2023-2024學年江蘇省南京市玄武區(qū)八年級（下）期中數學試卷（含解析）

2023-2024學年江蘇省南京市玄武區(qū)八年級（下）期中數學試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分.在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．（2分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列說法正確的是（）A．“任意畫一個多邊形，其內角和是360°”是必然事件 B．已知某籃球運動員投籃投中的概率為0.6，則他投籃十次可投中6次 C．“從一副撲克牌（含大小王）中抽一張，恰好是紅心A”是不可能事件 D．“在數軸上任取一點，則這點表示的數是有理數”是隨機事件3．（2分）如果把分式中的x、y都擴大為原來的3倍，則此分式的值（）A．變?yōu)樵瓉淼?倍 B．變?yōu)樵瓉淼?C．不變 D．變?yōu)樵瓉淼?倍4．（2分）下列等式成立的是（）A． B． C． D．5．（2分）以下命題中，真命題是（）A．對角線互相垂直的四邊形是菱形 B．矩形和等邊三角形都是中心對稱圖形 C．順次連接梯形四邊中點得到的四邊形是平行四邊形 D．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形6．（2分）如圖，菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，折疊菱形紙片ABCD，使點C落在DP（P為AB中點）所在的直線上，得到經過點D的折痕DE．則∠DEC的大小為（）A．78° B．75° C．60° D．45°7．（2分）如圖．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，點D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，連接MN，則線段MN的最小值為（）A．4.8 B．5 C．3.6 D．5.48．（2分）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB、AC上的點，小明學習完三角形中位線后，進行了一些思考，得到以下命題：①若D，E分別是AB，AC的中點，則S△ABC＝4S△ADE；②若D是AB的中點，DE∥BC，則S△ABC＝4S△ADE；③若D是AB的中點，DE＝BC，則S△ABC＝4S△ADE；④若DE∥BC，DE＝BC，則S△ABC＝4S△ADE；上述命題正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）9．（2分）為了解2023年某區(qū)八年級學生學業(yè)水平考試的數學成績，從中隨機抽取了500名學生的數學成績，在這次調查中，樣本容量為．10．（2分）與的最簡公分母為．11．（2分）當a＝時，分式的值為零．12．（2分）某校有40人參加全國數學競賽，把他們的成績分為6組，第一至第四組的頻數分別為10，5，7，6，第五組的頻率是0.20．則第六組的頻率是．13．（2分）用反證法證明“三角形中最多有一個內角是直角”，應假設．14．（2分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分線BE，CF分別與AD相交于點E，F，若AB＝7，BC＝10，則EF的長為．15．（2分）如圖，在△ABC中，∠A＝56°，將△ABC繞點B旋轉得到△A′BC′，且點A′落在AC邊上，則∠CA'C'＝°．16．（2分）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應滿足的一個條件是．17．（2分）把圖1中的菱形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個直角三角形分別拼成如圖2，圖3所示的正方形，如果圖2和圖3每個圖形中間的正方形面積分別為7和1，則圖1中菱形的面積為．18．（2分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，PD＝2，點E為CD邊上的一個動點，連接PE，以PE為邊向下方作等邊△PEG，連接AG，則AG的最小值是．三、解答題（本大題共9小題，共64分）19．（8分）計算：（1）；（2）．20．（6分）先化簡，再求值：，然后從1，2，3中選一個合適的數代入求值．21．（6分）2023年3月22日是第三十一屆“世界水日”，某校舉行了水資源保護知識競賽．為了了解本次知識競賽成績的分布情況，從參賽學生中隨機抽取了150名學生的初賽成績進行統(tǒng)計，得到如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表．成績x/分頻數頻率60≤x＜70150.170≤x＜80a0.280≤x＜9060b90≤x＜10045c（1）表中a＝，b＝，c＝；（2）請補全頻數分布直方圖；（3）若該校共有360名學生，估計在知識競賽中取得90分以上的學生大約有多少名？22．（5分）在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共30只，這些球除顏色外其余完全相同．攪勻后，小明做摸球試驗，他從盒子里隨機摸出一只球記下顏色后，再把球放回盒子中，不斷重復上述過程，下表是實驗中的一組統(tǒng)計數據．