2021-2022學年湖南省衡陽九中九年級（上）期末數學試卷（含解析）

2021-2022學年湖南省衡陽九中九年級第一學期期末數學試卷

一、選擇題（每小題3分，共36分）

1.下列運算正確的是（）

A.V2W3=V5B.3V3-V3=3C,V24-?V6=4D.73xV5=V15

2.用配方法解一元二次方程N-6x+l=0時，下列變形正確的是（）

A.（%-3）2=1B.（%-3）2=10C.（x+3）2=8D.（x-3）2=8

3.如圖，在△ABC中，DE//BC,AD=6,BD=3,AE=4,則AC的長為（）

4.如圖，某停車場入口的欄桿AB,從水平位置繞點O旋轉到AE的位置，已知AO的長為

5米.若欄桿的旋轉角/AOA=a,則欄桿A端升高的高度為（）

\

A.........aXNO，B

A.米B.—1米C.5sina米D.5cosa米

sinO-cosQ-

5.如圖，中，A80C是圓內接四邊形,ZBOC=110°,則N5OC的度數是（）

A.110°B.70°C.55°D.125°

6.如圖，在Rt^ABC內畫有邊長為9,6,x的三個正方形，則x的值為（）

B

A.3B.4C.375D.5

7.將拋物線y=2(x-4)2-1先向左平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度，平移

后所得拋物線的解析式為()

A.y=2x2+]B.y=2x2-3

C.y=2(x-8)2+lD.y=2(x-8)2-3

8.將一副三角尺(在Rt^ABC中，ZACB=90°,NB=60°,在中，ZEDF=

90°,ZE=45°)如圖擺放，點。為AB的中點，DE交AC于點P,。尸經過點C,將

△EOF繞點。順時針方向旋轉a(0°<a<60°),DE'交AC于點M,DF'交BC于

9.如圖，在平面直角坐標系中，圓A經過原點O,交x軸于點C(8,0),交y軸于點。

(0,6),點B為x軸下方圓弧上的一點，連接2。，BD,則sin/OBD的值為()

10.如圖將矩形紙片ABC。沿AE折疊，使點8落在直角梯形AECQ的中位線FG上，若

48=百，則AE的長為()

A.273B.3C.2D.

11.如圖，矩形0ABe的邊。4在x軸上，0c在少軸上，點B（10,6），把矩形0A2C繞

點。逆時針旋轉，使點A恰好落在BC邊上的么處，則點C的對應點Ci的坐標為（）

B

>

A.（霍,f）B.（譽f）2224、門,2422

0□DD55，、55

12.已知拋物線>=以2+析+c的圖象如圖所示，則下列結論中，正確的有（）

②抉>4〃。；

③。-Z?+c<0；

@a>~

⑤a+c<1.

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（每小題3分，共18分）

13.J菽有意義，x的取值范圍是.

14.已知關于x的一元二次方程N+mx+3=0的一個根是1,則方程的另一個根為

15.如圖，圓。直徑為10,弦為8,尸是弦上一點，則線段。尸長度的最小值為

16.拋物線y=2^-+x+a與直線y=-x+3沒有交點，則a的取值范圍是

17.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=5,將△ABC折疊，使點8落在AC邊

9

上的點。處，所為折痕，若sin/CED的值為泉則BE

O

18.如圖，已知RtZ\A3C,5是斜邊AB的中點，過。作。歸，AC于連結交CDi,

于。2過功作功E2,AC于瓦，連結BE2交cn于2,過￡>3作￡>3昂，4。于53,如此

繼續(xù)，可以依次得到點o4,D5,…D”,分別記△BD1E1,△BD2&,△8。3生，八BD,晶

的面積為S1,$2,$3,…S".若SAABC=1,則S2022.

三、解答題(本題共8小題，19-20題每題6分，21-24每題8分>25題10分，26題12分)

19.4sin600-|-3|WI2+("T)?+(_］嚴

20.關于元的一元二次方程2%-m+2=0有兩個不相等的實數根為，X2.

(1)求實數機的取值范圍；

(2)若方程兩實數根無1,尤2滿足x：+x：=10,求根的值.

