低年級奧數(shù)訓練教程

低年級奧數(shù)訓練教程

（學生用）

2001年6月

上冊

第一講認識圖形(一)

1.“?”，這叫什么？這叫“點”。

用筆在紙上畫一個點，可以畫大些，也可以畫小些。點在紙上占一個位置。

2.“?--------?”，這叫什么？這叫“線段”。

沿著直尺把兩點用筆連起來，就能畫出一條線段。線段有兩個端點。

3.“?--------”，這叫什么？這叫“射線”。

從一點出發(fā)，沿著直尺畫出去，就能畫出一條射線。射線有一個端點，另一邊延伸得很遠很遠，沒有

盡頭。

4.“--------”，這叫什么？這叫“直線”。

沿著直尺用筆可以畫出直線。直線沒有端點，可以向兩邊無限延伸。

5.這兩條直線相交。

兩條直線相交，只有一個交點。

6.這兩條直線平行。

兩條直線互相平行，沒有交點，無論延伸多遠都不相交。

7,頂點,邊這叫什么？這叫“角”。

角是由從一點引出的兩條射線構成的。這點叫角的頂點，射線叫角的邊。角分銳角、直角和鈍角三種。

直角的兩邊互相垂直，二角板有一個角就是這樣的直角。教室里天花板上的角都是直角。

銳角比直角小，鈍角比直角大。

習題一

I看看、想想I

1.點(1)看，這些點排列得多好!

(2)看，這個帶箭頭的線上畫了點。

2.線段下圖中的線段表示小棍，看小棍的擺法多有趣!

(1)一根小棍?？梢詸M著擺，也可以豎著擺。

(2)兩根小棍?？梢远紮M著擺，也可以都豎著擺，還可以一橫一豎擺。

H-11

（3）三根小棍。可以像下面這樣擺。

-------I----I----

—?h?-------?1—1

II-JII

3.兩條直線

哪兩條直線相交？

哪兩條直線垂直？

哪兩條直線平行？

4.你能在自己的周圍發(fā)現(xiàn)這樣的角嗎？

第二講認識圖形（二）

一、認識三角形

1.這叫“三角形”。

頂點

三角形有三條邊，三個角，三個頂點。

2.這叫“直角三角形”。

直角邊

直角三角形是一種特殊的三角形，它有一個角是直角。它的三條邊中有兩條叫直角邊，一條叫斜邊。

3.這叫“等腰三角形”。

它也是一種特殊的三角形，它有兩條邊一樣長（相等），相等的兩條邊叫“腰”，

另外的一條邊叫“底”。

4.這叫“等腰直角三角形”或叫“直角等腰三角形”。它既是直角三角形，又是等腰三角形。

斜邊

5.這叫“等邊三角形”

它的三條邊一樣長（相等），三個角也一樣大（相等）。

四邊形有四條邊，內(nèi)部有四個角。

2.這叫“等腰梯形”。

TEW

下底它是一種特殊的四邊形，它的上下兩邊平行，左右兩邊相等。平行的

兩邊分別叫上底和下底，相等的兩邊叫腰。

3.這叫“平行四邊形”。

它的兩組對邊分別平行而且相等，兩組對角分別相等。

4.這叫“長方形”。

它的兩組對邊分別平行而且相等，四個角也都是直角。

5.這叫“菱形”。

菱形的四條邊都相等，對角分別相等。

6.這叫“正方形”。

正方形的四條邊都相等，四個角都是直角。

三、認識圓和扇形

1.這叫“圓”。

圓是個很美的圖形。圓中心的一點叫圓心，圓心到圓上一點的連線叫圓的半徑，過

圓心連接圓上兩點的連線叫圓的直徑。

直徑把圓分成相等的兩部分，每一部分都叫“半圓”。

2.這叫''扇形"。

孤

圓的一部分叫“圓弧”。由一條圓弧和兩條半徑構成的圖形叫“扇形”。

習題二

1.用橡皮筋在釘子板上套出各種圖形。

2.觀察周圍的物體，你還能發(fā)現(xiàn)哪些圖形？如:

第三講認識圖形（三）

1.這叫“長方體”。

長方體有六個面，十二條棱，八個頂點。長方體的面一般是長方形，也可能有兩個

面是正方形。互相垂直的三條棱分別叫做長方體的長、寬、高。

2.這叫“正方體”。

正方體有六個面，十二條棱，八個頂點。正方體的每個面都是同樣大的正方形，所以它的十

二條棱長都相等。

3.這叫“圓柱”。

這個棱柱的上下底面是三角形。它有三條互相平行的棱，叫三棱柱。

6.這叫“棱錐”。

這個棱錐的底面是四邊形。它有四條棱斜著立起來，所以叫四棱錐。

7.這叫“三棱錐”。

因為它有四個面，所以通常又叫“四面體”。它的每個面都是三角形。

8.這叫“球體”。簡稱“球”。球有球心，球心到球面上一點的連線叫球的半徑。

習題三

看看摸摸，并在自己周圍尋找具有這些形狀的物體。

1.長方體

2.正方體

3.圓柱

5.棱錐

第四講數(shù)一數(shù)（一）

例1數(shù)一數(shù)，下圖中有幾個正方形、幾個等邊三角形、幾個圓？

例2數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少點？

1+3+6+9+12=31共有31個點。

例3數(shù)一數(shù)，下圖中有幾條線段？

照下面的方法數(shù):

3+2+1=6（條）。

例4數(shù)一數(shù)，下圖中有幾個銳角？

照下面的方法數(shù):

3+2+1=6（個）。

習題四

1.數(shù)一數(shù)，下圖中有幾個銳角？幾個直角？幾個鈍角？

2.數(shù)一數(shù)，下圖中有幾個等邊三角形？有幾個等腰三角形？有幾個直角三角形？有幾個等腰直角三角

形？

第五講數(shù)一數(shù)（二）

數(shù)復雜的圖形需要較強的觀察能力，要細心，做到不重不漏。

例1數(shù)一數(shù)，右圖中有多少個三角形？

照書上的方法數(shù)，共4個三角形。

例2數(shù)一數(shù)，右圖中共有多少個三角形?

