2022年湖南省常德市第十一中學高二數(shù)學文月考試題含解析

2022年湖南省常德市第十一中學高二數(shù)學文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖所示的程序的輸出結(jié)果為S=1320，則判斷框中應填（）A．i≥9 B．i≤9 C．i≤10 D．i≥10參考答案：D【考點】程序框圖．【分析】題目首先給循環(huán)變量和累積變量賦值，然后判斷判斷框中的條件是否滿足，滿足條件進入循環(huán)體，不滿足條件算法結(jié)束．【解答】解：首先給循環(huán)變量i和累積變量S賦值12和1，判斷12≥10，執(zhí)行S=1×12=12，i=12﹣1=11；判斷11≥10，執(zhí)行S=12×11=132，i=11﹣1=10；判斷10≥10，執(zhí)行S=132×10=1320，i=10﹣1=9；判斷9＜10，輸出S的值為1320．故判斷框中應填i≥10．故選：D．2.下列判斷錯誤的是

（

）A．“”是“a<b”的充分不必要條件B．命題“”的否定是“”

C．若為假命題，則p，q均為假命題

D．”x=2”是“x2=4”的充分不必要條件參考答案：D3.已知數(shù)列,3,,…,,那么9是數(shù)列的(

)A.第12項

B.第13項

C.第14項 D.第15項參考答案：C4.拋物線的焦點坐標為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A5.無窮等比數(shù)列中，，則首項的取值范圍是

(

).

A．

B．

C．

D．參考答案：B略6.閱讀如圖程序框圖，運行相應的程序，則程序運行后輸出的結(jié)果為（）A．7 B．9 C．10 D．11參考答案：B【考點】程序框圖．【分析】算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根據(jù)條件確定跳出循環(huán)的i值．【解答】解：由程序框圖知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循環(huán)的i值為9，∴輸出i=9．故選：B．7.若函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，且，若，則的值為（）A.2 B.4 C.8 D.12參考答案：C由函數(shù)在某一點處的定義可知，,故選C.點睛:函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)定義為:函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率是li＝，稱其為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或.當x變化時，f′(x)稱為f(x)的導函數(shù)，則f′(x)＝＝.特別提醒：注意f′(x)與f′(x0)的區(qū)別，f′(x)是一個函數(shù)，f′(x0)是常數(shù)，f′(x0)是函數(shù)f′(x)在點x0處的函數(shù)值．8.下列語句是命題的是（

）A．這是一道難題

B．0.5是整數(shù)

C．

D．指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？

參考答案：B略9.下面的四個不等式：①；②；③

；④.其中不成立的有（

）

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個參考答案：A10.過點(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為()A．2x＋y－3＝0

B．2x－y－3＝0

C．4x－y－3＝0

D．4x＋y－3＝0參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.橢圓M：（a＞b＞0）左、右焦點分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點，且|PF1||PF2|最大值的取值范圍是[2c2，3c2]，其中c=，則橢圓離心率e取值的最大值為．參考答案：考點：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：根據(jù)題意，|PF1|?|PF2|的最大值為a2，則由題意知2c2≤a2≤3c2，由此能夠?qū)С鰴E圓m的離心率e的取值范圍，即可求出橢圓離心率e取值的最大值．解答：解：∵|PF1|?|PF2|的最大值=a2，∴由題意知2c2≤a2≤3c2，∴c≤a≤a，∴≤e≤．故橢圓離心率e取值的最大值為．故答案為：．點評：本題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)．考查對基礎(chǔ)知識的綜合運用．|PF1|?|PF2|的最大值=a2是正確解題的關(guān)鍵．12.過拋物線y2=4x的焦點作直線l交拋物線于A、B兩點，若|AB|=8，則線段AB中點的橫坐標為．參考答案：3【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】由拋物線y2=4x，可得焦點F（1，0），若AB⊥x軸，則|AB|=2p=4，不符合條件，舍去．設直線l的方程為：my=（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．與拋物線方程聯(lián)立可得：y2﹣4my﹣4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其弦長公式：|AB|=，解得m．再利用中點坐標公式即可得出．【解答】解：由拋物線y2=4x，可得焦點F（1，0），若AB⊥x軸，則|AB|=2p=4，不符合條件，舍去．設直線l的方程為：my=（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．聯(lián)立，化為y2﹣4my﹣4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4．∴|AB|===8，化為m2=1，解得m=±1，當m=1時，聯(lián)立，化為x2﹣6x+1=0，∴x1+x2=6，因此=3．同理可得：m=﹣1時，=3．∴線段AB中點的橫坐標為3．故答案為：3．13.下面關(guān)于向量的結(jié)論中，(1);(2)；(3)若

，則；（4）若向量平移后，起點和終點的發(fā)生變化，所以也發(fā)生變化；（5）已知A、B、C、D四點滿足任三點不共線，但四點共面，O是平面ABCD外任一點，且其中正確的序號為

.參考答案：（1）（2）（5）14.若直線與拋物線交于、兩點，則的中點坐標是（4，2），則直線的方程是

。參考答案：略15.已知F是雙曲線C：的左焦點，B1B2是雙曲線的虛軸，M是OB1的中點，過F、M的直線交雙曲線C于A，且＝2，則雙曲線C離心率是_______參考答案：略16.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M和N分別是A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值為________．參考答案：17.如圖，正三角形P1P2P3，點A、B、C分別為邊P1P2，P2P3，P3P1的中點，沿AB、BC、CA折起，使P1、P2、P3三點重合后為點P，則折起后二面角P—AB—C的余弦值為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）（1）求證：；（2）已知函數(shù)f（x）=+，用反證法證明方程沒有負數(shù)根.參考答案：（1）證明：要證