21.如圖，在AABC和△DEC中，ZA=Z￡>,ZBCE=ZACD.

(1)求證：AABCs^DEC；

(2)若S^ABC：SADEC=4：9,BC=6,求EC的長.

D

22.某商家銷售一種成本為20元的商品，銷售一段時間后發(fā)現，每天的銷量y（件）與當

天的銷售單價x（元/件）滿足一次函數關系，并且當x=25時，尸550；當x=30時y

=500.物價部門規(guī)定，該商品的銷售單價不能超過52元/件.

（1）求出y與x的函數關系式；

（2）問銷售單價定為多少元時，商家銷售該商品每天獲得的利潤是8000元？

（3）當銷售單價定為多少元時，商家銷售該商品每天獲得的利潤最大，并求出最大利潤.

23.小李要外出參加“建國70周年”慶?；顒?，需網購一個拉桿箱，圖1,2分別是她上網

時看到的某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，并獲得了如下信息：滑桿DE,箱長BC,

拉桿AB的長度都相等，即DE=BC=AB,B,歹在AC上，C在OE上，支桿。尸=30。"，

CE,CD=\,3,ZDCF=45°,ZCDF=3Q°,請根據以上信息，解決下列問題.

（1）求AC的長度（結果保留根號）；

（2）求拉桿端點A到水平滑桿即的距離（結果保留根號）.

圖1圖2

24.如圖，在△ABC中，NACB=90。，NABC的角平分線交AC于點E,過點E作BE的

垂線交A3于點E△?￡尸的外接圓圓。與CB交于點￡）.

（1）求證：AC是圓。的切線；

（2）若BC=9,EH=3,求圓。的半徑長.

25.如圖，在矩形ABCD中，A2=4j§,AD=4,點P為對角線AC上的一個動點，連接

PD,過點尸作PELPD,交直線AB于點￡.

(1)如圖①，當點E在線段AB上時，ZPDA和NPE8的數量關系為,PE與

DP的數量關系為；

(2)如圖②，當點E在BA的延長線上時，連接。E若尸E=2,求。E的長；

(3)如圖③，當點￡在上時，過點尸作PMLAD于點以線段尸￡>,PE為鄰邊

作矩形PEFD.設。M的長為x矩形尸EFD的面積為y.請求出y與x之間的函數關系式

及y的最小值.

26.如圖.在平面直角坐標系中.拋物線與x軸交于A、8兩點，與y軸交于

點C.點A的坐標為(-1,0),點C的坐標為(0,-2).已知點E(m,0)是線

段上的動點(點E不與點A,8重合).過點E作PELx軸交拋物線于點P,交BC

于點F.

(1)求該拋物線的表達式；

(2)若EF：PF=1：2,請求出機的值；

(3)是否存在這樣的根，使得△BEP與△ABC相似？若存在，求出此時機的值：若不

存在，請說明理由；

(4)當點E運動到拋物線對稱軸上時，點M是x軸上一動點，點N是拋物線上的動點，

在運動過程中，是否存在以C、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若不存在，請

說明理由；若存在，請直接寫出點M的坐標.

參考答案

一、選擇題(每小題3分，共36分)

1.下列運算正確的是()

A.V2+Vs=V5B.373-73=3C?標+巫=4D.73xV5=V15

【分析】根據二次根式的加減法對A、2進行判斷；根據二次根式的除法法則對C進行

判斷；根據二次根式的乘法法則對D進行判斷.

解：A.&與愿不能合并，所以A選項不符合題意；

B.原式=2百，所以B選項不符合題意；

C.原式={24+6=V^=2,所以C選項不符合題意；

D.原式=>/我萬=4元，所以。選項符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法

和除法法則是解決問題的關鍵.

2.用配方法解一元二次方程N-6x+l=0時，下列變形正確的是()

A.(x-3)2=1B.(%-3)2=10C.(x+3)2=8D.(x-3)2=8

【分析】將常數項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數一半的平方配成完全平方式

后即可得.

解：*.,x2-6x+l=0,

.*.x2-6x=-1,

.*.x2-6x+9=-1+9,即(x-3)2=8,

故選：D.

