2020-2021學(xué)年江西省吉安市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷 （解析版）

2020-2021學(xué)年江西省吉安市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共12小題）.

1.函數(shù)/（x）=ln（x-x2）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(0,1)B.[0,1]C.(0,1]D.[0,1)

2.已知/（cos?%）=sinx,若/（〃）=1,則〃的值可能是（）

A.0B.1C.-1D.2

3.已知。=n°5,b=e0'5,kloga則”，b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c〈b〈aC.b<a<cD.c<a<b

4.已知單位向量力,%滿足?巳11二?日1一巳2L貝”（巳1一巳2）與巳2的夾角是（）

A.60°B.90°C.120°D.150°

5.如圖所示，已知矩形A5CD中，AB=1,A￡>=2,若以A為圓心，AO為半徑作圓交3C

于F,記弧而長(zhǎng)為a,則cosa=（）

A.噂B.1C.愿冗D.史

3

6.函數(shù)f(x)=入2+1e2020的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.3B.2C.1D.0

兀1兀

7.已知sin(―--a),則cos(―-+2a)=()

OTEO

8.將函數(shù)f（x）=sin（x一兀）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的1《（縱坐標(biāo)不變），然后

02

向左平移了3單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)為()

6

兀兀

A.f(x)=sin(2x^y)B.f(x)=sin(2x—)

i冗

C.f(x)=sin2xD.f(x)=sin(~x—―)

9.設(shè)e2為平面向量的一組基底，則下面四組向量組中不能作為基底的是（）

A,已]+e2和巳[一日2B.4巳]+2?2和262—46]

.?，..，?.?-?.

C.2e]+e2和巳[+2e2D.e1-2e2和4e之-2e]

10.函數(shù)/(x)=sin|x|Tsinx|的值域是(

A.[-2,0]B.(-2,0)C.(0,2)D.[0,2]

11.根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員在血液中的酒精含量大于或等于20加g/100”遼/

小于80mg/100mL時(shí)的駕駛行為視為飲酒駕駛.某人喝了酒后，血液中的酒精含量升到

60mg/100mL.在停止喝酒后，若血液中的酒精含量以每小時(shí)20%的速度減少，為了保障

交通安全，這人至少經(jīng)過幾小時(shí)才能開車（）（精確到1小時(shí)，參考數(shù)據(jù)/g3Po.48,

這2心0.3）

A.7B.6C.5D.4

7T

12.設(shè)函數(shù)f（x）=cosOx，）（但>0），已知/（x）在［0,2n］有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，下述

四個(gè)結(jié)論：

①無）=1在［0,2m有且僅有2個(gè)零點(diǎn)；

②f（無）=-1在［0,2E有且僅有2個(gè)零點(diǎn)；

③3的取值范圍是,粵'）；

OO

TT

@（無）在（0,三）單調(diào)遞增.

其中正確個(gè)數(shù)是（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

二、填空題（共4小題）.

13.已知函數(shù)/（X）=2+log6（x-3）的圖象恒過定點(diǎn)A,且點(diǎn)A在函數(shù)g（x）=x"的圖象

上，貝!）a=.

14.已知f+x"=5（x>0）,貝!Jx+尤”=.

15.若函數(shù)/（x）=4'-小2,8在（0,2）上只有一個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍.

16.若函數(shù)/（x）=2A：3-5sinx與單位圓f+y2=l相交于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（3,

0），MPA-PB=-

三、解答題（本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

17.己知A={天產(chǎn)+辦-6<0},B—{^|log2X<log23}.

(1)a=l時(shí)，求8n(CRA)；

(2)若[-1,2]￡A,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

18.已知向量：=(入，3)，b=(-2,4).

(1)若(2a+b)//b-求人；

(2)若入=2,求向量芯在；方向上的投影.

19.已知sina、cosa分別是方程25x?+5x-12=0的兩根，且a是第二象限角.

(1)求cos2a的值;

/八_p.2sinCI-cosQ-

⑵求1一~....—的值.

sinQ+3cosCI

20.已知函數(shù)f(x)T§sinZx-ZcoJx-l，

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C,滿足/(C)=0且sinB=2sinA,求角A,5的值.

21.設(shè)函數(shù)/(x)=cu^+2x+b.

(1)當(dāng)b=l時(shí)，若對(duì)于x€生，1L有了(X)20恒成立，求。的取值范圍；

(2)若/(x)20對(duì)于一切實(shí)數(shù)%恒成立，并且存在xoER,使得Q%O2+2X()+/?=O成立,

求/+后的最小值.

