專題16 【五年中考+一年模擬】幾何壓軸題-備戰(zhàn)2023年浙江杭州中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編（解析版）

專題16幾何壓軸題1．（2022?杭州）在正方形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)重合），點(diǎn)在邊上，且，連接，以為邊在正方形內(nèi)作正方形．（1）如圖1，若，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，求正方形的面積．（2）如圖2，已知直線分別與邊，交于點(diǎn)，，射線與射線交于點(diǎn)．①求證：；②設(shè)，和四邊形的面積分別為，．求證：．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖1，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，若，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，在中，，正方形的面積；（2）如圖2，①證明：四邊形是正方形，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，；②證明：四邊形是正方形，，，四邊形是正方形，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，．2．（2021?杭州）如圖，銳角三角形內(nèi)接于，的平分線交于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，連接．（1）求證：．（2）已知，，求線段的長（用含，的代數(shù)式表示）．（3）已知點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）證明：平分，，又，；（2）解：由（1）知，，，，，；（3）證明：，，，，，又，，，．3．（2020?杭州）如圖，已知，為的兩條直徑，連接，，于點(diǎn)，點(diǎn)是半徑的中點(diǎn)，連接．（1）設(shè)的半徑為1，若，求線段的長．（2）連接，，設(shè)與交于點(diǎn)，①求證：．②若，求的度數(shù)．【答案】見解析【詳解】（1）解：，，，，，，是直徑，，，，是等邊三角形，，，，，．（2）①證明：過點(diǎn)作于，交于，連接．，，，，同理，，．，，四邊形是平行四邊形，．解法二：可以作中點(diǎn)，連接，，證明是平行四邊形即可，得對角線互相平分．②，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，．解法二：可以過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．，，，，，，，，，，，，，，，，4．（2019?杭州）如圖，已知銳角三角形內(nèi)接于圓，于點(diǎn)，連接．（1）若，①求證：．②當(dāng)時，求面積的最大值．（2）點(diǎn)在線段上，，連接，設(shè)，，是正數(shù)），若，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）①連接、，則，，；②長度為定值，面積的最大值，要求邊上的高最大，當(dāng)過點(diǎn)時，最大，即：，面積的最大值；（2）如圖2，連接，設(shè)：，則，，則，，，，，即：，化簡得：．備注：此題還可采用以下解法：連接，延長交于點(diǎn)，設(shè)，則，，則，．5．（2018?杭州）如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)，重合），連接，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)．（1）求證：．（2）連接，，設(shè)，．求證：．（3）設(shè)線段與對角線交于點(diǎn)，和四邊形的面積分別為和，求的最大值．【答案】見解析【詳解】（1）四邊形是正方形，，，，，，，，，，，（2）由（1）知，，，，，在中，，在中，，，；（3）方法1、如圖，四邊形是正方形，，，，，，，，，設(shè)的邊上的高為，的邊上的高為，，，，，，，時，的最大值為，方法2、如圖1，設(shè)正方形的邊長為1，連接交于，過作交于，于，設(shè)，，，，，，，，，時，的最大值為．方法3、如圖，連接，是正方形的對角線，，，，，，，，，時，的最大值為．6．（2022?上城區(qū)一模）如圖1，已知矩形對角線和相交于點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連結(jié)．（1）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的值．（2）如圖2，若點(diǎn)為中點(diǎn)，求證：．（3）如圖2，若，，且，請用的代數(shù)式表示．【答案】見解析【詳解】（1）解：矩形對角線和相交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，是的中位線，，，，，；（2）證明：如圖2，過作交于，矩形對角線和相交于點(diǎn)，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，，，，；（3）解：如圖3，過作交于，，，且，，，矩形對角線和相交于點(diǎn)，，，，，，，，，．7．（2022?拱墅區(qū)一模）如圖，在銳角三角形中，，以為直徑作，分別交，于點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，，求線段的長（用含的代數(shù)式表示）．（3）若，探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）證明：是的直徑，，又，，；（2）解：如圖，連接，是直徑，，，，，；（3）解：，理由如下：如圖，連接，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，．8．（2022?西湖區(qū)一模）如圖，已知扇形的半徑，，點(diǎn)，分別在半徑，上（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），連結(jié)．（1）當(dāng)，時，求的長．（2）點(diǎn)是弧上一點(diǎn)，．①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)時，求證：．②當(dāng)，時，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）解：，設(shè)，，，，，，；（2）①證明：連接，過點(diǎn)作于，于，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，，，又，，，又，，，，，，，，；②如圖，過點(diǎn)作于，，，四邊形是矩形，，，設(shè)，，則有，可得（不合題意的已經(jīng)舍棄），，．9．（2022?錢塘區(qū)一模）如圖，在中，，以為直徑的分別交，于點(diǎn)，，連結(jié)，，與交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）當(dāng)時，求的度數(shù)．