2017-2018學年高中數學人教A版選修1-1全冊教學案

2017-2018學年高中數學人教A版

選修1-1全冊教學案

目錄

1.1.1命題

1.1.2四種命題-1.1.3四種命題間的相互關系

1.2.1充分條件與必要條件

1.2.2充要條件

1.3簡單的邏輯聯(lián)結詞

1.4.1全稱量詞-1.4.2存在量詞

1.4.3含有一個量詞的命題的否定

2.1.1橢圓及其標準方程

2.1.2橢圓的簡單幾何性質（一）

2.1.2橢圓的簡單幾何性質（二）

2.2.1雙曲線及其標準方程

2.2.2雙曲線的簡單幾何性質

2.3.1拋物線及其標準方程

2.3.2拋物線的簡單幾何性質

3.1.1變化率問題-3.1.2導數的概念

3.1.3導數的幾何意義

3.2.1幾個常用函數的導數-3.2.2基本初等函數的導數公式及導數

的運算法則（一）

3.3.1函數的單調性與導數

3.3.2函數的極值與導數

3.3.3函數的最大（?。┲蹬c導數

3.4生活中的優(yōu)化問題舉例

章末復習提升1

章末復習提升2

章末復習提升3

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第一道常用邏輯用語

§1.1命題及其關系

1.1.1命題

［學習目標］1.了解命題的概念2會判斷命題的真假，能夠把命題化為“若p,則q”的形式.

聲知識梳理自主學習

知識點一命題的定義

(1)用語言、符號或式子表達的,可以判斷真假的陳述句叫做命題.

(2)判斷為真的語句叫做真命題.

(3)判斷為限的語句叫做假命題.

思考(1)“x>5”是命題嗎？

(2)陳述句一定是命題嗎？

答案(1)“x>5”不是命題，因為它不能判斷真假.

(2)陳述句不一定是命題，因為不知真假.只有可以判斷真假的陳述句才叫做命題.

知識點二命題的結構

從構成來看，所有的命題都由條件和結論兩部分構成.在數學中,命題常寫成“若D，貝3/'

的形式.通常，我們把這種形式的命題中的。叫做命題的條件,〃叫做命題的結論.

聲題型探究重點突破

題型一命題的判斷

例1(1)下列語句為命題的是()

A.x—1=0B.2+3=8

C.你會說英語嗎？D.這是一棵大樹

(2)下列語句為命題的有.

①一個數不是正數就是負數；

②梯形是不是平面圖形呢？

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③2235是一個很大的數；

?4是集合｛2,3,4｝的元素；

⑤作△/BC&B'C.

答案(1)B⑵①④

解析(1)A中x不確定，x—1=0的真假無法判斷；B中2+3=8是命題，且是假命題；C

不是陳述句，故不是命題；D中“大”的標準不確定，無法判斷真假.

(2)①是陳述句，且能判斷真假；②不是陳述句；③不能斷定真假；④是陳述句且能判斷真

假；⑤不是陳述句.

反思與感悟并不是所有的語句都是命題，只有能判斷真假的陳述句才是命題.命題首先是

“陳述句”，其他語句如疑問句、祈使句、感嘆句等一般都不是命題；其次是“能判斷真假”，

不能判斷真假的陳述句不是命題，如“x22”、“小高的個子很高”等都不能判斷真假，故

都不是命題.因此，判斷一個語句是否為命題，關鍵有兩點：①是否為陳述句；②能否判斷

真假.

跟蹤訓練1判斷下列語句是不是命題.

(1)求證小是無理數；

(2)x2+2r+l>0；

(3)你是高二學生嗎？

(4)并非所有的人都喜歡蘋果；

(5)一個正整數不是質數就是合數；

(6)若xdR,則f+4x+7>0；

(7)x+3>0.

解(1)(3)⑺不是命題,⑵(4)⑸⑹是命題.

題型二命題真假的判斷

例2判斷下列命題的真假：

(1)已知a,b,c,dCR,若“Wc,b乎d,則a+6Wc+d；

(2)若xGN,則x3>x2成立；

(3)若機>1,則方程f—2x+機=0無實數根；

(4)存在一個三角形沒有外接圓.

解(1)假命題.反例：1/4,5￥2,而1+5=4+2.

(2)假命題.反例：當x=0時，欠3R2不成立.

⑶真命題.：”>l=/=4-4"?<0,

方程x2-2x+m=0無實數根.

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(4)假命題.因為不共線的三點確定一個圓，即任何三角形都有外接圓.