照書上的方法數(shù)，共8個三角形。（右上）

例3數(shù)一數(shù)，右圖中共有多少個正方形？

照書上的方法數(shù)，共有10個正方形

4+5+1=10（個）。

例4數(shù)一數(shù)，右圖中共有多少個長方形？

習題五

1.數(shù)一數(shù)，右圖中有幾個三角形？

2.數(shù)一數(shù)，右圖中有幾個三角形？

3.右圖中有8個三角形，請你把它們都找出來。

4.數(shù)一數(shù)，右圖中有幾個長方形？

10.右圖中共有27個三角形，請你都找出來。

11.數(shù)一數(shù)，右圖中共有多少個三角形？

第六講動手畫畫

例1畫點用鉛筆在紙上畫點。

一個點^^點許多點

例2畫線段先畫兩個端點，再使尺子的一邊與兩點靠近。左手按住尺子，右手拿鉛筆沿著尺子邊從一點

畫到另一點。

例3畫直線把尺子放在紙上，用左手按住，用右手拿著筆從左往右畫。（雖然畫出的只是一段，但可以

把它想像成是向兩端延伸得很遠很遠）

通過一點通過兩點

能畫彳豚酸只^海一條或

例4畫直角左手按住三角板，右手拿著鉛筆沿三角板的兩條直角邊可畫出直角。

習題六

1.畫點

(1)隨意畫

(2)照圖畫

2.畫線

(1)隨意畫

曲線折線

(2)用尺比著畫線段(看成線段)

3.畫角

(2)用三角板畫一個直角、三個銳角。

4.畫長方形和正方形(在方格紙上畫)。

5.使用三角板和圓規(guī)畫出各種圖樣。

6.同學們合作，利用小棍(或粉筆)和細繩，在地面上畫大圓。一人把線的一端按在地上不動，另一

人把小棍(或粉筆)捆在細繩上，讓細繩時刻拉緊轉(zhuǎn)圈，這時小棍(或粉筆)就能在地上畫出一個大圓。

第七講擺擺看看

例1用兩根火柴棍，擺成一個銳角、一個直角、一個鈍角。

僦直翁膜

例2用四根火柴棍擺出兩條平行直線，再擺出兩條相交直線。

例3用火柴棍擺出一個三角形、一個正方形、一個菱形、一個長方形、一個平行四邊形、一個等腰梯形、

一個五邊形、一個六邊形、一個八邊形。

例4用三根火柴棍可以擺出一個三角形，如圖。

△

(1)再加兩根火柴棍，擺出兩個三角形。

(2)再加兩根，擺出三個三角形來。

(3)再加兩根，擺出五個三角形來。

解擺一個三角形必需三根火柴棍，這樣計算，擺兩個三角形就需要六根。但是現(xiàn)在只給你增加兩根，卻要

求你用五根擺出兩個三角形，可見必有一根火柴棍要供兩個三角形公用才行。同樣道理，再加兩根后共七

根要擺三個三角形還差兩根，所以必須有兩根公用。

再給兩根后共九根火柴棍，要擺五個三角形。擺法如圖所示?？梢钥闯鼍鸥鸩窆鲾[出了三個“正立”

的小三角形，同時中間還出現(xiàn)了一個“倒立”的小三角形，它并沒有額外需要增加火柴棍。而且最外面的

六根火柴棍又形成了一個大三角形。所以這九根火柴棍共擺出了五個三角形。

習題七

1.用兩根小木棍，擺成一個很小的銳角，然后慢慢地挪動一根，使銳角漸漸變大。如果繼續(xù)轉(zhuǎn)動小棍，

將會出現(xiàn)什么角？

2.如右圖所示，用火柴棍擺了五個三角形。

(1)拿掉哪三根，就可以變成一個三角形？

(2)拿掉哪兩根，就可變成兩個三角形？

(3)拿掉哪一根，就可變成三個三角形？

第八講做做想想

例(1)用下圖中那樣的三根小木棍，擺出一個三角形，并用橡皮泥粘住。

(2)再用如下圖中那樣長的三根小木棍，看能不能擺出一個三角形？

(3)想想：隨便拿三根小棍就能擺出一個三角形來嗎？什么樣的三根小棍才一定能擺出一個三角形？

解(1)圖中給的三根小棍，可以擺出一個三角形。

(2)圖中給的三根小棍，不能擺出三角形。

(3)得出結論：①三根小棍中，如果其中兩根較短的小棍接起來還沒有余下的那根長棍長，就擺不成

三角形。②三根棍中，如果兩根較短的接起來比最長的那根棍還長，用它們就能擺成一個三角形。③可見

在一個給出的三角形中，兩邊之和必大于第三邊。

習題八

1.(1)用三根一樣長的小棍，擺成一個等邊三角形，再用橡皮泥粘住。

(2)用兩根一樣長的小棍和一根較短的小棍，擺成一個等腰三角形，再用橡皮泥粘住。

(3)想想：一個等邊三角形必定是一個等腰三角形，對嗎？反過來說，每個等腰三角形都是等邊三角

形，對嗎？

2.(1)用圖示的三根小棍擺成一個直角三角形，再用橡皮泥粘住。(注意，這三根小棍的長度不是

隨意的，若用半根火柴棍當尺子去量，它們的長度數(shù)，即量的次數(shù)分別是3、4和5)

第一根：

第二根：

.....................................................

