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甘肅省武威第九中學(xué)2023-2024學(xué)年中考數(shù)學(xué)最后一模試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1.如圖所示的幾何體,它的左視圖是()A. B. C. D.2.對(duì)于代數(shù)式ax2+bx+c(a≠0),下列說(shuō)法正確的是()①如果存在兩個(gè)實(shí)數(shù)p≠q,使得ap2+bp+c=aq2+bq+c,則a+bx+c=a(x-p)(x-q)②存在三個(gè)實(shí)數(shù)m≠n≠s,使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c③如果ac<0,則一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m<n,使am2+bm+c<0<an2+bn+c④如果ac>0,則一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m<n,使am2+bm+c<0<an2+bn+cA.③ B.①③ C.②④ D.①③④3.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ABC+∠DCB=90°,且BC=2AD,分別以AB、BC、DC為邊向外作正方形,它們的面積分別為S1、S2、S1.若S2=48,S1=9,則S1的值為()A.18 B.12 C.9 D.14.二元一次方程組的解為()A. B. C. D.5.甲、乙兩人同時(shí)分別從A,B兩地沿同一條公路騎自行車(chē)到C地.已知A,C兩地間的距離為110千米,B,C兩地間的距離為100千米.甲騎自行車(chē)的平均速度比乙快2千米/時(shí).結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)C地.求兩人的平均速度,為解決此問(wèn)題,設(shè)乙騎自行車(chē)的平均速度為x千米/時(shí).由題意列出方程.其中正確的是()A. B. C. D.6.如圖,△ABC為鈍角三角形,將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°得到△AB′C′,連接BB′,若AC′∥BB′,則∠CAB′的度數(shù)為()A.45° B.60° C.70° D.90°7.用半徑為8的半圓圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面,則圓錐的底面半徑等于()A.4 B.6 C.16π D.88.小明要去超市買(mǎi)甲、乙兩種糖果,然后混合成5千克混合糖果,已知甲種糖果的單價(jià)為a元/千克,乙種糖果的單價(jià)為b元/千克,且a>b.根據(jù)需要小明列出以下三種混合方案:(單位:千克)甲種糖果乙種糖果混合糖果方案1235方案2325方案32.52.55則最省錢(qián)的方案為()A.方案1 B.方案2C.方案3 D.三個(gè)方案費(fèi)用相同9.某校在國(guó)學(xué)文化進(jìn)校園活動(dòng)中,隨機(jī)統(tǒng)計(jì)50名學(xué)生一周的課外閱讀時(shí)間如表所示,這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是()學(xué)生數(shù)(人)5814194時(shí)間(小時(shí))678910A.14,9 B.9,9 C.9,8 D.8,910.某市今年1月份某一天的最高氣溫是3℃,最低氣溫是—4℃,那么這一天的最高氣溫比最低氣溫高A.—7℃ B.7℃ C.—1℃ D.1℃二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11.計(jì)算:3﹣1﹣30=_____.12.如圖,正方形ABCD內(nèi)有兩點(diǎn)E、F滿足AE=1,EF=FC=3,AE⊥EF,CF⊥EF,則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為_(kāi)____.13.一個(gè)不透明的袋子中裝有6個(gè)球,其中2個(gè)紅球、4個(gè)黑球,這些球除顏色外無(wú)其他差別.現(xiàn)從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球,則它是黑球的概率是______.14.關(guān)于的分式方程的解為負(fù)數(shù),則的取值范圍是_________.15.當(dāng)x=_____時(shí),分式值為零.16.如圖,已知,第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=的圖象上,第四象限內(nèi)的點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=的圖象上.且OA⊥OB,∠OAB=60°,則k的值為_(kāi)________.17.