2024年初中升學(xué)考試模擬測試湖南省永州市零陵區(qū)中考數(shù)學(xué)第一次適應(yīng)性試卷

第1頁（共1頁）2023年湖南省永州市零陵區(qū)中考數(shù)學(xué)第一次適應(yīng)性試卷一、選擇題（本題共10個小題，每小題只有一個正確答案，請將正確選項填涂到答題卡上相應(yīng)的位置．每小題4分，共40分）1．（4分）﹣的相反數(shù)是（）A．2023 B． C．﹣2023 D．﹣2．（4分）零陵區(qū)萍洲大橋為瀟水河上的一座大型橋梁，橋梁全長588.22米，橋?qū)?8米，總造價約120000000元，數(shù)據(jù)120000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．1.2×108 B．1.2×107 C．0.12×109 D．1.2×1093．（4分）下列計算錯誤的是（）A．x2?x4＝x6 B． C．x4÷x＝x3 D．4．（4分）零陵是國家歷史文化名城，著名的永州八景朝陽旭日、回龍夕照、萍洲春漲、香零煙雨、恩院風(fēng)荷、愚溪眺雪、綠天蕉影、山寺晚鐘都有深厚的文化底蘊．某班同學(xué)分小組到以上八個地方進行研學(xué)，人數(shù)分別為：6，7，6，6，6，7，8，6（單位：人），這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．6，6 B．6，7 C．8，7 D．7，65．（4分）隨著人們生活水平的提高，對環(huán)境的保護越來越重視，下列垃圾分類標識的圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．6．（4分）《九章算術(shù)》是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”，書中記載：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問：人與車各幾何？譯文：若3人坐一輛車，則兩輛車是空的；若2人坐一輛車，則9人需要步行，問：人與車各多少？設(shè)有x輛車，人數(shù)為y，根據(jù)題意可列方程組為（）A． B． C． D．7．（4分）如圖，BC⊥AE，垂足為C，過C點作CD∥AB，若∠ECD＝46°，則∠B的度數(shù)是（）A．46° B．54° C．44° D．56°8．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交BA、BC于M、N兩點；②分別以M、N為圓心，以大于MN的長為半徑作弧，兩弧相交于點P；③作射線BP，交邊AC于D點．若AB＝10，BC＝6，則線段CD的長為（）A．3 B． C． D．9．（4分）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝kx﹣1與函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．10．（4分）如M＝{1，2，x}，我們叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有確定性（如x必然存在），互異性（如x≠1，x≠2），無序性（即改變元素的順序，集合不變）．若集合N＝{x，1，2}，我們說M＝N．已知集合A＝{2，0，x}，集合，若A＝B，則x﹣y的值是（）A．2 B． C．﹣2 D．﹣1二、填空題（本題共8小題，每小題4分，共32分）11．（4分）若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是．12．（4分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，則x1+x2的值是．13．（4分）因式分解：2x2﹣8＝．14．（4分）已知圓錐的底面半徑為4，母線長為6，則它的側(cè)面展開圖的面積等于．（結(jié)果保留π）15．（4分）2023年3月5日是第60個學(xué)雷鋒紀念日，零陵區(qū)某校九年級社會實踐活動小組于當天分別到“敬老院、零陵古城、烈士陵園、麻元社區(qū)”中的兩個地點開展志愿者服務(wù)，則該社會實踐活動小組恰好選擇去“敬老院、烈士陵園”兩地開展志愿者服務(wù)的概率為．16．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且在AB異側(cè)，連接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，則∠D的大小是．17．（4分）若關(guān)于x的不等式組有解，則實數(shù)m的取值范圍是．18．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形ABCD是平行四邊形，點A、B、C的坐標分別為A（0，4），B（﹣2，0），C（8，0），點E是BC的中點，點P為線段AD上的動點，若△BEP是以BE為腰的等腰三角形，則點P的坐標為．三、解答題（本大題共8個小題，共78分，解答題要求寫出證明步驟或解答過程）19．（8分）計算：（）﹣1+2cos60°﹣（π﹣2023）0．20．（8分）先化簡，再求值：，其中x＝5．21．（8分）如圖所示，在正方形ABCD中，點E是對角線BD上的點，求證：AE＝CE．22．（10分）實驗學(xué)校想了解學(xué)生家長對“雙減”政策的認知情況，隨機抽查了部分學(xué)生家長進行調(diào)查，將抽查的數(shù)據(jù)結(jié)果進行統(tǒng)計，并繪制兩幅不完整的統(tǒng)計圖（A：不太了解，B：基本了解，C：比較了解，D：非常了解）．請根據(jù)圖中提供的信息回答以下問題：（1）請求出這次被調(diào)查的學(xué)生家長共有多少人？（2）請補全條形統(tǒng)計圖．（3）試求出扇形統(tǒng)計圖中“比較了解”部分所對應(yīng)的圓心角度數(shù)．（4）該學(xué)校共有2400名學(xué)生家長，估計對“雙減”政策了解程度為“非常了解”的學(xué)生家長大約有多少？