專(zhuān)題03 全等三角形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題（解析版）

專(zhuān)題03全等三角形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題初中數(shù)學(xué)中，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是學(xué)習(xí)的重、難點(diǎn)，在三角形、矩形等一些幾何圖形上，設(shè)計(jì)一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究全等三角形存在性問(wèn)題，該類(lèi)題目具有較強(qiáng)的綜合性。解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題常見(jiàn)的答題思路是：1.注意分類(lèi)討論；2.仔細(xì)探究全等三角形對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角的變化；3.利用時(shí)間表示出相應(yīng)線段或邊的長(zhǎng)度，列出方程求解.【典例解析】【例1－1】（2020·周口市月考）如圖，CA⊥AB，垂足為點(diǎn)A，AB=8，AC=4，射線BM⊥AB，垂足為點(diǎn)B，一動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以2厘米/秒的速度沿射線AN運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D為射線BM上一動(dòng)點(diǎn)，隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且始終保持ED=CB，當(dāng)點(diǎn)E離開(kāi)點(diǎn)A后，運(yùn)動(dòng)______秒時(shí)，△DEB與△BCA全等．【答案】0，2，6，8.【解析】解：①當(dāng)E在線段AB上，AC=BE時(shí)，△ACB≌△BED，∵AC=4，∴BE=4，∴AE=8?4=4，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4÷2=2(秒)；②當(dāng)E在BN上，AC=BE時(shí)，∵AC=4，∴BE=4，∴AE=8+4=12，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為12÷2=6(秒)；③當(dāng)E在線段AB上，AB=EB時(shí)，△ACB≌△BDE，這時(shí)E在A點(diǎn)未動(dòng)，因此時(shí)間為0秒；④當(dāng)E在BN上，AB=EB時(shí)，△ACB≌△BDE，AE=8+8=16，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為16÷2=8(秒)，故答案為0，2，6，8.【例1－2】（2020·江陰市月考）已知：如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，AD=6．延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=2，連接DE，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿BC－CD－DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)?shù)闹禐開(kāi)____秒時(shí)，△ABP和△DCE全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【答案】C【解析】解：AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根據(jù)SAS證得△ABP≌△DCE，