摸球的次數n10020030050080010003000摸到白球的次數m521381783024815991803摸到白球的頻率0.520.690.5930.6040.600.5990.601（1）若從盒子里隨機摸出一只球，則摸到白球的概率的估計值為（精確到0.1）；（2）盒子里白色的球有只；（3）若將m個完全一樣的白球放入這個盒子里并搖勻，隨機摸出1個球是白球的概率是0.8，求m的值．23．（6分）如圖，在平行四邊形ABCD中點E、F分別在BC，AD上且AF＝CE．連接EF、BD．試說明EF與BD互相平分．24．（8分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E為AB上一點．（1）如圖①，只用無刻度直尺在CD上作出點F，使得四邊形AECF為平行四邊形；（2）如圖②，用直尺和圓規(guī)作出矩形EFGH，使得點F、G、H分別在BC、CD、DA上．（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）25．（8分）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，將△COD沿CD所在直線折疊，得到△CED．（1）求證：四邊形OCED是菱形；（2）若AB＝2，當四邊形OCED是正方形時，OC的長是；（3）若BD＝4，∠ACD＝30°，P是CD邊上的動點，Q是CE邊上的動點，PE+PQ的最小值是．26．（8分）先閱讀下面的材料，然后回答問題：閱讀材料一：方程的解為x1＝2，；方程的解為x1＝3，；方程的解為x1＝4，；…閱讀材料二：在處理分式問題時，當分子的次數不低于分母的次數，運算時我們可以將分式拆分成一個整式和一個分式（分子為正數）的和（差）的形式．如：；再如：．（1）根據上面材料一的規(guī)律，猜想關于x的方程的解是；（2）根據材料二將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和的形式x+＝+，利用（1）的結論得到關于x的方程的解是；（3）利用上述材料及（1）的結論解關于x的方程：．27．（9分）如圖，取一張矩形的紙進行折疊，具體操作過程如下：（1）【探究發(fā)現】：操作一：先把矩形ABCD對折，折痕為EF；操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內部點M處，連接PM，BM．根據以上操作，當點M在EF上時，寫出圖1中∠ABP＝°；（2）【類比應用】：小明將矩形紙片換成邊長為4cm的正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ．①如圖2，當點M在EF上時，∠MBQ＝°，CQ＝；②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數量關系，并說明理由．（3）【拓展延伸】：在（2）的探究中，當QF＝1cm，請直接寫出AP的長．

2023-2024學年江蘇省南京市玄武區(qū)八年級（下）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分.在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．【分析】根據中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．【解答】解：A．該圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；B．該圖既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意；C．該圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；D．該圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意．故選：B．【點評】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，把一個圖形繞某一點旋轉180度，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱；熟練掌握知識點是解題的關鍵．2．【分析】根據概率的意義，隨機事件，必然事件，不可能事件的特點，即可解答．【解答】解：A、“任意畫一個多邊形，其內角和是360°”是隨機事件，故A不符合題意；B、已知某籃球運動員投籃投中的概率為0.6，則他投籃十次不一定投中6次，故B不符合題意；C、“從一副撲克牌（含大小王）中抽一張，恰好是紅心A”是隨機事件，故C不符合題意；D、“在數軸上任取一點，則這點表示的數是有理數”是隨機事件，故D符合題意；故選：D．【點評】本題考查了概率的意義，隨機事件，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的特點是解題的關鍵．3．【分析】當把分式中的x、y都擴大為原來的3倍得到，根據分式的基本性質得．【解答】解：根據題意＝，所以把分式中的x、y都擴大為原來的3倍，此分式的值不變．故選：C．【點評】本題考查了分式的基本性質：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一個不為零的數，分式的值不變．