江蘇省南京市高淳縣東壩中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

江蘇省南京市高淳縣東壩中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.若雙曲線過點(diǎn)，且漸近線方程為，則該雙曲線的方程是（

）．A. B. C. D.參考答案：A【分析】先由漸近線方程，設(shè)雙曲線方程為，再由題意，即可求出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，可設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，∵雙曲線過，代入方程得，∴雙曲線方程：．故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查求雙曲線的方程，熟記雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法即可，屬于基礎(chǔ)題型.2.若定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則不等式的解集是(

)A.(3，＋∞)

B.(－∞，3)

C.(－3，＋∞)

D.(－∞，－3)參考答案：A3.已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，則下列給出的條件中，一定能推出m⊥β的是(

) A．α⊥β且m?α B．α⊥β且m∥α C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且n∥β；參考答案：C考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定．專題：閱讀型；空間位置關(guān)系與距離．分析：根據(jù)A，B，C，D所給的條件，分別進(jìn)行判斷，能夠得到正確結(jié)果．解答： 解：α⊥β，且m?α?m?β，或m∥β，或m與β相交，故A不成立；α⊥β，且m∥α?m?β，或m∥β，或m與β相交，故B不成立；m∥n，且n⊥β?m⊥β，故C成立；由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不成立，故D不正確．故選：C．點(diǎn)評：本題考查直線與平面的位置關(guān)系的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，屬于基礎(chǔ)題．4.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》巾有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還”其大意為：“有人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”問此人第4天和第5天共走了

A．60里

B48里

C．36里

D.24里參考答案：C5.四個命題：①若x2=1則x=1的否命題是若x2≠1則x≠±1；②x=﹣1是x2﹣5x﹣6=0的必要不充分條件；③存在x∈R，使x2+x+1＜0的否定是對任意x∈R，都有x2+x+1＞0；④若sinα=sinβ，則α=β的否命題為真命題，其中正確命題的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①命題“若p，則q”的否命題是“若￢p，則￢q”，由此判斷正誤；②判斷充分性是否成立，再判定必要性是否成立，即得結(jié)論；③特稱命題“存在x∈R，p（x）”的否定是“對任意x∈R，￢p（x）”，由此判斷正誤；④命題與它的逆否命題真假性相同，通過判定原命題的真假即可．【解答】解：①命題“若x2=1，則x=1”的否命題是：“若x2≠1，則x≠±1”，∴①正確；②∵當(dāng)x=﹣1時(shí)，等式x2﹣5x﹣6=0成立，∴充分性成立，當(dāng)x2﹣5x﹣6=0時(shí)，解得x=﹣1，或x=6，必要性不成立；∴“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0的充分不必要條件；∴②錯誤；③命題“存在x∈R，x2+x+1＜0”的否定是“對任意x∈R，x2+x+1≥0”，∴③錯誤；④若sinα=sinβ，則α=β的否命題為“若sinα≠sinβ，則α≠β”是真命題；∴④正確．所以，正確的命題有2個；故選：c．【點(diǎn)評】本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題6.已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，短軸的一個端點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)的連線構(gòu)成一個正三角形，且焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為，則橢圓的方程為（

）A.

B.或C.

D.或參考答案：D7.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，則b=（）A． B． C．2 D．3參考答案：D【考點(diǎn)】HR：余弦定理．【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，從而解得b的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故選：D．8.在中，角所對的邊為，滿足:,且．若的面積為，則a+b值為(

)A．5

B．6

C．7

D．8參考答案：A9.若某程序框圖如右圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的B等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A10.若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解,則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C．(1,+∞) D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=2x2+m的圖象與函數(shù)g（x）=ln|x|的圖象有四個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

．參考答案：【考點(diǎn)】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出求出這兩個函數(shù)的圖象在（0，+∞）上相切時(shí)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=，再由題意可得f（）＜g（），由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：由于函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）都是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，故這兩個函數(shù)在（0，+∞）上有2個交點(diǎn)．當(dāng)x＞0時(shí)，令h（x）=f（x）﹣g（x）=2x2+m﹣lnx，則h′（x）=4x﹣．令h′（x）=0可得x=，故這兩個函數(shù)的圖象在（0，+∞）上相切時(shí)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=．當(dāng)x=時(shí)，f（x）=+m，g（x）=ln=﹣ln2，函數(shù)f（x）=2x2+m的圖象與函數(shù)g（x）=ln|x|的圖象有四個交點(diǎn)，應(yīng)有+m＜﹣ln2，由此可得m＜﹣﹣ln2，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為，故答案為．【點(diǎn)評】本題考查了根的存在性及根的個數(shù)判斷，以及函數(shù)與方程的思想，求出這兩個函數(shù)的圖象在（0，+∞）上相切時(shí)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．12.已知O是△ABC內(nèi)心，若=+，則cos∠BAC=．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】過O作OD∥AC，OE∥AB，因?yàn)镺是內(nèi)心，得到四邊形ADOE是菱形，所以AD=AE=DO，由平行四邊形法則得到，設(shè)AB=5k，過O作OF∥BC交AB于F，通過數(shù)據(jù)線相似得到BF，OF的長度，在三角形ODF中，利用余弦定理求cos∠DFO．【解答】解：如圖，過O作OD∥AC，OE∥AB，因?yàn)镺是內(nèi)心，所以四邊形ADOE是菱形，并且=λ=+，所以，又AD=AE，所以，設(shè)AB=5k，則AC=10k，OD=2k，過O作OF∥BC交AB于F，則∠4=∠5，又∠3=∠4，所以∠3=∠5，所以BF=OF，又△ABC∽△DFO，所以BF：AB=DO：AC，則DF=k，所以BF=AB﹣AD﹣DF=5k﹣2k﹣k=2k，所以O(shè)F=2k，所以cos∠BAC=cos∠FDO==；故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了向量的平行四邊形法則以及利用余弦定理求角；關(guān)鍵是適當(dāng)作出輔助線，將問題轉(zhuǎn)化為解三角形．屬于難題．13.已知函數(shù)f（x）=．若存在x1，x2，當(dāng)1≤x1＜x2＜3時(shí)，f（x1）=f（x2），則的取值范圍是．參考答案：（，]【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；作圖題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】作函數(shù)f（x）的圖象，結(jié)合圖象可得+≤x1＜；化簡==1+；從而求取值范圍．【解答】解：作函數(shù)f（x）=的圖象如下，f（）=+1=1+；故令x+=1+得，x=+；故+≤x1＜；又∵==1+；＜≤=﹣1；＜1+≤；故答案為：（，]．【點(diǎn)評】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．14.已知正方形的邊長為，點(diǎn)為的中點(diǎn)．以為圓心，為半徑，作弧交于點(diǎn)，若為劣弧上的動點(diǎn)，則的最小值為___________.參考答案：15.設(shè)的二項(xiàng)展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，則_________.參考答案：16.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3=2a4=2，則S6=．參考答案：【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a3=2a4=2，∴q=，=2，解得a1=8．則S6==．故答案為：．17.已知函數(shù)，則f（1）的值是