（3）連結(jié)，若，，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，，，，；（2）解：為直徑，，，，，，；（3）解：如圖，連接，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是直徑，，，，，，，，，，，，，即，，．10．（2022?淳安縣一模）如圖，在的外接中，交于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使得，連結(jié)，，其中與相交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)．（1）求證：四邊形為菱形．（2）當(dāng)和都與相切時，若的半徑為2，求的長．（3）若，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：如圖1中，在的外接圓中，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；（2）解：如圖2中，四邊形是菱形，，，是的切線，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖1中，，，，，，即，，且，，，，四邊形是菱形；，，，由（2）知，，即，，，是的黃金分割點(diǎn)，且，．11．（2022?富陽區(qū)一模）如圖，銳角的三邊長分別為，，，的平分線交于點(diǎn)．交的外接圓于點(diǎn)，邊的中點(diǎn)為．（1）求證：垂直；（2）求的值（用，，表示）；（3）作的平分線交于點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)恰好落在的外接圓上，試探究，，應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系．【答案】見解析【詳解】（1）證明：平分，，，又是的中點(diǎn)，；（2）解：與分別是與所對的圓周角，，又是公共角，，，即，；同理，，，，，，；（3）如圖，是的中點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，四邊形是平行四邊形，，點(diǎn)在圓上，，點(diǎn)是兩個內(nèi)角與的角平分線交點(diǎn)，平分，，設(shè)，則，，作，垂足為，在中，，，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，．12．（2022?臨安區(qū)一模）如圖，的直徑垂直于弦于點(diǎn)，，，點(diǎn)是延長線上異于點(diǎn)的一個動點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，則點(diǎn)的位置隨著點(diǎn)位置的改變而改變．（1）如圖1，當(dāng)時，求的值；（2）如圖2，連結(jié)，，在點(diǎn)運(yùn)動過程中，設(shè)，．①求證：；②求與之間的函數(shù)關(guān)系式．【答案】見解析【詳解】（1）解：連接，如圖，的直徑垂直于弦于點(diǎn)，，，，，，，．，；（2）①證明：連接，如圖，為的直徑，，，，，，，．②解：，．四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，，，，，，與是等高的三角形，，，，．與之間的函數(shù)關(guān)系式為．13．（2022?錢塘區(qū)二模）已知，線段是的直徑，弦于點(diǎn)，點(diǎn)是優(yōu)弧上的任意一點(diǎn)，，．（1）如圖1，①求的半徑；②求的值．（2）如圖2，直線交直線于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）如圖1，連接、．①，，在中，設(shè)，，則，，，解得，即的半徑為5；②，是直徑，，．，，．（2）如圖2，連接、．，，，，．是直徑，，．，，．，，，，．14．（2022?西湖區(qū)校級一模）如圖，是的直徑，線于點(diǎn)，是弧上任意一點(diǎn)，延長，與的延長線交于點(diǎn)，連接，，．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，求的半徑．【答案】見解析【詳解】（1）證明：連接，，，，，，，，，，，即：；（2）解：，，，，，，，，，（3）解：，，，，在中，，，，，易知，，，的半徑為4．15．（2022?蕭山區(qū)校級一模）如圖，、是的兩條弦，的延長線交于點(diǎn)，連結(jié)、，若，則：（1）求證：；（2）當(dāng)時，求；（3）若，且面積為2，求的面積．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，，，，，，，，，，，；（2）解：如圖2中，，，，，是等邊三角形，；（3）解：，，，，，，，，（負(fù)值舍去），，，，，，，的面積．16．（2022?蕭山區(qū)一模）如圖，已知半徑為的中，弦，交于點(diǎn)，連結(jié)，．設(shè)．（1）若．①求證：；②若，且，求的值；（2）若，且，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）①證明：如圖，，．，，；②解：若，，．，．經(jīng)過圓心，，，均為的直徑，點(diǎn)與圓心重合，如圖，，，；（2）解：連接，，，如圖，若，為的直徑，．．，，，，．．，，，，，，．．17．（2022?濱江區(qū)一模）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，且，連接，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求的值；（3）若點(diǎn)恰好落在以為直徑的圓上，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，，，，在與中，，；（2）解：過點(diǎn)作交于，，，設(shè)，，，，，，，的值；（3）連接，由（1）知：，，，，，、、、四點(diǎn)共圓，點(diǎn)恰好落在以為直徑的圓上，，點(diǎn)也落在以為直徑的圓上，，，連接，則，，，，．18．（2022?上城區(qū)二模）正方形邊長為3，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)．（1）如圖1，若，求的值；（2）如圖1，若，求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；（3）如圖2，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且滿足，設(shè)，，試探究與的函數(shù)關(guān)系．【答案】見解析【詳解】（1）解：四邊形是正方形，，，，，，在中，由勾股定理得：，，解得：；（2）證明：由（1）得：，如圖1，過點(diǎn)作于，，，，四邊形是正方形，，，，，即，解得：，由（1）可知，，，即，解得：，，，即點(diǎn)是的中點(diǎn)；（3）解：由（1）得：，四邊形是正方形，，，，，即，解得：，，，，，即，，，，，，與的函數(shù)關(guān)系為：．19．（2022?余杭區(qū)一模）如圖1，在正方形中，點(diǎn)在射線上，從左往右移動（不與點(diǎn)，重合），連結(jié)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)．