三維幾何造型技術(shù)

關(guān)于三維幾何造型技術(shù)123.1幾何造型概述

3.1.1幾何造型技術(shù)

幾何造型技術(shù)又稱為幾何建模技術(shù)，是利用計(jì)算機(jī)以及圖形處理技術(shù)來(lái)構(gòu)造物體的幾何形狀，模擬物體的動(dòng)、靜態(tài)處理過(guò)程的技術(shù)。

這種技術(shù)能將物體的形狀及其屬性（顏色、材質(zhì)、精度）存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)內(nèi)，形成該物體的三維幾何模型，這個(gè)模型是對(duì)原物體的確切的數(shù)學(xué)描述或是對(duì)原物體某種狀態(tài)的真實(shí)模擬。這個(gè)模型將為各種不同的后續(xù)應(yīng)用提供信息（例如：由模型產(chǎn)生有限元網(wǎng)格；由模型生成數(shù)控加工刀具軌跡，進(jìn)行碰撞、干涉檢驗(yàn)；VM；機(jī)床模型；刀具模型；夾具模型；零件模型）。第2頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天3

幾何造型系統(tǒng)：通常把能夠定義、描述、生成幾何模型，并能交互地進(jìn)行編輯的系統(tǒng)稱為幾何造型系統(tǒng)。第3頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天43.1.2三維幾何造型在CAD/CAM中的應(yīng)用

三維幾何造型在CAD/CAM中主要應(yīng)用在設(shè)計(jì)、圖形、制造和裝配四個(gè)方面。

(1)設(shè)計(jì)能隨時(shí)顯示零件形狀，并能利用剖切來(lái)檢查諸如壁的厚薄，孔是否相交等問(wèn)題。能進(jìn)行物體的物理特性計(jì)算；如計(jì)算體積、面積、重心、慣性矩等。能檢查裝配中的干涉。能作運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的模擬等等。

(2)圖形產(chǎn)生二維工程圖，包括零件圖，裝配圖等。

(3)制造能利用生成的三維幾何模型進(jìn)行數(shù)控自動(dòng)編程及刀具軌跡的仿真。此外還能進(jìn)行工藝規(guī)程設(shè)計(jì)等。

(4)裝配在機(jī)器人及柔性制造中利用三維幾何模型進(jìn)行裝配規(guī)劃、機(jī)器人視覺(jué)識(shí)別、機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)的分析等。第4頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天5SolidEdge

CATIAUGNXPro/EInventor目前最流行的三維CAD系統(tǒng)

美、法等國(guó)的CAD技術(shù)一直走在世界的前沿，它們擁有許多世界聞名的CAD/CAM系統(tǒng)，這些系統(tǒng)具備十分強(qiáng)大的功能。國(guó)內(nèi):清華大學(xué)、北航、新舟、浙大、華工

第5頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天6第6頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天73.1.3三維幾何造型技術(shù)中的幾何元素

1、點(diǎn)幾何造型中最基本的幾何元素在自由曲線和曲面的描述中常用到：用于確定曲線和曲面的位置與形狀。

2、邊相鄰面或多個(gè)相鄰面之間的交界，由兩個(gè)端點(diǎn)定界，具有方向性。方向?yàn)椋浩瘘c(diǎn)終點(diǎn)?？蔀榭臻g直線或曲線第7頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天83、環(huán)環(huán)是有序、有向邊組成的面的封閉邊界，環(huán)中的邊不能相交，相鄰兩條邊共享一個(gè)端點(diǎn)。環(huán)有內(nèi)外之分，如下圖，環(huán)還有方向性，外環(huán)按逆時(shí)針排列，內(nèi)環(huán)按順時(shí)針排列。

4、面面是形體表面的一部分，由一個(gè)外環(huán)和若干內(nèi)環(huán)界定其范圍。面有方向性，通過(guò)右手定則確定，如下圖，四指方向?yàn)槊娴耐猸h(huán)方向，拇指方向?yàn)槊娴恼较?。一個(gè)面可以無(wú)內(nèi)環(huán)，但必須有外環(huán)，由于環(huán)具有方向性，所以按方向看，環(huán)的左邊為面內(nèi)，環(huán)的右邊為面外。

