人教A版選擇性7.1.2全概率公式課件（32張）

7.1.2全概率公式1.結(jié)合古典概型，會利用全概率公式計算概率.2.了解貝葉斯公式.

通過上一節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，在求一個復(fù)雜事件的概率時，可以先將其表示為一些簡單事件運算的結(jié)果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率.下面，我們再看一個求復(fù)雜事件概率的問題.思考：從有a個紅球和b個籃球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為.那么第2次摸到紅球的概率是多大？如何計算這個概率呢？分析：因為抽簽具有公平性，所以第2次摸到紅球的概率也應(yīng)該是.但是這個結(jié)果并不顯然，因為第2次摸球的結(jié)果受第1次摸球結(jié)果的影響.下面我們給出嚴格的推導(dǎo)過程.

用Ri表示事件“第i次摸到紅球”，Bi表示事件“第i次摸到籃球”，i=1，2.如圖所示，事件

R2

可按第1次可能的摸球結(jié)果表示為兩個互斥事件的并，即.P(R2|R1)P(B2|R1)P(R2|B1)P(B2|B1)

利用概率的加法公式和乘法公式，得

上述過程采用的方法是：按照某種標準，將一個復(fù)雜事件表示為兩個互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得這個復(fù)雜事件的概率.

一般地，設(shè)A1，A2，···，An是一組兩兩互斥的事件，

，且

，

，則對任意的事件

，有全概率公式我們稱上面的公式為全概率公式.

全概率公式是概率論中最基本的公式之一.對全概率公式的理解使用全概率公式計算目標事件

B的概率，必須是找到樣本空間Ω的一個事件組

A1，A2，…，An，它們滿足：①兩兩互斥；②

，而這一事件組恰恰可以理解為是事件

B產(chǎn)生的幾個原因．全概率公式相當(dāng)于將產(chǎn)生

B的全部原因一一進行考察，將每一個可能性都考慮進來，這就是“全”的含義所在．直觀解釋為如圖，B

發(fā)生的概率與

有關(guān)，且

B

發(fā)生的概率等于所有這些概率的和，即例1.某次社會實踐活動中，甲、乙兩個班的同學(xué)共同在一個社區(qū)進行民意調(diào)查．參加活動的甲班的人數(shù)占總數(shù)的

，乙班的人數(shù)占總數(shù)的

，其中甲班中女生占甲班人數(shù)的

，乙班中女生占乙班人數(shù)的

.

求該社區(qū)居民遇到一位進行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率．兩個事件的全概率公式解：設(shè)A1=“調(diào)查的是甲班的同學(xué)”，A2=“調(diào)查的是乙班的同學(xué)”，B=“調(diào)查的同學(xué)是女生”

，則

，且

A1，A2互斥，

，由題意可知，

，

，且

，

，由全概率公式可知

全概率問題求解策略(1)拆分：將樣本空間拆分成對立的兩部分，如A1，A2(或

A

與

)；(2)計算：利用乘法公式計算每一部分的概率；(3)求和：所求事件的概率就是各種可能情形

Ai發(fā)生的可能性與已知在

Ai發(fā)生的條件下事件

B發(fā)生的可能性的乘積之和，即

．解：設(shè)A1=“第1天去A餐廳用餐”，B1=“第1天去B餐廳用餐”，A2=“第2天去A餐廳用餐”，則

，且A1與B1互斥.根據(jù)題意得

，

，.由全概率公式，得因此，王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為0.7.多個事件的全概率公式例2.有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺車床加工的零件分別占總數(shù)的25%，30%，45%.(1)任取一個零件，計算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，計算它是第1臺車床加工的概率.解：設(shè)B=“任取一個零件為次品”，Ai=“零件為第i臺車床加工”(i=1，2，3)，則