由題意得：BP=2t=2，

即t=1，

同理，AP=CE=2，根據(jù)SAS證得△BAP≌△DCE，

由題意得：AP=16－2t=2，

即t=7．當(dāng)t的值為1或7秒時(shí)．△ABP和△DCE全等．

故答案為C．【變式1－1】（2020·無(wú)錫市月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD為AB邊上的高．點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿直線BC以2cm/s的速度移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線交直線CD于點(diǎn)F.(1)試說(shuō)明：∠A＝∠BCD；(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，CF＝AB.請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD.(2)①當(dāng)點(diǎn)E在射線BC上移動(dòng)5s時(shí)，CF＝AB.可知BE＝2×5＝10，∴CE＝BE－BC＝10－3＝7，∴CE＝AC∵∠A＝∠BCD，∠ECF＝∠BCD，∴∠A＝∠ECF在△CFE與△ABC中，∴△CFE≌△ABC，∴CF＝AB②當(dāng)點(diǎn)E在射線CB上移動(dòng)2s時(shí)，CF＝AB.可知BE′＝2×2＝4，CE′＝BE′＋BC＝4＋3＝7，∴CE′＝AC.在△CF′E′與△ABC中∴△CF′E′≌△ABC，∴CF′＝AB.綜上，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)5s或2s時(shí)，CF＝AB.【變式1－2】（2020·河北靈壽期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣3|+＝0，點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AO勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)求OA、OB的長(zhǎng)；(2)連接PB，設(shè)△POB的面積為S，用t的式子表示S；(3)過(guò)點(diǎn)P作直線AB的垂線，垂足為D，直線PD與x軸交于點(diǎn)E，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△EOP≌△AOB？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析．【解析】解：(1)∵|m﹣n﹣3|+＝0，∴|m﹣n﹣3|＝＝0，∴n＝3，m＝6，∴點(diǎn)A(0，6)，點(diǎn)B(3，0)；(2)連接PB，t秒后，AP＝t，OP＝|6﹣t|，∴S＝OP?OB＝|6﹣t|；(t≥0)(3)∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠OAB+∠APD＝90°，∠OPE＝∠APD，∴∠OBA＝∠OPE，只要OP＝OB，可證△EOP≌△AOB，∴AP＝AO﹣OP＝3，或AP′＝OA+OP′＝9∴t＝3或9．【例2】（2020·惠州市月考）如圖，點(diǎn)C在線段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC＝5cm，CE＝6cm，點(diǎn)P以2cm/s的速度沿A→C→E向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以3cm/s的速度從E開(kāi)始，在線段EC上往返運(yùn)動(dòng)（即沿E→C→E→C→…運(yùn)動(dòng)），當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)P，Q分別作BD的垂線，垂足為M，N．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)以P，C，M為頂點(diǎn)的三角形與△QCN全等時(shí)，t的值為_(kāi)____．【答案】1或或.【解析】解：①當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在CE上時(shí)，∵以P，C，M為頂點(diǎn)的三角形與△QCN全等，∴PC＝CQ，∴5﹣2t＝6﹣3t，解得：t＝1；②當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q第一次從點(diǎn)C返回時(shí)，∵以P，C，M為頂點(diǎn)的三角形與△QCN全等，∴PC＝CQ，∴5﹣2t＝3t﹣6，解得：t＝；③當(dāng)點(diǎn)P在CE上，點(diǎn)Q第一次從E點(diǎn)返回時(shí)，∵以P，C，M為頂點(diǎn)的三角形與△QCN全等，∴PC＝CQ，∴2t﹣5＝18﹣3t，解得：t＝；綜上所述：t的值為1或或．故答案為：1或或．【變式2－1】（2020·江陰市月考）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，點(diǎn)E從D點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿DA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿C→B→C作勻速移動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)沿BD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余兩點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．（1）試證明：AD∥BC．（2）在移動(dòng)過(guò)程中，小芹發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取某個(gè)值時(shí)，有△DEG與△BFG全等的情況出現(xiàn)，請(qǐng)你探究當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取哪些值時(shí)，△DEG與△BFG全等．【答案】見(jiàn)解析．【解析】解：（1）證明：在△ABD和△CDB中，∴△ABD≌△CDB，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC；（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為v，①當(dāng)0＜t≤時(shí)，若△DEG≌△BFG，則，∴，解得：，v＝3；②若△DEG≌△BGF，則，∴，解得：（舍去）；③當(dāng)＜t≤時(shí)，若△DEG≌△BFG，則，∴，解得：，v＝1.5；④若△DEG≌△BGF，則，∴，解得：，v＝1．綜上，點(diǎn)G的速度為1.5或3或1．【變式2－2】（2020·重慶巴南月考）如圖（1），AB＝4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3．點(diǎn)P在線段AB上以1的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（s）．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)＝1時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由，并判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為，是否存在實(shí)數(shù)，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：(1)當(dāng)t=1時(shí)，AP=BQ=1，BP=AC=3，又∠A=∠B=90°，∴△ACP≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90*.