微積分高等數(shù)學(xué)完整版

關(guān)于微積分高等數(shù)學(xué)完整版一、基本概念1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.有限集無(wú)限集第2頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.第3頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.區(qū)間:是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,第4頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無(wú)限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度的定義:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度)稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.第5頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.鄰域:第6頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.常量與變量:

在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對(duì)“過程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x,y,t等表示變量.第7頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.絕對(duì)值:運(yùn)算性質(zhì):絕對(duì)值不等式:第8頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天因變量自變量數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域二、函數(shù)概念第9頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天自變量因變量對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.第10頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義:如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)．第11頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天(1)符號(hào)函數(shù)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyo第12頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線第13頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)第14頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天(4)取最值函數(shù)yxoyxo第15頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天在自變量的不同變化范圍中,

對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).第16頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式.解單三角脈沖信號(hào)的電壓第17頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第18頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2解故第19頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、函數(shù)的特性M-Myxoy=f(x)X有界無(wú)界M-MyxoX1．函數(shù)的有界性:第20頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．函數(shù)的單調(diào)性:xyo第21頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天xyo第22頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x第23頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天奇函數(shù)yxox-x第24頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天4．函數(shù)的周期性:（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.第25頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.四、反函數(shù)第26頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天五、小結(jié)基本概念集合,區(qū)間,鄰域,常量與變量,絕對(duì)值.函數(shù)的概念函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.反函數(shù)第27頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題第28頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題解答設(shè)則故第29頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)題第30頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第31頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)題答案第32頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第33頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)第34頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.指數(shù)函數(shù)第35頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.對(duì)數(shù)函數(shù)第36頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.三角函數(shù)正弦函數(shù)第37頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天余弦函數(shù)第38頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天正切函數(shù)第39頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天余切函數(shù)第40頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天正割函數(shù)第41頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天余割函數(shù)第42頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.反三角函數(shù)第43頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第44頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第45頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天

冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).第46頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)定義:第47頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天注意:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.2.初等函數(shù)

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).第48頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1解第49頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天綜上所述第50頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)奇函數(shù).偶函數(shù).1.雙曲函數(shù)第51頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天奇函數(shù),有界函數(shù),第52頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天雙曲函數(shù)常用公式第53頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.反雙曲函數(shù)奇函數(shù),第54頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第55頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天奇函數(shù),第56頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、小結(jié)函數(shù)的分類:函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無(wú)窮多項(xiàng)等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無(wú)理函數(shù)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))第57頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題第58頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題解答不能．第59頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、填空題:練習(xí)題第60頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第61頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)題答案第62頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第63頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第64頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：播放——?jiǎng)⒒找?、概念的引入?5頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積第66頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”第67頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、數(shù)列的定義例如第68頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天注意：1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)第69頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天播放三、數(shù)列的極限第70頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天問題:當(dāng)無(wú)限增大時(shí),是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:第71頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第72頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天如果數(shù)列沒有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.注意：第73頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天幾何解釋:其中第74頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意：第75頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2證所以,說(shuō)明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.第76頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3證第77頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4證第78頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性例如,有界無(wú)界第79頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理1收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.第80頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.唯一性定理2每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.證由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.第81頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5證由定義,區(qū)間長(zhǎng)度為1.不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為1的區(qū)間內(nèi).第82頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系)如果數(shù)列收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a第83頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天五.小結(jié)數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性唯一性.第84頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題證明要使只要使從而由得取當(dāng)時(shí)，必有成立第85頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題解答~（等價(jià)）證明中所采用的實(shí)際上就是不等式即證明中沒有采用“適當(dāng)放大”的值第86頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天從而時(shí)，僅有成立，但不是的充分條件．反而縮小為第87頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)題第88頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找弧⒏拍畹囊氲?9頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、數(shù)列的極限第90頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、數(shù)列的極限第91頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、數(shù)列的極限第92頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、數(shù)列的極限第93頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、數(shù)列的極限第94頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、數(shù)列的極限第95頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、數(shù)列的極限第96頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、數(shù)列的極限第97頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、數(shù)列的極限第98頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、數(shù)列的極限第99頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、數(shù)列的極限第100頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、數(shù)列的極限第101頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、數(shù)列的極限第102頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第103頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天播放一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限第104頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問題:如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近”.第105頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第106頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.另兩種情形:第107頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.幾何解釋:第108頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1證第109頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限第110頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第111頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.幾何解釋:注意：第112頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2證例3證第113頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4證函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒有定義.第114頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5證第115頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.單側(cè)極限:例如,第116頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天左極限右極限第117頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天左右極限存在但不相等,例6證第118頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.有界性2.唯一性第119頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天推論3.不等式性質(zhì)定理(保序性)第120頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理(保號(hào)性)推論第121頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定義定理第122頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天證第123頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.第124頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例7證第125頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天二者不相等,第126頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、小結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義(見下表)第127頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天過程時(shí)刻從此時(shí)刻以后過程時(shí)刻從此時(shí)刻以后第128頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題第129頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題解答左極限存在,右極限存在,不存在.第130頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、填空題:練習(xí)題第131頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第132頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)題答案第133頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限第134頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限第135頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限第136頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限第137頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限第138頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限第139頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限第140頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限第141頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限第142頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第143頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、無(wú)窮小1.定義:極限為零的變量稱為無(wú)窮小.第144頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如,注意1.無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù).第145頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性第146頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天意義1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無(wú)窮小);3.無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理2在同一過程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.證第147頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天注意