反思與感悟要判斷一個命題是真命題，一般需要經過嚴格的推理論證，在判斷時，要有理

有據，有時應綜合各種情況作出正確的判斷.而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例

即可.

跟蹤訓練2下列命題：

①若孫=1,則X、夕互為倒數：

②四條邊相等的四邊形是正方形；

③平行四邊形是梯形；

④若ac2>6c2>則a>b.

其中真命題的序號是.

答案①④

解析①④是真命題，②四條邊相等的四邊形是菱形，但不一定是正方形，③平行四邊形不

是梯形.

題型三命題的構成形式

例3(1)已知命題：弦的垂直平分線經過圓心并且平分弦所對的弧，若把上述命題改為“若

P，則的形式，則p是,q是.

答案一條直線是弦的垂直平分線這條直線經過圓心且平分弦所對的弧

(2)把下列命題改寫成“若p,則夕”的形式，并判斷命題的真假.

①已知x,y為正整數，當產x+1時，y=3,x=2；

②當融c=0時，a=0且6=0且c=0.

解①已知x,y為正整數，若y=x+l,則y=3,x=2,假命題.

②若%=0,則0=0且6=0且c=0,假命題.

反思與感悟把一個命題改寫成“若p,則的形式，首先要確定命題的條件和結論，若

條件和結論比較隱含，要補充完整，有時一個條件有多個結論，有時一個結論需多個條件，

還要注意有的命題改寫形式也不惟一.

跟蹤訓練3指出下列命題中的條件0和結論q,并判斷各命題的真假.

(1)若四邊形是平行四邊形，則它的對角線互相平分；

(2)若a>0,b>0,貝iJ“+fr>0；

(3)面積相等的三角形是全等三角形.

解(1)條件p：四邊形是平行四邊形，結論/四邊形的對角線互相平分.真命題.

(2)條件p：a>0,b>0,結論q：a+b>件真命題.

(3)條件》兩個三角形面積相等，結論q：它們是全等三角形.假命題.

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菱當堂檢測自查自糾

1.下列語句不是命題的個數為（）

①2<1；②x<1；③若x<2,則x<l；④函數_AX）=X2是R上的偶函數.

A.OB.1

C.2D.3

答案C

解析①④可以判斷真假，是命題；②③不能判斷真假，所以不是命題.

2.下列命題為真命題的是（）

A.互余的兩個角不相等

B.相等的兩個角是同位角

C.若/=*,則冏=|切

D.三角形的一個外角等于和它不相鄰的一個內角

答案C

解析由平面幾何知識可知A、B、D三項都是錯誤的.

3.下列命題是真命題的是（）

A.若/=4,則a=2B.若則m=小

C.若｝貝（1a=bD.若a<b,則/<廿

答案C

解析判斷是假命題，只需舉反例，用排除法，得到正確選項.

由.2=4得“=±2,排除A；

<a-b——\,排除B；

-2<1,但（-2）2>巴排除D.故選C.

4.給出下列四個命題：

①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；

②若一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；

③垂直于同一條直線的兩條直線相互平行；

④若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.

其中，為真命題的是（）

A.①②B.②③

C.③④D.②④

答案D

解析當兩個平面相交時，一個平面內的兩條直線可以平行于另一個平面，故①錯；由平面

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與平面垂直的判定定理可知②正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線可以平行、相交也

可以異面，故③錯；若兩個平面垂直，在一個平面內與它們的交線垂直的直線才與另一個平

面垂直，故④正確.

5.下列命題：

①若xy=0,則國+%=0;②若Ab,則/Me?；③矩形的對角線互相垂直.

其中假命題的個數是.

答案3

解析①當x,y中一個為零，另一個不為零時，|x|+[y]W0；②當c=0時不成立；③菱形的

對角線互相垂直.矩形的對角線不一定垂直.

「課堂小結------------------------------------1

1.根據命題的定義，可以判斷真假的陳述句是命題.命題的條件與結論之間屬于因果關系，真

命題需要給出證明，假命題只需舉出一個反例即可.

2.任何命題都是由條件和結論構成的，可以寫成“若p,則的形式.含有大前提的命題寫

成“若p,則q”的形式時，大前提應保持不變，且不寫在條件p中.

1.1.2四種命題

1.1.3四種命題間的相互關系

[學習目標]1.理解四種命題的概念，能寫出某命題的逆命題、否命題和逆否命題2知道四

種命題之間的相互關系以及真假性之間的聯(lián)系.3.會利用逆否命題的等價性解決問題.