23．（10分）2021年，州河邊新建成了一座美麗的大橋．某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組組織了一次測橋墩高度的活動，如圖，橋墩剛好在坡角為30°的河床斜坡邊，斜坡BC長為48米，在點D處測得橋墩最高點A的仰角為35°，CD平行于水平線BM，CD長為16米，求橋墩AB的高（結(jié)果保留1位小數(shù)）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.73）24．（10分）隨著某市養(yǎng)老機構(gòu)建設(shè)的穩(wěn)步推進，擁有的養(yǎng)老床位不斷增加．（1）該市的養(yǎng)老床位數(shù)從2018年底的2萬個增長到2020年底的2.88萬個，求該市這兩年（從2018年底到2020年底）擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率；（2）若該市某社區(qū)今年準備新建一養(yǎng)老中心，其中規(guī)劃建造三類養(yǎng)老專用房間共100間，這三類養(yǎng)老專用房間分別為單人間（1個養(yǎng)老床位），雙人間（2個養(yǎng)老床位），三人間（3個養(yǎng)老床位），因?qū)嶋H需要，規(guī)劃建造單人間的房間數(shù)為t（10≤t≤30），且雙人間的房間數(shù)是單人間的2倍．設(shè)該養(yǎng)老中心建成后能提供養(yǎng)老床位y個，求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并求該養(yǎng)老中心建成后最多提供養(yǎng)老床位多少個？25．（12分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直徑，點P是CD延長線上的一點，且AP＝AC．（1）求證：PA是⊙O的切線；（2）求證：AC2＝CO?CP；（3）若PD＝，求⊙O的直徑．26．（12分）已知拋物線y＝ax2+bx（a，b為常數(shù)，且a≠0）的對稱軸為x＝1，且過點（1，）．點P是拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為t，直線AB的解析式為y＝﹣x+c，直線AB與x軸相交于點A，與y軸相交于點B．（1）求拋物線的解析式；（2）當直線AB與拋物線y＝ax2+bx只有一個交點時，求點B的坐標；（3）當t≤x≤t+1時，是否存在t的值，使函數(shù)y＝ax2+bx的最大值為，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

2023年湖南省永州市零陵區(qū)中考數(shù)學(xué)第一次適應(yīng)性試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共10個小題，每小題只有一個正確答案，請將正確選項填涂到答題卡上相應(yīng)的位置．每小題4分，共40分）1．（4分）﹣的相反數(shù)是（）A．2023 B． C．﹣2023 D．﹣【答案】B【分析】根據(jù)“只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)”解答．【解答】解：﹣的相反數(shù)是，故選：B．2．（4分）零陵區(qū)萍洲大橋為瀟水河上的一座大型橋梁，橋梁全長588.22米，橋?qū)?8米，總造價約120000000元，數(shù)據(jù)120000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．1.2×108 B．1.2×107 C．0.12×109 D．1.2×109【答案】A【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，且n比原來的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．【解答】解：120000000＝1.2×108．故選：A．3．（4分）下列計算錯誤的是（）A．x2?x4＝x6 B． C．x4÷x＝x3 D．【答案】D【分析】分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法則，合并同類項的法則及數(shù)的乘方法則對各選項進行逐一分析即可．【解答】解：A、x2?x4＝x6，正確，不符合題意；B、（2）2＝（）2＝12，正確，不符合題意；C、x4÷x＝x3，正確，不符合題意；D、與不是同類項，不能合并，原計算錯誤，符合題意．故選：D．4．（4分）零陵是國家歷史文化名城，著名的永州八景朝陽旭日、回龍夕照、萍洲春漲、香零煙雨、恩院風(fēng)荷、愚溪眺雪、綠天蕉影、山寺晚鐘都有深厚的文化底蘊．某班同學(xué)分小組到以上八個地方進行研學(xué)，人數(shù)分別為：6，7，6，6，6，7，8，6（單位：人），這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．6，6 B．6，7 C．8，7 D．7，6【答案】A【分析】先根據(jù)折線統(tǒng)計圖將這組數(shù)據(jù)重新排列，再根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解即可．【解答】解：由折線統(tǒng)計圖得出這8個數(shù)據(jù)（從小到大排列）為6，6，6，6，6，7，7，8，（單位：人），所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為6，中位數(shù)為＝6，故選：A．5．（4分）隨著人們生活水平的提高，對環(huán)境的保護越來越重視，下列垃圾分類標識的圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【解答】解：A、該圖形不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；B、該圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，符合題意；C、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；D、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意．