．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的值；分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】直接利用分段函數(shù)化簡求解即可．【解答】解：函數(shù)，則f（1）=f（2）=f（3）==．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（10分）（2014?黑龍江）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（Ⅰ）求C的參數(shù)方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線l：y=x+2垂直，根據(jù)（Ⅰ）中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；圓的參數(shù)方程．

【專題】坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】（Ⅰ）半圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為（x﹣1）2+y2=1，令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，可得半圓C的參數(shù)方程．（Ⅱ）由題意可得直線CD和直線l平行．設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1+cosα，sinα），根據(jù)直線CD和直線l的斜率相等求得cotα的值，可得α的值，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】解：（Ⅰ）半圓C的極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程為（x﹣1）2+y2=1，x∈[0，2]、y∈[0，1]．令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，α∈[0，π]．故半圓C的參數(shù)方程為，α∈[0，π]．（Ⅱ）由于點(diǎn)D在C上，半圓C在D處的切線與直線l：y=x+2垂直，∴直線CD和直線l平行，故直線CD和直線l斜率相等．設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1+cosα，sinα），∵C（1，0），∴=，解得tanα=，即α=，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）．【點(diǎn)評】本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，把直角坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程，注意參數(shù)的范圍，屬于基礎(chǔ)題．19.設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由；（Ⅱ）若?x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)恒成立問題．【專題】創(chuàng)新題型；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（I）函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．對a與△分類討論可得：（1）當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)f′（x）＞0，即可得出函數(shù)的單調(diào)性與極值的情況．（2）當(dāng)a＞0時(shí)，△=a（9a﹣8）．①當(dāng)時(shí)，△≤0，②當(dāng)a時(shí)，△＞0，即可得出函數(shù)的單調(diào)性與極值的情況．（3）當(dāng)a＜0時(shí)，△＞0．即可得出函數(shù)的單調(diào)性與極值的情況．（II）由（I）可知：（1）當(dāng)0≤a時(shí)，可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)性，即可判斷出．（2）當(dāng)＜a≤1時(shí)，由g（0）≥0，可得x2≤0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)性，即可判斷出．（3）當(dāng)1＜a時(shí)，由g（0）＜0，可得x2＞0，利用x∈（0，x2）時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)性，即可判斷出；（4）當(dāng)a＜0時(shí)，設(shè)h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），研究其單調(diào)性，即可判斷出【解答】解：（I）函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．（1）當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=1，此時(shí)f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)．（2）當(dāng)a＞0時(shí)，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．①當(dāng)時(shí)，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)．②當(dāng)a時(shí)，△＞0，設(shè)方程2ax2+ax﹣a+1=0的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，x1＜x2．∵x1+x2=，∴，．由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1．∴當(dāng)x∈（﹣1，x1）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x2，+∞）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．因此函數(shù)f（x）有兩個極值點(diǎn)．（3）當(dāng)a＜0時(shí)，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1＜x2．∴當(dāng)x∈（﹣1，x2）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（x2，+∞）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．因此函數(shù)f（x）有一個極值點(diǎn)．綜上所述：當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）有一個極值點(diǎn)；當(dāng)0≤a時(shí)，函數(shù)f（x）無極值點(diǎn)；當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個極值點(diǎn)．（II）由（I）可知：（1）當(dāng)0≤a時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．∵f（0）=0，∴x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＞0，符合題意．（2）當(dāng)＜a≤1時(shí)，由g（0）≥0，可得x2≤0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．又f（0）=0，∴x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＞0，符合題意．（3）當(dāng)1＜a時(shí)，由g（0）＜0，可得x2＞0，∴x∈（0，x2）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．又f（0）=0，∴x∈（0，x2）時(shí)，f（x