串講05 立體幾何（考點串講）（解析版）

串講05立體幾何知識網(wǎng)絡(luò)二、常考題型三、知識梳理1.平面的基本性質(zhì)（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)．（2）公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．（4）推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面．（5）推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．（6）推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．2.空間直線的位置關(guān)系（1）位置關(guān)系的分類（2）異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：.3.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系（1）空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點直線a在平面α內(nèi)a?α有無數(shù)個公共點直線在平面外直線a與平面α平行a∥α沒有公共點直線a與平面α斜交a∩α＝A有且只有一個公共點直線a與平面α垂直a⊥α（2）空間中兩個平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點兩平面平行α∥β沒有公共點兩平面相交斜交α∩β＝l有一條公共直線垂直α⊥β且α∩β＝a4.空間中線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b5.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b6.直線與平面垂直（1）定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直．（2）判定定理：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．（3）推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．（4）直線和平面垂直的性質(zhì)：①垂直于同一個平面的兩條直線平行．②直線垂直于平面，則垂直于這個平面內(nèi)的任一直線．③垂直于同一條直線的兩平面平行．7.直線和平面所成的角（1）平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角．（2）當直線與平面垂直和平行(或直線在平面內(nèi))時，規(guī)定直線和平面所成的角分別為90°和0°.（3）直線和平面所成角的范圍是0°≤θ≤90°.8.二面角的有關(guān)概念（1）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．（3）二面角的范圍是0°≤θ≤180°.9.平面與平面垂直（1）定義：如果兩個平面所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．（2）平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直四、?？碱}型探究考點一平面的基本性質(zhì)例1.能確定一個平面的條件是（

）A．一個點和一條直線B．空間三個點C．無數(shù)個點D．兩條相交直線【答案】D【分析】利用平面的基本性質(zhì)進行判定，注意考慮條件的各種不同情況.【詳解】當點在直線上時，一個點和一條直線不能確定一個平面，故A錯誤；當空間三點在一條直線上時，不能確定一個平面，故B錯誤；當無數(shù)個點都在一條直線上時，不能確定一個平面，故C錯誤；兩條相交直線確定一個平面，故D正確.故選:D.例2.下列說法中正確的是（

）A．空間不同的三點確定一個平面B．空間兩兩相交的三條直線確定一個平面C．空間有三個角為直角的四邊形一定是平面圖形D．和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)【答案】D【詳解】因為A.空間不同的三點確定一個平面，錯誤．B.空間兩兩相交的三條直線確定一個平面，可以構(gòu)成棱錐，錯誤C.空間有三個角為直角的四邊形一定是平面圖形，可以使三棱錐錯誤D.和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)，成立，故選D【變式探究】下列命題一定正確的是（

）A．三點確定一個平面 B．依次首尾相接的四條線段必共面C．直線與直線外一點確定一個平面 D．兩條直線確定一個平面【答案】C【詳解】A：不共線的三點確定一個平面，故錯誤；B：空間四邊形，不共面，故錯誤；C：正確；D：兩條異面直線不能確定一個平面，故錯誤．故選C．考點二空間中直線與直線的位置關(guān)系例3.如圖，在正方體中，直線與的位置關(guān)系是（