∴∠CPQ=90°，即線段PC與線段PQ垂直；(2)①若△ACP≌△BPQ，則AC=BP，AP=BQ，得：，解得;②若△ACP≌△BQP，則AC=BQ，AP=BP，，解得：綜上所述，存在或使得△ACP與△BPQ全等.【變式2－3】（2020·江蘇興化月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AC—CB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BC—CA以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．分別過(guò)P、Q兩點(diǎn)作PE⊥l于E，QF⊥l于F．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）：（1）當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，求t的值；（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求CP的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）；（3）當(dāng)△PEC與△QFC全等時(shí)，直接寫(xiě)出所有滿足條件的CQ的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：（1）由題意得：t＋3t＝6＋8，解得：t＝（秒），當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，t的值為秒；（2）由題意可知AP＝t，則CP=；（3）①當(dāng)P在AC上，Q在BC上時(shí)，∵∠ACB＝90，∴∠PCE＋∠QCF＝90°，∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．∴∠EPC＋∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，∴∠EPC＝∠QCF，∴△PCE≌△CQF，∴PC＝CQ，∴6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1，∴CQ＝8﹣3t＝5；②當(dāng)P在AC上，Q在AC上時(shí)，即P、Q重合時(shí)，則CQ＝PC，由題意得，6﹣t＝3t﹣8，解得：t＝3.5，∴CQ＝3t﹣8＝2.5，③當(dāng)P在BC上，Q在AC上時(shí)，即A、Q重合時(shí)，則CQ＝AC＝6，綜上，當(dāng)△PEC與△QFC全等時(shí)，滿足條件的CQ的長(zhǎng)為5或2.5或6．【例3】（2020·惠州市月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，∠B=∠C，AD＝2BD．如果點(diǎn)P在線段BC上以2cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)2s后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？（3）若點(diǎn)Q以（2）中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？【答案】見(jiàn)解析．【解析】解：（1）①△BPD與△CQP全等，理由如下：∵AB＝AC＝18cm，AD＝2BD，∴AD＝12cm，BD＝6cm，經(jīng)過(guò)2s后，BP＝4cm，CQ＝4cm，∴BP＝CQ，CP＝6cm＝BD，在△BPD和△CQP中，∵BD=CP，∠B＝∠C，BP＝CQ，∴△BPD≌△CQP（SAS），②∵點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，∴BP≠CQ，∵△BPD與△CQP全等，∠B＝∠C，∴BP＝PC＝BC＝5cm，BD＝CQ＝6cm，∴t＝，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度＝cm/s，∴當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，由題意可得：x﹣2x＝36，解得：x＝90，∴90﹣×3＝21（s），∴經(jīng)過(guò)90s點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的邊AB上相遇．【變式3－1】（2019·山西太原月考）如圖1，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=CD=5cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ABP≌△DCP？．（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以vcm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣的v值，使得某時(shí)刻△ABP與以P，Q，C為頂點(diǎn)的直角三角形全等？若存在，請(qǐng)求出v的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：（1）當(dāng)點(diǎn)P以2cm/s的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts時(shí)，BP=2t∵BC=12∴PC=12－2t故答案為：12－2t.（2）∵△ABP≌△DCP∴BP=CP∴2t=12－2t解得：t=3．（3）存在，理由如下：①當(dāng)BP=CQ，AB=PC時(shí)，△ABP≌△PCQ，∴PC=AB=5∴BP=BC－PC=12－5=7∴2t=7解得t=3.5∴CQ=BP=7，則3.5v=7解得v=2．②當(dāng)AB=CQ，PB=PC時(shí)，△ABP≌△QCP∴2t=6解得t=3∴CQ=3v=5，解得v=．綜上所述，當(dāng)v=2或時(shí)，△ABP與以P，Q，C為頂點(diǎn)的直角三角形全等．【變式3－2】（2020·四川成都）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為_(kāi)____厘米/秒時(shí)，能夠使△BPE與以C、P、Q三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形全等．【答案】3或.【解析】解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵∠B＝∠C，①當(dāng)BE＝CP＝6，BP＝CQ時(shí)，△BPE與△CQP全等，此時(shí)，6＝8﹣3t，解得t＝，∴BP＝CQ＝2，此時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為2÷＝3厘米/秒；②當(dāng)BE＝CQ＝6，BP＝CP時(shí)，△BPE與△CQP全等，此時(shí)，3t＝8﹣3t，解得t＝，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為6÷＝厘米/秒；故答案為3或．【習(xí)題精練】1．（2020·江蘇東臺(tái)月考）如圖，有一個(gè)直角三角形ABC，∠C＝90°，AC，BC，線段PQAB，點(diǎn)Q在過(guò)點(diǎn)A且垂直于AC的射線AX上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，沿射線CA以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，問(wèn)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)___________