【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、

因式分解法、公式法及配方法，解題的關鍵是根據方程的特點選擇簡便的方法.

3.如圖，在△A3C中，DE//BC,AD=6fBD=3,AE=4,則AC的長為()

A

￡

B‘

A.9B.7C.6D.5

【分析】由DE//BC,利用平行線分線段成比例的推論，可得出需=祭代入

A0+8O=6+3,AD=6,AE=4,即可求出AC的長.

解：-：DE//BC,

,AB=AC

??瓦—IT

即旦且=些

64

解得：AC=6,

???AC的長為6.

故選：C.

【點評】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“平行于三角形一邊的直線截其他兩邊

（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例.”是解題的關鍵.

4.如圖，某停車場入口的欄桿A8,從水平位置繞點。旋轉到A8的位置，已知AO的長為

5米.若欄桿的旋轉角NA04=a,則欄桿A端升高的高度為（

A.B.―-—米C.5sina米D.5cosa米

cosa

【分析】作于“，根據三角函數求出A”的長度即可.

???OA=5機，ZAOA,=a,

A'H=0A?sina=5sina（米），

故選：C.

【點評】本題主要考查解直角三角形的應用，熟練掌握三角函數的應用是解題的關鍵.

5.如圖，。。中，ABDC是圓內接四邊形，ZBOC=110°,則/BDC的度數是（)

C.55°D.125

【分析】首先通過同弧所對的圓心角與圓周角的關系求出角A,再利用圓內接四邊形的

對角互補，可以求出NBZJC.

解：VZBOC=110°

：.ZA=—ZBOC=—XllO°=55°

22

又???A8DC是圓內接四邊形

ZA+Z￡>=180°

ZD=180°-55°=125°

故選：D.

【點評】熟練掌握圓周角定理.理解圓內接四邊形的性質.

6.如圖，在Rt^ABC內畫有邊長為9,6,x的三個正方形，則x的值為（）

C.375D.5

【分析】根據相似多邊形的對應邊的比相等，就可以判斷.

解：?.?這三個正方形的邊都互相平行.

:.ADEFsAFGH,

"EF-DE,

?x—6r

解得：x=4.

故選：B.

【點評】本題考查相似多邊形的性質，如果兩個多邊形都和第三個多邊形相似，那么這

兩個多邊形也相似.

7.將拋物線y=2(x-4)2-1先向左平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度，平移

后所得拋物線的解析式為()

A.y=2x1+\B.y=2x1-3

C.y=2(x-8)2+lD.y=2(x-8)2-3

【分析】根據平移的規(guī)律即可得到平移后函數解析式.

解：拋物線y=2(x-4)2-1先向左平移4個單位長度，得到的拋物線解析式為y=2(x

-4+4)2-1,即>=2爐-1,再向上平移2個單位長度得到的拋物線解析式為y=2%2-

1+2,即>=2/+1；

故選：A.

【點評】本題考查的是二次函數圖象與幾何變換，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上

加下減.并用規(guī)律求函數解析式是解題的關鍵.

8.將一副三角尺(在Rt/XABC中，ZACB=90°,ZB=60°,在Rt/XEDF中，ZEDF=

90°,/E=45。)如圖擺放，點。為AB的中點，DE交AC于點P,OE經過點C,將

△瓦加繞點。順時針方向旋轉a(0°<a<60°),DE'交AC于點M,DF,交2C于

【分析】先根據直角三角形斜邊上的中線性質得則/ACD=/A=30°,

/BCD=/B=60°,由于/￡?尸=90°,可利用互余得/CPO=60°,再根據旋轉的性

質得NPDM=/CDN=cc,于是可判斷得到理=段,然后在Rt^PCD

CNCD

中利用正切的定義得至【JtanNPCD=tan30。=胃，于是可得瞿=孚.