(2)若改用長度數(shù)是2、4和5的三根小棍，還能擺成直角三角形嗎？

(3)再改用長度為4、4和5的三根小棍，還能擺成直角三角形嗎？

再改用三根長度分別是3、4和6的小棍，能擺成一個直角三角形嗎？

(4)想想：通過動手做，你是否看出：在這三種情況中，只有長度數(shù)是3、4和5的小棍才能擺出一

個直角三角形，你對此感到奇妙嗎？

3.如圖所示，這里的四根小棍中兩根較長的長度相等，兩根短的長度也相等。

(1)用這四根小棍擺出一個長方形。

(2)再用它們擺成一個平行四邊形。

（3）先想想：長方形和平行四邊形的相同點是什么？不同點又是什么？

再判斷：“一個長方形必定也是一個平行四邊形，而一個平行四邊形就不一定是一個長方形?！睂Σ?/p>

對？

4.這里的四根小棍一樣長，請你用它們擺出:

（1）一個正方形。

（2）一個菱形。

（3）先想想：正方形和菱形的相同點是什么？不同點是什么？再判斷：“一個正方形必定是一個菱形,

而一個菱形不一定是一個正方形?！睂?？

第九講區(qū)分圖形

例1下圖中的兩個三角形，有哪些相同點，有哪些不同點？

相同點：都有一個直角，都是直角三角形。

不同點：（1）中兩條直角邊不相等，是一般的直角三角形。（2）中兩條直角邊相等，是個等腰直角

三角形。

例2下圖中的兩個圖形，有哪些相同點，有哪些不同點？請你仔細觀察、分析。

相同點：都可以看成是一個大圖形里面內(nèi)接（套著）一個同樣形狀的小圖形組成。

不同點：（1）的大小兩個圖形都是正方形，（2）的大小兩個圖形都是等邊三角形。

例3下圖的五個圖形中，哪一個與眾不同？

圖（3）與其他四個不同。

因為圖（3）只有三條邊，是三角形，而其他四個圖形都是四邊形。

例4從下面的五個圖形中選出與眾不同的一個。

△□C

（1）（2）（3）

圖（4）與其他四個不同。

除圖（4）外其他四個都是正多邊形，也就是各邊都相等的多邊形；而圖（4）的四條邊長短不同，所

以不是正多邊形。

習題九

從下列每題的五個圖形中選出與其他四個不相同的一個，把答案序號填在括號里。

1.

()o

()o

8.

第十講簡單數(shù)列

例1找出下面各數(shù)列的規(guī)律，并填空.

(1)1,2,3,4,5,(),(),8,9,10.

(2)I,3,5,7,9,(),(),15,17,19.

(3)2,4,6,8,10,(),(),16,18,20.

(4)I,4,7,10,(),()，19,22,25.

(5)5,10,15,20,(),(),35,40,45.

例2找出下面的數(shù)列的規(guī)律并填空.J,I,2,3,5,8,13,),),55,89

例3找出下面數(shù)列的生成規(guī)律并填空.1,2,4,8,16,),(),128,256.

例4找出下面數(shù)列的規(guī)律，并填空.1,2,4,7,11,(),),29,37.

例5找出下面數(shù)列的規(guī)律，并填空：1,3,7,15,31,),()255,511。

例6找出下面數(shù)列的生成規(guī)律，并填空.I,4,9,16,25,(),()，64,81,100

習題十：

下面的每組數(shù)都各自按一定的規(guī)律排列起來，請先找出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律填數(shù)。

(1)I,3,9,27,()；

(2)1,4,9,16,(),()；

(3)1.2,4,8,(),32。

2：按照規(guī)律，在()里填上合適的數(shù)。

(1)11,4,8,4,5,4,(),()；

(2)13,7,11,6,9,5,(),()。

3：下面各列數(shù)中都有一個與眾不同的數(shù)，請找出來。

(1)2,4,6,8,9,10,12；

(2)7,14,21,28,35,39,42。

4：按照規(guī)律，在()里填上合適的數(shù)。

3,4,7,12,19,28,()。

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第一講速算與巧算（一）

一、湊十法：

同學們已經(jīng)知道，下面的五組成對的數(shù)相加之和都等于10：

1+9=102+8=103+7=104+6=105+5=10

巧用這些結果，可以使計算又快又準。

例1計算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

解：對于這道題，當然可以從左往右逐步相加：

1+2=33+3=66+4=1010+5=1515+6=2121+7=2828+8=3636+9=4545+10=55

這種逐步相加的方法，好處是可以得到每一步的結果，但缺點是麻煩、容易出錯；而且一步出錯，以

后步步都錯。若是利用湊十法，就能克服這種缺點。

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

二、湊整法

同學們還知道，有些數(shù)相加之和是整十、整百的數(shù)，如：

1+19=2011+9=302+18=2012+28=403+17=2013+37=504+16=2014+46=605+15=2015+55=70

6+14=2016+64=807+13=2017+73=908+12=2018+82=1009+11=20

又如：15+85=10014+86=10025+75=10024+76=10035+65=10034+66=10045+55=10044+56=100等

巧用這些結果，可以使那些較大的數(shù)相加又快又準。像10、20、30、40、50、60、70、80、90>100

等等這些整十、整百的數(shù)就是湊整的目標。

例2計算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

解：這是求1到19共10個單數(shù)之和，用湊整法做：

2

O

2O

2O

2O

2O—_

卜

十13+15+

-+71.

例3計算2+4+6+8+10+12+14+16+18+20

解：這是求2到20共10個雙數(shù)之和，用湊整法做:

--------20-----------

20--------1

20----1

20―?