22.已知對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=(/+。-5)10gm.

(1)若函數(shù)g(x)=f(x+2)4/(5-x),討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性；

(2)對(duì)于(1)中的函數(shù)g(x),若xG[-1,3],不等式g(x)-m-log23^0的解集

非空，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

參考答案

一、選擇題(共12小題).

1.函數(shù)/(%)=ln(.x-x2)的定義域?yàn)?)

A.(0,1)B.[0,1]C.(0,1]D.[0,1）

解：由題意得即x(x-l)<0,解得OVxVl,

故函數(shù)的定義域是(0,1),

故選：A.

2.已知/(cos?%)=sinx,若/(〃)=1,則。的值可能是()

A.0B.1C.-1D.2

解：根據(jù)題意，對(duì)于/(cos1)=sinx,若sinx=l,則cos2%=l-sin2x=1-1=0,

則有/(O)=1，則〃=0,

故選：A.

5

3.已知a=7i°$,b=e',c=logn3,則a,b,c的大小關(guān)系是(

A.a〈b〈cB.c<b<aC.b〈a〈cD.c<Za<.b

Zt/j??0.5、70.5、^0i

角牛：.a=n>b=e>e=1,

c=log713Vl哂11=1，

??a,b,。的大小關(guān)系為cVbVa.

故選：B.

4.已知單位向量e[,e2滿足I|=|e[-e?I，則(e「e2)三%的夾角是()

A.60°B.90°C.120°D.150°

解：根據(jù)題意，設(shè)向量(與-弓)與句的夾角e,

*.I*II*—*I

向量eje2是單位向量，則I|=|e「e?I，

=1,

則有(巳1一e2)=?1-2?1?@2+已2=2-2?1??2

.....■*i

則（61-62）?62=31七2-62=5-1=_'

1

則COS0=

e-e

l2?le2I2

又由0°WOW180",則8=120°,

故選：C.

5.如圖所示，已知矩形ABC。中，AB=l,AD=2,若以A為圓心，為半徑作圓交BC

于/，記弧DF長(zhǎng)為a，則cosa=()

C.我冗D.哼

B.1

2

解：連接AF,

:矩形ABC。中，AB=1,A￡>=2,以A為圓心，為半徑作圓交BC于E記弧命長(zhǎng)

為a,

：.AF=2,BF=yl22-l2=^ZBAF=60°,

；.a=90°-60°=30°,

。M

cosa=cos30°=---.

2

故選：A.

6.函數(shù)f(x)=]x2+lnx-2020的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.3B.2C.1D.0

解：函數(shù)f(x)=]x2+lnx-2020，故其定義域?yàn)?0,+°°),

易得函數(shù)/(無)在其定義域上為增函數(shù)，

11

又f(1)=y-2020<0,/(100)=-^-X10029+/nl00-2020>0,

故了(100)?/(1)<0,

根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理可知，f(X)在(0,+8)上有唯一的零點(diǎn),

所以函數(shù)f(x)=]x2+lnx-2020的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1個(gè).

故選：C.

兀1兀

7.已知sin(―--a),則cos+2a)=()

57「5n7

AA.—BD.--C.--D.—

8888

JT1

解：Ssin(-z-CI)=—,

34

兀兀兀i

可得：cos(a4^-)=sin[-^--Q)]=—.

7r兀兀17

那么：cos(■^—,■2Cl)=cos2(--4-d)=2cos2(a4^7—)-1=2X—--1=-

366168

故選:B.

TT1

8.將函數(shù)f(x):sin(x一)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的《(縱坐標(biāo)不變)，然后

02

向左平移了3單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)為()

6

兀兀

A.f(x)=sin(2x-H~^)B.f(x)=sin(2x——)

1兀

C.f(x)=sin2xD.f(x)=sin(-x-)

解：將函數(shù)￡6)=$:111a-)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的《(縱坐標(biāo)不變)，

b2

可得y=sin(2%-二)的圖象；

6

然后向左平移了二個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)為y=sin(2x+3),

66

故選：A.

9.設(shè)巳1，%為平面向量的一組基底，則下面四組向量組中不能作為基底的是()

....」.一?.

A.巳]+巳2和6]一巳2B,4e]+222和222-42]

....一?...

C.2e]+e2和e]+2e2D.-2e?和4e?-2e1

解：由題意可知，ei，e2是不共線的兩個(gè)向量,

可以判斷選項(xiàng)A,B,C都可以做基底,

選項(xiàng)，e1-2e2=-y(4e2-2e1)-故選項(xiàng)。不能做基底.