秒時(shí)t，才能使△ABC≌△QPA全等．【答案】2或8.【解析】解：∵△ABC≌△QPA，∴BC＝PA＝6，①當(dāng)點(diǎn)P在線段CA上時(shí)，CP＝AC－AP＝10－6＝4，∴P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：（秒），②當(dāng)點(diǎn)P在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，CP＝AC＋AP＝10＋6＝16，∴P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：（秒），綜上所述，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：2秒或8秒.2.（2020·江蘇泰州月考）如圖，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P點(diǎn)從B向A運(yùn)動(dòng)，每分鐘走1m，Q點(diǎn)從B向D運(yùn)動(dòng)，每分鐘走2m，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)_______分鐘后△CAP與△PQB全等．【答案】4.【解析】解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，

∴∠A=∠B=90°，

設(shè)運(yùn)動(dòng)x分鐘后△CAP與△PQB全等；

則BP=x，BQ=2x，則AP=（12－x），

分兩種情況：

①若BP=AC，則x=4，

AP=12－4=8，BQ=8，AP=BQ，

∴△CAP≌△PBQ；

②若BP=AP，則12－x=x，

解得：x=6，BQ=12≠AC，

此時(shí)△CAP與△PQB不全等；

綜上所述：運(yùn)動(dòng)4分鐘后△CAP與△PQB全等；

故答案為：4．3．（2020·常州市月考）如圖，ADC中．∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm．AD⊥AC，AB＝PQ，P、Q兩點(diǎn)分別在AC、AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AQ＝_____時(shí)，△ABC才能和△APQ全等．【答案】5cm或10cm.【解析】解：∵AD⊥AC，∴∠C＝∠PAQ＝90°，當(dāng)BC＝AQ＝5cm時(shí)，且AB＝PQ，∴Rt△ABC≌Rt△PQA，當(dāng)AQ＝AC＝10cm時(shí)，且AB＝PQ，∴Rt△ABC≌Rt△QPA．故答案為：5cm或10cm．4.（2020·江西新余期末）如圖，中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)和分別以每秒和的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，分別過(guò)和作于，于.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，要使以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形全等，則的值為_(kāi)_____.【答案】或7或8.【解析】解：①當(dāng)0≤t＜4時(shí)，點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在BC上，此時(shí)AM＝2t，BN＝3t，AC＝8，BC＝15．當(dāng)MC＝NC即8?2t＝15?3t時(shí)全等，解得t＝7，舍去；②當(dāng)4≤t＜5時(shí)，點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N也在BC上，若MC＝NC，則點(diǎn)M與點(diǎn)N重合，即2t?8＝15?3t，解得t＝；當(dāng)5≤t＜時(shí)，點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N在AC上，當(dāng)MC＝NC即2t?8＝3t?15時(shí)全等，解得t＝7；④當(dāng)≤t＜時(shí)，點(diǎn)N停在點(diǎn)A處，點(diǎn)M在BC上，如圖④，當(dāng)MC＝NC即2t?8＝8，解得t＝8；故答案為：或7或8．5.（2020·武城縣月考）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPE與以C、P、Q三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形全等？【答案】3厘米/秒或厘米/秒【解析】解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則BP=3t，CP=8－3t，∵∠B=∠C，

