．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)．拋物線恰好經(jīng)過三點(diǎn)中的兩點(diǎn)．判斷點(diǎn)是否在直線上．并說明理由；求的值；平移拋物線，使其頂點(diǎn)仍在直線上，求平移后所得拋物線與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值．【答案】（1）點(diǎn)在直線上，理由見詳解；（2）a=-1，b=2；（3）【分析】（1）先將A代入，求出直線解析式，然后將將B代入看式子能否成立即可；（2）先跟拋物線與直線AB都經(jīng)過（0，1）點(diǎn)，且B，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，判斷出拋物線只能經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，然后將A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得出關(guān)于a，b的二元一次方程組；（3）設(shè)平移后所得拋物線的對(duì)應(yīng)表達(dá)式為y=-（x-h）2+k，根據(jù)頂點(diǎn)在直線上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-h2+h+1，在將式子配方即可求出最大值．【詳解】（1）點(diǎn)在直線上，理由如下：將A（1，2）代入得，解得m=1，∴直線解析式為，將B（2，3）代入，式子成立，∴點(diǎn)在直線上；（2）∵拋物線與直線AB都經(jīng)過（0，1）點(diǎn)，且B，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，∴拋物線只能經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，將A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解得：a=-1，b=2；（3）設(shè)平移后所得拋物線的對(duì)應(yīng)表達(dá)式為y=-（x-h）2+k，∵頂點(diǎn)在直線上，∴k=h+1，令x=0，得到平移后拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-h2+h+1，∵-h2+h+1=-（h-）2+，∴當(dāng)h=時(shí)，此拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)取得最大值．【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的平移和求最值，求出兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式是解題關(guān)鍵．6．已知拋物線的對(duì)稱軸為直線．（1）求a的值；（2）若點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）都在此拋物線上，且，．比較y1與y2的大小，并說明理由；（3）設(shè)直線與拋物線交于點(diǎn)A、B，與拋物線交于點(diǎn)C，D，求線段AB與線段CD的長度之比．【答案】（1）；（2），見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸，代值計(jì)算即可（2）根據(jù)二次函數(shù)的增減性分析即可得出結(jié)果（3）先根據(jù)求根公式計(jì)算出，再表示出，=，即可得出結(jié)論【詳解】解：（1）由題意得：（2）拋物線對(duì)稱軸為直線，且當(dāng)時(shí)，y