2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110

例4計算2+13+25+44+18+37+56+75

解：用湊整法:

I---------------100------------1

22-41--1134-：254-444-184-374-56+75=270

三、用已知求未知

利用已經(jīng)獲得較簡單的知識來解決面臨的更復雜的難題這是人們認識事物的一般過程，湊十法、湊整

法的實質(zhì)就是這個道理，可見把這種認識規(guī)律用于計算方面，可使計算更快更準。下面再舉兩個例子。

例5計算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20

解：由例2和例3,已經(jīng)知道從1開始的前10個單數(shù)之和以及從2開始的前10個雙數(shù)之和，巧用這些結

果計算這道題就容易了。

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20

(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)+(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)

=100+110(這步利用了例2和例3的結果)=210

例6計算5+6+7+8+9+10

解：可以利用前10個自然數(shù)之和等于55這一結果。

5+6+7+8+9+10=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)-(1+2+3+4)(熟練后，此步驟可省略)=55-10=45

四、改變運算順序

在只有加減運算的算式中，有時改變加、減的運算順序可使計算顯得十分巧妙！

例7計算10-9+8-7+6-5+4-3+2-1

解：這題如果從左到右按順序進行加減運算，是能夠得出正確結果的。但因為算式較長，多次加減又繁又

慢且容易出錯。如果改變一下運算順序，先減后加，就使運算顯得非?！捌痢?。下式括號中的算式表示

先算：10-9+8-7+6-5+4-3+2-1=(10-9)+(8-7)+(6-5)+(4-3)+(2-1)=1+1+1+1+1=5

五、帶著“+”、號搬家

例8計算1-2+3-4+5-6+7-8+9T0+11

解：這題只有加減運算，而且「2不夠減。我們可以采用帶著加減號搬家的方法解決。要注意每個數(shù)自己

的符號就是這個數(shù)前面的那個“+”號或“-”號，搬家時要帶著符號一起搬。

1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10

=1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+(9-8)+(11-10)［先減后加］

=1+1+1+1+1+1=6

在這道題的運算中，把“+3”搬到“-2”的前面，把“+5”搬到了“-4”的前面，……把"+11”搬到

了“T0”的前面，這就叫帶著符號搬家。巧妙利用這種搬法，可以使計算簡便。

習題一

1.計算：13+14+15+16+17+25

2.計算：2+3+4+5+15+16+17+18+20

3.計算：21+22+23+24+25+26+27+28+29

4.計算：5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20

5.計算：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-0

6.計算：10-20+30-40+50-60+70-80+90

7.計算：(2+4+6+8+10)-(1+3+5+7+9)

8.計算：(2+4+6+-+20)-(1+3+5+-+19)

9.計算：(2+4+6+-+100)-(1+3+5+-+99)

第二講速算與巧算(二)

例1哥哥和妹妹分糖。哥哥拿1塊，妹妹拿2塊；哥哥拿3塊，妹妹拿4塊；接著哥哥拿5塊、7塊、9

塊、H塊、13塊、15塊，妹妹拿6塊、8塊、10塊、12塊、14塊、16塊。你說誰拿得多，多幾塊？

解：方法1：先算哥哥共拿了多少塊？再算妹妹共拿了多少塊？

72-64=8（塊）

方法2：這樣想：先算每次妹妹比哥哥多拿幾塊，再算共多拿了多少塊。

(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)

=1+1+1+1+1+1+1+1=8(塊)

可以看出方法2要比方法1巧妙！

平時注意積累，記住一些有趣的和重要的運算結果，非常有助于速算。比如，請同學記住幾個自然數(shù)

相加之和：1+2=31+2+3+4+5+6+7=28

1+2+3=61+2+3+4+5+6+7+8=36

1+2+3+4=101+2+3+4+5+6+7+8+9=45

1+2+3+4+5=151+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

1+2+3+4+5+6=21

例2星期天，小明家來了9名小客人。小明拿出一包糖，里面有54塊。小明說：“咱們一共10個人，每

人都要分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，誰會分？”結果大家都無法分，你能幫他們分好嗎？

解：按小明提的要求確實無法分。

因為要使得每個人都得到糖，糖塊數(shù)人人不等，需要糖塊數(shù)最少的分法是：第一人分到1塊，第二人

分到2塊，…第十人分到10塊。但是，這種分法共需要有：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（塊）

而小明這包糖一共才54塊，所以按這種方法無法分。如果改變一下，有一人少得1塊糖，比如說，應

該得10塊糖的小朋友只分到了9塊，但是這樣一來，他就和另一個先分得9塊糖的那個小朋友一樣多了，

這又不符合小明提出“每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多”的要求。

（注意：“按小明提的要求無法分”就是此題的答案。在數(shù)學上“無解”也叫問題的答案。）

例3時鐘1點鐘敲1下，2點鐘敲2下，3點鐘敲3下，……照這樣敲下去，從1點到12點，這12個小

時時鐘共敲了幾下？

解：這是一道美國小學奧林匹克試題，要求在3分鐘內(nèi)就要得出答案。

方法1：湊十法

+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（下）

方法2：如果能記住從1到10前十個自然數(shù)之和是55,計算會更快。

（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+11+12=55+11+12=78（下）

習題二

1.三個小朋友分5塊糖。要求每人都分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，你能分嗎？

2.①把16只小雞分別裝進5個籠子里，每個籠子里都要有雞，而且每個籠子里的雞的只數(shù)也不能相

同，如何分裝？

②按同樣要求，把15只小雞裝進5個籠子能辦得到嗎？

③按同樣要求，把14只小雞分裝到5個籠子能辦得到嗎？

3.①把100塊糖分給10個小朋友。要求每人都分到單數(shù)塊糖，而且每人分到糖塊數(shù)都不一樣，如何

分？

②把99塊糖按同樣要求分給10個小朋友，你能分嗎？

4.從1到20這20個數(shù)中，所有的雙數(shù)之和與所有的單數(shù)之和的差是多少？

5.小方家的鐘除了幾點鐘敲幾下外，每半點鐘也敲一下。比如說，0點半敲1下，1點鐘敲1下，1

點半敲1下，2點敲2下，2點半敲1下，……照這樣敲下去，從夜里0點開始，計到白天中午12點鐘，

在這12個小時之內(nèi)時鐘共敲了多少下？

第三講數(shù)數(shù)與計數(shù)（一）

例1請你數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少個“X”？

X

XXX

XXXXX

XXXXXXX

XXXXXXXXX

XXXXXX

XXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXXXX

解：①分層數(shù)

I—10―I

Ir-10-|I?—20―?