LULNO

解：：點。為斜邊的中點，

:.CD=AD=DB,

：.ZACD=ZA=30°,ZBCD=ZB=6Q°,

VZ￡￡)F=90°,

：.ZCPD^60°,

ZMPD=ZNCD,

?.?△ED/繞點。順時針方向旋轉a(00<a<60°),

ZPDM=ZCDN=a,

.MPDMs^CDN,

.PM=PD

,,CN-CD，

pn

在RtzXPCD中，：tan/PCr>=tan30。=—,

故選：C.

【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所

連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.也考查了相似三角形的判定與性質.

9.如圖，在平面直角坐標系中，圓A經過原點。，交x軸于點C（8,0）,交y軸于點。

（0,6）,點B為x軸下方圓弧上的一點，連接BO,BD,貝I]sin/OB。的值為（）

【分析】連接CZ）,根據圓周角定理可知/0BD=/0CD,再由勾股定理求出CD的長,

利用銳角三角函數的定義即可得出結論.

解：連接CD,

VZOBD與/OCD是同弧所對的圓周角,

：.ZOBD=ZOCD.

VC(8,0),D(0,6),

【點評】本題考查的是圓周角定理和三角函數的定義，熟知在同圓或等圓中，同弧或等

弧所對的圓周角相等是解答此題的關鍵.

10.如圖將矩形紙片ABC。沿AE折疊，使點8落在直角梯形AECD的中位線PG上，若

AB=V3-則短的長為（）

B￡C

（r------?-\

*/\

；］.二二歸---------G

?，

,/」

ILL__________________

AD

A.273B.3C.2D.1V3

【分析】利用折疊易證AAEB是含30°的直角三角形，利用相應的三角函數即可求得AE

的長.

解：延長仍交AD于點根據折疊的性質易證明是一個等邊三角形，則NE4B

=30°,

在直角三角形ABE中，根據30。所對的直角邊是斜邊的一半以及勾股定理求得AE=2.

D

【點評】此題中的折疊方法也是折疊等邊三角形的一種常用方法，那么AAEB是含30°

的直角三角形.

11.如圖，矩形。42c的邊0A在x軸上，0c在少軸上，點3（10,6）,把矩形。4BC繞

點O逆時針旋轉，使點A恰好落在BC邊上的么處，則點C的對應點Ci的坐標為（）

g'；C

A7,卷）B.（譽f）C.（卷卷）D.（譽f）

bb33bbbb

【分析】直接利用相似三角形的判定與性質得出△ONG三邊關系，再利用勾股定理得出

答案.

解：如圖，過點G作軸于點N,過點Ai作AiMLx軸于點

???GN〃y軸，

：.Zl+ZCOAi=Z2+ZCOA!,

???N1=N2,

???N1=N2=N3,

則△AIOMS/^OGN,

???點5(10,6),

：.OA=10,OC=6,

(?Ai=10,4M=6,

：.OM=8,

???Nl=NOCiN,NAMO=NONG=90°,

???MiMOsAONCi,

A1MOM

?F=5'

.ONA,M63

.0N一為「丁了

?,?設N0=3x,NCi=4x,貝UOG=5x,

???OG=6,

貝！J5x=6,x=一,

5

則N0=3x=W,NG=4x=空，

55

故點C的對應點Ci的坐標為：（-.

55

故選：A.

【點評】此題主要考查了矩形的性質、旋轉的性質以及勾股定理等知識，正確得出△AiOM

s/XOGN是解題關鍵.

12.已知拋物線y=ox2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結論中，正確的有（）

①〃兒>0；

②岳>4。。；

③〃-Z?+c<0；

@a>~

⑤〃+cV1.

解：①如圖所示，圖像開口向上,

.\a>0f

???圖像與y軸的交點在x軸下方

.*.c<0,

???圖像的對稱軸在y軸的左邊，且〃>0,

~早<0，

Na

：.b>0,

Aabc<0,故①錯誤；

②根據圖像可知，拋物線與％軸有兩個交點，

b2-4〃c>0,即b2>4ac,故②正確；

③由圖可得，當x=-l時，y<0,

：.a-Z?+c<0,故③正確；

④當x=l時，a+b+c—2,

a+c=2-b,

a-Z?+c<0,

：.2-b-b<0f解得：b>\,

由圖可得，萼>-1

2a

2a>b

1,解得：故④正確；

⑤當x=l時，a+b+c=2,

C,a+c—2-b,且Z?>1,

：.2-Z?<1,

a+c<1,故⑤正確；

綜上所述，共有4個是正確的；

故答案為：D.