如圖,等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為4,面積是12,腰AB的垂直平分線EF分別交AB,AC于點(diǎn)E、F,若點(diǎn)D為底邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn),則△BDM的周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)____.三、解答題(共7小題,滿分69分)18.(10分)如圖,中,,于,,為邊上一點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí),直接寫(xiě)出,.(2)如圖1,當(dāng),時(shí),連并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于,求證:.(3)如圖2,連交于,當(dāng)且時(shí),求的值.19.(5分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4).點(diǎn)A在DE上,以A為頂點(diǎn)的拋物線過(guò)點(diǎn)C,且對(duì)稱軸x=1交x軸于點(diǎn)B.連接EC,AC.點(diǎn)P,Q為動(dòng)點(diǎn),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)求拋物線的解析式.(2)在圖①中,若點(diǎn)P在線段OC上從點(diǎn)O向點(diǎn)C以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q在線段CE上從點(diǎn)C向點(diǎn)E以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)t為何值時(shí),△PCQ為直角三角形?(3)在圖②中,若點(diǎn)P在對(duì)稱軸上從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)B以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)P做PF⊥AB,交AC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G,交拋物線于點(diǎn)Q,連接AQ,CQ.當(dāng)t為何值時(shí),△ACQ的面積最大?最大值是多少?20.(8分)已知△ABC中,AD是∠BAC的平分線,且AD=AB,過(guò)點(diǎn)C作AD的垂線,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.(1)如圖1,若∠BAC=60°.①直接寫(xiě)出∠B和∠ACB的度數(shù);②若AB=2,求AC和AH的長(zhǎng);(2)如圖2,用等式表示線段AH與AB+AC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.21.(10分)如圖,在矩形ABCD的外側(cè),作等邊三角形ADE,連結(jié)BE,CE,求證:BE=CE.22.(10分)如圖,在△ABC中,AB=AC,若將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EFC,連接AF、BE.(1)求證:四邊形ABEF是平行四邊形;(2)當(dāng)∠ABC為多少度時(shí),四邊形ABEF為矩形?請(qǐng)說(shuō)明理由.23.(12分)某景區(qū)在同一線路上順次有三個(gè)景點(diǎn)A,B,C,甲、乙兩名游客從景點(diǎn)A出發(fā),甲步行到景點(diǎn)C;乙花20分鐘時(shí)間排隊(duì)后乘觀光車(chē)先到景點(diǎn)B,在B處停留一段時(shí)間后,再步行到景點(diǎn)C.甲、乙兩人離景點(diǎn)A的路程s(米)關(guān)于時(shí)間t(分鐘)的函數(shù)圖象如圖所示.甲的速度是______米/分鐘;當(dāng)20≤t≤30時(shí),求乙離景點(diǎn)A的路程s與t的函數(shù)表達(dá)式;乙出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間與甲在途中相遇?若當(dāng)甲到達(dá)景點(diǎn)C時(shí),乙與景點(diǎn)C的路程為360米,則乙從景點(diǎn)B步行到景點(diǎn)C的速度是多少?24.(14分)為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校開(kāi)展“經(jīng)典誦讀”比賽活動(dòng),誦讀材料有《論語(yǔ)》、《大學(xué)》、《中庸》(依次用字母A,B,C表示這三個(gè)材料),將A,B,C分別寫(xiě)在3張完全相同的不透明卡片的正面上,背面朝上洗勻后放在桌面上,比賽時(shí)小禮先從中隨機(jī)抽取一張卡片,記下內(nèi)容后放回,洗勻后,再由小智從中隨機(jī)抽取一張卡片,他倆按各自抽取的內(nèi)容進(jìn)行誦讀比賽.小禮誦讀《論語(yǔ)》的概率是;(直接寫(xiě)出答案)請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求他倆誦讀兩個(gè)不同材料的概率.
