2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí) 數(shù)列的奇偶項(xiàng)、增減項(xiàng)問(wèn)題

2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí)數(shù)列的奇偶項(xiàng)、增減項(xiàng)問(wèn)題數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問(wèn)題是對(duì)一個(gè)數(shù)列分成兩個(gè)新數(shù)列進(jìn)行單獨(dú)研究，利用新數(shù)列的特征(等差、等比數(shù)列或其他特征)求解原數(shù)列.數(shù)列中的增減項(xiàng)問(wèn)題就是增加或減少以后的數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列.公共項(xiàng)問(wèn)題就是觀察這些公共項(xiàng)的規(guī)律，判斷是否構(gòu)成等差數(shù)列還是等比數(shù)列.一般難度中等.考情分析思維導(dǎo)圖內(nèi)容索引典型例題熱點(diǎn)突破考點(diǎn)一奇、偶項(xiàng)問(wèn)題典例1

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6，解得a1＝5，d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n＋3，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n＋3.(2)證明：當(dāng)n>5時(shí)，Tn>Sn.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn－1＋bn＝2(n－1)－3＋4n＋6＝6n＋1，因此Tn>Sn.因此Tn>Sn.綜上，當(dāng)n>5時(shí)，Tn>Sn.因此Tn>Sn，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，若n≥3，顯然T1＝b1＝－1滿足上式，因此Tn>Sn，所以當(dāng)n>5時(shí)，Tn>Sn.跟蹤訓(xùn)練1

(2023·佛山模擬)設(shè)各項(xiàng)非零的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，記Tn＝S1·S2·S3…Sn，且滿足2SnTn－Sn－2Tn＝0.(1)求T1的值，證明數(shù)列{Tn}為等差數(shù)列并求{Tn}的通項(xiàng)公式；①當(dāng)n(n≥3)是奇數(shù)時(shí)，②當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，典例2

考點(diǎn)二公共項(xiàng)問(wèn)題A.a3＋b5＝c3 B.b28＝c10C.a5b2>c8

D.c9－b9＝a26√根據(jù)題意數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，an＝2＋3(n－1)＝3n－1，對(duì)于A，a3＋b5＝(3×3－1)＋(5×5－3)＝30，c3＝15×3－13＝32，a3＋b5≠c3，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，b28＝5×28－3＝137，c10＝15×10－13＝137，b28＝c10，故B正確；對(duì)于C，a5＝3×5－1＝14，b2＝5×2－3＝7，c8＝15×8－13＝107，a5b2＝14×7＝98<107＝c8，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，c9＝15×9－13＝122，b9＝5×9－3＝42，a26＝3×26－1＝77，c9－b9＝122－42＝80≠77＝a26，故D錯(cuò)誤.28因?yàn)閍n＝3n－2，所以a1＝1，a2＝4，因?yàn)閎n＝2n，所以b1＝2，b2＝4，所以c1＝a2＝b2＝4，設(shè)cn＝bm＝at即cn＝2m＝3t－2，所以cn＋1＝bm＋2＝a4t－2，因?yàn)閏n＝bm＝at，c1＝a2＝b2＝4，所以n＝1，m＝2，t＝2，所以c2＝b4＝a6，所以n＝2，m＝4，t＝6，所以c3＝b6＝a22，所以m＝6，t＝22，所以m＋t＝28.跟蹤訓(xùn)練2

(1)已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}：5,8,11，…與{bn}：3,7,11，…，它們的公共項(xiàng)從小到大排列組成數(shù)列{cn}，則數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式cn＝________；若數(shù)列{an}和{bn}的項(xiàng)數(shù)均為100，則{cn}的項(xiàng)數(shù)是_____.12n－125由于數(shù)列{an}是以3為公差的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是以4為公差的等差數(shù)列，所以{cn}也是等差數(shù)列，且公差為3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1.又a100＝5＋(100－1)×3＝302，b100＝3＋(100－1)×4＝399，解得1≤n≤25，故{cn}的項(xiàng)數(shù)為25.19由題意可得∴當(dāng)1≤n≤29時(shí)，數(shù)列{an&bn}的所有項(xiàng)的和為9×1＋(15－5)×(－1)＋(14－4)×2＝19.②設(shè)an＝5n，bn＝4n－1,1≤n≤29，則數(shù)列{an&bn}與{bn&an}有______個(gè)公共項(xiàng).2由題意可得顯然，要使an&bn＝bm&am，必須n，m同時(shí)為3的倍數(shù)或者同時(shí)不為3的倍數(shù)，若n，m同時(shí)為3的倍數(shù)，則有5m＝4n－1，則n＝24或n＝9，此時(shí)m＝19或m＝7，不成立；若n，m同時(shí)不為3的倍數(shù)，則有5n＝4m－1，則m＝4或14或19或29，此時(shí)對(duì)應(yīng)的n＝3或11或15或23，把與題意相矛盾的舍去，剩下m＝14，n＝11或m＝29，n＝23，即a11&b11＝b14&a14或a23&b23＝b29&a29，即數(shù)列{an&bn}與{bn&an}有2個(gè)公共項(xiàng).考點(diǎn)三增減項(xiàng)問(wèn)題典例3