第8頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天95、體體是由封閉表面圍成的三維幾何空間。通常把具有維數(shù)一致的邊界所定義的形體稱為正則形體(又稱為流形形體)，如圖（a）所示。（b）中圖形存在懸邊和懸面，維數(shù)不一致，稱為非正則形體。（非流形形體）。（a）（b）第9頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天10

6、外殼

外殼是指在觀察方向上所能看到的形體的最大外輪廓線。

7、體素體素是指能用有限個(gè)尺寸參數(shù)定位和定形的體。體素通常指一些常見(jiàn)的可用以組合成復(fù)雜形體的簡(jiǎn)單實(shí)體，如長(zhǎng)方體、圓柱體、圓錐體、球體、棱柱體、圓環(huán)體等，也可以是一些掃描體或回轉(zhuǎn)體。

3.2三維幾何造型系統(tǒng)的幾種模型

幾何造型系統(tǒng)發(fā)展至今，先后出現(xiàn)了線框模型、表面模型、實(shí)體模型、特征模型等，這幾種模型代表了幾何形體在計(jì)算機(jī)內(nèi)的不同存儲(chǔ)方式，本節(jié)從工程角度出發(fā)，介紹這幾種模型的原理與計(jì)算機(jī)表達(dá)。

第10頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天113.2.1線框模型

1、建模線框模型是用頂點(diǎn)和棱邊表示三維形體，其棱邊可以為直線、圓弧、二次曲線及樣條曲線組成。它的計(jì)算機(jī)表示包括兩方面的信息：一類是幾何信息，記錄各頂點(diǎn)的坐標(biāo)值，即頂點(diǎn)表；另一類是拓?fù)湫畔?，記錄定義每條邊的兩個(gè)端點(diǎn)，即棱線表。實(shí)際物體是頂點(diǎn)表和棱線表相應(yīng)的三維映象。

第11頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天12如下圖所示為立方體線框圖，采用8個(gè)頂點(diǎn)和12條棱邊。第12頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天132、優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，計(jì)算機(jī)內(nèi)部易于表達(dá)，繪制快速；物體的三維數(shù)據(jù)可以產(chǎn)生任意視圖，為生成工程圖帶來(lái)了方便缺點(diǎn)有二義性，缺少表面輪廓信息，當(dāng)形狀復(fù)雜、棱線過(guò)多時(shí)，會(huì)引起模糊理解。2.

在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中缺少邊與面、面與體之間關(guān)系的信息。從原理上講，此種模型不能消除隱藏線、計(jì)算物性、生成數(shù)控加工刀具軌跡、有限元網(wǎng)格剖分、物體干涉檢驗(yàn)等。3.缺少拓?fù)湫畔?，即邊與面、面與體之間關(guān)系的信息，因此不能構(gòu)成實(shí)體。第13頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天143.2.2表面模型（SurfaceModel）

1、建模表面模型也稱曲面模型，通常用于構(gòu)造復(fù)雜的曲面物體，構(gòu)造時(shí)常常利用線框功能，先構(gòu)造一線框圖，然后用掃描或旋轉(zhuǎn)等手段變成曲面，也可以直接利用系統(tǒng)提供的許多曲面圖素來(lái)建立各種曲面模型。表面模型在計(jì)算機(jī)中的存儲(chǔ)與線框模型相比多了一個(gè)面表，記錄了邊、面間的拓?fù)潢P(guān)系。第14頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天152、優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：