故選：B．6．（4分）《九章算術(shù)》是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”，書中記載：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問：人與車各幾何？譯文：若3人坐一輛車，則兩輛車是空的；若2人坐一輛車，則9人需要步行，問：人與車各多少？設(shè)有x輛車，人數(shù)為y，根據(jù)題意可列方程組為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)共有x人，y輛車，根據(jù)“如果每3人坐一輛車，那么有2輛空車；如果每2人坐一輛車，那么有9人需要步行”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：設(shè)共有y人，x輛車，依題意得：．故選：B．7．（4分）如圖，BC⊥AE，垂足為C，過C點作CD∥AB，若∠ECD＝46°，則∠B的度數(shù)是（）A．46° B．54° C．44° D．56°【答案】C【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠A的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵CD∥AB，∠ECD＝46°，∴∠A＝∠ECD＝46°，∵BC⊥AE，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣46°＝44°．故選：C．8．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交BA、BC于M、N兩點；②分別以M、N為圓心，以大于MN的長為半徑作弧，兩弧相交于點P；③作射線BP，交邊AC于D點．若AB＝10，BC＝6，則線段CD的長為（）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】利用基本作圖得BD平分∠ABC，過D點作DE⊥AB于E，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到則DE＝DC，再利用勾股定理計算出AC＝8，然后利用面積法得到?DE×10+?CD×6＝×6×8，最后解方程即可．【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，過D點作DE⊥AB于E，如圖，則DE＝DC，在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，∴?DE×10+?CD×6＝×6×8，即5CD+3CD＝24，∴CD＝3．故選：A．9．（4分）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝kx﹣1與函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分k＞0和k＜0兩種情況分類討論即可確定正確的選項．【解答】解：當k＞0時，函數(shù)y＝kx﹣1的圖象位于一、三、四象限，的圖象位于一、三象限，C符合；當k＜0時，函數(shù)y＝kx﹣1的圖象位于二、三、四象限，的圖象位于二、四象限，故選：C．10．（4分）如M＝{1，2，x}，我們叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有確定性（如x必然存在），互異性（如x≠1，x≠2），無序性（即改變元素的順序，集合不變）．若集合N＝{x，1，2}，我們說M＝N．已知集合A＝{2，0，x}，集合，若A＝B，則x﹣y的值是（）A．2 B． C．﹣2 D．﹣1【答案】B【分析】利用新定義，根據(jù)元素的互異性、無序性推出只有＝0，從而得出別兩種情況．討論后即可得解．【解答】解：由題意知A＝{2，0，x}，由互異性可知，x≠2，x≠0．因為B＝{}，A＝B，由x≠0，可得|x|≠0，≠0，所以，即y＝0，那么就有或者，當?shù)脁＝，當無解．所以當x＝時，A＝{2，0，}，B＝{2，，0}，此時A＝B符合題意．所以x﹣y＝．故選：B．二、填空題（本題共8小題，每小題4分，共32分）11．（4分）若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是x≥2．【答案】x≥2．【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得：2x﹣4≥0，解得：x≥2，故答案為：x≥2．12．（4分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，則x1+x2的值是2．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合兩根之和等于﹣，即可求出x1+x2＝2．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，∴x1+x2＝2．故答案為：2．13．（4分）因式分解：2x2﹣8＝2（x+2）（x﹣2）．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】觀察原式，找到公因式2，提出后，再利用平方差公式分解即可得出答案．【解答】解：2x2﹣8＝2（x+2）（x﹣2）．14．（4分）已知圓錐的底面半徑為4，母線長為6，則它的側(cè)面展開圖的面積等于24π．（結(jié)果保留π）【答案】24π．【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式計算．【解答】解：它的側(cè)面展開圖的面積＝?2π?4?6＝24π．