①當(dāng)BE=CP=6，BP=CQ時(shí)，△BPE與△CQP全等，此時(shí)，6=8－3t，解得t=，∴BP=CQ=2，此時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為2÷=3厘米/秒；②當(dāng)BE=CQ=6，BP=CP時(shí)，△BPE與△CQP全等，此時(shí)，3t=8－3t，解得t=，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為6÷=厘米/秒.6.（2020·鹽城市鹽都區(qū)月考）如圖，有一個(gè)直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一條線段PQ=AB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC和過(guò)點(diǎn)A且垂直于AC的射線AX上運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：當(dāng)AP=________時(shí)，才能使以點(diǎn)P、A、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等．【答案】3或6.【解析】解：AC中點(diǎn)或C點(diǎn)時(shí)，△ABC和△PQA全等，①當(dāng)AP=3=BC時(shí)，在Rt△ACB和Rt△QAP中，∴Rt△ACB≌Rt△QAP②當(dāng)AP=6=AC時(shí)，在Rt△ACB和Rt△PAQ中，∴Rt△ACB≌Rt△PAQ故答案為3或6.7.（2020·四川青羊期中）如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，AH是△ABC的高，AH＝4cm，BC＝8cm，直線CM⊥BC，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)C開(kāi)始沿射線CB方向以每秒3厘米的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E也同時(shí)從點(diǎn)C開(kāi)始在直線CM上以每秒1厘米的速度向遠(yuǎn)離C點(diǎn)的方向運(yùn)動(dòng)，連接AD、AE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出CD、CE的長(zhǎng)度（用含有t的代數(shù)式表示）：CD＝cm，CE＝cm；（2）當(dāng)t為多少時(shí)，△ABD的面積為12cm2？（3）請(qǐng)利用備用圖探究，當(dāng)t為多少時(shí)，△ABD≌△ACE？并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．【答案】（1）3t，t；（2）t為s或s；（3）見(jiàn)解析.【解析】解：（1）根據(jù)題意得：CD＝3t，CE＝t；故答案為3t，t；（2）∵S△ABDBD?AH＝12，AH＝4，∴AH×BD＝24，∴BD＝6．若D在B點(diǎn)右側(cè)，則CD＝BC﹣BD＝2，t；若D在B點(diǎn)左側(cè)，則CD＝BC+BD＝14，t；綜上所述：當(dāng)t為s或s時(shí)，△ABD的面積為12cm2；（3）①當(dāng)E在射線CM上時(shí)，D在CB上，則需滿足BD＝CE，△ABD≌△ACE.∵CE＝t，BD＝8﹣3t∴t＝8﹣3t，∴t＝2，②當(dāng)E在CM的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，D在CB延長(zhǎng)線上，則需滿足BD＝CE，△ABD≌△ACE.∵CE＝t，BD＝3t﹣8，∴t＝3t﹣8，∴t＝48．（2020·鄭州市月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別A（m，0），B（0，n），且|mn3|0，點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AO勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求OA、OB的長(zhǎng)；（2）連接PB，若△POB的面積不大于3且不等于0，求t的范圍；（3）過(guò)P作直線AB的垂線，垂足為D，直線PD與y軸交于點(diǎn)E，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△EOP≌△AOB?若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：（1）∵，∴m－n－3=0，2n－6=0∴m=6，n=3∴OA=6，OB=3；（2）①當(dāng)P在線段AO上時(shí)，AP=t，OP=6－t此時(shí)，S△BOP=9－1.5t∵△BPO的面積不大于3且不等于0，∴0<9－1.5t≤3，解得4≤t<6；②當(dāng)P在線段AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，AP=t，OP=t－6此時(shí)，S△BOP=1.5t－9∴0<1.5t－9≤3，解得6<t≤8；（3）①△AOB≌△EOP，∴OB=OP=3，則t=3，②△AOB≌△EOP，∴OB=OP=3，AP=OA+OP=9，則t=99.（2020·宜興市月考）如圖，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．