故選：D.

10.函數(shù)/(x)=sin|x|-|sinx|的值域是￡)

A.[-2,0]B.(-2,0)C.(0,2)D.[0,2]

解：函數(shù)/(x)=sin|x|-|sinx|的定義域?yàn)镽,且/(-無)=sin|-x\-|sin(-x)|=sin|x|

-|sinx|,

即/(-尤)=于3,所以/(無)是偶函數(shù)；

fo,x€[2k兀，2k兀+冗]

當(dāng)尤NO時(shí)，f(x)=sinrTsirui=4,

[2sinx,x€(2k冗+兀，2k冗+2冗)，k€1

所以當(dāng)x20時(shí)，-2W/(x)W0；

又了(無)為定義域上的偶函數(shù)，

所以了(無)的值域是[-2,0].

故選：A.

11.根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員在血液中的酒精含量大于或等于20mg/l00mL/

小于8Qmg/100mL時(shí)的駕駛行為視為飲酒駕駛.某人喝了酒后，血液中的酒精含量升到

60mg/-i00mL.在停止喝酒后，若血液中的酒精含量以每小時(shí)20%的速度減少，為了保障

交通安全，這人至少經(jīng)過幾小時(shí)才能開車()(精確到1小時(shí)，參考數(shù)據(jù)/g3Po.48,

四2-0.3)

A.7B.6C.5D.4

解：設(shè)這人至少經(jīng)過尤小時(shí)才能開車，

則由題意可得：60(1-20%)“<20,

即。亭所以>1嗎康居女舞Td㈤

所以這人至少經(jīng)過5小時(shí)才能開車，

故選：C.

12.i5a^f(x)=cos(0)x^4-)(W>0),已知/(x)在[0,2E有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，下述

4

四個(gè)結(jié)論：

@f(%)=1在[0,2n]有且僅有2個(gè)零點(diǎn)；

@f(%)=-1在[0,2n]有且僅有2個(gè)零點(diǎn)；

③3的取值范圍是［老工技）；

OO

TT

@（尤）在（0,吉）單調(diào)遞增.

其中正確個(gè)數(shù)是（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

TT

解：函數(shù)f（x）=cos（3x——）（⑴>0），

因?yàn)椋ト?,2n］,

所以ax—TTEI：—TT，2九3-工JT-］,

444

因?yàn)?（無）在［0,2TT］有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，

所以3x0的四個(gè)值均在區(qū)間［=，2幾3-：］內(nèi)，

444

兀7T

令f（X）=0,則有3x—“=a-+kTT，在z,

故3x^=看，竽，號(hào)，等時(shí)符合題意，

所以2*23n_今<等，解得與《3〈號(hào)，

/4NXo

則3的取值范圍是普，萼），

OO

故選項(xiàng)③正確；

兀兀

令/（%）=cos（3x=1,解得3—=2/cTi依Z,

44f

__7rL.冗_(dá)_7T_

又l2兀3.?。?/p>

所以3x--=0，3X--=2ir一定是函數(shù)/（x）=1的零點(diǎn)，

44

又4n€（1二，3"），故x=4n也是函數(shù)/（X）=1的零點(diǎn)，

故選項(xiàng)①錯(cuò)誤；

兀TT

令于（x）=cos（COx——）=-1,解得3x一==ii+2而，kEZ,

44

又3x4E〔T，2HW-Z-］,

兀71

所以3x——=7t，3x一==3TT是函數(shù)/（無）=-1的兩個(gè)零點(diǎn)，

44

故/（X）=-1在［0,2汨有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，

故選項(xiàng)②正確;

因?yàn)轲?0,奪時(shí)，則爪:一二，梁■4?)，

1U44104

因?yàn)榈?lt;3〈善，

OO

71Wn71K

所以丁丁5百方3

所以/Xx)在(0,今)單調(diào)遞增，

故選項(xiàng)④正確.

故正確的個(gè)數(shù)是3個(gè).

故選：D.

二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分)

13.已知函數(shù)/(%)=2+log6(x-3)的圖象恒過定點(diǎn)A,且點(diǎn)A在函數(shù)g⑴=/的圖象

上，則〃=《.

一2一

解：令x-3=l,解得：尤=4,

故/(4)=2+0=2,故A(4,2),

將A(4,2)代入g(x)=%"得：4"=2,

解得：a=^9

故答案為：

14.已知￥+%-2=5(x>o),貝萬.

,12_

解：\*x2+x~2=)-2=5(x>0),/.x+x

X

故答案為：v7?