育知識梳理自主學習

知識點一四種命題的概念

(1)互逆命題：對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件,

那么這兩個命題叫做互逆命題.其中一個命題叫做原命題,另一個叫做原命題的逆命題.

(2)互否命題：對于兩個命題，其中一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定

和結論的否定，這兩個命題叫做互否命題.其中一個命題叫做原命題,另一個叫做原命題的

否命題.

(3)互為逆否命題：對于兩個命題，其中一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的紙迨的

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否定和條件的否定,這兩個命題叫做互為逆否命題.其中一個命題叫做原命題,另一個叫做

原命題的逆否命題.

知識點二四種命題的真假性的判斷

原命題為真，它的逆命題不一定為真;它的否命題也不一定為真.原命題為真,它的逆否命

題一定為真.

1題型探究重點突破

題型一四種命題的概念

例1寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假.

⑴若WH<0,則方程mx2—x+n=0有實數根；

(2)弦的垂直平分線經過圓心，且平分弦所對的弧；

(3)若zwWO或"W0,則，〃+〃W0；

(4)在△/8C中,若a>b,則

解(1)逆命題：若方程用x+"=0有實數根，則機”<0,假命題.

否命題：若小?〃》()，則方程mx?—x+〃=0沒有實數根，假命題.

逆否命題：若方程機/一》+"=0沒有實數根，則"八"20,真命題.

(2)逆命題：若一條直線經過圓心，且平分弦所對的瓠，則這條直線是弦的垂直平分線，真

命題.

否命題：若一條直線不是弦的垂直平分線，則這條直線不過圓心或不平分弦所對的弧，真命

題.

逆否命題：若一條直線不經過圓心或不平分弦所對的弧，則這條直線不是弦的垂直平分線，

真命題.

(3)逆命題：若加+nWO,則/wWO或“W0,真命題.

否命題：若機>0且〃>0,則加+”>0,真命題.

逆否命題：若加+〃>0,貝U"?>0且〃>0,假命題.

(4)逆命題：在△/BC中，若N4>NB,則真命題.

否命題：在中，若aWb,則真命題.

逆否命題：在△/8C中，若/ZW/8,則aWb,真命題.

反思與感悟(1)寫命題的四種形式時，首先要找出命題的條件和結論，然后寫出命題的條

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件的否定和結論的否定，再根據四種命題的結構寫出所求命題.

(2)在寫命題時，為了使句子更通順，可以適當地添加一些詞語，但不能改變條件和結論.

跟蹤訓練1判斷下列命題的真假，并寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真

假.

(1)若V+y2=。則x,y全為零;

(2)若在二次函數卜=0?+川+。(°40)中，*2-4ac<0,則該函數圖象與x軸有交點.

解(1)該命題為真命題.

逆命題：若X,V全為零，則f+y2=0,真命題.

否命題：若則x,y不全為零，真命題.

逆否命題：若x,y不全為零，則f+FWO,真命題.

(2)該命題為假命題.

逆命題：若二次函數y=or2+6x+c(aW0)的圖象與x軸有交點，則/-4改<0,假命題.

否命題：若在二次函數y=ax2+6x+c(aW0)中，b2—4ac^0,則該函數圖象與x軸無交點，

假命題.

逆否命題：若二次函數y=ax2+6x+c(aW0)的圖象與x軸無交點，則后一4℃20,假命題.

題型二四種命題的關系

例2下列命題：

①“若個=1,則x、y互為倒數”的逆命題；

②“四條邊相等的四邊形是正方形”的否命題；

③“梯形不是平行四邊形”的逆否命題；

④“若改2>歷2,則的逆命題.

其中是真命題的是.

答案①②③

解析①“若號=1,則x,y互為倒數”的逆命題是“若x,y互為倒數，則中=1"，是真

命題；②“四條邊相等的四邊形是正方形”的否命題是“四條邊不都相等的四邊形不是正方

形"，是真命題；③“梯形不是平行四邊形"本身是真命題，所以其逆否命題也是真命題；

④“若>〉歷2,則a>b”的逆命題是“若a>b,則ac2>bc2,>,是假命題.所以真命題是①②③.

反思與感悟要判斷四種命題的真假：首先，要熟練掌握四種命題的相互關系，注意它們之

間的相互性；其次，利用其他知識判斷真假時，一定要對有關知識熟練掌握.

跟蹤訓練2下列命題為真命題的是()

①“正三角形都相似”的逆命題；

②“若心0,則￥+入一皿=0有實根”的逆否命題；

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③“若X-也是有理數，則X是無理數”的逆否命題.