(1)能實(shí)現(xiàn)消隱、著色、表面積計(jì)算、二曲面求交、數(shù)控刀具軌跡生成、有限元網(wǎng)格劃分等。

(2)擅長(zhǎng)構(gòu)造復(fù)雜的曲面物體，如模具、汽車、飛機(jī)等表面。

缺點(diǎn)：

(1)缺乏面間的拓?fù)潢P(guān)系，依然不能構(gòu)成實(shí)體，有時(shí)產(chǎn)生對(duì)物體二義性理解。

(2)操作比較復(fù)雜，要求操作者具備曲面建模的數(shù)學(xué)知識(shí)，因此要對(duì)操作者進(jìn)行一定的培訓(xùn)。第15頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天163.2.3實(shí)體模型（SolidModel）

1、建模實(shí)體模型與表面模型不同之處在于確定了表面的哪一側(cè)存在實(shí)體這個(gè)問(wèn)題。用有向棱邊的右手法則確定所在面外法線的方向，如規(guī)定正向指向體外。如此只需將上圖的面表改為如下，即可確切地分清體內(nèi)體外，形成實(shí)體模型。第16頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天17

2、優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：（1）包含的信息全面，不僅記錄了全部幾何信息，而且記錄了全部點(diǎn)、線、面、體的拓?fù)湫畔?。?）無(wú)二義性?？梢韵[、剖切、有限元網(wǎng)格劃分、生成NC刀具軌跡。（3）可計(jì)算物理特性。實(shí)體造型包括兩部分：（1）體素定義和描述（2）體素間的布爾運(yùn)算（構(gòu)成復(fù)雜實(shí)體的有效工具）第17頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天183、常見(jiàn)體素種類第18頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天19

4、形體的集合運(yùn)算如果一個(gè)實(shí)體是由兩個(gè)或兩個(gè)以上簡(jiǎn)單體素經(jīng)過(guò)集合運(yùn)算得到的，那么這個(gè)實(shí)體的表示就是布爾模型，這種集合運(yùn)算叫布爾運(yùn)算。布爾運(yùn)算最簡(jiǎn)單的理解就是在一個(gè)物體上增加或減少一部分。例如：C=A<op>B其中A、B為兩個(gè)實(shí)體，則C為布爾模型，<op>布爾算子，它可以是∪、∩、－。如：

二維布爾運(yùn)算第19頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天20A體B體A＋BA－BA∩BAB三維布爾運(yùn)算第20頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天21

傳統(tǒng)的點(diǎn)集之間的并、交、差運(yùn)算可能改變點(diǎn)集的正則性質(zhì)。也就是說(shuō)，兩個(gè)正則點(diǎn)集的集合運(yùn)算的結(jié)果可能產(chǎn)生一個(gè)非正則點(diǎn)集。如圖A、B兩物體求交運(yùn)算后，原來(lái)兩物體間互相重合的部分邊界面被保留而形成懸掛面。有必要對(duì)傳統(tǒng)的點(diǎn)的集合運(yùn)算施加一定的限制，為此定義第21頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天22線框、表面與實(shí)體模型的比較模型表示應(yīng)用范圍局限性二維線框畫二維線框圖（工程圖）無(wú)法觀察參數(shù)的變化，不可能產(chǎn)生有實(shí)際意義的形體三維線框畫二、三維線框圖不能表示實(shí)體、圖形會(huì)有二義性表面模型藝術(shù)圖形、形體表面的顯示、數(shù)控加工不能表示實(shí)體實(shí)體模型物性計(jì)算、有限元分析用集合運(yùn)算構(gòu)造形體只能產(chǎn)生正則形體抽象形體的層次較低第22頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天23

3.3三維實(shí)體表示方法目前實(shí)體造型系統(tǒng)開(kāi)發(fā)中使用的三維實(shí)體表示方法有許多，廣泛采用的兩種方法是幾何實(shí)體構(gòu)造法和邊界表示法。它們分別是早期和近期CAD開(kāi)發(fā)中三維形體表示的主要方法，其他表示方法還有掃描表示法、八叉樹表示法、基本體素表示法、空間分割法、實(shí)體參數(shù)表示法等。