參考答案一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1、D【解析】分析:根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖,可得答案.詳解:從左邊看是等長(zhǎng)的上下兩個(gè)矩形,上邊的矩形小,下邊的矩形大,兩矩形的公共邊是虛線,故選D.點(diǎn)睛:本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖,從左邊看得到的圖形是左視圖.2、A【解析】設(shè)(1)如果存在兩個(gè)實(shí)數(shù)p≠q,使得ap2+bp+c=aq2+bq+c,則說(shuō)明在中,當(dāng)x=p和x=q時(shí)的y值相等,但并不能說(shuō)明此時(shí)p、q是與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),故①中結(jié)論不一定成立;(2)若am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c,則說(shuō)明在中當(dāng)x=m、n、s時(shí),對(duì)應(yīng)的y值相等,因此m、n、s中至少有兩個(gè)數(shù)是相等的,故②錯(cuò)誤;(3)如果ac<0,則b2-4ac>0,則的圖象和x軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以此時(shí)一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m<n,使am2+bm+c<0<an2+bn+c,故③在結(jié)論正確;(4)如果ac>0,則b2-4ac的值的正負(fù)無(wú)法確定,此時(shí)的圖象與x軸的交點(diǎn)情況無(wú)法確定,所以④中結(jié)論不一定成立.綜上所述,四種說(shuō)法中正確的是③.故選A.3、D【解析】
過(guò)A作AH∥CD交BC于H,根據(jù)題意得到∠BAE=90°,根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.【詳解】∵S2=48,∴BC=4,過(guò)A作AH∥CD交BC于H,則∠AHB=∠DCB.∵AD∥BC,∴四邊形AHCD是平行四邊形,∴CH=BH=AD=2,AH=CD=1.∵∠ABC+∠DCB=90°,∴∠AHB+∠ABC=90°,∴∠BAH=90°,∴AB2=BH2﹣AH2=1,∴S1=1.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理,正方形的性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì),正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.4、C【解析】
利用加減消元法解這個(gè)二元一次方程組.【詳解】解:①-②2,得:y=-2,將y=-2代入②,得:2x-2=4,解得,x=3,所以原方程組的解是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組和解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn),解此題的關(guān)鍵是把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程,題目比較典型,難度適中.5、A【解析】設(shè)乙騎自行車(chē)的平均速度為x千米/時(shí),則甲騎自行車(chē)的平均速度為(x+2)千米/時(shí),根據(jù)題意可得等量關(guān)系:甲騎110千米所用時(shí)間=乙騎100千米所用時(shí)間,根據(jù)等量關(guān)系可列出方程即可.解:設(shè)乙騎自行車(chē)的平均速度為x千米/時(shí),由題意得:=,故選A.6、D【解析】已知△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)l20°得到△AB′C′,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAB′=∠CAC′=120°,AB=AB′,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得∠AB′B=(180°-120°)=30°,再由AC′∥BB′,可得∠C′AB′=∠AB′B=30°,所以∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′=120°-30°=90°.故選D.7、A【解析】
由于半圓的弧長(zhǎng)=圓錐的底面周長(zhǎng),那么圓錐的底面周長(zhǎng)為8π,底面半徑=8π÷2π.【詳解】解:由題意知:底面周長(zhǎng)=8π,∴底面半徑=8π÷2π=1.故選A.【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓錐側(cè)面展開(kāi)扇形與底面圓之間的關(guān)系,圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形,此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng),扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng),解決本題的關(guān)鍵是應(yīng)用半圓的弧長(zhǎng)=圓錐的底面周長(zhǎng).8、A【解析】
求出三種方案混合糖果的單價(jià),比較后即可得出結(jié)論.【詳解】方案1混合糖果的單價(jià)為,方案2混合糖果的單價(jià)為,方案3混合糖果的單價(jià)為.∵a>b,∴,∴方案1最省錢(qián).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了加權(quán)平均數(shù),求出各方案混合糖果的單價(jià)是解題的關(guān)鍵.9、C【解析】
解:觀察、分析表格中的數(shù)據(jù)可得:∵課外閱讀時(shí)間為1小時(shí)的人數(shù)最多為11人,∴眾數(shù)為1.∵將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列,第25個(gè)和第26個(gè)數(shù)據(jù)的均為2,∴中位數(shù)為2.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查(1)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù);(2)中位數(shù)的確定要分兩種情況:①當(dāng)數(shù)據(jù)組中數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí),把所有數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,中間的那個(gè)數(shù)就是中位數(shù);②當(dāng)數(shù)據(jù)組中數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí),把所有數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).10、B【解析】
求最高氣溫比最低氣溫高多少度,即是求最高氣溫與最低氣溫的差,這個(gè)實(shí)際問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為減法運(yùn)算,列算式計(jì)算即可.【詳解】3-(-4)=3+4=7℃.