A.①②③B.②③

C.①②D.①③

答案B

解析①原命題的逆命題為“若兩個三角形相似，則這兩個三角形是正三角形"，故為假命

題.②原命題的逆否命題為“若x?+2x一機=0無實根，則機W0”.?方程無實根，.?.判別式

J—4+4w<0,.,.m<—1,即成立，故為真命題.③原命題的逆否命題為“若x不是無

理數，則X—也不是有理數”.???x不是無理數，...X是有理數.又也是無理數，...X一啦是無

理數，不是有理數，故為真命題.正確的命題為②③，故選B.

題型三等價命題的應用

例3判斷命題“已知a,x為實數，若關于x的不等式￥+(2。+1)^+/+2?0的解集是空

集，則“<2”的逆否命題的真假.

解原命題的逆否命題為“已知a,x為實數，若則關于x的不等式f+(2a+l)x+

J+2W0的解集不是空集”.

判斷真假如下：

函數y=*+(2a+l)x+a2+2的圖象開口向上，判別式/=(2a+l)2—4(“2+2)=4a—7,

因為a22,所以4〃-7>0,即拋物線與x軸有交點，

所以關于x的不等式x2+(2a+l)x+J+2W()的解集不是空集，故原命題的逆否命題為真.

反思與感悟因為原命題與它的逆否命題的真假性相同，所以我們可以利用這一點，通過證

明原命題的逆否命題的真假性來肯定原命題的真假性.這種證明方法叫做逆否證法，它也是

一種間接的證明方法.

跟蹤訓練3判斷命題“若機>0,則方程f+2x—3m=0有實數根”的逆否命題的真假.

解：加〉。，

/.方程x?+2x—3加=0的判別式zf—12w+4>0.

原命題“若心0,則方程x?+2x—3機=0有實數根”為真.

又因原命題與它的逆否命題等價，所以“若團>0,則方程f+2x-3機=0有實數根”的逆否

命題也為真.

思想方法

化歸思想的應用

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例4判斷命題“若f-Jwo,則工一y，x+y中至少有一個不等于0”的真假.

分析原命題的真假性不容易判斷，可以找出其逆否命題，若其逆否命題的真假性容易判斷，

則根據互為逆否的兩個命題的真假性之間的關系，就可以解決原命題的真假性問題了.

解原命題的逆否命題：若x—y,x+y都等于0,

則x2—y2=O.

由x—y=0,x+y=O,得/=（x+y）（x—y）=0.

因此，原命題的逆否命題是真命題.

所以原命題是真命題.

解后反思條件與結論都含有否定詞的命題在判斷其真假時，會有一定的困難，這時最好轉

化為判斷其逆否命題的真假，這種化歸的思想是解題的重要思想方法.

易錯點

根據已知集合求參數范圍

例5已知p：M={x|x2—2%—80^0},q：N={x*—2x+1—〃/WO,陽>0}.如果,若p,則

q”為真，且“若g,則P”為假，求實數”的取值范圍.

分析先求不等式的解集，再根據條件建立不等式組求解即可.

解p：M={X|X2-2X-80<0}={x|-8<x^10},

q：N={x|x2—2x+1—ZH2^0,W>0}

={x|l一mWxW1+〃？,w>0}.

因為“若p,則夕”為真，且“若q,則p”為假，所以〃N,

加＞0,ni＞0,

所以＜1—/nW—8,或＜］一加V—8,

」+陽＞10」+加210,

〃7＞0,777＞0,

即＜或＜加＞9,解得機＞9,

jn＞9”29,

即實數m的取值范圍是{間機>9}.

解后反思由“若p,則g”為真，“若q,則p”為假，得MWN,但限M,故MN,

即u1-m與一8”和“1+機與10”不能同時取等號.事實上，當m=9時，兩個集合相等.

歹當堂檢測自查自糾

1.命題“若aM,貝iJbCB”的否命題是（）

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A.若四,則陰8

B.若aG/,貝I」

C.若bWB,貝

D.若陰3,則“由4

答案B

解析命題“若p,則/'的否命題是“若^p,則,“G”與“￥互為否定形式.

2.命題“若則NU8=8”的逆否命題是（）

A.若AUB=B,則408="

B.若NCBW/,則/U8W8

C.若4UBWB,則ZAB#/

D.若/U8W8,則/ClB=Z

答案C

解析注意‘708=/"的否定是.