（1）求證：；（2）連結(jié)，，設(shè)，，求證：點(diǎn)在射線上運(yùn)動時，始終滿足；（3）如圖2，設(shè)線段與對角線交于點(diǎn)，和以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形的面積分別為和，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上運(yùn)動時，求（用含的代數(shù)式表示）．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，，，，，，，在和中，，，；（2）證明：在中，，在中，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動時，始終滿足；（3）解：過點(diǎn)作于，如圖2所示：四邊形是正方形，，，，又，，，，，，設(shè)正方形的邊長為，則，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，．20．（2022?富陽區(qū)二模）如圖1，在矩形中，與交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）若，，①求．②如圖2，連接，當(dāng)時，求的值．（2）設(shè)，記的面積為，四邊形的面積為，求的最大值．【答案】見解析【詳解】（1）①，，，，，，即，，，，，，；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，，，在中，，，，，在中，，，，，；（2）設(shè)，，，，，，，，，，又，，，，，，，當(dāng)時，的最大值為．21．（2022?西湖區(qū)校級模擬）如圖所示，已知是的直徑，、是上的兩點(diǎn)．（1）若，求的度數(shù)；（2）當(dāng)時，連接、，其中與直徑相交于點(diǎn)，求證：；（3）在（2）的條件下，若，，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖1，是直徑，，，，；（2）證明：如圖2，，，，，，，，，；（3）解：如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，是直徑，是等腰直角三角形，，，，，，，平分，，，，設(shè)，則，，，即，解得：，，．22．（2022?富陽區(qū)一模）如圖1，已知，，，，點(diǎn)是射線上的一個動點(diǎn)，連接，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)．設(shè)，．（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）如圖2，為的中點(diǎn)，連接，若與相似，求的長；（3）若為等腰三角形，請直接寫出的正切值．【答案】見解析【詳解】（1）如圖1，延長交于點(diǎn)，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，，在中，，，，，，，，，，，，，；（2）如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，四邊形是矩形，，，，在中，，，，與相似，或，當(dāng)時，，，，，由（1）知：，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，；當(dāng)時，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，，，均是原方程的解，但表示線段的長，，，；綜上所述，的長為或；（3）如圖1，為等腰三角形，或或，當(dāng)時，，，，，；當(dāng)時，，如圖2，，，不符合題意；當(dāng)時，如圖3，，，，，，是的中點(diǎn)，，，，與重合，，；綜上所述，或．23．（2022?西湖區(qū)校級二模）如圖1，在中，，，于點(diǎn)，是邊上（與點(diǎn)，不重合）的動點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過，，三點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接，．（1）①線段的長為；②求證：；（2）如圖2，連接，若與相切，求此時的半徑；（3）在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，試探究線段與半徑之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）①解：如圖1，，，，，，，，，，故答案為：4；②證明：如圖1，連接，，，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，，，，，垂直平分，，，，，；（2）解：如圖2，連接并延長交于，連接，由②得，，經(jīng)過圓心，，是的切線，，，，又，，，，，，，，，，四邊形是菱形，，，，，，，，在和中，根據(jù)勾股定理得，，，，即，解得，；（3）解：，理由如下：如圖2，連接，由（2）可知，，，，，又，，，，，，，即，．24．（2022?西湖區(qū)校級模擬）如圖在正六邊形中，是邊上一點(diǎn)，交于，交于．（1）求的度數(shù)；（2）記，，，求證：；（3）連結(jié)，，若，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）正六邊形，，，，，同理，，所以的度數(shù)是；（2）解：如圖，作交于，作交于，正六邊形，，，，，，，，，，是等邊三角形，，同理，是等邊三角形，，設(shè)，，則，，，，，，，四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，，，，即；（3）解：如圖，延長、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，正六邊形，，，，，，，設(shè)，，則，由（2）知：，，，在中，，，，，，，在中，，，，在中，，，，在中，，，，，，，．所以的值等于．25．（2022?下城區(qū)校級二模）如圖所示，已知是的直徑，、是上的兩點(diǎn)，連結(jié)、，，線段與直徑相交于點(diǎn)．（1）若，求的值．（2）當(dāng)時，①若，，求的度數(shù)．②若，，求線段的長．【答案】見解析【詳解】（1）是的直徑，，，，，，，答：的值是；（2）①，，，，，，，，，即的度數(shù)為；②，，，，，，，，，線段的長為．26．（2022?杭州模擬）如圖1所示，已知，是的直徑，是延長線的一點(diǎn)，的弦交于點(diǎn)，且，．（1）如圖1，求證：是的切線；（2）在圖1中連結(jié)，，若，求的值；（3）如圖2，連結(jié)交于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，若，．求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：是的直徑，，，，，是圓的直徑，，又，，，為的半徑，是的切線．（2）是的直徑，，又，，，，，，，，設(shè)，則，，，，．（3），．在中，由勾股定理得，，，，，即，，在中，由勾股定理得，于點(diǎn)，，，，，設(shè)為，則為，，，，，解得，在中，由勾股定理得