，且A1，A2，A3兩兩互斥.根據(jù)題意得

，

，

，

，.(1)由全概率公式，得

(2)“如果取到的零件是次品，計算它是第1臺車床加工的概率”，就是計算在B發(fā)生的條件下，事件A1

發(fā)生的概率.類似地，可得

，.“化整為零”求全概率問題(1)已知事件B的發(fā)生有各種可能的情形Ai(i=1，2，3)，事件B發(fā)生的可能性，就是各種可能情形

Ai發(fā)生的可能性與已知在

Ai發(fā)生的條件下事件

B發(fā)生的可能性的乘積之和，即.(2)在上例中，P(Ai)是試驗之前就已知的概率，它是第i臺車床加工的零件所占的比例，稱為先驗概率.當(dāng)已知抽到的零件是次品(B發(fā)生)，

是這件次品來自第i臺車床加工的可能性大小，通常稱為后驗概率.如果對加工的次品，要求操作員承擔(dān)相應(yīng)的責(zé)任，那么

，

，

就分別是第1，2，3臺車床操作員應(yīng)承擔(dān)的份額.將上例中的問題一般化，就可以得到貝葉斯公式.

貝葉斯公式：設(shè)A1，A2，...，An是一組兩兩互斥的事件，

，且

，則對任意的事件

，

，有變式2.假設(shè)某市場供應(yīng)的智能手機中，市場占有率和優(yōu)質(zhì)率的信息如下表所示：(1)在該市場中任意買一部智能手機，求買到的是優(yōu)質(zhì)品的概率；(2)如果買到的是優(yōu)質(zhì)品，計算它是品牌甲的概率.品牌甲乙其他市場占有率50%30%20%優(yōu)質(zhì)率95%90%70%解：設(shè)B=“任買一個手機為優(yōu)質(zhì)品”，A1

=“手機為甲品牌”，A2

=“手機為乙品牌”，A3

=“手機為其他品牌”，則

，且A1，A2，A3兩兩互斥.根據(jù)表格得

，

，

，

，

，.(1)由全概率公式，得

(2)“如果買到的手機是優(yōu)質(zhì)品，計算它是甲品牌的概率”，就是計算在B發(fā)生的條件下，事件A1

發(fā)生的概率.1.已知事件A，B，且

，

，

，則()A. B. C. D.解：C2．兩臺機床加工同樣的零件，第一臺的廢品率為，第二臺的廢品率為，加工出來的零件混放，并設(shè)第一臺加工的零件是第二臺加工零件的2倍，現(xiàn)任取一零件，則它是合格品的概率為(

)A．0.21B．0.06C．0.94D．解：令B=“取到的零件為合格品”，Ai=“零件為第i臺機床的產(chǎn)品”，i=1，2.由全概率公式得：D3．甲袋中有3個白球2個黑球，乙袋中有4個白球4個黑球，今從甲袋中任取2球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，則該球是白球的概率為_______．解：設(shè)A＝“從乙袋中取出的是白球”，Bi

＝“從甲袋中取出的2球恰有

i

個白球”，i＝0，1，2.

由全概率公式4．設(shè)某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2∶1，貨車中途停車修理的概率為，客車為，今有一輛汽車中途停車修理，則該汽車是貨車的概率為________．解：設(shè)

B

表示一輛汽車中途停車修理，A1表示該車是貨車，A2表示該車是客車，則B＝A1B∪A2B，由貝葉斯公式有5．一項血液化驗用來鑒別是否患有某種疾病，在患有此種疾病的人群中通過化驗有95%的人呈陽性反應(yīng)，而健康的人通過化驗也會有1%的人呈陽性反應(yīng)，某地區(qū)此種病患者占人口數(shù)的0.5%，則：(1)某人化驗結(jié)果為陽性的概率為________；(2)若此人化驗結(jié)果為陽性，則此人確實患有此病的概率為________．解：(1)設(shè)

A＝“呈陽性反應(yīng)”，B＝“患有此種病”．P(A)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%.(2)6.某商店收進甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱，乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱，甲廠每箱裝100個，廢品率為，乙廠每箱裝120個，廢品率為，求：(1)任取一箱，從中任取一個為廢品的概率；(2)若將所有產(chǎn)品開箱混放，求任