（1）求證：AF＝AM；（2）當(dāng)t取何值時(shí)，△DFE與△DMG全等；（3）求證：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不管t取何值，都有．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）證明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF=DM，在Rt△AFD和Rt△AMD中，，∴Rt△AFD≌Rt△AMD（HL）；（2）解：①當(dāng)0＜t＜4時(shí)，點(diǎn)G在線段CM上，點(diǎn)E在線段AF上．EF=10－2t，MG=4－t∴10－2t=4－t，解得：t=6（不合題意，舍去）；②當(dāng)4≤t＜5時(shí)，點(diǎn)G在線段AM上，點(diǎn)E在線段AF上．EF=10－2t，MG=t－4，∴10－2t=t－4，解得：t=，當(dāng)t=時(shí)，△DFE與△DMG全等；（3）證明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF=DM，∵S△AED=AE?DF，S△DGC=CG?DM，∴，∵點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，∴AE=2t，CG=t，∴=2，即=2，∴在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．10.（2020·江蘇工業(yè)園區(qū)期末）如圖①，將長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線剪成兩個(gè)全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．現(xiàn)將△ABC和△EDF按如圖②的方式擺放（點(diǎn)A與點(diǎn)D、點(diǎn)B與點(diǎn)E分別重合）．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC以2cm/s的速度向點(diǎn)C勻速移動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)E出發(fā)，沿射線ED以acm/s（0＜a＜3）的速度勻速移動(dòng)，連接PQ、CQ、FQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為ts（0≤t≤5）．（1）當(dāng)t＝2時(shí)，S△AQF＝3S△BQC，則a＝；（2）當(dāng)以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BQC全等時(shí)，求a的值；（3）如圖③，在動(dòng)點(diǎn)P、Q出發(fā)的同時(shí)，△ABC也以3cm/s的速度沿射線ED勻速移動(dòng)，當(dāng)以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△EFQ全等時(shí)，求a與t的值．【答案】見(jiàn)解析．【解析】解：（1）由題意得：∠BAF＝∠ABC＝90°，BQ＝at＝2a，AF＝BC，∵S△AQF＝3S△BQC，S△AQF＝AF×AQ，S△BQC＝BC×BQ，∴AQ＝3BQ，∴AB＝4BQ＝8，∴BQ＝2＝2a，∴a＝1；故答案為：1；（2）因?yàn)橐訮、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BQC全等，CQ是公共邊，則點(diǎn)P與B為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，PQ＝BQ＝at，PC＝BC＝6，∠CPQ＝∠ABC＝90°，∴AP＝AC﹣PC＝10﹣6＝4，PQ⊥AC，∵AP＝2t＝4，∴t＝2，∴PQ＝BQ＝2a，△ABC的面積＝△ACQ的面積+△BCQ的面積，×8×6＝×10×2a+×2a×6，解得：a＝；（3）由題意得：∠A＝∠E，∴∠A與∠E為對(duì)應(yīng)角，分兩種情況：①AP與EQ為對(duì)應(yīng)邊，AQ與EF為對(duì)應(yīng)邊，則AP＝EQ，AQ＝EF＝10，∵EQ＝at，∴at＝2t，∴a＝2，∴EQ＝2t，∵BE＝3t，∴BQ＝BE﹣EQ＝t，∴AQ＝AB+BQ＝8+t＝10，解得：t＝2；②AP與EF為對(duì)應(yīng)邊，AQ與EQ為對(duì)應(yīng)邊，則AP＝EF＝10，AQ＝EQ，∴2t＝10，∴t＝5，∴AQ＝EQ＝5a，∵BE＝3t＝15，∴BQ＝15﹣5a，或BQ＝5a﹣15，當(dāng)BQ＝15﹣5a時(shí)，AQ＝15﹣5a+8＝23﹣5a，或AQ＝8﹣（15﹣5a）＝5a﹣7，∴5a＝23﹣5a，或5a＝5a﹣7（舍去），解得：a＝2.3；當(dāng)BQ＝5a﹣15時(shí)，AQ＝5a﹣15+8＝5a﹣7，或AQ＝8﹣（5a﹣15）＝7﹣5a，∴5a＝5a﹣7（舍去），或5a＝7﹣5a，解得：a＝0.7，舍去；綜上所述，a＝2時(shí)，t＝2；或a＝2.3時(shí)，t＝5．11.（2019·江蘇期末）如圖①，在中，cm，cm，過(guò)點(diǎn)作射線．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以3cm/s的速度沿勻速移動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以cm/s的速度沿勻速移動(dòng)．點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止移動(dòng)．