安徽省十五校教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

十五校教育集團(tuán)·20232024學(xué)年度秋學(xué)期高二年級(jí)期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題卷命題：王聿桁吳維審題：孫全浩文洪予校對(duì)：吳韜時(shí)間：120分鐘滿分：150分考試范圍：人教A版選修一、二一、單選題（本大題共8小題，每小題5分）1.已知點(diǎn)，空間內(nèi)一平面過(guò)原點(diǎn)，且垂直于向量，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合點(diǎn)到面的距離公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，平面的法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：A.2.已知數(shù)列是首項(xiàng)為5，公差為3的等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得，即可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：，可得，所以.故選：D.3.拋物線上到直線距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知拋物線的切線與直線平行時(shí)，切點(diǎn)到直線距離最小，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率，又因?yàn)?，則，令，解得，此時(shí)，可知拋物線上到直線距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：C.4.若直線把單位圓分成長(zhǎng)度為的兩段圓弧，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直線和圓相交于，則根據(jù)較短弧長(zhǎng)與較長(zhǎng)弧長(zhǎng)之比為得到，利用點(diǎn)與直線距離建立條件關(guān)系即可．【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，設(shè)直線和圓相交于，若較短弧長(zhǎng)與較長(zhǎng)弧長(zhǎng)之比為，則，則圓心到直線的距離，即，解得.故選：B.5.定義：對(duì)于數(shù)，，若它們除以整數(shù)所得的余數(shù)相等，則稱與對(duì)于模同余或同余于模，記作．已知正整數(shù)滿足，將符合條件的所有的值按從小到大的順序排列，構(gòu)成數(shù)列．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之和為，則的最小值為（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和為，再借助單調(diào)性求解即得.【詳解】由題意可知：，且，可知數(shù)列是等差數(shù)列，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值16.故選：C.6.已知函數(shù)為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，的圖像如圖所示，以下命題正確的是（）A.是函數(shù)的極大值 B.是函數(shù)的極小值C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.的零點(diǎn)是和【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】因?yàn)椋蓤D可知：，；或，；且或，；，；可得或，；，；且函數(shù)為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，則在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，可知有且僅有一個(gè)極小值，無(wú)極大值，故AC錯(cuò)誤，B正確；由于不知的解析式，故不能確定的零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：B.7.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，、分別是側(cè)面和的中心．過(guò)點(diǎn)的平面與垂直，則平面截正方體所得的截面積S為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量確定截面形狀，再計(jì)算截面面積作答.【詳解】正方體的棱長(zhǎng)為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，側(cè)面的中心，側(cè)面的中心，且，則，顯然點(diǎn)M在平面與平面的交線上，設(shè)為這條交線上任意一點(diǎn)，則，而平面，則，即，令，得點(diǎn)，令，得點(diǎn)，連，平面與平面必相交，設(shè)為這條交線上任意一點(diǎn)，則，由，即，令，得點(diǎn)，連，因?yàn)槠矫嫫矫?，則平面與平面的交線過(guò)點(diǎn)G，與直線FE平行，過(guò)G作交于，則，由得，即，顯然平面與平面都相交，則平面與直線相交，令交點(diǎn)為，，由得，連接得截面五邊形，即截面S為五邊形，則，取中點(diǎn)，連接，則，在中，，的面積，在中，，邊上的高，梯形面積，所以S的面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長(zhǎng)交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.8.已知，橢圓：與雙曲線：的公共焦點(diǎn)，分別是與的離心率，且是與的一個(gè)公共點(diǎn)，滿足，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C.的最小值為 D.最大值為【答案】D【解析】【分析】由于橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，即可判斷A選項(xiàng)，利用雙曲線和橢圓的定義可得，，由可得，利用勾股定理化簡(jiǎn)得到，再利用柯西不等式即可判斷C、D選項(xiàng)，從而得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，由于橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，故，故A不正確；對(duì)選項(xiàng)B，不妨設(shè)在雙曲線的右支上，因?yàn)椋瑒t，由于，，所以，，由得，化簡(jiǎn)可得，即，故B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由于，由柯西不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由于，所以等號(hào)不成立，則的無(wú)最小值，故C不正確；對(duì)選項(xiàng)D，由于,由柯西不等式，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以最大值為,故D正確.故選：D二、多選題（本大題共4小題，每小題5分．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是A.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面C.