專題16 【五年中考+一年模擬】幾何壓軸題-備戰(zhàn)2023年浙江杭州中考數(shù)學真題模擬題分類匯編（解析版）

專題16幾何壓軸題1．（2022?杭州）在正方形中，點是邊的中點，點在線段上（不與點重合），點在邊上，且，連接，以為邊在正方形內作正方形．（1）如圖1，若，當點與點重合時，求正方形的面積．（2）如圖2，已知直線分別與邊，交于點，，射線與射線交于點．①求證：；②設，和四邊形的面積分別為，．求證：．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖1，點是邊的中點，若，當點與點重合，，，，在中，，正方形的面積；（2）如圖2，①證明：四邊形是正方形，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，；②證明：四邊形是正方形，，，四邊形是正方形，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，．2．（2021?杭州）如圖，銳角三角形內接于，的平分線交于點，交邊于點，連接．（1）求證：．（2）已知，，求線段的長（用含，的代數(shù)式表示）．（3）已知點在線段上（不與點，點重合），點在線段上（不與點，點重合），，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）證明：平分，，又，；（2）解：由（1）知，，，，，；（3）證明：，，，，，又，，，．3．（2020?杭州）如圖，已知，為的兩條直徑，連接，，于點，點是半徑的中點，連接．（1）設的半徑為1，若，求線段的長．（2）連接，，設與交于點，①求證：．②若，求的度數(shù)．【答案】見解析【詳解】（1）解：，，，，，，是直徑，，，，是等邊三角形，，，，，．（2）①證明：過點作于，交于，連接．，，，，同理，，．，，四邊形是平行四邊形，．解法二：可以作中點，連接，，證明是平行四邊形即可，得對角線互相平分．②，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，．解法二：可以過點作交于點，連接．，，，，，，，，，，，，，，，，4．（2019?杭州）如圖，已知銳角三角形內接于圓，于點，連接．（1）若，①求證：．②當時，求面積的最大值．（2）點在線段上，，連接，設，，是正數(shù)），若，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）①連接、，則，，；②長度為定值，面積的最大值，要求邊上的高最大，當過點時，最大，即：，面積的最大值；（2）如圖2，連接，設：，則，，則，，，，，即：，化簡得：．備注：此題還可采用以下解法：連接，延長交于點，設，則，，則，．5．（2018?杭州）如圖，在正方形中，點在邊上（不與點，重合），連接，作于點，于點，設．（1）求證：．（2）連接，，設，．求證：．（3）設線段與對角線交于點，和四邊形的面積分別為和，求的最大值．【答案】見解析【詳解】（1）四邊形是正方形，，，，，，，，，，，（2）由（1）知，，，，，在中，，在中，，，；（3）方法1、如圖，四邊形是正方形，，，，，，，，，設的邊上的高為，的邊上的高為，，，，，，，時，的最大值為，方法2、如圖1，設正方形的邊長為1，連接交于，過作交于，于，設，，，，，，，，，時，的最大值為．方法3、如圖，連接，是正方形的對角線，，，，，，，，，時，的最大值為．6．（2022?上城區(qū)一模）如圖1，已知矩形對角線和相交于點，點是邊上一點，與相交于點，連結．（1）若點為的中點，求的值．（2）如圖2，若點為中點，求證：．（3）如圖2，若，，且，請用的代數(shù)式表示．【答案】見解析【詳解】（1）解：矩形對角線和相交于點，點是的中點，點為的中點，是的中位線，，，，，；（2）證明：如圖2，過作交于，矩形對角線和相交于點，，，，點為中點，，，，，；（3）解：如圖3，過作交于，，，且，，，矩形對角線和相交于點，，，，，，，，，．7．（2022?拱墅區(qū)一模）如圖，在銳角三角形中，，以為直徑作，分別交，于點，，點是的中點，連接，交于點．（1）求證：．（2）若，，求線段的長（用含的代數(shù)式表示）．（3）若，探索與的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）證明：是的直徑，，又，，；（2）解：如圖，連接，是直徑，，，，，；（3）解：，理由如下：如圖，連接，，，點是的中點，，，，，，，，，，，．8．（2022?西湖區(qū)一模）如圖，已知扇形的半徑，，點，分別在半徑，上（點不與點重合），連結．（1）當，時，求的長．（2）點是弧上一點，．①當點與點重合，點為弧的中點時，求證：．②當，時，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）解：，設，，，，，，；（2）①證明：連接，過點作于，于，點為弧的中點，，，又，，，又，，，，，，，，；②如圖，過點作于，，，四邊形是矩形，，，設，，則有，可得（不合題意的已經舍棄），，．9．（2022?錢塘區(qū)一模）如圖，在中，，以為直徑的分別交，于點，，連結，，與交于點．（1）求證：．（2）當時，求的度數(shù)．（3）連結，若，，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，，，，；（2）解：為直徑，，，，，，；（3）解：如圖，連接，，是的中點，是的中點，是直徑，，，，，，，，，，，，，即，，．