無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.第148頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理3有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.證第149頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天推論1在同一過程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論3有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.都是無(wú)窮小第150頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、無(wú)窮大絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大.第151頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大．注意1.無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3.無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.第152頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天不是無(wú)窮大．無(wú)界，第153頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天證第154頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系定理4在同一過程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.證第155頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天意義

關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論.第156頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、小結(jié)1、主要內(nèi)容:兩個(gè)定義;四個(gè)定理;三個(gè)推論.2、幾點(diǎn)注意:無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過程而言的.（1）無(wú)窮小（大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；（2）無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮小.（3）無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.第157頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題第158頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題解答不能保證.例有第159頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、填空題:練習(xí)題第160頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第161頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)題答案第162頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第163頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、極限運(yùn)算法則定理證由無(wú)窮小運(yùn)算法則,得第164頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第165頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天推論1常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論2有界，第166頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、求極限方法舉例例1解第167頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天小結(jié):第168頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天解商的法則不能用由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得例2第169頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天解例3(消去零因子法)第170頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4解(無(wú)窮小因子分出法)第171頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天小結(jié):無(wú)窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無(wú)窮小,然后再求極限.第172頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5解先變形再求極限.第173頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例6解第174頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例7解左右極限存在且相等,第175頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、小結(jié)1.極限的四則運(yùn)算法則及其推論;2.極限求法;a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無(wú)窮小因子分出法求極限;d.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.第176頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題

在某個(gè)過程中，若有極限，無(wú)極限，那么是否有極限？為什么？第177頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題解答沒有極限．假設(shè)有極限，有極限，由極限運(yùn)算法則可知：必有極限，與已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤．第178頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、填空題:練習(xí)題第179頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、求下列各極限:第180頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第181頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)題答案第182頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第183頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、無(wú)窮小的比較例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限第184頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義:第185頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1解例2解第186頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天常用等價(jià)無(wú)窮小:用等價(jià)無(wú)窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:例如,第187頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、等價(jià)無(wú)窮小替換定理(等價(jià)無(wú)窮小替換定理)證第188頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3解不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別替換.注意第189頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4解解錯(cuò)第190頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5解第191頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、小結(jié)1.無(wú)窮小的比較:反映了同一過程中,兩無(wú)窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無(wú)窮小都可進(jìn)行比較.2.等價(jià)無(wú)窮小的替換:

求極限的又一種方法,注意適用條件.高(低)階無(wú)窮小;等價(jià)無(wú)窮小;無(wú)窮小的階.第192頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題任何兩個(gè)無(wú)窮小量都可以比較嗎？第193頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題解答不能．例當(dāng)時(shí)都是無(wú)窮小量但不存在且不為無(wú)窮大故當(dāng)時(shí)第194頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)題第195頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第196頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第197頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)題答案第198頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第199頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第200頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量第201頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.連續(xù)的定義第202頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第203頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1證由定義2知第204頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.單側(cè)連續(xù)定理第205頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2解右連續(xù)但不左連續(xù),第206頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,第207頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3證第208頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、函數(shù)的間斷點(diǎn)第209頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.跳躍間斷點(diǎn)例4解第210頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.可去間斷點(diǎn)例5第211頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天解注意

可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).第212頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天如例5中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn)第213頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.第二類間斷點(diǎn)例6解第214頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例7解注意不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).第215頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn).僅在x=0處連續(xù),其余各點(diǎn)處處間斷.★★第216頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,但其絕對(duì)值處處連續(xù).★判斷下列間斷點(diǎn)類型:第217頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例8解第218頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類間斷點(diǎn):無(wú)窮型,振蕩型.間斷點(diǎn)(見下圖)第219頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天可去型第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型無(wú)窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)oyxoyxoyx第220頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題第221頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題解答且第222頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天但反之不成立.例但第223頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)題第224頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第225頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)題答案第226頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第227頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天第228頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、四則運(yùn)算的連續(xù)性定理1例如,第229頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理2嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).第230頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理3證第231頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天將上兩步合起來(lái):第232頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天意義1.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;例1解第233頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2解同理可得第234頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理4注意定理4是定理3的特殊情況.例如,第235頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★第236頁(yè),共259頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理5基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是