設(shè)，，是空間中的一組基底，則，，也是空間的一組基底D若，則，是鈍角【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)共線向量的概念，可判定A是正確的；根據(jù)空間向量的基本定理，可判定B是正確的；根據(jù)空間基底的概念，可判定C正確；根據(jù)向量的夾角和數(shù)量積的意義，可判定D不正確.【詳解】對(duì)于A中，根據(jù)共線、共面向量的概念，可知空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面，所以是正確的；對(duì)于B中，若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，根據(jù)空間向量的共面定理的推論，可得P，A，B，C四點(diǎn)一定共面，所以是正確的；對(duì)于C中，由是空間中的一組基底，則向量不共面，可得向量也不共面，所以也是空間的一組基底，所以是正確的；對(duì)于D中，若，又由，所以，所以不正確，故選∶ABC.10.已知直線，其中為常數(shù)，與的交點(diǎn)為，則（）A.對(duì)任意實(shí)數(shù) B.不存在點(diǎn)，使得為定值C.存在，使得點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3 D.到的最大距離為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，由即可判斷得；對(duì)于B，結(jié)合選項(xiàng)A中的結(jié)論，得到M在圓上，由此可求得點(diǎn)P使得為定值；對(duì)于C，利用選項(xiàng)B中的結(jié)論，結(jié)合點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最小值即可判斷；對(duì)于D，利用直線到圓上點(diǎn)的距離的最大值即可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，則，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，即，易得直線過(guò)定點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)榕c的交點(diǎn)為M，則M在以AB為直徑的圓上，而AB的中點(diǎn)為，且，故點(diǎn)M在圓：上，故取點(diǎn)P坐標(biāo)為，此時(shí)為定值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，圓的半徑為，故M到原點(diǎn)取值范圍為，且，所以存在實(shí)數(shù)a，使得M到原點(diǎn)的距離為3，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)O，所以當(dāng)，且M在直線OC上時(shí)，點(diǎn)M到的距離最大且最大值為，故D正確．故選：ACD．11.已知數(shù)列滿足，，則的值可能為（）A.1 B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】化簡(jiǎn)原式得到的兩種對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后分類討論的通項(xiàng)公式，由此可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以或，?dāng)時(shí)，是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，所以；當(dāng)時(shí)，可得，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，，成立，當(dāng)，假設(shè)成立，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，成立，由上可知，成立，此時(shí)；當(dāng)，均在數(shù)列中出現(xiàn)時(shí)，由可得，B選項(xiàng)不可能；當(dāng)，時(shí)，最大，此時(shí)，，故C不可能.故選：AD.12.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個(gè)三次多項(xiàng)式函數(shù)的圖象都只有一個(gè)對(duì)稱中心點(diǎn)，其中是的根，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)．若函數(shù)圖象的對(duì)稱點(diǎn)為，且不等式對(duì)任意恒成立，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C.的值可能是 D.的值可能是【答案】ABC【解析】【分析】先根據(jù)題意求出的解析式，再對(duì)不等式分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，通過(guò)同構(gòu)和切線不等式放縮得到即可求解.【詳解】由題意可得，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以．因?yàn)?，所以等價(jià)于對(duì)任意恒成立．令，則.設(shè)，則，從而在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，即，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），從而，所以．故選：ABC．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：分離參數(shù)法破解不等式的恒成立問(wèn)題的步驟：第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分）13.已知等差數(shù)列滿足，則的值為_(kāi)____________________．【答案】3【解析】分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，則，所以.故答案為：3.14.已知為所在平面外一點(diǎn)，是中點(diǎn)，是上一點(diǎn)．若平面，則的值為_(kāi)________________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)得出線線平行，從而得出結(jié)果.【詳解】如圖，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)?，E為AD的中點(diǎn)，則，又因?yàn)镻A∥平面EBF，平面EBF平面PAC，PA平面PAC，則PA∥OF，所以.故答案為：.15.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓和拋物線交于點(diǎn)A，，點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)．若四點(diǎn)共圓，則橢圓離心率為_(kāi)___．【答案】##【解析】【分析】分別求出O、A、P坐標(biāo)，利用四點(diǎn)共圓可以得到，解方程即可.【詳解】如圖所示，，，，則，，因?yàn)镺、A、P、B四點(diǎn)共圓，又點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則，則，將代入得，，由解得，，代入橢圓方程，可得，整理得，所以，即.故答案為：.16.已知函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】由可得，令，則直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，因?yàn)?