故答案為：24π．15．（4分）2023年3月5日是第60個學(xué)雷鋒紀念日，零陵區(qū)某校九年級社會實踐活動小組于當天分別到“敬老院、零陵古城、烈士陵園、麻元社區(qū)”中的兩個地點開展志愿者服務(wù)，則該社會實踐活動小組恰好選擇去“敬老院、烈士陵園”兩地開展志愿者服務(wù)的概率為．【答案】．【分析】畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和該社會實踐活動小組恰好選擇去“敬老院、烈士陵園”兩地開展志愿者服務(wù)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：設(shè)敬老院、零陵古城、烈士陵園、麻元社區(qū)分別記為A，B，C，D，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中該社會實踐活動小組恰好選擇去“敬老院、烈士陵園”兩地，即A和C開展志愿者服務(wù)的結(jié)果有2種，∴該社會實踐活動小組恰好選擇去“敬老院、烈士陵園”兩地開展志愿者服務(wù)的概率為＝．故答案為：．16．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且在AB異側(cè)，連接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，則∠D的大小是25°．【答案】25°．【分析】根據(jù)平角定義求出∠AOC＝50°，再利用圓周角定理可得∠D＝∠AOC，進行計算即可解答．【解答】解：∵∠BOC＝130°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝50°，∴∠D＝∠AOC＝25°，故答案為：25°．17．（4分）若關(guān)于x的不等式組有解，則實數(shù)m的取值范圍是m＞﹣5．【答案】m＞﹣5．【分析】按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答．【解答】解：，解不等式①得：x＜，解不等式②得：x≥﹣1，∵不等式組有解，∴＞﹣1，∴m＞﹣5，故答案為：m＞﹣5．18．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形ABCD是平行四邊形，點A、B、C的坐標分別為A（0，4），B（﹣2，0），C（8，0），點E是BC的中點，點P為線段AD上的動點，若△BEP是以BE為腰的等腰三角形，則點P的坐標為（1，4）或（6，4）或（0，4）．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】分兩種情形分別討論求解即可；【解答】解：如圖，作EH⊥AD于H．由題意BE＝5，OA＝4，OE＝3，當EP＝EB＝5時，可得P″（0，4），P′（6，4），（HA＝HP′＝3），當BP＝BE＝5時，P（0.5，4），綜上所述，滿足條件的點P坐標為（0.5，4）或（0，4）或（6，4）．三、解答題（本大題共8個小題，共78分，解答題要求寫出證明步驟或解答過程）19．（8分）計算：（）﹣1+2cos60°﹣（π﹣2023）0．【答案】2．【分析】原式利用零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪法則，以及特殊角的三角函數(shù)值計算即可求出值．【解答】解：原式＝2+2×﹣1＝2+1﹣1＝2．20．（8分）先化簡，再求值：，其中x＝5．【答案】2x+2，12．【分析】根據(jù)分式的加減運算法則以及乘除運算法則進行化簡，然后將x的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝﹣?＝﹣＝＝2（x﹣1），＝2x﹣2，當x＝5時，原式＝2×5﹣2＝8．21．（8分）如圖所示，在正方形ABCD中，點E是對角線BD上的點，求證：AE＝CE．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由四邊形ABCD為正方形，得到四條邊相等，角平分線為內(nèi)角的平分線，利用SAS得到三角形ABE與三角形CBE全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證．【解答】證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE．在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE．22．（10分）實驗學(xué)校想了解學(xué)生家長對“雙減”政策的認知情況，隨機抽查了部分學(xué)生家長進行調(diào)查，將抽查的數(shù)據(jù)結(jié)果進行統(tǒng)計，并繪制兩幅不完整的統(tǒng)計圖（A：不太了解，B：基本了解，C：比較了解，D：非常了解）．請根據(jù)圖中提供的信息回答以下問題：（1）請求出這次被調(diào)查的學(xué)生家長共有多少人？（2）請補全條形統(tǒng)計圖．（3）試求出扇形統(tǒng)計圖中“比較了解”部分所對應(yīng)的圓心角度數(shù)．（4）該學(xué)校共有2400名學(xué)生家長，估計對“雙減”政策了解程度為“非常了解”的學(xué)生家長大約有多少？【答案】（1）50人；（2）見解答；（3）144°；（4）480人．【分析】（1）根據(jù)A的人數(shù)除以占的百分比，得出調(diào)查總數(shù)即可；（2）先用總?cè)藬?shù)×30%得出表示B的人數(shù)，將總?cè)藬?shù)減去A、B、C的人數(shù)即可得D的人數(shù)；（3）用C的人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的比例乘以360°可得；（4）用樣本估算總體即可．