3.命題“若平面向量a,b共線，則a,b方向相同”的逆否命題是，它是命

題（填“真”或"假”）.

答案若平面向量a,5的方向不相同，則a,8不共線假

4,給出以下命題：

①“若a,6都是偶數，則a+b是偶數”的否命題；

②“正多邊形都相似”的逆命題；

③''若">0,則f+x一機=0有實根”的逆否命題.

其中為真命題的是.

答案③

解析①否命題是“若“，6不都是偶數，則a+6不是偶數”.假命題.

②逆命題是“若兩個多邊形相似，則這兩個多邊形為正多邊形”.假命題.

③?.2=1+4"?,加>0時,/>0,

.?.f+x—"7=0有實根，即原命題為真.

.?.逆否命題為真.

5.“若sina=4,則a=”的逆否命題是“"，逆否命題是命

題（填“真”或"假”）.

答案若反京則sina#；假

解析逆否命題是''若a制，

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則sina#；”是假命題.

「課堂小結------------------------------------1

1.寫四種命題時，可以按下列步驟進行：

(1)找出命題的條件p和結論q;

(2)寫出條件p的否定和結論q的否定

(3)按照四種命題的結構寫出所求命題.

2.每一個命題都由條件和結論組成，要分清條件和結論.

3.判斷命題的真假可以根據互為逆否的命題真假性相同來判斷，這也是反證法的理論基礎.

常用邏輯用講

充分條件與必要條件

1.2.1充分條件與必要條件

［學習目標］1.理解充分條件、必要條件的意義.2.會求(判定)某些簡單命題的條件關系.3.通

過對充分條件、必要條件的概念的理解和運用，培養(yǎng)分析、判斷和歸納的邏輯思維能力.

聲知識梳理自主學習

知識點充分條件與必要條件

一般地，“若p,則/'為真命題，是指由0通過推理可以得出g.這時，我們就說，由夕可

推出4,記作并且說〃是〃的充分條件,。是D的必要條件.

(l)p是q的充分條件與q是p的必要條件表述的是同一個邏輯關系，只是說法不同火是q的

充分條件只反映了p=4,與4能否推出p沒有任何關系.

(2)注意以下等價的表述形式：①pnq；②0是g的充分條件；③q的充分條件是p；④q是p

的必要條件；⑤p的必要條件是外

(3)“若p,則為假命題時，記作“p#q”，則p不是q的充分條件，夕不是p的必要條

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件.

思考(1)數學中的判定定理給出了結論成立的什么條件？

(2)性質定理給出了結論成立的什么條件？

答案(1)充分條件(2)必要條件

產題型探究重點突破

題型一充分條件、必要條件

例1給出下列四組命題：

(l)p：兩個三角形相似，q：兩個三角形全等；

(2)門一個四邊形是矩形，/四邊形的對角線相等；

(3)p：A^B,q：AClB=A；

(4)p：a>b,q-ac>bc.

試分別指出p是夕的什么條件.

解(1)；兩個三角形相似分兩個三角形全等，但兩個三角形全等=兩個三角形相似，

?'?P是q的必要不充分條件.

(2)：矩形的對角線相等，...p=q,

而對角線相等的四邊形不一定是矩形，

:.p是q的充分不必要條件.

(3)；p=g,且q=p,

???p既是q的充分條件，又是q的必要條件.

(4)；p》q,且

:.p是q的既不充分也不必要條件.

反思與感悟本例分別體現了定義法、集合法、等價法.一般地，定義法主要用于較簡單的

命題判斷，集合法一般需對命題進行化簡，等價法主要用于否定性命題.要判斷p是不是q

的充分條件，就要看p能否推出夕，要判斷p是不是g的必要條件，就要看夕能否推出p.

跟蹤訓練1指出下列哪些命題中p是4的充分條件？

(1)在△/8C中，p-.q：BOAC.

(2)對于實數x,y,p：x+y#8,q：x#2或k6.

(3)在△/BC中，p：siivl>sinS,q：XanA>tanB.

(4)已知x,yGR,p-x=l,q：(x—l>(x—2)=0.

解(1)在△NBC中，由大角對大邊知，ZA>ZB=^BOAC,

所以p是4的充分條件.

(2)對于實數x,y,因為x=2且y=6=x+y=8,

所以由x+yW8=xW2或xW6,

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故p是4的充分條件.

(3)在△/BC中，取/4=120°,Z5=30°,

則sirL4>sinS,但tan?l<tan5,

故p#q,故p不是q的充分條件.