1+3+5+7+9+6+10+14+17=72

②先按“實心”三角形計算，再減去“空白”三角形中“X”的個數(shù)

（1+3+5+7+9+11+13+15+17）-（5+3+1）

=7+9+11+13+15+17=72

例2下圖所示的“塔”由4層沒有縫隙的小立方塊壘成，求塔中共有多少小立方塊？

般會好從頂層開始數(shù)，各層小立方塊數(shù)是：第一層：1塊；第二層：3塊；第三層：6塊；第四層:

■塊；總塊數(shù)1+3+6+10=20（塊）。

從上往下數(shù)，第一層：1塊；

第二層：第一層的1塊加第二層“看得見”的2塊等于第二層的塊數(shù)：1+2=3塊；

第三層：第二層的3塊加第三層“看得見”的3塊等于第三層的塊數(shù)：3+3=6塊；

第四層：第三層的6塊加第四層“看得見”的4塊等于第四層的塊數(shù)：6+4=10塊。

總塊數(shù)1+3+6+10=20（塊）

例3右圖是由小立方體碼放起來的，其中有一些小立方體被壓住看不見。請你數(shù)一數(shù)共有多少小立方體?

第第第第第

宣g——-

排排矯每排解：從右往左數(shù)，并且編號

第一排：1塊；第二排：7塊;第三排：5塊；第四排：9塊；第五排：16塊;

總數(shù)：1+7+5+9+16=38（塊）。

例4數(shù)一數(shù)下面的立體圖形的面數(shù)、棱數(shù)和頂點數(shù)各是多少？

面數(shù)：4棱數(shù)：6頂點數(shù)：4

面數(shù)：5棱數(shù)：8頂點數(shù)：5

習題三

1.請你數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少X?

2.如下圖所示，一單層磚墻下雨時塌了一處，請你數(shù)一數(shù)，需要多少塊磚才能把墻補好?

3.如右圖所示是一個由小立方體構成的塔，請你數(shù)一數(shù)并計算出共有多少塊。

4.如右圖所示是由小立方體構成的“寶塔”，請你數(shù)一數(shù)共多少塊?

5.右圖所示是由小立方體堆起來的，請你數(shù)一數(shù)，共有多少小立方體?

一第三排

、第R

,第TF

6.數(shù)一數(shù)，下面的立體圖形的面數(shù)、棱數(shù)和頂點數(shù)各是多少？

第四講數(shù)數(shù)與計數(shù)（二）

數(shù)數(shù)與計數(shù)時，注意不應漏掉，不應重復。如果漏掉了，要加上；如果重復了，要減掉。

例1小朋友排隊，小紅前面4個人，后面3個人，問這隊共有幾個人？

這隊的總?cè)藬?shù)要數(shù)上小紅，所以是4+3+1=8（人）。

例2排好隊，來報數(shù)，

正著報數(shù)我報七，

倒著報數(shù)我報九，

一共多少小朋友？

解：見下圖

正報廣：我?

12=3==4==56I7I

|9|.7654321

正著報數(shù)“我”報了一次，倒著報數(shù)“我”又報了一次，所以把兩次報數(shù)加起來時，“我”被加了兩

次。因此算這隊的總?cè)藬?shù)時，應從兩次報數(shù)之和減1。所以全隊總?cè)藬?shù)是：7+9-1=15（人）。

也可以這樣想：正著報數(shù)報到我為止，倒著報數(shù)時，我就不報了，只報到我的后面相鄰的那個人他應

該報8,所以全隊總?cè)藬?shù)是：7+（9-1）=15（人）。

例3少先隊員排成隊去參觀科技館。從排頭數(shù)起劉平是第20個；從排尾數(shù)起，張英是第23個。已知劉平

的前一個是張英。問這隊少先隊員共有多少人？

解：畫示意圖，用點代表少先隊員。

從排頭數(shù)起_張窄文呼從M尾數(shù)起

???……???……

20人23人

由圖可見，從排頭數(shù)起時，把張英和劉平數(shù)了一次。由排尾數(shù)起時，又把劉平和張英數(shù)了一次，可見

把他兩人多數(shù)了一次，所以點總?cè)藬?shù)時，應減去多數(shù)的那一次才對。

20+23-2=41（人）。

例445個小朋友排成一隊去春游。從排頭往后數(shù)，小剛是第19個；從排尾往前數(shù)，小莉是第12個，問小

剛和小莉中間有幾個人？

解：畫示意圖。用點“?”代表人

45人

從制鼠燙曰、即J~刁事I從排危藪

............

中時？人12^

由圖可見，小剛和小莉中間的人數(shù)是：45-（19+12）=14（人）.