【解答】解：（1）這次抽樣調(diào)查的家長有5÷10%＝50（人）；（2）表示“基本了解”的人數(shù)為：50×30%＝15（人），表示“非常了解”的人數(shù)為：50﹣5﹣15﹣20＝10（人），補全條形圖如圖：（3）“比較了解”部分所對應(yīng)的圓心角是：360°×＝144°；（4）2400×＝480（人），答：估計對“雙減”政策了解程度為“非常了解”的學(xué)生家長大約有480人．23．（10分）2021年，州河邊新建成了一座美麗的大橋．某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組組織了一次測橋墩高度的活動，如圖，橋墩剛好在坡角為30°的河床斜坡邊，斜坡BC長為48米，在點D處測得橋墩最高點A的仰角為35°，CD平行于水平線BM，CD長為16米，求橋墩AB的高（結(jié)果保留1位小數(shù)）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.73）【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】過點C作CE⊥BM于點E，過點D作DF⊥BM于點F，延長DC交AB于點G，根據(jù)正弦、余弦的定義求出CE、BE，可得DG的值，根據(jù)正切的定義求出AG，結(jié)合圖形計算，得到答案．【解答】解：過點C作CE⊥BM于點E，過點D作DF⊥BM于點F，延長DC交AB于點G，在Rt△CEB中，∠CBE＝30°，BC＝48米，∴CE＝BC?sin30°＝×48＝24（米），BE＝BC?cos30°＝48×≈24×1.73＝41.52（米），∴DG＝BF＝BE+EF＝BE+CD＝41.52+16≈41.52+27.68＝69.2（米），在Rt△ADG中，AG＝DG?tan∠ADG＝69.2×tan35°≈69.2×0.70＝48.44（米），∴AB＝AG+BG＝AG+CE＝48.44+24＝72.44≈72.4（米），答：橋墩AB的高約為72.4米．24．（10分）隨著某市養(yǎng)老機構(gòu)建設(shè)的穩(wěn)步推進，擁有的養(yǎng)老床位不斷增加．（1）該市的養(yǎng)老床位數(shù)從2018年底的2萬個增長到2020年底的2.88萬個，求該市這兩年（從2018年底到2020年底）擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率；（2）若該市某社區(qū)今年準備新建一養(yǎng)老中心，其中規(guī)劃建造三類養(yǎng)老專用房間共100間，這三類養(yǎng)老專用房間分別為單人間（1個養(yǎng)老床位），雙人間（2個養(yǎng)老床位），三人間（3個養(yǎng)老床位），因?qū)嶋H需要，規(guī)劃建造單人間的房間數(shù)為t（10≤t≤30），且雙人間的房間數(shù)是單人間的2倍．設(shè)該養(yǎng)老中心建成后能提供養(yǎng)老床位y個，求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并求該養(yǎng)老中心建成后最多提供養(yǎng)老床位多少個？【答案】（1）20%；（2）260個．【分析】（1）設(shè)該市這兩年（從2018年底到2020年底）擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率為x，根據(jù)該市2018年底和2020年底的養(yǎng)老床位數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)該養(yǎng)老中心建成后能提供養(yǎng)老床位y個，根據(jù)床位數(shù)＝單人間數(shù)+2×雙人間數(shù)+3×三人間數(shù)，即可得出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．【解答】解：（1）設(shè)該市這兩年（從2018年底到2020年底）擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率為x，依題意得：2（1+x）2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該市這兩年（從2018年底到2020年底）擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率為20%．（2）設(shè)該養(yǎng)老中心建成后能提供養(yǎng)老床位y個，則y＝t+2×2t+3（100﹣t﹣2t）＝﹣4t+300（10≤t≤30）．∵k＝﹣4＜0，∴y隨t的增大而減小，∴當t＝10時，y取得最大值，最大值＝﹣4×10+300＝260（個）．答：該養(yǎng)老中心建成后最多提供養(yǎng)老床位260個．25．（12分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直徑，點P是CD延長線上的一點，且AP＝AC．（1）求證：PA是⊙O的切線；（2）求證：AC2＝CO?CP；（3）若PD＝，求⊙O的直徑．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）連接OA、AD，如圖，利用圓周角定理得到∠CAD＝90°，∠ADC＝∠B＝60°，則∠ACD＝30°，再利用AP＝AC得到∠P＝∠ACD＝30°，接著根據(jù)圓周角定理得∠AOD＝2∠ACD＝60°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出∠OAP＝90°，于是根據(jù)切線的判定定理可判斷AP與⊙O相切；（2）通過△ACO∽△PCA，得到＝，由于AC＝AP于是得到結(jié)論；（3）連接AD，證得△AOD是等邊三角形，得到∠OAD＝60°，求得AD＝PD＝，得到OD＝，即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OA、AD，如圖，∵CD為直徑，∴∠CAD＝90°，∵∠ADC＝∠B＝60°，∴∠ACD＝30°，∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACD