2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí)球的切接問題

2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí)球的切接問題求解空間幾何體的外接球問題的關(guān)鍵是確定球心的位置，常用的方法為補(bǔ)形法或者利用多面體的面作垂線，垂線的交點即為球心；求解多面體的內(nèi)切球問題的關(guān)鍵是求內(nèi)切球的半徑，常用切線長定理、等體積法等.球的切接問題是高考中的熱點，一般為中檔題.考情分析思維導(dǎo)圖內(nèi)容索引典型例題熱點突破典例1

(1)(2023·東北三省三校聯(lián)考)“阿基米德多面體”被稱為半正多面體(semi－regularsolid)，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、考點一空間幾何體的外接球六個面為正方形的一種半正多面體.已知AB＝

則該半正多面體外接球的表面積為A.18π B.16πC.14π D.12π√如圖，在正方體EFGH－E1F1G1H1中，取正方體與正方形E1F1G1H1的中心O，O1，連接E1G1，OO1，OA，O1A，∵A，B分別為E1H1，H1G1的中點，則E1G1＝2AB＝∴正方體的邊長為EF＝3，根據(jù)對稱性可知，點O到該半正多面體的頂點的距離相等，√如圖1，設(shè)O是△ABC的外接圓的圓心，因為AB＝BC＝AC＝3，所以△ABC是正三角形，則三棱錐A－MBC的外接球的球心H在過點O且與平面ABC垂直的直線OO′上，由直線CM與平面ABC所成的角為60°，得∠MCN＝60°，當(dāng)球心H到CM的距離最大時，三棱錐A－MBC的外接球體積最大，所以點N在OC延長線上時，三棱錐A－MBC的外接球體積最大，如圖2，跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2022·新高考全國Ⅱ)已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為

其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為A.100π B.128πC.144π D.192π√設(shè)該棱臺上、下底面的外接圓的圓心分別為O1，O2，連接O1O2，則O1O2＝1，其外接球的球心O在直線O1O2上.設(shè)球O的半徑為R，當(dāng)球心O在線段O1O2上時，R2＝32＋

＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；當(dāng)球心O不在線段O1O2上時，R2＝42＋

＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以該球的表面積為4πR2＝100π.綜上，該球的表面積為100π.√如圖，在三棱錐P－ABC中，AB2＋PA2＝20＝PB2，則PA⊥AB，同理可得PA⊥AC，因為AB∩AC＝A，AB，AC?平面ABC，所以PA⊥平面ABC，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，易知OO1∥PA，取PA中點D，連接OD，則有OD⊥PA，又O1A?平面ABC，所以O(shè)1A⊥PA，從而O1A∥OD，四邊形ODAO1為平行四邊形，OO1＝AD＝1，又OO1⊥O1A，典例2

(1)如今中國被譽(yù)為“基建狂魔”，可謂逢山開路，遇水架橋.高速公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出的用于基建的大型龍門吊、平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)先水平.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間大球為正四面體的內(nèi)切球，考點二空間幾何體的內(nèi)切球小球與大球相切，同時與正四面體的三個面相切.設(shè)AB＝a，則該模型中5個球的表面積之和為_____.如圖所示，設(shè)O為大球的球心，大球的半徑為R，正四面體的底面中心為E，棱長為a，高為h，CD的中點為F，連接OA，OB，OC，OD，OE，BF，設(shè)小球的半徑為r，小球也可看作一個小的正四面體的內(nèi)切球，且小正四面體的高h(yuǎn)?。絟－2R＝(2)(2023·益陽質(zhì)檢)金剛石的成分為純碳，是自然界中天然存在的最堅硬的物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個等邊三角形組成的正八面體，如圖，某金剛石的表面積為

現(xiàn)將它雕刻成一個球形裝飾物，則可雕刻成的最大球體積是√如圖，設(shè)四邊形ABCD的中心為O，BC，AD的中點分別為H，M，連接OH，EO，EH，MF，HF，EM，設(shè)金剛石的邊長為a，則由題知，在等邊△EBC中，BC邊上的高由題可知，最大球即為金剛石的內(nèi)切球，由對稱性易知球心在O點，內(nèi)切球與平面EBC的切點在線段EH上，內(nèi)切球的半徑即為截面EMFH內(nèi)切圓的半徑，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,

跟蹤訓(xùn)練2

(1)在四面體A－BCD中，BA，BC，BD兩兩互相垂直，BA＝1，BC＝BD＝2，則四面體A－BCD內(nèi)切球的半徑為√因為BA，BC，BD兩兩互相垂直，BA＝1，BC＝BD＝2，如圖，取CD的中點E，連接AE，則AE⊥CD，設(shè)四面體A－BCD內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，則V三棱錐A－BCD＝V三棱錐O－ABC＋V三棱錐O－BCD＋V三棱錐O－ABD＋V三棱錐O－ACD，(2)(2023·菏澤模擬)已知一個裝滿水的倒圓臺形容器的上底面半徑為1，下底面半徑為5，高為

若將一個鐵球放入該容器中，使得鐵球完全沒入水中，則可放入鐵球的表面積的最大值為A.32π B.36πC.48π D.50π√依題意，鐵球的表面積最大時，該球與圓臺下底面和側(cè)面相切，顯然鐵球球心O在圓臺的軸線上，過圓臺的軸作平面截圓臺得等腰梯形ABCD，截球得球的大圓O，圓O與AB，BC，AD都相切，如圖，令A(yù)B的中點為O1，過點O1的圓O的直徑另一端點為O2，過點O2作圓O的切線分別交BC，AD于E，F(xiàn)，則EF∥AB，即圓O是等腰梯形ABEF的內(nèi)切圓，過點D，F(xiàn)作AB的垂線，垂足分別為M，N,

令圓O切AD于G，于是O1A＝5，O1M＝1，AM＝4，令圓O的半徑為R，O2F＝r，顯然AF＝AG＋GF＝AO1＋FO2＝5＋r，在Rt△AFN中，AF2＝AN2＋FN2，所以可放入鐵球的表面積的最大值典例3

(2023·開封模擬)已知棱長為6的正四面體內(nèi)有一個正方體玩具，若正方體玩具可以在該正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則這個正方體玩具的棱長最大值為考點三空間幾何體的切接問題√如圖所示，若正方體玩具可以在該正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則正方體的體對角線不超過該正四面體內(nèi)切球的直徑.設(shè)O為正四面體P－ABC內(nèi)切球的球心，則內(nèi)切球的半徑為OO1＝r，如圖，PO1為正四面體P－ABC的高，O1是正△ABC的中心，O1A∴VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PAC，∵S△ABC＝S△PAB＝S△PBC＝S△PAC，跟蹤訓(xùn)練3

在公元前4世紀(jì)中葉，中國天文學(xué)家有一套測定天體球面坐標(biāo)的儀器稱作渾儀，比古希臘早了近60年.渾儀是由一重重的同心圓環(huán)構(gòu)成，整體看上去近似一個球體.它的運行制作原理可以如下解釋，同心圓環(huán)的小球半徑為r，大球半徑為R，大球內(nèi)安放六根等長的金屬絲(不計粗細(xì))，使小球能夠在金屬絲框架內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，若R＝

則r的最大值為___.1由題意知，小球與正四面體的各條棱相切，大球為正四面體的外接球，即可保證r最大，如圖所示，設(shè)正四面體A－BCD的棱長為a，E為△BCD的中心，可得AE⊥平面BCD，過點O作OF⊥AC，垂足為F，即小球的最大半徑r＝1.1.幾何體的外接球，常用的方法有構(gòu)造法、截面法.2.幾何體的內(nèi)切球求解多面體的內(nèi)切球問題，一般是將多面體分割為以內(nèi)切球球心為頂點，多面體的各側(cè)面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各分割棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑.總結(jié)提升1.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，6根等長的正四棱柱體分成3組，經(jīng)90°榫卯起來.若正四棱柱的高為8，底面正方形的邊長為2，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為(容器壁的厚度忽略不計)A.96π B.84πC.42π D.16π12345678910√若球形容器表面積最小，則正四棱柱與球內(nèi)接，此時球體的直徑等于一組正四棱柱的體對角線長，即

球形容器的表面積至少為S＝4πR2＝84π.123456789102.(2023·江蘇四市調(diào)研)已知正四面體P－ABC的棱長為1，點O為底面△ABC的中心，球O與該正四面體的其余三個面都有且只有一個公共點，且公共點非該正四面體的頂點，則球O的半徑為12345678910√123456789103.(2023·德陽模擬)已知矩形ABCD的面積為8，當(dāng)矩形ABCD周長最小時，沿對角線AC把△ACD折起，則三棱錐D－ABC的外接球表面積等于A.8π B.16πC.

D.不確定的實數(shù)√1234567891012345678910設(shè)矩形ABCD的邊長分別為x，y，則xy＝8，所以矩形ABCD的周長C＝2(x＋y)，∵x>0，y>0，∵DE＝EB＝AE＝CE＝2，∴外接球的半徑R＝DE＝2，外接球的表面積S＝4πR2＝4×22π＝16π.123456789104.(2023·廣東聯(lián)考)已知某圓錐的內(nèi)切球(球與圓錐側(cè)面、底面均相切)的體積為

則該圓錐的表面積的最小值為A.32π

B.28π

C.24π

D.20π√12345678910設(shè)圓錐頂點為A，底面圓周上一點為B，底面圓心為C，內(nèi)切球球心為D，內(nèi)切球切母線AB于點E，底面半徑BC＝R>2，∠BDC＝θ，故AB＝BE＋AE＝R＋2tan(π－2θ)＝R－2tan2θ，12345678910123456789105.(2023·桂林模擬)已知△SAB是邊長為2的等邊三角形，∠ACB＝45°，當(dāng)三棱錐S－ABC體積取最大時，其外接球的體積為√12345678910取AB的中點D，連接CD，SD，如圖，在△ABC中，由余弦定理得4＝AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB≥(2－

)AC·BC，即AC·BC≤2(2＋

)，當(dāng)且僅當(dāng)AC＝BC時取等號，12345678910令直線CD與平面SAB所成角為θ，則點C到平面SAB的距離h＝CD·sinθ≤CD，當(dāng)且僅當(dāng)θ＝90°時取等號，因此三棱錐S－ABC的體積VS－ABC＝VC－SAB＝

S△SAB·h，即當(dāng)h＝CD最大時，三棱錐S－ABC體積最大，因此當(dāng)三棱錐S－ABC體積最大時，AC＝BC且CD⊥平面SAB，而SD?平面SAB，即有CD⊥SD，在正△SAB中，SD⊥AB，AB∩CD＝D，則SD⊥平面ABC，12345678910令正△SAB的外接圓圓心為O2，等腰△ABC的外接圓圓心為O1，則O2，O1分別在SD，CD上，令外接球球心為O，于是OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面SAB，有OO1∥SD，OO2∥CD，即四邊形OO1DO2是矩形，12345678910123456789106.(多選)某組合體由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為

托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線向上折疊成直二面角而成，如圖②.則下列說法正確的有√12345678910√√12345678910因為托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成，所以連接AB，BC和AC得幾何體ABC－DEF，因此構(gòu)建一個底面邊長為2，高為

的正三棱柱DEF－D1E1F1，D1E1，E1F1和D1F1的中點分別為A，B和C，則幾何體ABC－DEF就是題意中的幾何體，如圖.幾何體ABC－DEF的上底面△ABC是邊長為1的正三角形，下底面△DEF是邊長為2的正三角形，高為12345678910因為銅球的體積為

所以由球的體積公式得銅球的半徑R＝1.對于A，由幾何體ABC－DEF的構(gòu)成知，多面體ABC－DEF的體積為三棱柱的體積減去3個三棱錐的體積，因為銅球的體積為所以由球的體積公式得銅球的半徑R＝1.對于A，由幾何體ABC－DEF的構(gòu)成知，多面體ABC－DEF的體積為三棱柱的體積減去3個三棱錐的體積，12345678910對于B，因為經(jīng)過三個頂點A，B，C的球的截面圓就是正△ABC的外接圓，所以若邊長為1的正三角形的外接圓半徑為r，對于C，取EF的中點G，連接AG，則由幾何體ABC－DEF的構(gòu)成知，AC∥GF且AC＝GF，因此四邊形AGFC是平行四邊形，所以CF∥AG，因此∠DAG就是異面直線AD與CF所成的角.12345678910√√123456789107.(多選)(2023·張家口模擬)已知圓錐PE的頂點為P，E為底面圓的圓心，圓錐PE的內(nèi)切球球心為O1，半徑為r；外接球球心為O2，半徑為R.以下選項正確的有12345678910設(shè)AB為底面圓的一條直徑，圓錐PE的內(nèi)切球半徑和外接球半徑分別為其軸截面△PAB內(nèi)切圓半徑和外接圓半徑.當(dāng)O1與O2重合時，如圖1，O為重合的圓心(球心)，M為一個切點，由PO＝AO＝R，PO，AO均為對應(yīng)角的角平分線，所以∠PAB＝∠APB，所以AB＝BP，又PA＝PB，所以△PAB為等邊三角形，故∠OAM＝30°，所以R＝2r，所以A錯誤；12345678910當(dāng)E與O2重合時，如圖2，PE＝AE＝R，所以∠EPA＝45°，若r＝2，設(shè)圓錐底面半徑為a，則a>2，12345678910若R＝2，設(shè)圓錐底面半徑為a，圓錐的高為h，則0<h<4，易得|h－2|2＋a2＝4，12345678910故D錯誤.8.(2023·汕頭模擬)如圖，在正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，若半徑為r的球O與該正四棱臺的各個面均相切，則該球的表面積S＝_____.123456789108π設(shè)球O與上底面、下底面分別切于點O1，O2，與平面ADD1A1，平面BCC1B1分別切于點E，F(xiàn)，作出其軸截面如圖所示，則MO1＝ME＝1，EN＝NO2＝2,于是，MN＝1＋2＝3,過點M作MH⊥O2N于點H，則NH＝NO2－MO1＝1，123456789109.(2023·福建聯(lián)考)如圖，正四面體A－BCD的棱長為3，E，F(xiàn)，G分別是AC，AD，AB上的點，AG＝AE＝AF＝1，截去三棱錐A－GEF，同理，分別以B，C，D為頂點，各截去一個棱長為1的小三棱錐，截后所得的多面體的外接球的表面積為_____.1234567891012345678910