故選B.二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11、﹣.【解析】
原式利用零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則計(jì)算即可求出值.【詳解】原式=﹣1=﹣.故答案是:﹣.【點(diǎn)睛】考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.12、【解析】分析:連接AC,交EF于點(diǎn)M,可證明△AEM∽△CMF,根據(jù)條件可求得AE、EM、FM、CF,再結(jié)合勾股定理可求得AB.詳解:連接AC,交EF于點(diǎn)M,∵AE丄EF,EF丄FC,∴∠E=∠F=90°,∵∠AME=∠CMF,∴△AEM∽△CFM,∴,∵AE=1,EF=FC=3,∴,∴EM=,F(xiàn)M=,在Rt△AEM中,AM2=AE2+EM2=1+=,解得AM=,在Rt△FCM中,CM2=CF2+FM2=9+=,解得CM=,∴AC=AM+CM=5,在Rt△ABC中,AB=BC,AB2+BC2=AC2=25,∴AB=,即正方形的邊長(zhǎng)為.故答案為:.點(diǎn)睛:本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及正方形的性質(zhì),構(gòu)造三角形相似利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得AC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵,注意勾股定理的應(yīng)用.13、【解析】
根據(jù)概率的概念直接求得.【詳解】解:4÷6=.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題用到的知識(shí)點(diǎn)為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.14、【解析】
分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,由分式方程的解為負(fù)數(shù),求出a的范圍即可【詳解】分式方程去分母得:2x+a=x+1解得:x=1-a,由分式方程解為負(fù)數(shù),得到1-a<0,且1-a≠-1解得:a>1且a≠2,故答案為:a>1且a≠2【點(diǎn)睛】此題考查分式方程的解,解題關(guān)鍵在于求出x的值再進(jìn)行分析15、﹣1.【解析】試題解析:分式的值為0,則:解得:故答案為16、-6【解析】如圖,作AC⊥x軸,BD⊥x軸,∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,∵∠OAC+∠AOC=90°,∠AOC+∠BOD=90°,∴∠OAC=∠BOD,∴△ACO∽△ODB,∴,∵∠OAB=60°,∴,設(shè)A(x,),∴BD=OC=x,OD=AC=,∴B(x,-),把點(diǎn)B代入y=得,-=,解得k=-6,故答案為-6.17、2【解析】
連接AD交EF與點(diǎn)M′,連結(jié)AM,由線段垂直平分線的性質(zhì)可知AM=MB,則BM+DM=AM+DM,故此當(dāng)A、M、D在一條直線上時(shí),MB+DM有最小值,然后依據(jù)要三角形三線合一的性質(zhì)可證明AD為△ABC底邊上的高線,依據(jù)三角形的面積為12可求得AD的長(zhǎng).【詳解】解:連接AD交EF與點(diǎn)M′,連結(jié)AM.∵△ABC是等腰三角形,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn),∴AD⊥BC,∴S△ABC=BC?AD=×4×AD=12,解得AD=1,∵EF是線段AB的垂直平分線,∴AM=BM.∴BM+MD=MD+AM.∴當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)M′處時(shí),MB+MD有最小值,最小值1.∴△BDM的周長(zhǎng)的最小值為DB+AD=2+1=2.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的周長(zhǎng)最值問(wèn)題,結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)以及中點(diǎn)的相關(guān)屬性進(jìn)行分析.三、解答題(共7小題,滿分69分)18、(1),;(2)證明見(jiàn)解析;(3).【解析】
(1)利用相似三角形的判定可得,列出比例式即可求出結(jié)論;(2)作交于,設(shè),則,根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式即可求出AH和EH,然后根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式即可得出結(jié)論;(3)作于,根據(jù)相似三角形的判定可得,列出比例式可得,設(shè),,,即可求出x的值,根據(jù)平行線分線段成比例定理求出,設(shè),,,然后根據(jù)勾股定理求出AC,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)如圖1中,當(dāng)時(shí),.,,,,,,.故答案為:,.(2)如圖中,作交于.,,∴tan∠B=,tan∠ACE=tan∠B=∴BE=2CE,,,設(shè),則,,,,,,,.