3.3.1幾何實(shí)體構(gòu)造法幾何實(shí)體構(gòu)造法（CSG：ConstructiveSolidGeometry）是用簡(jiǎn)單實(shí)體通過(guò)集合運(yùn)算交、并、差構(gòu)造復(fù)雜實(shí)體的方法。是目前最常用的、最重要的一種三維實(shí)體表示方法。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)CSG法是由簡(jiǎn)單的正則集合經(jīng)過(guò)正則集合運(yùn)算構(gòu)成復(fù)雜實(shí)體的方法。

用CSG法構(gòu)造的實(shí)體模型在計(jì)算機(jī)中是通過(guò)用CSG樹的形式加以表達(dá)的，通常采用二叉樹的形式加以描述。第23頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天24例如：

圖中樹葉分為兩種：一種是基本體素，如P1、P2、P3等；另一種是體素作運(yùn)動(dòng)變換時(shí)的參數(shù)，如平移參數(shù)Δx等。圖中結(jié)點(diǎn)表示某種運(yùn)算。有兩類運(yùn)算子，一類是運(yùn)動(dòng)運(yùn)算子，如平移、旋轉(zhuǎn)等，另一類是集合運(yùn)算子，如∪*、∩*、－*。

CSG樹中的每個(gè)子樹都代表一個(gè)集合，它是用算子對(duì)體系進(jìn)行運(yùn)算后生成的。樹根就是最終拼合而成的物體。第24頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天25

用CSG樹表示一個(gè)形體是無(wú)二義性的，但一個(gè)形體可以有不同的CSG樹表示，取決于使用的體素、構(gòu)造操作方法和操作順序。

優(yōu)點(diǎn)：

(1)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，信息量小，易于管理；

(2)每個(gè)CSG都和一個(gè)實(shí)際的有效形體相對(duì)應(yīng)；

(3)CSG樹記錄了形體的生成過(guò)程，可修改形體生成的各環(huán)節(jié)以改變形體的形狀。

缺點(diǎn)：

(1)不能進(jìn)行形體的局部修改，如面、邊、點(diǎn)等；

(2)直接基于CSG表達(dá)形體，其組合運(yùn)算及顯示效率很低。第25頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天263.3.2邊界表示法

邊界表示法（B-rep：BoundaryRepresentation）是以邊界為基礎(chǔ)定義和描述幾何形體的方法。任何一個(gè)物體均可以表達(dá)為一個(gè)有限數(shù)量的邊界表面的集合，這個(gè)集合是封閉的，邊界表面由一組面構(gòu)成。這些表面可能是平面，也可能是曲面，均有方向，明確地劃分出物體的里面和外面。每個(gè)面由封閉的環(huán)確定其邊界，每個(gè)環(huán)由一組邊組成，每條邊由兩個(gè)頂點(diǎn)所界定，每個(gè)頂點(diǎn)由空間三個(gè)坐標(biāo)值來(lái)確定，即：

物體面封閉環(huán)邊點(diǎn)第26頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天27

邊界模型與表面模型區(qū)別在于邊界模型的表面必須封閉、有向，各表面有嚴(yán)格的拓?fù)潢P(guān)系，形成一個(gè)整體。而表面模型可以不封閉，面的上下都可以有效，不能判斷哪一側(cè)是體內(nèi)與體外，沒(méi)提供各面間相互連接的信息。

B-rep法的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：

B-rep法中要表達(dá)的信息分為兩類：

一類是幾何信息，它反映物體的大小及位置，例如頂點(diǎn)的坐標(biāo)值，面數(shù)學(xué)表達(dá)式中的具體系數(shù)等。通常用空間直角坐標(biāo)來(lái)表示；

另一類是拓?fù)湫畔?，是指用?lái)說(shuō)明體、面、邊及頂點(diǎn)之間連接關(guān)系的這一類信息。例如面f1與哪些面相鄰；面f1由那些邊組成等等。這些都屬于拓?fù)湫畔?。拓?fù)湫畔⒊Ｓ脭?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)。采用體、面、環(huán)邊和頂點(diǎn)表構(gòu)成。即面—環(huán)—邊—頂點(diǎn)（F—L—E—V）。