連接、，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為(s)．(1)點(diǎn)、從移動(dòng)開(kāi)始到停止，所用時(shí)間為s；(2)當(dāng)與全等時(shí)，①若點(diǎn)、的移動(dòng)速度相同，求的值；②若點(diǎn)、的移動(dòng)速度不同，求的值；(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)、開(kāi)始移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度沿向點(diǎn)勻速移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后立刻以原速度沿返回．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、、同時(shí)停止移動(dòng)．在移動(dòng)的過(guò)程中，是否存在與全等的情形?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．圖①圖②【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：（1）20÷3＝，故答案為：；（2）∵CD∥AB，∴∠B＝∠DCB，∵△CNM與△ABM全等，∴△CMN≌△BAM或△CMN≌△BMA，①由題意得：BM＝CN＝3t，∴△CMN≌△BAM∴AB＝CM，∴12＝20－3t，解得：t＝；②由題意得：CN≠BM，∴△CMN≌△BMA，∴AB＝CN＝12，CM＝BM，∴CM＝BM＝BC，∴3t＝10，解得：t＝∵CN＝at，∴a＝12解得：a＝；（3）存在∵CD∥AB，∴∠B＝∠DCB，∵△CNM與△PBM全等，∴△CMN≌△BPM或△CMN≌△BMP，①當(dāng)△CMN≌△BPM時(shí)，則BP＝CM，若此時(shí)P由A向B運(yùn)動(dòng)，則BP＝12－2t，CM＝20－3t，∵BP＝CM，∴12－2t＝20－3t，解得：t＝8(舍去)若此時(shí)P由B向A運(yùn)動(dòng)，則BP＝2t－12，CM＝20－3t，∵BP＝CM，∴2t－12＝20－3t，解得：t＝6.4，②當(dāng)△CMN≌△BMP時(shí)，則BP＝CN，CM＝BM，∴CM＝BM＝BC∴3t＝10，解得：t＝當(dāng)t＝時(shí)，點(diǎn)P的路程為AP＝2t＝，此時(shí)BP＝AB－AP＝12－＝，則CN＝BP＝即at＝，∵t＝，∴a＝1.6符合題意綜上所述，滿足條件的t的值有：t＝6.4或t＝.12.如圖，中，，，，點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B點(diǎn)，點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A點(diǎn)，點(diǎn)M和N分別以每秒2cm和3cm的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，分別過(guò)M和N作于E，于F設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，要使以點(diǎn)M，E，C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)N，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形全等，則t的值為_(kāi)_______．【答案】或7或8【解析】解：點(diǎn)M從點(diǎn)A到點(diǎn)C需要AC÷2=4s，到點(diǎn)B共需（AC＋BC）÷2=s點(diǎn)N從點(diǎn)B到點(diǎn)C需要BC÷3=5s，到點(diǎn)A共需（AC＋BC）÷3=s①當(dāng)0≤t＜4時(shí)，即點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在BC上，此時(shí)AM=2t，BN=3t，∴CM=8－2t，NC=15－3t∵∠MEC=∠CFN=∠ACB=90°，∴∠MCE＋∠NCF=90°，∠CNF＋∠NCF=90°∴∠MCE=∠CNF若CM=NC時(shí)，利用AAS可得△MCE≌△CNF即8－2t=15－3t解得：t=7（不符合前提條件，故舍去）；②當(dāng)4≤t＜5時(shí)，即點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N在BC上，易知：當(dāng)M、N重合時(shí)滿足題意此時(shí)CE=2t－8，CN=15－3t，CE=CN∴2t－8=15－3t解得：t=；③當(dāng)5≤t＜時(shí)，即點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N在AC上，∴CM=2t－8，NC=3t－15∵∠MEC=∠CFN=∠ACB=90°，∴∠MCE＋∠NCF=90°，∠CNF＋∠NCF=90°∴∠MCE=∠CNF若CM=NC時(shí)，利用AAS可得△MCE≌△CNF即2t－8=3t－15解得：t=7；④當(dāng)≤t＜時(shí)，即點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，∴CM=2t－8，NC=8∵∠MEC=∠CFN=∠ACB=90°，∴∠MCE＋∠NCF=90°，∠CNF＋∠NCF=90°∴∠MCE=∠CNF若CM=NC時(shí)，利用AAS可得△MCE≌△CNF即2t－8=8解得：t=8．