15.若函數(shù)/(x)=4]-〃?2%+8在(0,2)上只有一個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍{〃|。=4后或

5W4V6}.

解：?函數(shù)/(%)=4'-。?2'+8,

4X+88

???函數(shù)的零點(diǎn)即〃=￡^=2%+丁的根，

2X2X

令=2、則隹(1,4),

故函數(shù)/(x)=4'-〃?2%+8在(0,2)上只有一個(gè)零點(diǎn)，

即為y=4與丁=什號(hào)在(1.4)上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

由圖可得：。=4&或5Wa<6,

故答案為：{〃|〃=4&或5WaV6}.

16.若函數(shù)，(x)=2f-5sinx與單位圓f+y2=i相交于48兩點(diǎn)，且點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(3,

0),則布?麗=8.

解：函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

又于(-x)=2(-x)3-5sin(-%)=-2x3+5sim:=-f(x),

故函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

又單位圓f+y2=l也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以函數(shù)/(%)=2%3-5sinx與單位圓f+y2=i的兩個(gè)交點(diǎn)A,3也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

設(shè)A(x,y),則5(-x,7)，且￥+/=],

又點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(3,0),

PA=(x-3,y),PB=(-X-3,-y),

所以血?麗=(x-3,y),(-x-3,-y)=-(x2-9+y2)=8.

故答案為：8.

三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

17.已知A={x|f+ax-6<0},B={x|log2X<log23}.

(1)4=1時(shí)，求5G(CRA)；

(2)若[-1,2]CA,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

解：(1)。=1時(shí)，A={x\x'+x-6<0}={x|-3<x<2},

B={x|log2X<log23}={x|0<x<3}.

，CRA={4XW-3或％22},

：.BC\(CRA)={X|2CXV3}.

(2)*.*[-1,2]QA,A=[x\x'+ax-6<0},

l-a-6<0

4+2a-6<0'

解得

，實(shí)數(shù)。的取值范圍（-5,1）.

18.已知向量之=（入，3）.b=（-2,4）.

⑴若（2a+b）//b-求人;

（2）若入=2,求向量芯在二方向上的投影.

解：（1）因?yàn)橄蛄浚?（入，3），b=（-2,4），

所以2?+%=2(入，3)+(-2,4)=(2入-2,10：，

又(2a+b)#b,

所以有(2A-2)X4-1OX(-2)=0,解得X=-1-；

(2)當(dāng)入=2時(shí)，a=(2,3)，

故向量芯在之方向上的投影為lElcosC[>君=2」盛3義4=嚕

19.已知sina、cosa分別是方程25d+5x-12=0的兩根，且a是第二象限角.

(1)求cos2a的值;

/八十2sinJ-cosCl

⑵求一:------的值.

sinCl+3cosCI

解：（1）因?yàn)閟ina、cosa分別是方程25#+5x-12=0的兩根,

且a是第二象限角，所以sina>0,cosa<0；

解方程得sina=-|-,cosa=-母；

55

所以cos2a=cos2a-sin2a=笑^且=工

25

(2)因?yàn)閠ana=Fin；3

cosa4

2X(--)-1

所以2sina-cosa2tana-14.10

sinCl+3cosCLtanCl+33T

-4+3

20.已知函數(shù)f(x)=，^sin2x-2cos2x-l,xER.

（1）求函數(shù)/（尤）的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C,滿足/'(C)=0且sin8=2sinA,求角A,8的值.

解：(1)因?yàn)閒(x)=?\/^sin2x-2c。s2x-1=V^sin2x-(l+cos2x)-1=2sin(lx—?！?

-2,

兀IT兀兀兀

令2kli—丁W2x—7一W2knH——,ZcZ,解得kn——一左CZ,

26263

TTjr

可得函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為：［阮-1-，^^―］,在Z.

63

兀兀

(2)因?yàn)?(C)—2sin(2C——)-2=0,可得sin(2C——)=1,

66

由ce(0,IT),可得2C-ge(-?,岑L),可得2C-g=《，解得C=f-,

666623

pjr

可得4+8=今一，

O

因?yàn)閟in3=2sinA,

n-TF

所以sinB=2sin(—;---B)=J^cos3+sin5,可得cos3=0,

O

兀兀

由于3c(0,n),可得3=-^-,A=--.

2b

21.設(shè)函數(shù)/(x)=ax1+2x+b.

(1)當(dāng)6=1時(shí)，若對(duì)于xC［/，11-有/(x)20恒成立，求a的取值范圍；

(2)若f(x)20對(duì)于一切實(shí)數(shù)x