【點評】本題考查的是二次函數圖像與各系數之間的關系，解題關鍵：掌握二次函數的

圖像與基本性質.

二、填空題（每小題3分，共18分）

13.我三有意義，x的取值范圍是.

【分析】依據二次根式被開方數大于等于零求解即可.

解：：愿彳有意義，

，3-x20.

解得：龍W3.

故答案為：xW3.

【點評】本題主要考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件是解題

的關鍵.

14.已知關于x的一元二次方程爐+妙+3=0的一個根是1,則方程的另一個根為3.

【分析】由于該方程的一次項系數是未知數，所以求方程的另一解可以根據根與系數的

關系進行計算.

解：設方程的另一根為為，

根據根與系數的關系可得：xi-l=3,

解得xi=3.

故答案為3.

【點評】本題考查了一元二次方程辦2+法+°=0(°W0)的根與系數的關系：若方程兩根

為Xl,XI,貝！J尤1+X2=-上1尤1.無2=￡-.

aa

15.如圖，圓O直徑為10,弦AB為8,尸是弦AB上一點，則線段。尸長度的最小值為3.

【分析】過。點作0CLA2于C點，連接04根據垂徑定理得到AC=BC=4,再利用

勾股定理得到OC=3,根據垂線段最短得到OP的最小值為3.

解：過。點作0ULA3于C點，連接。4,則AC=8C=/A8=4,

在RtZ\OAC中，OC=4OA，-AC2=V52-42=3，

尸為垂線段最短，

.?.OP最小=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查的是垂徑定理和勾股定理，熟知垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平

分弦所對的兩條弧是解題的關鍵.

16.拋物線y=2x2+x+a與直線y=-x+3沒有交點，則a的取值范圍是—.

【分析】根據兩個函數的圖象沒有交點，則兩個函數關系式組成方程組無解，從而得出

答案.

解：’.?拋物線y=2x2+x+a與直線y=-x+3沒有交點，

一元二次方程2/+x+a=-x+3沒有實數根，

即2/+2]+。-3=0無實數根，

A=4-8(a-3)<0,

解得tz>3-^-,

故答案為：a>3-^.

【點評】本題考查二次函數、一次函數圖象上點的坐標特征，理解兩個函數圖象沒有公

共點的意義是解決問題的關鍵.

17.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AS=AC=5,將△ABC折疊，使點B落在AC邊

9

上的點。處，所為折痕，若sin/CFD的值為q，則-=3.

【分析】由題意得：△BEFQADEF,故NEDF=/B=/C；由三角形的外角性質可得

NADE=NCFD,利用解直角三角形即可解決.

解：???在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=5,

：./B=NC,

?：BE=3,AB—5,

J.AE—2,

???將△ABC折疊，使點5落在AC邊上的點。處，

ABEF^ADEF,

:?BE=DE,NB=NEDF=NC,

?：NADE+NEDF=/C+/CFD,

：.ZADE=ZCFD,

,2

sin/ADE=sinNCFD=—,

3

?AE2即AE2

"DE3,BE3,

'：AE+BE=5,

:?BE=3,

故答案為：3.

【點評】主要考查了翻折變換的性質及其應用問題；解題的關鍵是靈活運用全等三角形

的性質、三角形外角性質等知識來解決問題.

18.如圖，已知Rt^ABC,A是斜邊AB的中點，過A作AELAC于0，連結8昂交CA,

于功過功作r>2￡2，AC于E2,連結BE2交CD1于。3,過。3作。3昂，43于星，如此

繼續(xù)，可以依次得到點。，O5,分別記△瓦△8功&,ABM,/\BDnEn

【分析】根據直角三角形的性質以及相似三角形的性質.再利用在△ACB中，功為其重

心可得￡>2昂=冬昂，然后從中找出規(guī)律即可解答.