例5一班同學做花，做紅花的有38人，做黃花的有39人，沒有做花的有3人。如果全班55人，那么既

做紅花又做黃花的有多少人？

解：畫圖如下：

38人做紅花3人沒做花

I門

由圖可見，做花的人：55-3=52（人）。

圖中陰影部分表示兩色花都做的人：38+39-52=25（人）。

習題四

1.學生排成一隊，在小進的前面有6人，后面有8人，問這隊共有多少人？

2.12輛汽車組成一列車隊向前行進。從前面數(shù)起，紅色的小轎車是第7輛。問從后面數(shù)它是第幾輛？

3.游泳池里男生都戴藍帽，女生都戴紅帽。池中一個男生小強邊看邊數(shù)，他看見藍帽4個，紅帽5個。

問池中男女生共多少人？

4.說稀奇、道稀奇，鴨子隊里有只雞。正著數(shù)它第六，倒著數(shù)它第七。請你幫助算一算，小鴨一共有

幾只？

5.一個小組的小學生共有5人，已知他們都做了語文作業(yè)或數(shù)學作業(yè)。又知做完語文作業(yè)的有3人，

做完數(shù)學作業(yè)的有4人。問語文和數(shù)學作業(yè)都做完的有幾人？

6.在100名學生中統(tǒng)計，有65人會騎自行車，有73人會游泳，有10人既不會騎自行車又不會游泳。

問既會騎自行車又會游泳的人有多少？

7.某班有學生45人，訂閱《中國少年報》的有29人，訂閱《小朋友》的有28人，其中兩種都訂閱

的有16人，問兩種刊物都沒有訂閱的人有多少？

第五講數(shù)數(shù)與計數(shù)（三）

例1小朋友，張開手，

五個手指人人有。

手指之間幾個“空”，

請你仔細瞅一瞅？

解：見右圖看一看、數(shù)一數(shù)可知：5個手指間有4個“空”?！翱铡庇纸小伴g隔”，也就是，人的一只手

有5個手指4個間隔。

例2小朋友在一段馬路的一邊種樹。每隔1米種一棵，共種了11棵，問這段馬路有多長？

解：畫示意圖如下：

的帛空◎空GOG◎舉

s-------------------10米----------------------------，

由圖可見，這段馬路的n棵樹之間有io個“空”，也就是io個間隔。每個間隔長1米，io個間隔

長10米。也就是說這段馬路長10米。像這類問題一般叫做“植樹問題”?？梢缘贸鲆粋€公式：當兩頭都

種樹時：I棵數(shù)-仁間隔數(shù)I

例3把一根粗細一樣的木頭鋸成5段，需要4分鐘。

①如果把這根木頭鋸成10段，需要幾分鐘？②如果把這根木頭鋸成100段，需要幾分鐘？

解：畫出示意圖：

由圖可見，把木頭鋸成5段，只需鋸4次。所以鋸一次需1分鐘。

①同樣道理，把這根木頭鋸成10段，只需鋸9次，所以需9分鐘。

②同理，把這根木頭鋸成100段，只需鋸99次，所以需99分鐘。

例4鼓樓的鐘打點報時，5點鐘打5下需要4秒鐘。問中午12點時打12下需要幾秒鐘？

解：畫示意圖。鐘打一下用一個點代表，打5下畫5個點。

J司隔踏t1I

由圖可見，鐘打5下中間有4個時間間隔，4個間隔是4秒鐘，每個間隔就是1秒鐘。由此推理鐘打

12下時有12-1=11個時間間隔，故用11秒鐘。

習題五

1.一隊男生8人。老師要求在2名男生中間插進1名女生，問可插進多少女生？

2.小冬用12張紙訂成一個本子。從頭數(shù)起，每隔3紙夾進一片樹葉，問這個本子內(nèi)共放進多少片樹葉？

3.在一條20米長的小路兩旁種小松樹，如果每隔5米種一棵，而且兩頭都種樹，問這段小路上共種

多少棵？

4.一根鋼管長6米，每分鐘鋸下1米，幾分鐘鋸完？

5.一根木頭鋸成4段，要付鋸工費1元。如果要把這根木頭鋸成13段，要付鋸工費多少元？

6.小明與爸爸一同上樓。小明上得快、爸爸上得慢，小明上2層，爸爸上1層。問小明上到五樓時,

爸爸上到幾樓？

7.沿著跑道插著11面旗，旗與旗離得一樣遠，第一面旗插在起點。運動員從起點起跑經(jīng)過6秒鐘到

達第6面旗，問運動員到達第11面旗時，需要跑11秒鐘嗎？

8.一三點鐘時，掛鐘打響三下，用了12秒。到六點鐘時，掛鐘打響六下，要用幾秒鐘？

第六講數(shù)數(shù)與計數(shù)（四）

本講采用枚舉法解決數(shù)數(shù)與計數(shù)的問題。比如老奶奶數(shù)雞蛋，她小心翼翼地把雞蛋從藍子里一個一個

地往外拿，邊拿邊數(shù)?；@子里的雞蛋拿光了，有多少個雞蛋也就數(shù)出來了。

這種最簡單的數(shù)數(shù)與計數(shù)的方法就叫做枚舉法。

例1用分別寫有數(shù)字1和2的兩張紙片，能夠排出多少個不同的二位數(shù)？

解：用CU和囪代表這兩張紙片。把所有可能的排法枚舉出來，可知能排出兩個二位數(shù)來。它們是：

tn

例2用分別寫有數(shù)字0,1,2的三張紙片叵，巨］，國.能排出多少個不同的二位數(shù)？

解：因為“0”不能作為首位數(shù)字，所以只能排出4個二位數(shù)，它們是：

1作十位數(shù)字，0或2作個位數(shù)字：巨I叵］.巨］匡］

2作十位數(shù)字，0或1作個位數(shù)字：巨］巨1.巨E

例3用分別寫有數(shù)字1,2,3的三張紙片LU.回，巨I能排出多少不同的三位數(shù)？

解：用枚舉法，即把所有可能排出的每一個三位數(shù)都寫出來。再數(shù)一數(shù)共有多少個。

［U回囪,1X1回國

國in囪,囪囪tn

巨1巨］囪,巨I囪巨］共6個不同的三位數(shù)。

例4小明左邊抽屜里放有三張數(shù)字卡片EU,回，巨1右邊抽屜里也放有三張卡片HI,回，巨I。如

果他每次從左右兩邊抽屜里任意各拿一張出來，組成一個二位數(shù)，在紙上記下來之后，再把卡片放回各自

原來的抽屜里。然后再拿、再組數(shù)、再記、再放回……這樣一直做下去，問他一共可能組成多少個不同的

二位數(shù)？