第27頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天28

從理論上講，多面體的面、邊和頂點(diǎn)之間一共有九種拓?fù)潢P(guān)系，如圖所示。圖中符號(hào)“”表示指針，表示可從它的左端求出它的右端。例如，f{f}表示由一個(gè)面找出該面所有相鄰面，面v{f}則表示由一個(gè)頂點(diǎn)找出相交于此頂點(diǎn)的所有面等等。面面鄰接關(guān)系面上點(diǎn)的關(guān)系面上邊的關(guān)系點(diǎn)與面連接關(guān)系點(diǎn)點(diǎn)連接關(guān)系點(diǎn)與邊連接關(guān)系邊面鄰接關(guān)系邊點(diǎn)連接關(guān)系邊邊連接關(guān)系第28頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天29

在這九種不同類型的拓?fù)潢P(guān)系中至少必須選擇兩種才能構(gòu)成一個(gè)實(shí)體的拓?fù)湫畔ⅰＲ部梢源鎯?chǔ)更多的拓?fù)潢P(guān)系。如有名的翼邊結(jié)構(gòu)，它將e{f}、e{f}、e{e}關(guān)系統(tǒng)統(tǒng)存儲(chǔ)起來(lái)，并以邊為中心加以安排。如圖：可以方便地查找到這條邊有連接關(guān)系的上下兩頂點(diǎn)、左右兩鄰面及上下左右四條鄰邊。第29頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天30

在Brep表達(dá)中，簡(jiǎn)單實(shí)體的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可用體、面、邊、點(diǎn)四個(gè)層次的表描述第30頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天31Brep表示法的優(yōu)點(diǎn)：

(1)表示形體的點(diǎn)、線、面等幾何元素是顯式表示、使得形體的顯示很快并且很容易確定幾何元素之間的連接關(guān)系；

(2)可對(duì)Brep法的形體進(jìn)行多種操作和局部修改缺點(diǎn)：

(1)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，需要大量存儲(chǔ)空間，維護(hù)內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)及一致性的程序較復(fù)雜；

(2)對(duì)形體的修改操作較難實(shí)現(xiàn)。第31頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天32CSG＋BREP混合表示

從用戶進(jìn)行造型的角度看，CSG方法比較方便，從對(duì)形體的存儲(chǔ)管理和操作的角度看，Brep法更為實(shí)用。目前大多數(shù)CAD系統(tǒng)都以CSG＋Brep的混合表示作為形體數(shù)據(jù)表示的基礎(chǔ)：以CSG模型表示幾何造型的特征歷史過(guò)程及其特征設(shè)計(jì)參數(shù)；用Brep模型維護(hù)詳細(xì)的幾何信息和顯示、查詢等操作，同時(shí)也為布爾運(yùn)算提供基礎(chǔ)。

第32頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天33

3.3.3掃描表示法

其基本原理是空間中的二維形體沿著某一路徑掃描時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡，將定義一個(gè)三維物體。

用掃描法進(jìn)行實(shí)體造型需要兩個(gè)因素：

1運(yùn)動(dòng)物體的形狀，即基體、曲線、面。

2物體運(yùn)動(dòng)的軌跡，稱掃描軌跡，如直線或曲線。

有兩種掃描方法：在這兩類掃描表示中，只要二維集合無(wú)二義性，實(shí)體就不會(huì)有二義性。第33頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天34

3.3.4空間分割法將空間實(shí)體劃分成一個(gè)一個(gè)網(wǎng)格化的小立方體，尺寸大小均相同，叫體元(cell)，用體元重心處的(x，y，z)坐標(biāo)來(lái)表示每個(gè)體元，所以實(shí)體可用三元組(x，y，z)的集合來(lái)表示。該集合可以是有序的，也可以是無(wú)序的。此