）

A．異面 B．平行 C．垂直且相交 D．相交【答案】A【分析】由異面直線的定義判斷即可.【詳解】體對角線與面對角線不在同一個平面內(nèi)，且不平行，故體對角線與面對角線的位置關(guān)系一定是異面.故選：A.例4.分別和兩條異面直線相交的兩條直線的位置關(guān)系是．【答案】相交或異面【分析】根據(jù)異面直線的定義可知與兩條異面直線相交的兩條直線不可能平行，可得到位置關(guān)系.【詳解】如下圖所示：此時的位置關(guān)系為：相交如下圖所示：此時的位置關(guān)系為：異面若平行，則與的四個交點，四點共面；此時共面，不符合異面直線的定義綜上所述：的位置關(guān)系為相交或異面本題正確結(jié)果；相交或異面【變式探究】如果異面直線a、b所成角為α，那么α的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)異面直線a、b所成角的定義及直線與直線夾角的定義，即可得到答案．【詳解】解：由異面直線所成角的定義可知：過空間一點，分別作相應(yīng)直線的平行線，兩條相交直線所成的直角或銳角為異面直線所成的角故兩條異面直線所成的角的取值范圍是故答案為：.考點三異面直線所成角例5.已知正方體，直線與直線所成角的余弦值是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線線平行得異面直線所成的角，即可由三角形邊角關(guān)系求解.【詳解】由于,所以即為直線與直線所成的角或其補角，不妨設(shè)正方體的棱長為，則，所以,故選：D例6.是邊長為a正方體，與所成角的大?。敬鸢浮俊痉治觥吭谄矫鎯?nèi)作出的平行線，通過證明垂直關(guān)系即可求出兩異面直線的夾角.【詳解】連接，因為且，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為是正方形，所以，所以，即與成.故答案為：【變式探究】如圖，已知長方體中，，，．

(1)BC和所成的角是多少度？(2)和BC所成的角是多少度？【答案】(1)(2)【分析】（1）確定是異面直線與所成的角，在中根據(jù)長度關(guān)系得到答案；（2）確定是異面直線和BC所成的角，則得到答案.【詳解】（1）因為，所以是異面直線與所成的角，在中，，，所以.故異面直線和所成的角是.（2）因為，則和BC所成的角即為，顯然，則和BC所成的角是.考點四直線與平面平行例7.“直線與平面沒有公共點”是“直線與平面平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】從充分性和必要性兩方面來分析即可.【詳解】若直線與平面沒有公共點，那直線與平面只能平行，故充分條件成立；若直線與平面平行，則直線與平面沒有公共點，故必要性也成立，所以“直線與平面沒有公共點”是“直線與平面平行”的充分必要條件.故選：.例8.已知直線l、平面，“l(fā)與相交”是“l(fā)與至多有一個公共點”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系即可求解.【詳解】若l與相交，則l與只有一個公共點，故充分性成立，若l與至多有一個公共點，則l與相交或者，故必要性不成立，故“l(fā)與相交”是“l(fā)與至多有一個公共點”的充分非必要條件，故選:A【變式探究】空間中有平面和直線，，若，，則下列說法中一定錯誤的是（

）A．直線平行于平面 B．直線在平面內(nèi)C．直線與平面交于一點 D．直線和共面【答案】C【分析】根據(jù)線面平行及兩直線平行得到與平面平行或直線在平面內(nèi)，根據(jù)，可得直線和共面，從而判斷出答案.【詳解】因為，所以與平面平行或直線在平面內(nèi)，AB正確，C錯誤；因為，所以直線和共面，D正確.故選：C考點五直線與平面垂直例9.空間中有平面和直線，，若，，則下列說法中一定錯誤的是（