已知{an}是遞增的等比數(shù)列，且a3＝2，a2＋a4＝

.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵{an}是遞增的等比數(shù)列且a3>0，∴q>1，∴an＝a3qn－3＝2×3n－3.∵m，k，p成等差數(shù)列，∴2k＝m＋p，代入上式得(k＋1)2＝(m＋1)(p＋1)，化簡(jiǎn)得m＝p，∴m＝p＝k，不符合題意.綜上所述，不存在3項(xiàng)dm，dk，dp(其中m，k，p成等差數(shù)列)成等比數(shù)列.跟蹤訓(xùn)練3

由于an>0，故an＋1＝2an＋1，即an＋1＋1＝2(an＋1)，故數(shù)列{1＋an}為等比數(shù)列，且a1＋1＝2，所以an＝2n－1.(2)若數(shù)列{bn}中去掉{an}的項(xiàng)后，余下的項(xiàng)組成數(shù)列{cn}，求c1＋c2＋…＋c100.由(1)知，bn＝2log2(1＋2n－1)－1，故bn＝2n－1，b1＝1，其中bn＋1－bn＝2(常數(shù))，所以數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，b1＝a1＝1，b64＝127，b106＝211，b107＝213.由(1)可得，a7＝127，a8＝255，因?yàn)閎64＝a7＝127，a7<b107<a8，所以c1＋c2＋…＋c100＝(b1＋b2＋…＋b107)－(a1＋a2＋…＋a7)總結(jié)提升1.對(duì)于通項(xiàng)公式分奇、偶不同的數(shù)列{an}求Sn時(shí)，我們可以分別求出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，也可以把a(bǔ)2k－1＋a2k看作一項(xiàng)，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.2.數(shù)列中的增減項(xiàng)問(wèn)題就是觀察增加或減少以后的數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，然后按照各自的數(shù)列進(jìn)行求解.3.數(shù)列中的公共項(xiàng)問(wèn)題關(guān)鍵在于觀察這些公共項(xiàng)的規(guī)律，判斷是否構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列.1231.(2023·哈爾濱模擬)已知數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn＝3(bn－1)，等差數(shù)列{cn}中，c1＝5，c1＋c2＋c3＝27.(1)求{bn}和{cn}的通項(xiàng)公式；123?n∈N*，2Sn＝3(bn－1)，當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn－1＝3(bn－1－1)，兩式相減得2bn＝3bn－3bn－1，即bn＝3bn－1，而2b1＝2S1＝3(b1－1)，解得b1＝3，因此數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，則bn＝3n，在等差數(shù)列{cn}中，由c1＋c2＋c3＝27，得3c2＝27，解得c2＝9，設(shè)等差數(shù)列{cn}的公差為d，123則d＝c2－c1＝4，所以cn＝c1＋(n－1)d＝4n＋1，所以{bn}和{cn}的通項(xiàng)公式分別為bn＝3n，cn＝4n＋1.123(2)數(shù)列{bn}與{cn}的公共項(xiàng)由小到大排列組成新數(shù)列{an}，求數(shù)列{an}的前20項(xiàng)的積T20.123令數(shù)列{cn}的第m項(xiàng)與數(shù)列{bn}的第k項(xiàng)相同，即cm＝bk，m，k∈N*，當(dāng)且僅當(dāng)k為正偶數(shù)，因此數(shù)列{bn}與{cn}的公共項(xiàng)為b2n＝32n＝9n，即an＝9n，所以T20＝9×92×93×…×920＝91＋2＋3＋…＋20＝9210.123123由題意得a2＝3a1，a3＝a2＋2＝3a1＋2，因?yàn)閍1＋a3＝2a2，即a1＋3a1＋2＝6a1，解得a1＝1，由cn＝a2n－1，得c1＝a1＝1，cn＋1＝a2n＋1，又a2k＝3a2k－1，a2k＋1＝a2k＋2，k∈N*，故a2k＋1＝3a2k－1＋2，所以ck＋1＝3ck＋2，即cn＋1＝3cn＋2，所以cn＋1＋1＝3(cn＋1)，又c1＋1＝2，所以數(shù)列{cn＋1}是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，123所以cn＋1＝2·3n－1，所以cn＝2·3n－1－1，則a2n－1＝2·3n－1－1，故a2n＝3a2n－1＝2·3n－3，1234(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.123當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，123123由Sn＋1＝3Sn＋2可得Sn＝3Sn－1＋2(n≥2)，兩式相減可得an＋1＝3an(n≥2)，故數(shù)列{an}從第2項(xiàng)開(kāi)始是以a2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.又由已知Sn＋1＝3Sn＋2，令n＝1，得S2＝3S1＋2，即a1＋a2＝3a1＋2，得a2＝2a1＋2＝6，故an＝2·3n－1(n≥2)；123又a1＝2也滿足上式，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2·3n－1(n∈N*).