(4)由x=1=>(x-l)(x-2)=0,

故p是g的充分條件.

故命題⑴⑵(4)中p是q的充分條件.

題型二充分條件、必要條件與集合的關系

例2是否存在實數p,使4x+p<0是x—2>0的充分條件？如果存在，求出p的取值范

圍；否則，說明理由.

解由x—2>0解得x>2或1,

令/={x\x>2或1},

由4x+p<0,得B—[x\x<—^],

當8az時，即一臺一1,即p》4,

此時x<一號W—1=》2—X—2>0,

當pN4時，4x+p<0是x?—x—2>0的充分條件.

反思與感悟(1)設集合A={x\x滿足p},B={x\x滿足q},則p=q可得4￡B;q=>p可得

BQA;若p是夕的充分不必要條件，則NB.

(2)利用充分條件、必要條件求參數的取值范圍的關鍵就是找出集合間的包含關系，要注意

范圍的臨界值.

跟蹤訓練2已知〃={x|(x—a)2vl},N={XM-5X-24<0},若"是N的充分條件，求a

的取值范圍.

解由(x—a尸<1得f—2ax+(a—l)(a+1)<0,

；?Q—l<x<a+1.

又由X2-5X~24<0得一3Vx<8.

是N的充分條件，

a-1^-3,

解得一2<aW7.

a+lW8,

故a的取值范圍是一2WaW7.

易錯點

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根據必要條件（充分條件）求參數的范圍

例3已知尸={x|a—4<t<?+4},0={x[l<x<3},ux^Pn是“xG°”的必要條件，則實數

a的取值范圍是.

錯解因為“xep”是“xe?！钡谋匾獥l件，所以0UP.

a—4<1,a<5,

所以即

a+4>3,a>—1,

所以一l<a<5.

錯解分析錯誤的根本原因是忽視了集合中的不等式的等號，實際上本題中的不等式中的等

|Q-4W1,

號能取到即

a+423.

正解因為“XWP”是“xw?！钡谋匾獥l件，所以0GP,

。一4W1,QW5

所以

。+423,—1

所以一lWaW5.

答案

聲當堂檢測自查自糾

1.i>-2<x<\"是ux>\或x-1”的（）

A.充分條件但不是必要條件

B.必要條件但不是充分條件

C.既不是充分條件，也不是必要條件

D.既是充分條件，也是必要條件

答案C

解析V—2<x<l^x>l或x<—1,且x>l或1分—2<x〈l,a—2<x<l"是"x>l或x<

一1”的既不充分也不必要條件.

2.ud>bn是ud>\b\n的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.既是充分條件，也是必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由a>\b\=>a>b,而a>b推不出a>\b\.

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3.若“CR,則“a=l”是“同=1”的()

A.充分條件

B.必要條件

C.既不是充分條件也不是必要條件

D.無法判斷

答案A

解析當。=1時，⑷=1成立，

但同=1時，a-±\,所以。=1不一定成立.

“。=1"是“同=1”的充分條件.

4.是“函數/(x)=|3—1用在區(qū)間(0,+8)內單調遞增”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.既充分也必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析外)=|(亦一l)x|在區(qū)間(0,+8)內單調遞增等價于外)=0在區(qū)間(0,+8)內無實根,

即。=0或卜0,也就是aWO,“aWO”是“函數兀0=|("-1閃在區(qū)間(0,+8)內單調遞

增”的既是充分也是必要條件.故選C.

5.若'&<加”是“(x—l)(x—2)>0”的充分不必要條件，求機的取值范圍.

解由Q—1)。-2)>0可得x>2或x<1,

由已知條件，知{x|x〈/n}{x|x>2或x<l}.

.,.機Wl.

「課堂小結------------------------------------1

1.充分條件、必要條件的判斷方法：

(1)定義法：直接利用定義進行判斷.

(2)等價法：利用逆否命題的等價性判斷，即要證只需證它的逆否命題4=^p即

可；同理要證q=p,只需證4即可.

(3)利用集合間的包含關系進行判斷.

2.根據充分條件、必要條件求參數的取值范圍時，主要根據充分條件、必要條件與集合間的

關系，將問題轉化為相應的兩個集合之間的包含關系，然后建立關于參數的不等式(組)進行

求解.

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1.2.2充要條件

［學習目標］1.理解充要條件的意義2會判斷、證明充要條件3通過學習，明白對充要條件

的判定應該歸結為判斷命題的真假.

科知識梳理自主學習

知識點一充要條件

一般地，如果既有p=g,又有g=p就記作pCq.