10．（2022?淳安縣一模）如圖，在的外接中，交于點，延長至點，使得，連結，，其中與相交于點，連結交于點．（1）求證：四邊形為菱形．（2）當和都與相切時，若的半徑為2，求的長．（3）若，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：如圖1中，在的外接圓中，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；（2）解：如圖2中，四邊形是菱形，，，是的切線，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖1中，，，，，，即，，且，，，，四邊形是菱形；，，，由（2）知，，即，，，是的黃金分割點，且，．11．（2022?富陽區(qū)一模）如圖，銳角的三邊長分別為，，，的平分線交于點．交的外接圓于點，邊的中點為．（1）求證：垂直；（2）求的值（用，，表示）；（3）作的平分線交于點，若點關于點的對稱點恰好落在的外接圓上，試探究，，應滿足的數(shù)量關系．【答案】見解析【詳解】（1）證明：平分，，，又是的中點，；（2）解：與分別是與所對的圓周角，，又是公共角，，，即，；同理，，，，，，；（3）如圖，是的中點，點與點關于點對稱，四邊形是平行四邊形，，點在圓上，，點是兩個內角與的角平分線交點，平分，，設，則，，作，垂足為，在中，，，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，．12．（2022?臨安區(qū)一模）如圖，的直徑垂直于弦于點，，，點是延長線上異于點的一個動點，連結交于點，連結交于點，則點的位置隨著點位置的改變而改變．（1）如圖1，當時，求的值；（2）如圖2，連結，，在點運動過程中，設，．①求證：；②求與之間的函數(shù)關系式．【答案】見解析【詳解】（1）解：連接，如圖，的直徑垂直于弦于點，，，，，，，．，；（2）①證明：連接，如圖，為的直徑，，，，，，，．②解：，．四邊形為圓的內接四邊形，，，，，，與是等高的三角形，，，，．與之間的函數(shù)關系式為．13．（2022?錢塘區(qū)二模）已知，線段是的直徑，弦于點，點是優(yōu)弧上的任意一點，，．（1）如圖1，①求的半徑；②求的值．（2）如圖2，直線交直線于點，直線交于點，連結交于點，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）如圖1，連接、．①，，在中，設，，則，，，解得，即的半徑為5；②，是直徑，，．，，．（2）如圖2，連接、．，，，，．是直徑，，．，，．，，，，．14．（2022?西湖區(qū)校級一模）如圖，是的直徑，線于點，是弧上任意一點，延長，與的延長線交于點，連接，，．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，求的半徑．【答案】見解析【詳解】（1）證明：連接，，，，，，，，，，，即：；（2）解：，，，，，，，，，（3）解：，，，，在中，，，，，易知，，，的半徑為4．15．（2022?蕭山區(qū)校級一模）如圖，、是的兩條弦，的延長線交于點，連結、，若，則：（1）求證：；（2）當時，求；（3）若，且面積為2，求的面積．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，，，，，，，，，，，；（2）解：如圖2中，，，，，是等邊三角形，；（3）解：，，，，，，，，（負值舍去），，，，，，，的面積．16．（2022?蕭山區(qū)一模）如圖，已知半徑為的中，弦，交于點，連結，．設．（1）若．①求證：；②若，且，求的值；（2）若，且，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）①證明：如圖，，．，，；②解：若，，．，．經過圓心，，，均為的直徑，點與圓心重合，如圖，，，；（2）解：連接，，，如圖，若，為的直徑，．．，，，，．．，，，，，，．．17．（2022?濱江區(qū)一模）如圖，在等邊三角形中，點，分別是邊，上的點，且，連接，交于點．（1）求證：；（2）若，求的值；（3）若點恰好落在以為直徑的圓上，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，，，，在與中，，；（2）解：過點作交于，，，設，，，，，，，的值；（3）連接，由（1）知：，，，，，、、、四點共圓，點恰好落在以為直徑的圓上，，點也落在以為直徑的圓上，，，連接，則，，，，．18．（2022?上城區(qū)二模）正方形邊長為3，點是上一點，連結交于點．（1）如圖1，若，求的值；（2）如圖1，若，求證：點是的中點；（3）如圖2，點為上一點，且滿足，設，，試探究與的函數(shù)關系．【答案】見解析【詳解】（1）解：四邊形是正方形，，，，，，在中，由勾股定理得：，，解得：；（2）證明：由（1）得：，如圖1，過點作于，，，，四邊形是正方形，，，，，即，解得：，由（1）可知，，，即，解得：，，，即點是的中點；（3）解：由（1）得：，四邊形是正方形，，，，，即，解得：，，，，，即，，，，，，與的函數(shù)關系為：．19．（2022?余杭區(qū)一模）如圖1，在正方形中，點在射線上，從左往右移動（不與點，重合），連結，作于點，于點，設．