只需證

只需證

即證

只需證

只需證

即證

上式顯然成立，命題得證。

……

6分（2）證明：設存在x0＜0（x0≠－1），使f（x0）=0，則e=—由于0＜e＜1得0＜—＜1，解得＜x0＜2，與已知x0＜0矛盾，因此方程f（x）=0沒有負數(shù)根?！?2分略19.如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=2，AC=PA=4．（1）求直線PB與平面PAC所成角的正弦值；（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．參考答案：以A為原點，在平面ABC內(nèi)作垂直于AC的射線為x軸，以射線AC為y軸，射線AP為z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則P（0，0，4），B（，1，0），C（0，4，0），利用向量法求解解：（1）如圖，以A為原點，在平面ABC內(nèi)作垂直于AC的射線為x軸，以射線AC為y軸，射線AP為z軸建立如圖所示空間直角坐標系，…則P（0，0，4），B（，1，0），C（0，4，0），故，由x軸⊥平面PAC得平面PAC的一個法向量為，…設直線PB與平面PAC所成角為α，則sinα=|cos|=||==，即直線PB與平面PAC所成角的正弦值為．…（2）∵，，設=（x，y，z）為平面PBC的一個法向量，則，，可取為平面PBC的一個法向量，…可知平面PAC的一個法向量為，設二面角A﹣PC﹣B的平面角為β，則β為銳角，則cosβ=|cos＜，＞|=，即二面角A﹣PC﹣B的余弦值為．…

20.已知橢圓C：x2+3y2=4．（I）求橢圓的離心率；（Ⅱ）試判斷命題“若過點M（1，0）的動直線l交橢圓于A，B兩點，則在直角坐標平面上存在定點N，使得以線段AB為直徑的圓恒過點N”的真假，若為真命題，求出定點N的坐標；若為假命題，請說明理由．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】綜合題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）由題意求出a，b的值，結(jié)合隱含條件求得c，則橢圓的離心率可求；（Ⅱ）假設存在定點N，使得以線段AB為直徑的圓恒過點N，然后分直線AB的斜率存在和不存在求解，當斜率存在時，設出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及AN⊥BN列式求得N的坐標；當斜率不存在時，驗證AN⊥BN成立即可．【解答】解：（Ⅰ）由橢圓方程知a2=4，，∵a2=b2+c2，∴，則，∴橢圓的離心率為；（Ⅱ）真命題．由橢圓的對稱性知，點N在x軸上，設N（t，0），①當直線AB的斜率存在時，設其方程為y=k（x﹣1），設A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣4=0．∴△=4（9k2+4）＞0，，，∵以線段AB為直徑的圓過點N，∴AN⊥BN，∴，則（x1﹣t）（x2﹣t）+y1y2=0，∴，∴，則，即﹣4﹣6tk2+t2+3t2k2=0，∴3tk2（t﹣2）+（t2﹣4）=0，即（t﹣2）（3tk2+t+2）=0．∴若以線段AB為直徑的圓恒過點N（t，0），則t﹣2=0，即t=2，∴當直線AB的斜率存在時，存在N（2，0）使命題是真命題；②當直線AB的斜率不存在時，其方程為x=1．A（1，1），B（1，﹣1），以線段AB為直徑的圓的方程為（x﹣1）2+y2=1，∵N（2，0）滿足方程（x﹣1）2+y2=1，∴當直線AB的斜率不存在時，點N（2，0）也能使命題是真命題．綜上①②知，存在點N（2，0），使命題是真命題．【點評】本題考查橢圓標準方程的求法，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應用，訓練了存在性問題的求解方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，屬中檔題．21.（本小題滿分13分）已知點,點關(guān)于y軸的對稱點為，直線AM，BM相交于點M，且兩直線的斜率、滿足.（1）求點M的軌跡C的方程；（2）設軌跡C與y軸的交點為T，是否存在平行于AT的直線，使得直線與軌跡C有公共點，且直線AT與的距離等于？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由.參考答案：（1）依題意可得點，---------------------------------------1分設點，顯然，由得，----------------------------------------------3分整理得，即點M的軌跡C的方程為.()-------------------------------------5分(2)在方程中令得，即點,------------------------------6分則,假設存在符合題意的直線，其方程為，--------------------------7分由消去y得，------------------①---------------------8分∵直線與軌跡C有公共點

∴方程①的根判別式，即，---------------------------------------------------------------------10分又由直線AT與的距離等于得，解得或，-----------------------------------------------------------12分∵,而，∴滿足題意的直線存在，其方程為：.---------------------------------------13分22.某廠家擬在“五一”節(jié)舉行大型促銷活動，經(jīng)測算某產(chǎn)品銷售價格x（單位：元/件）與每日銷售量y（單位：萬件）滿足關(guān)系式y(tǒng)=+2（x﹣5）2，其中2＜x＜5，a為常數(shù)，已知銷售價格為3元時，每日銷售量10萬件．（1）求a的值；（2）若該商品的成本為2元/件，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．參考答案：【分析】（1）由f（3）=10代入函數(shù)的解析式，解關(guān)于a的方程，可得a值；（2）商場每日銷售該商品所獲得的利潤=每日的銷售量×銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數(shù)為關(guān)于x的三次多項式函數(shù)，再用求導數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的極大值點，從而得出最大值對應的x值．【解答】解：（1）因為x=3時，y=10，所以a+