4．【分析】根據分式的運算即可求出答案．【解答】解：（A）原式＝，故A錯誤；（C）是最簡分式，故C錯誤；（D）原式＝，故D錯誤；故選：B．【點評】本題考查分式的運算，解題的關鍵是熟練運用分式的運算，本題屬于基礎題型．5．【分析】根據菱形的判定、中心對稱圖形的概念、平行四邊形的判定判斷即可．【解答】解：A、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故本選項說法是假命題，不符合題意；B、矩形是中心對稱圖形，而等邊三角形不是中心對稱圖形，故本選項說法是假命題，不符合題意；C、順次連接梯形四邊中點得到的四邊形是平行四邊形，是真命題，符合題意；D、一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形或梯形，故本選項說法是假命題，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．6．【分析】連接BD，由菱形的性質及∠A＝60°，得到三角形ABD為等邊三角形，P為AB的中點，利用三線合一得到DP為角平分線，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，進而求出∠PDC＝90°，由折疊的性質得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的內角和定理即可求出所求角的度數．【解答】解：連接BD，∵四邊形ABCD為菱形，∠A＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵P為AB的中點，∴DP為∠ADB的平分線，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折疊的性質得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．故選：B．【點評】此題考查了翻折變換（折疊問題），菱形的性質，等邊三角形的性質，以及內角和定理，熟練掌握折疊的性質是解本題的關鍵．7．【分析】由勾股定理求出BC的長，再證明四邊形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根據垂線段最短和三角形面積即可解決問題．【解答】解：∵∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，∴，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四邊形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴當AD⊥BC時，AD的值最小，此時，，∴，∴MN的最小值為4.8，故選：A．【點評】本題主要考查了矩形的判定和性質、勾股定理、三角形面積、垂線段最短等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．8．【分析】逐一分析①②④是真命題，舉反例說明③不是真命題即可．【解答】解：①若D，E分別是AB，AC的中點，則S△ABC＝4S△ADE，是真命題；②若D是AB的中點，DE∥BC，則S△ABC＝4S△ADE，是真命題；③若D是AB的中點，，則S△ABC＝4S△ADE，不是真命題，反例見圖；④若DE∥BC，，則S△ABC＝4S△ADE，是真命題；故選：B．【點評】本題主要考查了命題的真假，解題關鍵是正確區(qū)分命題的真假．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）9．【分析】根據樣本容量則是指樣本中個體的數目，可得答案．【解答】解：為了解2023年某區(qū)八年級學生學業(yè)水平考試的數學成績，從中隨機抽取了500名學生的數學成績，在這次調查中，樣本容量為500，故答案為：500．【點評】本題考查了樣本容量，解題要分清具體問題中的總體、個體與樣本，關鍵是明確考查的對象．總體、個體與樣本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大小．樣本容量是樣本中包含的個體的數目，不能帶單位．10．【分析】根據最簡公分母的定義求解即可，確定最簡公分母的一般方法：①如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各項系數的最小公倍數和所有字母的最高次冪的積，②如果各分母都是多項式，先把它們分解因式，然后把每個因式當做一個字母，再從系數、相同字母求最簡公分母．【解答】解：分式與的最簡公分母為2a2b2c．故答案為：2a2b2c．【點評】本題考查了最簡公分母，掌握確定最簡公分母的方法是解題的關鍵．11．【分析】首先求出使分子為0的字母的值，再檢驗求得的這個字母的值是否使分母的值不為0．當該值能使分母的值不為0時，就是所要求的字母的值．【解答】解：由分式的值為零，得3﹣|a|＝0，且6+2a≠0，解得a＝3．所以當a＝3時，分式的值為零．故答案為：3．【點評】本題主要考查分式的值為零的條件，分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．12．【分析】先求出第五組的頻數是8，從而求出第六組的頻數，最后求出第六組的頻率即可解答．