）A．直線平行于平面 B．直線在平面內(nèi)C．直線與平面交于一點 D．直線和共面【答案】C【分析】根據(jù)線面平行及兩直線平行得到與平面平行或直線在平面內(nèi)，根據(jù)，可得直線和共面，從而判斷出答案.【詳解】因為，所以與平面平行或直線在平面內(nèi)，AB正確，C錯誤；因為，所以直線和共面，D正確.故選：C例10.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題為真命題的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】A：，，則無法判斷n與的位置關(guān)系，A為假命題；B：，，則無法判斷n與的位置關(guān)系，B為假命題；C：，，則m∥n或m與n是異面直線，C為假命題；D：，，則n⊥β，D為真命題.故選：D.【變式探究】一條直線與一個平面的位置關(guān)系有.【答案】直線在平面上，直線與平面相交，直線與平面平行【分析】按照直線與平面公共點的個數(shù)可以對直線與平面的位置關(guān)系進行分類【詳解】一條直線與一個平面的位置關(guān)系有：直線在平面上，直線與平面相交，直線與平面平行故答案為：直線在平面上，直線與平面相交，直線與平面平行考點六直線與平面所成角例11.如圖在正四面體中，直線OA與平面OBC所成的角為，則=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出輔助線，得到，設(shè)，求出各邊長，求出答案.【詳解】設(shè)為底面三角形的中心，取中點，連接，則⊥平面，且，，設(shè)，則，故，故，由勾股定理得，故.故選：A例12.直線與平面所成角為，則與平面內(nèi)任意直線所成角的取值范圍是.【答案】【分析】直線與平面所成的角是直線與平面內(nèi)任意一條直線所成角中最小的角，結(jié)合直線與平面所成角的范圍為即可得.【詳解】直線與平面所成的角是直線與平面內(nèi)任意一條直線所成角中最小的角，且直線與平面所成角的范圍為，則與平面內(nèi)任意直線所成角的取值范圍是.故答案為：.【變式探究】如圖所示，在長方體中，直線與長方體的六個面之間的位置關(guān)系如何？【答案】見解析．【分析】根據(jù)長方體的性質(zhì)即可得出直線B1D1與長方體的六個面之間的位置關(guān)系.【詳解】在平面內(nèi)，與平面，，，都相交，與平面平行．考點七平面與平面平行例13.已知，，是三個不同的平面，，是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【分析】ABD均可舉出反例，由線面垂直的性質(zhì)可得得到C正確.【詳解】對于A，垂直于同一平面的兩平面相交或平行，如圖1，，，而，相交，故A錯誤；對于B，平行于同一直線的兩平面相交或平行，如圖2，滿足，，但相交，B錯誤；對于C，垂直于同一平面的兩直線平行，故C正確；對于D，平行于同一平面的兩直線相交、平行或異面，如圖3，滿足，，但相交，故D錯誤.故選：C.例14.已知是不同的直線,是不同的平面,下列命題中真命題為（

）A．若,則B．若,則C．若,則D．若,則【答案】C【分析】可放在長方體中排除錯誤選項,選出正確選項.【詳解】解:由題知,不妨將,放在長方體中可知,關(guān)于選項A,如圖所示可知A錯誤,關(guān)于選項B,如圖所示可知B錯誤,關(guān)于選項D,如圖所示可知D錯誤,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知,選項C正確.故選:C【變式探究】若平面平面，直線，則直線與平面的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．在內(nèi) D．無法判定【答案】B【分析】由面面平行可直接得到結(jié)果.【詳解】由面面平行的性質(zhì)可知：當平面平面，直線時，.故選：B.考點八平面與平面垂直例15.下列命題中正確的是（）A．平面α和β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥βB．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條平行直線，則α⊥βC．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α⊥βD．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β【答案】C【分析】根據(jù)線面垂直的判定及面面垂直的判定方法結(jié)合選項可得答案.【詳解】當平面α和β分別過兩條互相垂直且異面的直線時，平面α和β有可能平行，故A不正確;一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線才能得出線面垂直，由平面與平面垂直的判定定理知B，D均不正確，C正確.故選：C.例16.在如圖所示的正方體中，垂直于平面的平面有.（寫出兩個，多寫不加分，寫錯扣分）

【答案】平面，平面（答案不唯一）【分析】證明出線面垂直，得到面面垂直，得到答案.【詳解】連接，因為四邊形為正方形，所以⊥，因為⊥平面，平面，所以⊥，因為，平面，所以⊥平面，因為平面，所以平面⊥平面，同理平面，所以平面⊥平面，故垂直于平面的平面有平面，平面

故答案為：平面，平面(答案不唯一)【變式探究】如圖，已知直角梯形與，，，，AD⊥AB，，G是線段上一點.求證：平面⊥平面ABF【答案】證明見解析【分析】根據(jù)線線垂直可證線面垂直，進而可得面面垂直.【詳解】因為，，，AF、AB平