解：不妨假設小明先從左邊抽屜拿，把拿出的數(shù)字卡片排在十位；再從右邊抽屜拿，把拿出的數(shù)字卡片排

在個位。下面是記下來的所有不同的二位數(shù)：11,12,13,21,22,23,31,32,33.共9個不同二位數(shù)。

例5有一群人，若規(guī)定每兩個人都握一次手而且只握一次手，求他們共握多少次手？假設這群人是：

①兩個人，②三個人，③四個人

解：畫圖。用點“?”代表人。如果兩人握一次手就在兩個點之間連一條線。那么，點和點之間連線的條

數(shù)就代表握手的次數(shù)。見以下的圖。

①兩個人：-----------兩點之間只能連一條線，表示兩個人共握1次手。

②三個人：三點之間有三條連線，表示三個人共握3次手。

③四個人：四點之間有六條連線，表示四個人共握6次手。

例6鐵路上的火車票價是根據(jù)兩站距離的遠近而定的，距離愈遠，票價愈高。如果一段鐵路上共有五個車

站，每兩站間的距離都不相等，問這段鐵路上的火車票價共有多少種？

解：

］??」？

如圖所示，用一條線段表示這段鐵路，用線段上的五個點代表五個車站，各點間距離不同表示各車站

間距離不同，因而票價不同。

由圖可見，各段長度不同的線段就表示各種不同的票價。

數(shù)一數(shù)，票價種數(shù)是：4+3+2+1=10種。

例7小明到小華家有甲、乙兩條路，小華到小英家有a,b,c三條路（如下圖所示）。小明經(jīng)過小華家去

找小英，他想每次都不走完全重復的路線，問有多少種不同的走法？

解：共有6種不同的走法，見下圖。

習題六

1.用三張數(shù)字卡片4,0,7,可以排出多少個不同的三位數(shù)？其中最大的比最小的大多少？

2.有四張數(shù)字卡片1,0,2,4從中抽出三張組成三位數(shù)，問這些卡片可能組成多少個不同的三位

數(shù)？

3.用兩套數(shù)字卡片(1,2,3,4,5),(1,2,3,4,5)可組成多少個不同的二位數(shù)？

4.在一次小學數(shù)學競賽的領獎臺上有五名同學上臺領獎，他們每兩個人都互相握了一次手。問他們共

握了多少次手？

5.全區(qū)六所小學舉行小足球賽，每個學校派出一個代表隊，要求規(guī)定每兩個校隊之間都要賽一場，問

一共要賽多少場？

第七講填圖與拆數(shù)(一)

例1如右圖，把3、4、6、7四個數(shù)填在四個空格里，使橫行、豎行三個數(shù)相加都得14。怎樣填？

?白?|?同”

解：先看豎行，最上格中已有個5。要使5+()=14,括號里的數(shù)就要填9。

把9拆成兩個數(shù)：9=3+6,(因為3和6是題中給出的數(shù))分別填在豎行的兩個空格里。但進一步想，應該

把哪一個填在中間空格里呢？這就需要看橫行。橫行兩頭的空格應填剩下的兩個數(shù)4和7,因為4和7相

加和為11,而11+3=14,可見中間空格應填3。

例2如圖所示。在圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上三個數(shù)相加之和都等于12。0

1

9

6

解：見下圖(1)、(2)、(3)。把12分拆成三個不同的數(shù)相加之和，得七種分拆方式:

12=9+2+112=8+3+112=7+4+112=7+3+212=6+5+112=6+4+212=5+4+3

從各式中選擇有一個相同加數(shù)的兩個式子。12=1+5+6和12=1+4+7兩式，將相同的加數(shù)1填在中間圓

圈里，不同的加數(shù)分別填在橫行和豎行的其他圓圈里。答案有很多種不同的填法，這里只填了三種，同學

們還可以自己選擇另外的填法。

例3如右圖所示。把1、2、3、4、5五個數(shù)填入五個圓圈里，要求分別滿足以下條件：

O(1)使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于8；(2)使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都

等于9；(3)使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于10。

解：見下圖(1)、(2)、(3)

(1)將8分拆成三個數(shù)之和(注意，這三個數(shù)要從1、2、3、4、5中選取)

8=1+2+58=1+3+4

因為中間圓圈里的數(shù)是要公用的，所以應把“1”填在中間圓圈里其他四個數(shù)填在邊上;

(2)解法思路與(1)相同，分拆方式如下：9=1+3+59=2+3+4

(3)解法思路與(1)相同10=1+4+510=2+3+5o

習題七

1.如右圖所示。在正方形的空格里填上適當?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的三個數(shù)相加得數(shù)都是18。

2.如右圖所示。在正方形空格里填上適當?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的四個數(shù)相加都得34。

3.如右圖所示。把適當?shù)臄?shù)填到三角形的空圈里，使每條直線上3個圈中的數(shù)相加都是10。

4.如圖所示。從2、3、4、5、6中選取適當?shù)臄?shù)填入小圓圈，使同一個大圓上的小圓圈中的四個數(shù)的

和①都等于15,②都等于16。

5.如右圖所示，圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上的三個數(shù)相加之和都等于10。

6.如圖所示。在圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上的三個數(shù)相加之和都是15。

7.如下頁圖所示。把1、2、3、4、5、6、7、8、9分為三組，填到三個小三角形的各個角上的圓圈里,

使每個小三角形的三個角的圓圈里的數(shù)之和都是15。同時使大三角形三個角的圓圈里的數(shù)之和也是15。

第八講填圖與拆數(shù)(二)

本講主要介紹在填圖與拆數(shù)中找關鍵數(shù)的思考方法。

例1如右圖所示。把三個1、三個2、三個3分別填在九個格內(nèi)，使橫行、豎行、斜行三個數(shù)加起來的和

解：找關鍵數(shù)先填。因為中間格的數(shù)和橫行、豎行、斜行都有關，所以它是關鍵數(shù)，確定了它，其他各格

就容易填了。

(1)嘗試法：若中間填“1”，再填其他格，如右圖。結果有一條斜線上的數(shù)都是1,其和為3,不合題目

若中間格填“3”，再填其他格,如右圖結果有一條斜行上的數(shù)都是3,其和為9,不合題目要求。

若中間格填“2”，再填其他格，經(jīng)檢查，符合題目要求，如圖。

(2)分析法：顯然在每一橫行、豎行和斜行只能填一個“1”或一個“3”。因為若填兩個1后，即使

再填一個最大的3,這一行的這三個數(shù)之和才是5,小于6,不符合題目要求；同樣，若填兩個3后，即使

再填一個最小的數(shù)1,這一行的三個數(shù)之和就是7,大于6,也不符合題目要求。

如果在一行里填入兩個“2”，即使在此行里再填一個2,這一行的三個數(shù)之和也可等于6,符合題要求。

由此得出，中間方格必須填“2”。中間方格填好之后其他各格中的數(shù)也就容易填出了。

例2如圖。把1、2、3、4、5填入右圖的圓圈中，使每條斜線上的三個數(shù)相加之和都是8。

解：中間圓圈里的數(shù)是個關鍵數(shù)，應該首先確定它。如何確定它呢？這樣想：假如我們已經(jīng)

按題目要求把1、2、3、4、5填入了五個圓圈中，這樣每條斜線上的三個數(shù)相加都得8。那么當我們把兩

條斜線上的數(shù)都加起來，它們的和應為8+8=16,

但是五個圓圈中所填數(shù)之和應為1+2+3+4+5=15,

兩個和數(shù)之差是1,即：16-15=1。

這個差是如何產(chǎn)生的呢？這是因為把兩條斜線上的和數(shù)相加時，中間圓圈中的數(shù)被加了兩次，即多加

了一次。把一個數(shù)多加了一次和就多了1,可見此數(shù)是1。

然后，再求每條斜線兩端的數(shù)。可求出兩數(shù)之和應為8-1=7把7分拆成兩個數(shù)，有兩種分拆方式：

7依

把2和5填入一條斜線兩端的圓圈中。

把3和4填入另一條斜線兩端的圓圈中。

例3如圖所示。把1、2、3、4、5、6、7七個數(shù)填在右圖中的七個圓圈里，每個數(shù)只能用一次，使每條線

上的三個數(shù)相加之和都等于12。

解：見圖。中間圓圈里的數(shù)是關鍵數(shù)，應該如何確定它呢？

kW與例2的想法類似。假設已經(jīng)按題目要求把數(shù)全部填入了圓圈，那么每條線上的三個

圓圈中的數(shù)相加應該都得12。我們?nèi)绻M一步把三條直線上的數(shù)都加起來，得數(shù)應為：12+12+12=36。

不難看出，這樣就把中間圓圈里那個數(shù)加了三次。因而它比七個圓圈中的數(shù)相加之和：

1+2+3+4+5+6+7=28多了36-28=8

也就是8應是中間圓圈里的數(shù)的2倍所以中間圓圈里的數(shù)應是8的一半，即8+2=4

下面再確定每條線上另外的兩個圓圈里的數(shù)，方法如下：12-4=8

-1+7

將8分拆：8=42+6把這六個數(shù)適當?shù)靥钊肓鶄€圓圈。但要注意使橫

34-5

例4如圖所示。把1、2、3、4、5、6六個數(shù)分別填入右圖的圓圈里，使三角形每條邊上

三個數(shù)之和都等于9。

解：見圖。&__?三個角上圓圈里的數(shù)是關鍵數(shù)，因為它們中的每個都是兩條邊上共有的數(shù)。

先確定關鍵數(shù)。這樣想：六個數(shù)之和是1+2+3+4+5+6=21每條邊上三個數(shù)之和是9,9+9+9=27這樣算每個角

上圓圈里的數(shù)都被加了兩次，因此角上三個圓圈中的數(shù)之和是27-21=6

把6分拆成三個數(shù)之和：6=1+2+3；

把1、2、3分別填入三個角上的圓圈里，其余的圓圈里的數(shù)就容易填了。

習題八

1.見圖。把2、3、4、5、6、7、8、9、10、11填入右圖空白圓圈內(nèi)，使每個大圓上四

個小圓圈內(nèi)的數(shù)的和都是29。你能填嗎？

2.見圖。把2、3、4、6、7、10、11分別填入大圓上的小圓圈內(nèi)，使每個圓上四個小圓圈中的數(shù)字和都是

24。你能填嗎？

8

3.見圖。把2、3、4、5、6填入右圖的五個方格里，使橫行、豎行的三個數(shù)之和等于：①11、②12、③13。

4.見圖。把5、6、7、8、9、10六個數(shù)分別填入右圖中的六個圓圈里，使三角形每條邊上的三個數(shù)之和都

等于21。

5A.見圖。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10這十個數(shù)分別填入圓圈里,使每個正方形的四個數(shù)相加之和

都等于24O

6.見圖。把1、2、3、4、5、6、7