【解答】解：由題意得：40×0.2＝8，∴第五組的頻數是8，∴40﹣10﹣5﹣7﹣6﹣8＝4，∴4÷40＝0.1，∴第六組的頻率是：0.1，故答案為：0.1．【點評】本題考查了頻率與頻數，熟練掌握頻率等于頻數÷總次數是解題的關鍵．13．【分析】根據反證法的一般步驟，先假設結論不成立．【解答】解：用反證法證明“三角形中最多有一個內角是直角”，應假設三角形中最少有兩個內角是直角，故答案為：三角形中最少有兩個內角是直角．【點評】本題考查的是反證法的應用，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．14．【分析】證出∠ABE＝∠AEB，則AB＝AE，同理DF＝CD，則AE＝DF，進而得出EF的長．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝7，AD∥BC，AD＝BC＝10，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝7，同理DF＝CD，∴AE＝DF，即AE﹣EF＝DF﹣EF，∴AF＝DE，∵AB＝7，BC＝10，∴DE＝AD﹣AE＝10﹣7＝4，∴EF＝DF﹣DE＝7﹣3＝4．故答案為：4．【點評】本題考查了平行四邊形的性質，平行線的性質，角平分線的性質，等腰三角形的判定等知識；熟練掌握平行四邊形的性質，證出AE＝DF是解此題的關鍵．15．【分析】根據旋轉的性質得出AB＝A'B，∠C'A'B＝∠A＝56°，再根據平角的定義即可求解．【解答】解：∵將△ABC繞點B旋轉得到△A′BC′，∴AB＝A'B，∠C'A'B＝∠A＝56°，∴∠BA'A＝∠A＝56°，∴∠CA'C'＝180°﹣∠BA'C'﹣∠BA'A＝180°﹣112°＝68°，故答案為：68．【點評】本題考查了旋轉的性質，明確旋轉前后對應角相等，對應邊相等是解題的關鍵．16．【分析】菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：①定義；②四邊相等；③對角線互相垂直平分．據此四邊形ABCD還應滿足的一個條件是AD＝BC．等．答案不唯一．【解答】解：條件是AD＝BC．∵EH、GF分別是△ABC、△BCD的中位線，∴EH∥＝BC，GF∥＝BC，∴EH∥＝GF，∴四邊形EFGH是平行四邊形．要使四邊形EFGH是菱形，則要使AD＝BC，這樣，GH＝AD，∴GH＝GF，∴四邊形EFGH是菱形．【點評】此題主要考查三角形的中位線定理和菱形的判定．17．【分析】設菱形中的直角三角形較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，根據勾股定理和正方形的面積列出二元二次方程組，求出ab＝3，即可解決問題．【解答】解：設菱形中的直角三角形較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，由題意得：，整理得：ab＝3，∴菱形的面積為?2a?2b＝2ab＝6，故答案為：6．【點評】本題考查了菱形的性質以及勾股定理等知識，根據勾股定理和正方形的面積列出方程組是解題的關鍵．18．【分析】以PD為邊向下作等邊△PDT，連接GT，延長GT交AD的延長線于R．證明△PDE≌△PTG（SAS），推出∠PDE＝∠PTG＝90°，推出點G在射線RT上運動，推出當AG⊥RG時，AG的值最?。窘獯稹拷猓喝鐖D中，以PD為邊向下作等邊△PDT，連接GT，延長GT交AD的延長線于R．∵∠DPT＝∠EPG＝60°，∴∠DPE＝∠TPG，∵PD＝PT，PE＝PG，∴△PDE≌△PTG（SAS），∴∠PDE＝∠PTG＝90°，∴∠PTR＝90°，∵∠PTD＝60°，∴∠DTR＝∠R＝30°，∴DT＝DR＝DP＝2，∴∠PTR＝90°，∴PT⊥TR，∴點G在射線RT上運動，∴當AG⊥RG時，AG的值最小，最小值＝AR＝，故答案為：．【點評】本題考查了矩形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．三、解答題（本大題共9小題，共64分）19．【分析】（1）首先通分，然后根據同分母分式加減法的運算方法計算即可；（2）首先計算小括號里面的減法，然后計算小括號外面的除法即可．【解答】解：（1）＝﹣＝＝＝﹣1．（2）＝÷＝÷＝×＝．【點評】此題主要考查了分式的混合運算，解答此題的關鍵是要明確：分式的混合運算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．20．【分析】根據分式的減法法則、除法法則把原式化簡，根據分式有意義的條件確定x的值，代入計算即可．【解答】解：原式＝（﹣）?＝?＝，由題意得：m﹣2≠0，m﹣3≠0，∴m≠2，m≠3，當m＝1時，原式＝＝﹣．【點評】本題考查的是分式的化簡求值、分式有意義的條件，掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．21．【分析】（1）由抽取的人數減去其它三個組的頻數得出a的值，再由頻率的定義求出b、c即可；（2）由（1）中a的值，補全頻數分布直方圖即可；（3）用360乘樣本中90分以上的學生的頻率即可．【解答】解：（1）由題意得：a＝150﹣15﹣45﹣60＝30，c＝45÷150＝0.3，b＝60÷150＝0.4，故答案為：30，0.4，0.3；（2）補全頻數分布直方圖如下：（3）360×0.4＝144（名），答：估計在知識競賽中取得90分以上的學生大約有144名．