（1）求證：；（2）連結，，設，，求證：點在射線上運動時，始終滿足；（3）如圖2，設線段與對角線交于點，和以點，，，為頂點的四邊形的面積分別為和，當點在的延長線上運動時，求（用含的代數(shù)式表示）．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，，，，，，，在和中，，，；（2）證明：在中，，在中，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，點在射線上運動時，始終滿足；（3）解：過點作于，如圖2所示：四邊形是正方形，，，，又，，，，，，設正方形的邊長為，則，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，．20．（2022?富陽區(qū)二模）如圖1，在矩形中，與交于點，為上一點，與交于點．（1）若，，①求．②如圖2，連接，當時，求的值．（2）設，記的面積為，四邊形的面積為，求的最大值．【答案】見解析【詳解】（1）①，，，，，，即，，，，，，；②過點作于點，在中，，，，在中，，，，，在中，，，，，；（2）設，，，，，，，，，，又，，，，，，，當時，的最大值為．21．（2022?西湖區(qū)校級模擬）如圖所示，已知是的直徑，、是上的兩點．（1）若，求的度數(shù)；（2）當時，連接、，其中與直徑相交于點，求證：；（3）在（2）的條件下，若，，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖1，是直徑，，，，；（2）證明：如圖2，，，，，，，，，；（3）解：如圖3，過點作于點，，，，，，是直徑，是等腰直角三角形，，，，，，，平分，，，，設，則，，，即，解得：，，．22．（2022?富陽區(qū)一模）如圖1，已知，，，，點是射線上的一個動點，連接，點是線段的中點，連接，過點作，交的延長線于點．設，．（1）求關于的函數(shù)關系式；（2）如圖2，為的中點，連接，若與相似，求的長；（3）若為等腰三角形，請直接寫出的正切值．【答案】見解析【詳解】（1）如圖1，延長交于點，，，點是線段的中點，，在和中，，，，，，，，在中，，，，，，，，，，，，，；（2）如圖2，過點作于點，則，，四邊形是矩形，，，，在中，，，，與相似，或，當時，，，，，由（1）知：，，解得：，經檢驗，是原方程的根，；當時，，，點是線段的中點，，，，解得：，，經檢驗，，，均是原方程的解，但表示線段的長，，，；綜上所述，的長為或；（3）如圖1，為等腰三角形，或或，當時，，，，，；當時，，如圖2，，，不符合題意；當時，如圖3，，，，，，是的中點，，，，與重合，，；綜上所述，或．23．（2022?西湖區(qū)校級二模）如圖1，在中，，，于點，是邊上（與點，不重合）的動點，連接交于點，過，，三點作交的延長線于點，連接，．（1）①線段的長為；②求證：；（2）如圖2，連接，若與相切，求此時的半徑；（3）在點的運動過程中，試探究線段與半徑之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）①解：如圖1，，，，，，，，，，故答案為：4；②證明：如圖1，連接，，，四邊形是的內接四邊形，，，，，，，，垂直平分，，，，，；（2）解：如圖2，連接并延長交于，連接，由②得，，經過圓心，，是的切線，，，，又，，，，，，，，，，四邊形是菱形，，，，，，，，在和中，根據(jù)勾股定理得，，，，即，解得，；（3）解：，理由如下：如圖2，連接，由（2）可知，，，，，又，，，，，，，即，．24．（2022?西湖區(qū)校級模擬）如圖在正六邊形中，是邊上一點，交于，交于．（1）求的度數(shù)；（2）記，，，求證：；（3）連結，，若，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）正六邊形，，，，，同理，，所以的度數(shù)是；（2）解：如圖，作交于，作交于，正六邊形，，，，，，，，，，是等邊三角形，，同理，是等邊三角形，，設，，則，，，，，，，四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，，，，即；（3）解：如圖，延長、交于點，過點作于，過點作于，正六邊形，，，，，，，設，，則，由（2）知：，，，在中，，，，，，，在中，，，，在中，，，，在中，，，，，，，．所以的值等于．25．（2022?下城區(qū)校級二模）如圖所示，已知是的直徑，、是上的兩點，連結、，，線段與直徑相交于點．（1）若，求的值．（2）當時，①若，，求的度數(shù)．②若，，求線段的長．【答案】見解析【詳解】（1）是的直徑，，，，，，，答：的值是；（2）①，，，，，，，，，即的度數(shù)為；②，，，，，，，，，線段的長為．26．（2022?杭州模擬）如圖1所示，已知，是的直徑，是延長線的一點，的弦交于點，且，．（1）如圖1，求證：是的切線；（2）在圖1中連結，，若，求的值；（3）如圖2，連結交于點，過作于點，若，．求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：是的直徑，，，，，是圓的直徑，，又，，，為的半徑，是的切線．（2）是的直徑，，又，，，，，，，，設，則，，，，．（3），．在中，由勾股定理得，，，，，即，，在中，由勾股定理得，于點，，，，，設為，則為，，，，，解得，在中，由勾股定理得