解：VRtAABC,Di是斜邊AB的中點，過5作。1ELAC于昂，

:.DiEM/BC,Ei是AC的中點，

.?.△ADiEs△ABC,AADiE與△CGEi面積相等，

.?.△BAEi與△CDiEi同底同高，面積相等，以此類推；

根據直角三角形的性質以及相似三角形的性質可知：DiE^^BC,C￡i=^AC,N=

—D[E\*C￡i=--X--BCX—AC=--X—X--AC*BC=~S/\ABC^

222222222

在△ACB中，正為其重心,

DT.E\=-^BEi,

__L_

：.DE2=—BC,CE1=—AC,S?=9"SAABC,

23332

*：D2E2：DiEi=2：3,D\E\：BC=1：2,

2

:?BC：D2E2—2D1E1：—DiEi=3,

3

CDs：CD2—D3E3：D2E2—CE31CE2—3：4,

QQ11Q?111

D3E3=-D2E2=—X-LBC^—BC,CE=—CE=—x—AC=—AC,S3=FSAABC……；

443443423442

.1

??Sn~,、9S/^ABCf

(n+l)2

5AABC—1,

]

?*?52022—

20232

]

故答案為:

20232

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是據直角三角形的性質

以及相似三角形的性質得到第一個三角形的面積與原三角形的面積的規(guī)律.也考查了重

心的性質即三角形三邊中線的交點到頂點的距離等于它到對邊中點距離的兩倍.

三、解答題（本題共8小題，19-20題每題6分，21-24每題8分＞25題10分，26題12分）

19.4sin60°-|-3|Wl^+4）2+（-1）2013.

【分析】先把特殊角三角函數值代入，并進行乘方、開方運算，化簡絕對值，再進行乘

法運算，然后進行加減計算即可.

解：原式=4X*_-3-2?+9-1

=2^3-3-273+9-1

=5.

【點評】本題考查實數的混合運算，熟練掌握負整指數幕運算法則，二次根式化簡，熟

記特殊角三角函數值是解題的關鍵.

20.關于x的一元二次方程（-2%-m+2=0有兩個不相等的實數根為，檢.

（1）求實數力？的取值范圍；

（2）若方程兩實數根XI,尤2滿足x；+x：=10,求機的值.

【分析】（1）若方程有兩個不相等的實數根，則根的判別式A=6-4℃，建立關于加

的不等式，求出機的取值范圍；

⑵根據題意x；+xg=10,即可得至I](X1+X2)2-2乂產2=10,根據根與系數的關系

得到尤1+無2=2,X1X2=-m+2,代入即得到關于機的方程，解方程即可.

解：(1).??關于x的一元二次方程？-2x-帆+2=0有兩個不相等的實數根XI,尤2,

:.\=(-2)2-4(-m+2)=4根-4>0,

⑵???XJ+X2=1Q,

(X[+X2)2-2X]乂2=10,

又?."I+X2=2,X\XI=-m+2,

：.22-2(-m+2)=10,

解得：〃z=5.

【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(。#0)的根的判別式A=抉-4ac,正

確記憶當△>0,方程有兩個不相等的實數根；當△=(),方程有兩個相等的實數根；當

△<0,方程沒有實數根是解題關鍵.

21.如圖，在△ABC和△￡>￡(?中，ZA=ZD,ZBCE=ZACD.

(1)求證：△ABCs△DEC；

(2)若SAABC：SADEC=4：9,BC=6,求EC的長.

【分析】(1)由兩角相等的兩個三角形相似可判斷△ABCs△DEC；

(2)由相似三角形的性質可得二區(qū)=(*)即可求解.

SADEC比9

【解答】證明：(1)???N3CE=NACD

???NBCE+/ACE=ZACD+ZACE,

：.ZDCE=ZACBf

又＜ZA=ZD,

AABC^ADEC；

(2)?:△ABCSADEC：

,SAABC_zCBx_4

??\2~~,，

^ADECCE9

又?；BC=6,

：.CE=9.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，證明△ABCs△￡>￡（；是本題的關鍵.