，令，即，可得，令，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，作出函數(shù)在上圖象，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，且，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，此時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，合乎題意.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查極值點(diǎn)問(wèn)題.根據(jù)題意函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即，即有兩個(gè)不同的根，即直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可判斷求解.四、解答題（本大題共6小題，第17小題10分，第1822小題每題12分）17.公差不為零的等差數(shù)列中，是和的等比中項(xiàng)，且該數(shù)列前項(xiàng)之和為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)之和的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）解不等式，得出滿足條件的正整數(shù)的最大值，再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得的最小值.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，因?yàn)槭呛偷牡缺戎许?xiàng)，則，即，即，整理可得，①又因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，可得②，解得，，所以，.【小問(wèn)2詳解】解：由，可得，而，所以，滿足條件的的最大值為，因此，數(shù)列的前項(xiàng)之和的最小值為.18.已知函數(shù)．（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）試討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由題意可知：在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)分析求解；（2）分和兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及二次不等式分析求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可得：，若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，且，則，且在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值，可得，即，所以的取值范圍.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得：，且，當(dāng)，即時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，令，解得或；令，解得；所以在，上單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，所以在，上單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.19.如圖在平行六面體中，，．（1）求證：直線平面；（2）求直線和夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，，，則為空間的一個(gè)基底，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算得出，，，再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算得出，，從而得出，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明直線平面；（2）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算得出，再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求得和，，最后根據(jù)異面直線的夾角公式，即可求出直線和夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，，，則為空間的一個(gè)基底，且，，，因?yàn)?，，則，，可得，，即，且，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，則，，即，則，即，設(shè)與的夾角為，則，所以直線和夾角的余弦值為.20.已知函數(shù)，其最小值為．（1）求的值；（2）若關(guān)于的方程恰有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的范圍．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)再求出最值求參即可；（2）先把函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)再結(jié)合單調(diào)性及值域求參即可.【小問(wèn)1詳解】因，所以，當(dāng)，則，可知單調(diào)遞增；當(dāng)，則，可知單調(diào)遞減；則最小值在處取到，可得，解得，所以的值為1.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，顯然不是方程的根，則.令，則，當(dāng)，則，可知在和上單調(diào)遞增；當(dāng)，則，可知在和上單調(diào)遞減；可知，，，，且，，若有1個(gè)不同實(shí)根，即使與有一個(gè)交點(diǎn)即可，可知或或，所以實(shí)數(shù)的范圍為.21.如圖，圓臺(tái)的上、下底面圓半徑分別為1，2，圓臺(tái)的高為，是下底面圓的一條直徑，點(diǎn)在圓上，且，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)（與在的兩側(cè)），是圓臺(tái)的母線，．（1）求的長(zhǎng)；（2）求平面和平面的夾角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓臺(tái)的性質(zhì)可得平面，從而得到，再由，得到平面，即可得到，從而得到，再由銳角三角函數(shù)求出，即可得到為等邊三角形，從而得解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】依題意平面，平面，則，且，與相交，，平面，所以平面，由平面，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，，所以，則，所以，所以為等邊三角形，則，可知關(guān)于對(duì)稱，所以.【小問(wèn)2詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由，所以，可得，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.22.如圖，設(shè)P是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是點(diǎn)P在x軸上的投影