此時，我們說，p是4的充分必要條件,簡稱充要條件.顯然,如果p是q的充要條件，那么

q也是p的充要條件.

概括地說，如果那么。與?；槌湟獥l件.

思考(1)若p是q的充要條件，則命題p和g是兩個相互等價的命題.這種說法對嗎？

(2)“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？

答案(1)正確.若p是夕的充要條件，則即p等價于故此說法正確.

(2)①p是q的充要條件說明p是條件，q是結論.

@p的充要條件是q說明q是條件，p是結論.

知識點二常見的四種條件與命題真假的關系

如果原命題為“若p,則,逆命題為“若夕，貝Up”，那么p與4的關系有以下四種情形:

原命題逆命題p與q的關系

p是q的充要條件

真真

q是p的充要條件

p是q的充分不必要條件

真假

q是p的必要不充分條件

p是q的必要不充分條件

假真

q是p的充分不必要條件

p是4的既不充分也不必要條件

假假

夕是夕的既不充分也不必要條件

知識點三從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件

若4UB,則p是4的充分條件，若48,則p是q的充分不必要條件

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若BUA,則夕是夕的必要條件，若BA,則p是夕的必要不充分條件C3

若4=B,則p,q互為充要條件

若4寸B且B，,則p既不是g的充分條件，也不是q的必要條件0CD

其中p：4=｛功?(乃成立｝,q：3=｛%"(%)成立｝.

營題型探究重點突破

題型一充要條件的判斷

例1(1)設x>0,則是的()

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析分別判斷x>y=x>[y]與x>?|=x>y是否成立，從而得到答案.

當x=l,歹=—2時，x>y9但x>Ly|不成立；

若x>[y],因為所以

所以x>y是的必要而不充分條件.

(2)判斷下列各題中，p是否為g的充要條件？

①在△48。中，p：NA>NB,q：sinJ>sinB；

②若a,b￡R,p：a2+b2=0,q：a=b=0；

@p：|x|>3,q：X2>9.

解①在△ZBC中，顯然有N4>NBQsin4>sin&

所以夕是夕的充要條件.

②若/+/=0,則a=b=0,即p=q、,

若a=6=0,則/+/=0,即g=p,故p0q,

所以p是4的充要條件.

③由于p：沖>3=夕：X2>9,所以p是q的充要條件.

反思與感悟判斷p是q的充分必要條件的兩種思路

(1)命題角度：判斷p是g的充分必要條件，主要是判斷夕=[及q=P這兩個命題是否成立.

若夕=夕成立，則〃是g的充分條件，同時q是p的必要條件；若夕=,成立，則,是夕的必

要條件，同時q是p的充分條件；若二者都成立，則夕與g互為充要條件.

(2)集合角度：關于充分條件、必要條件、充要條件，當不容易判斷p=q及q=p的真假時，

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也可以從集合角度去判斷，結合集合中“小集合=大集合”的關系來理解，這對解決與邏輯

有關的問題是大有益處的.

跟蹤訓練1(1>,h中至少有一個不為零的充要條件是()

A.ab=QB.aZ>>0

C.a2+/>2=0D.a2+62>0

(2)“函數2x—。沒有零點”的充要條件是.

答案(1)D(2)a<-1

解析(1)。2+/>0,則a、6不同時為零；a,6中至少有一個不為零，則/+人2>0.

(2)函數沒有零點，即方程x2—2x—。=0無實根，所以有/=4+4”0,解得a<—1.反之，若

a<—1,則/v0,方程x2-2x~~a=0無實根，即函數沒有零點.

故“函數2x—a沒有零點”的充要條件是。<一1.

題型二充要條件的證明

例2求證：方程》2+(2%—1我+爐=0的兩個根均大于1的充要條件是k<-2.

證明①必要性：

若方程X?+(2左一1,+好=。有兩個大于1的根，不妨設兩個根為X”X2,則

]/=(24一1)2—4”20,

Ux—1)+(%2-1)>0,

t(%!+%2)—2>0,

[(Xi—1)(X2—1)>0,

^X\X2—(X|+工2)+1>°

回，

即j-(2A-l)-2>0,

、川+(2-1)+1>0,

解得k<一2.

②充分性：當左<一2時，4=(2攵一1尸一4后=1-4上>0.

設方程f+(2左一l)x+〃=0的兩個根為X],X2.

—

則(X]—l)(x2-l)=xix2(^i+M)+1

=斤+2左一1+1=k(k+2)>0.