22.某商家銷售一種成本為20元的商品，銷售一段時間后發(fā)現，每天的銷量y（件）與當

天的銷售單價x（元/件）滿足一次函數關系，并且當尤=25時，>=550；當x=30時y

=500.物價部門規(guī)定，該商品的銷售單價不能超過52元/件.

（1）求出y與％的函數關系式；

（2）問銷售單價定為多少元時，商家銷售該商品每天獲得的利潤是8000元？

（3）當銷售單價定為多少元時，商家銷售該商品每天獲得的利潤最大，并求出最大利潤.

【分析】（1）利用待定系數法求解可得；

（2）根據“總利潤=單件利潤X銷售量”可得關于x的一元二次方程，解之即可得；

（3）利潤w=（x-20）（-lOx+800）=-10（x-80）（尤-20）,即可求解.

解：（1）設了=履+匕,

25k+b=550

根據題意可得

30k+b=500,

fk=-10

解得

lb=800

則3=-lOx+800(0<xW52)；

(2)根據題意，得(x-20)(-lOx+800)=8000,

整理，得/-100x+2400=0,

解得xi=40,無2=60,

,/銷售單價最高不能超過52元/件,

.*.x=40,

答：銷售單價定為40元/件時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤8000元;

(3)利潤w=(x-20)(-lOx+800)=-10(x-50)2+9000

V-10<0,

.,.當尤=50時，w取最大值為：9000,

故當銷售單價定為50元時，商家銷售該商品每天獲得的利潤最大，其最大利潤為9000

元.

【點評】本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用.最大銷售利潤的問題常利函

數的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，然后結合實際選

擇最優(yōu)方案.

23.小李要外出參加“建國70周年”慶?；顒?，需網購一個拉桿箱，圖1,2分別是她上網

時看到的某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，并獲得了如下信息：滑桿。區(qū)箱長BC,

拉桿AB的長度都相等，即。E=BC=AB,B,F在AC上，C在OE上，支桿。尸=30°〃，

CE：CD=1：3,ZDCF=45°,ZCDF=3Q°,請根據以上信息，解決下列問題.

（1）求AC的長度（結果保留根號）；

（2）求拉桿端點A到水平滑桿即的距離（結果保留根號）.

圖1圖2

【分析】（1）過尸作尸于X,解直角三角形即可得到結論；

（2）過A作交即的延長線于G,根據等腰直角三角形的性質即可得到結論.

解：（1）過廠作于X,

AZFHC=ZFHD=90°,

VZFDC=3Q°,DF=30,

；.FH=^DF=15,DH=^-DF=15M(cm),

2

ZFCH=45

CH=FH=15(cm),

，CD=CH+DH=15+15%(所)，

,:CE：CD=1：3,

：.DE^^CD=(20+20我)(cm),

?：AB=BC=DE,

：.AC=(40+40我)cm；

(2)過4作交ED的延長線于G,

VZACG=45°,

；.AG^J^-AC=(20&+20&)(cm),

答：拉桿端點A到水平滑桿即的距離為(20&+20&)cm.

圖2

【點評】此題考查了解直角三角形的應用，主要是三角函數的基本概念及運算，關鍵是

用數學知識解決實際問題.

24.如圖，在AABC中，NACB=90。，NABC的角平分線交AC于點E,過點E作BE的

垂線交AB于點F,AB￡P的外接圓圓O與CB交于點D.

(1)求證：AC是圓。的切線；

(2)若BC=9,EH=3,求圓。的半徑長.

【分析】(1)先證明NOEB=/CBE,得OE〃BC,則/OE4=NACB=90°,所以AC

±OE,即可證明AC是圓。的切線；

(2)作OGL8。于點G,可證明四邊形OECG是矩形，得CG=OE=OB,由角平分線

的性質得OG=EC=EH=3,在RtABOG中根據勾股定理得32+(9-OB)2=OB2,求

出08的值即可.

【解答】(1)證明：

ZABE=ZOEB,

「BE平分/ABC,

ZABE=ZCGE,

：.ZOEB=ZCBE,

：.OE//BC,

：.ZOEA=ZACB=90°,

VAC經過圓0的半徑OE的外端，且ACLOE,

；.AC是圓。的切線.