【點評】本題考查頻數分布直方圖、頻數分布表、用樣本估計總體，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．22．【分析】（1）由表中n的最大值所對應的頻率即為所求；（2）用總數乘以其頻率即可求得頻數；（3）利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）由表可知，若從盒子里隨機摸出一只球，則摸到白球的概率的估計值為0.6，故答案為：0.6；（2）∵摸到白球的概率為0.6，共有30只球，∴則白球的個數為30×0.6＝18（只），故答案為：18；（3）根據題意得：＝0.8，解得：m＝30．答：m的值為30．【點評】此題考查利用頻率估計概率．大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識點為：部分的具體數目＝總體數目×相應頻率．23．【分析】證明△FDO≌△EBO（AAS），推出OF＝OE，OD＝OB，可得結論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠FDO＝∠EBO，∵AF＝CE，∴DF＝BE，在△FDO和△EBO中，，∴△FDO≌△EBO（AAS），∴OF＝OE，OD＝OB，∴EF與BD互相平分．【點評】本題考查平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．24．【分析】（1）連接AC，BD交于點O，連接OE，延長EO交CD于點F，點F即為所求作．（2）連接AC，BD交于點O，連接OE，延長EO交CD于點G，以O為圓心OG為半徑作弧交BC于點F，延長FO交AD于點H，連接EF，FG，GH，EH，四邊形EFGH即為所求．【解答】解：（1）如圖1，點F，四邊形AECF即為所求作．（2）如圖2，四邊形EFGH即為所求作．理由：由△AOE≌△COF，可得OE＝OF，由△AOH≌△COF．可得OH＝OF，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵OG＝OF，∴FH＝EG，∴四邊形EFGH是矩形．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，平行四邊形的性質，菱形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．25．【分析】（1）由軸對稱的性質得出OD＝ED，EC＝OC，根據四邊相等的四邊形是菱形即可判斷．（2）矩形的性質求出CD＝AB＝2，由勾股定理求解即可．（3）作OQ⊥CE于Q，交CD于P，此時PE+PQ的值最小為OQ的長；由折疊的性質得出∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，得出PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，由直角三角形的性質得出CQ＝OC＝1，OQ＝CQ＝即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC與BD相等且互相平分，∴OC＝OD，∵△COD關于CD的對稱圖形為△CED，∴OD＝ED，EC＝OC，∴OD＝ED＝EC＝OC，∴四邊形OCED是菱形．（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2．∵四邊形OCED是正方形，∴∠COD＝90°．在直角△COD中，由勾股定理得OC2+OD2＝22，∵OD＝OC，∴OC＝．故答案為：；（3）解：作OQ⊥CE于Q，交CD于P，如圖所示：此時PE+PQ的值最小為；理由如下：∵△COD沿CD所在直線折疊，得到△CED，∴∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，∴PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，∵AC＝BD＝4，∴OC＝OD＝2，∴∠DCO＝∠ACD＝30°，∴∠DCE＝30°，∴∠OCQ＝60°，∴∠COQ＝30°，∴CQ＝OC＝1，OQ＝CQ＝，即PE+PQ的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查了四邊形綜合題，綜合運用了翻折變換的性質、矩形的性質、菱形的判定和性質、正方形的判定、勾股定理以及垂線段最短等知識，熟練掌握翻折變換的性質和菱形的判定與性質是解題的關鍵．26．【分析】（1）從數字找規(guī)律，即可解答；（2）將x+進行變形可得＝（x+1）+；，則方程變形為（x+1）+＝3+，然后利用（1）的結論進行計算，即可解答；（3）依據題意，將原方程化為（2x﹣3）+＝a+，然后利用（1）的結論進行計算，即可解答．【解答】解：（1）根據上面的規(guī)律，猜想關于x的方程的解是x1＝a，x2＝，故答案為：x1＝a，x2＝；（2）x+＝x+1﹣1+＝x+1+＝（x+1）+；則，（x+1）+＝3+，∴x+1＝3或x+1＝，∴x1＝2，x2＝﹣，經檢驗：x1＝2，x2＝﹣是原方程的根；故答案為：x+1，，x1＝2，x2＝﹣；（3），＝a+，＝a+，（2x﹣3）+＝a+，∴2x﹣3＝a或2x﹣3＝．∴x1＝，x2＝．經檢驗：x1＝，x2