故答案為：或7或8．13.（2019·湖北襄州）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，5），B（12，0），在y軸負(fù)半軸上取點(diǎn)E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直線CO交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）根據(jù)題意，可求得OE＝；（2）求證：△ADO≌△ECO；（3）動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)沿E﹣O﹣B路線運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位，到B點(diǎn)處停止運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從B出發(fā)沿B﹣O﹣E運(yùn)動(dòng)速度為每秒3個(gè)單位，到E點(diǎn)處停止運(yùn)動(dòng)．二者同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)才能停止．在某時(shí)刻，作PM⊥CD于點(diǎn)M，QN⊥CD于點(diǎn)N．問(wèn)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間△OPM與△OQN全等？【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：（1）∵A（0，5），∴OE＝OA＝5，故答案為5．（2）∵OE＝OA，OB⊥AE，∴BA＝BE，∴∠BAO＝∠BEO，∵∠CEF＝∠AEB，∴∠CEF＝∠BAO，∴∠CEO＝∠DAO，在△ADO與△ECO中，，∴△ADO≌△ECO．（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)PO＝QO時(shí)，易證△OPM≌△OQN．①當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在y軸、x軸上時(shí)PO＝QO得：5﹣t＝12﹣3t，解得t＝（秒），②當(dāng)點(diǎn)P、Q都在y軸上時(shí)PO＝QO得：5﹣t＝3t﹣12，解得t＝（秒），③當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，Q在y軸上時(shí)，則PO＝QO得：t﹣5＝3t﹣12，解得t＝（秒）不合題意；當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E提前停止時(shí)，有t﹣5＝5，解得t＝10（秒），綜上所述：當(dāng)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為、、10秒時(shí)，△OPM與△OQN全等．14.（2019·福建省惠安期中）如圖，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC以4cm/s的速度連續(xù)做往返運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AG以2cm/s的速度向終點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)G時(shí)，E、F兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，EF與AC交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（1）分別寫(xiě)出當(dāng)0≤t≤2和2＜t≤4時(shí)線段BF的長(zhǎng)度（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)BF＝AE時(shí)，求t的值；（3）若△ADE≌△CDF，求所有滿足條件的t值．【答案】見(jiàn)解析．【解析】解：（1）根據(jù)題意，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，BF=4t；當(dāng)2＜t≤4時(shí)，BF=16-4t；（2）根據(jù)題意，由BF＝AE，則16-4t=2t，解得：t=；∴當(dāng)BF＝AE時(shí)，t的值為：；（3）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，△ADE≌△CDF，則AE=CF，即8－4t=2t，解得：t=；當(dāng)2＜t≤4時(shí)，△ADE≌△CDF，則AE=CF，即4t－8=2t，解得：t=4；則t=或4時(shí)，△ADE≌△CDF．15.（2020·無(wú)錫市月考）△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為_(kāi)____厘米/秒，△BPD與△CQP全等.【答案】3或4.5【解析】解：當(dāng)BD=PC時(shí)，△BPD與△CQP全等，∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD=AB=6cm，∵BD=PC，∴BP=8－6=2（cm），∵點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間時(shí)s，∵△DBP≌△PCQ，∴BP=CQ=2cm，∴v=2÷=3；當(dāng)BD=CQ時(shí)，△BDP