(2)解：如圖，作。于點G,則/OGB=NOGC=90。，

：.ZC=ZOEC=90°,

四邊形OECG是矩形，CG=OE=OB,

：BE平分/ABC,ECLBC,EH±BA,

：.0G=EC=EH=3,

?：BC=9,

：.BG=9-CG=9-OB,

O&+B(?=O^,

A32+(9-OB)2=OB2,

：.0B=5,

.?.圓。的半徑長為5.

【點評】此題重點考查圓的切線的判定、等腰三角形的性質、平行線的判定與性質、矩

形的判定與性質、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵.

25.如圖，在矩形ABCO中，AB=4y，AD=4,點P為對角線AC上的一個動點，連接

PD,過點尸作尸尸。，交直線AB于點E.

（1）如圖①,當點E在線段A3上時，ZPDA和的數量關系為/PEB=/ADP,

PE與DP的數量關系為DP=\QPE；

(2)如圖②，當點￡在的延長線上時，連接DE若P￡=2,求DE的長；

(3)如圖③，當點E在AB上時，過點P作PMLAD于點M,以線段PD,PE為鄰邊

作矩形PEED.設DM的長為x矩形PEED的面積為y.請求出y與尤之間的函數關系式

及y的最小值.

【分析】(1)通過證明點D,點A,點、E,點尸四點共圓，可得/PAE=/PDE,ZADP+

ZA￡P=180°,通過證明△ABCs/iOPE,可得瞿T，即可求解；

PEBC

(2)通過證明△￡＞「￡/△口”,可得理理，即可求解；

PEAD

(3)通過證明可得黑=瞿=%，分別求出。尸，尸￡的長，由矩形

PEPN

的面積公式可求解.

解：(1)如圖①，連接

9：PE_LPD,

；?NDPE=90°=ZDAE,

?,?點。，點A,點E,點尸四點共圓，

???NPAE=/PDE,ZA￡>P+ZAEP=180°,

VZAEP+ZPEB=180°,

???ZPEB=ZADP,

?：NPAE=NPDE,NDPE=NABC=90°,

AABCSADPE,

..?DPAB.

PEBC

?；AB=4愿，AD=BC=4,

.DP^

??pE53,

:.DP=MPE；

故答案為：ZPEB=ZADP,DP=^PE；

(2)VAB=4-73-AD=BC=4,

AC=AB2+BC2=V16+48=8，

'：PE±PD,

：.ZDPE=9Q°=ZDAE,

；.點D,點4點E,點尸四點共圓，

NDEP=/DAC,

VZDPE=ZADC=90°,

△DPEs^CDA,

.DE_AC

*'pf'AD'

.DE_8

??—,

24

：.DE=4；

(3)如圖③，過點P作尸于N,

9：PMLAD,PN_LAB,AB_LAD,

???四邊形AMPN是矩形，

:.AM=PN,/MPN=90°=ZDPE,

:?AM=PN=4-0M=4-x,/DPM=/EPN,

又?：NDMP=/PNE=90°,

：.LDPMSAEPN,

?DP=PM-

"PEPN=7;$

:.PM=MPN=M(4-x),

np=VDM2+MP2=VX2+3(4-X)2=2VX2-6X+12'

二.PE=爭—第x3一6X+12,

：.y=PD-PE=^^~(x2-6x+12)=-^Zl_x2-8V3X+16-73(無＞0),

?；y=4我/_8愿尤+16愿=4,(x-3)2+4正，

33

.?.當x=3時，y有最小值為4%.

【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質，解直角三角形，相似三角形的判

定和性質，二次函數等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學會構建二

次函數解決最值問題，屬于中考壓軸題.

26.如圖.在平面直角坐標系中.拋物線yn4N+bx+c與x軸交于A、8兩點，與y軸交于

點C.點A的坐標為(-1,0),點C的坐標為(0,-2).已知點E(m,0)是線

段上的動點(點￡不與點A,8重合).過點E作PELx軸交拋物線于點尸，交BC

于點F.

(1)求該拋物線的表達式；

(2)若ERPF=1：2,請求出機的值；

(3