又(X1-1)+(X2_1)=(X1+X2)-2

=一(2左一1)一2=—21>0,

/?X[—1>0,X2—1>0.

工2>1?

綜上可知，方程f+(2%—l)x+〃=0有兩個大于1的根的充要條件為％v—2.

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反思與感悟一般地，證明“p成立的充要條件為夕”時，在證充分性時應以q為“已知條

件”，p是該步中要證明的“結論"，即q=p:證明必要性時則是以p為“已知條件”，q

為該步中要證明的''結論"，即p=g.

跟蹤訓練2求證：一次函數_Ax)=丘+以后#0)是奇函數的充要條件是6=0.

證明①充分性：如果6=0,那么/(x)=Ax,

因為/(—x)=A(—x)=—Ax,

所以火一x)=—

所以/(x)為奇函數.

②必要性：因為/(x)=H+b%H0)是奇函數，

所以/(一X)=—/(x)對任意X均成立，

即k(—x)-\-b——(Ax+Z)),

所以b=0.

綜上，一次函數人》)=自+6儂戶0)是奇函數的充要條件是6=0.

守當堂檢淵自查自糾

1.對于非零向量訪b,“a+b=0”是“a〃b”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析當。+》=0時，得a=—b,所以a〃6,

但若a〃b,不一定有a+》=0.

2.已知集合/={1,a},8={1,2,3},則“a=3”是“AJB”的()

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析a=3時，A={\,3},4UB；當4U8時，0=2或3.

3.已知a：，=士2"：夕：“直線x—y=0與圓x2+&-。)2=2相切"，則a是夕的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

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C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析。=±2時，直線x—y=0與圓x2+(y±2)2^2相切；當直線x-y^0與圓x2+(y-a)2

=2相切時，得$=啦，.,.a=±2；.a是夕的充要條件.

4.已知直線小x+ay+6=0和直線小(a—2)x+3y+2a=0,則l\//l2的充要條件是a=

答案T

解析由1X3—aX(a—2)=0得。=3或一1,

而。=3時，兩條直線重合，所以a=-1.

5.命題p：x>0,產0,命題q：x>y,:則p是q的條件.

答案充要

解析當x>0,產0時，x>y且成立，

x-y>0,,

11-fx>0,

當x>y且/工時，得〈X—y=j

xy—^<o,ko.

Ixy

所以p是4的充要條件.

「課堂小結-----------------------------------1

1.充要條件的判斷有三種方法：定義法、等價命題法、集合法.

2.充要條件的證明與探求

(1)充要條件的證明分充分性的證明和必要性的證明.在證明時要注意兩種敘述方式的區(qū)別：

①p是4的充要條件，則由p=g證的是充分性，由4=0證的是必要性；

②p的充要條件是4,則由p=q證的是必要性，由4=》/?證的是充分性.

(2)探求充要條件，可先求出必要條件，再證充分性；如果能保證每一步的變形轉化過程都

可逆，也可以直接求出充要條件.

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笫-比常用邏輯用詞

V“§1.3簡單的邏輯聯(lián)結詞

［學習目標］1.了解聯(lián)結詞“且”“或”“非”的含義.2.會用聯(lián)結詞“且”“或”“非”聯(lián)

結或改寫某些數學命題，并判斷新命題的真假.3.通過學習，明白對條件的判定應該歸結為判

斷命題的真假.

聲知識梳理自主學習

知識點一且

“P且q”就是用聯(lián)結詞"且”把命題p和命題q聯(lián)結起來，得到的新命題，記作皿.

知識點二或

"0或就是用聯(lián)結詞“或”把命題p和命題夕聯(lián)結起來，得到的新命題，記作似4.

知識點三非

一般地，對一個命題〃全盤否定,就得到一個新命題，記作讀作“非?！被?0的否

定”.

知識點四含有邏輯聯(lián)結詞的命題的真假判斷

Pqp7qp'qP

真真其*假

真假假暇

假真假真

假假假假

思考（1）邏輯聯(lián)結詞“或”與生活用語中的“或”的含義是否相同？

（2）命題的否定與否命題有什么區(qū)別？

答案（1）生活用語中的“或”表示不兼有，而在數學中所研究的“或”則表示可兼有但不

一定必須兼有.

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(2)命題的否定只否定命題的結論，而否命題既否定命題的條件，又否定命題的結論.

菱題型探究重點突破

題型一p八q命題及pVq命題

例1分別寫出下列命題構成的“pAq”“pVq”的形式，并判斷它們的真假.

(1)/