(3)如圖2中,作于.,,,,,,,,,,,設(shè),,,則有,解得或(舍棄),,,,,,,,,,,設(shè),,,在中,,,,,.【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的應(yīng)用和銳角三角函數(shù),此題難度較大,掌握相似三角形的判定及性質(zhì)、平行線分線段成比例定理和利用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解決此題的關(guān)鍵.19、(1)y=﹣x2+2x+3;(2)當(dāng)t=或t=時(shí),△PCQ為直角三角形;(3)當(dāng)t=2時(shí),△ACQ的面積最大,最大值是1.【解析】
(1)根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸與矩形的性質(zhì)可得點(diǎn)A的坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線的解析式;(2)先根據(jù)勾股定理可得CE,再分兩種情況:當(dāng)∠QPC=90°時(shí);當(dāng)∠PQC=90°時(shí);討論可得△PCQ為直角三角形時(shí)t的值;(3)根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AC的解析式,根據(jù)S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ可得S△ACQ==﹣(t﹣2)2+1,依此即可求解.【詳解】解:(1)∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1,矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4),點(diǎn)A在DE上,∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,4),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2+4,把C(3,0)代入拋物線的解析式,可得a(3﹣1)2+4=0,解得a=﹣1.故拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3;(2)依題意有:OC=3,OE=4,∴CE===5,當(dāng)∠QPC=90°時(shí),∵cos∠QPC=,∴,解得t=;當(dāng)∠PQC=90°時(shí),∵cos∠QCP=,∴,解得t=.∴當(dāng)t=或t=時(shí),△PCQ為直角三角形;(3)∵A(1,4),C(3,0),設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,則有:,解得.故直線AC的解析式為y=﹣2x+2.∵P(1,4﹣t),將y=4﹣t代入y=﹣2x+2中,得x=1+,∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+,將x=1+代入y=﹣(x﹣1)2+4中,得y=4﹣.∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4﹣,∴QF=(4﹣)﹣(4﹣t)=t﹣,∴S△ACQ=S△AFQ+S△CFQ=FQ?AG+FQ?DG,=FQ(AG+DG),=FQ?AD,=×2(t﹣),=﹣(t﹣2)2+1,∴當(dāng)t=2時(shí),△ACQ的面積最大,最大值是1.【點(diǎn)睛】考查了二次函數(shù)綜合題,涉及的知識(shí)點(diǎn)有:拋物線的對(duì)稱軸,矩形的性質(zhì),待定系數(shù)法求拋物線的解析式,待定系數(shù)法求直線的解析式,勾股定理,銳角三角函數(shù),三角形面積,二次函數(shù)的最值,方程思想以及分類思想的運(yùn)用.20、(1)①45°,②;(2)線段AH與AB+AC之間的數(shù)量關(guān)系:2AH=AB+AC.證明見(jiàn)解析.【解析】
(1)①先根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD=∠CAD=30°,由等腰三角形的性質(zhì)得∠B=75°,最后利用三角形內(nèi)角和可得∠ACB=45°;②如圖1,作高線DE,在Rt△ADE中,由∠DAC=30°,AB=AD=2可得DE=1,AE=,在Rt△CDE中,由∠ACD=45°,DE=1,可得EC=1,AC=+1,同理可得AH的長(zhǎng);(2)如圖2,延長(zhǎng)AB和CH交于點(diǎn)F,取BF的中點(diǎn)G,連接GH,易證△ACH≌△AFH,則AC=AF,HC=HF,根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得AG=AH,再由線段的和可得結(jié)論.【詳解】(1)①∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°,∴∠BAD=∠CAD=30°,∵AB=AD,∴∠B==75°,∴∠ACB=180°﹣60°﹣75°=45°;②如圖1,過(guò)D作DE⊥AC交AC于點(diǎn)E,在Rt△ADE中,∵∠DAC=30°,AB=AD=2,∴DE=1,AE=,在Rt△CDE中,∵∠ACD=45°,DE=1,∴EC=1,∴AC=+1,在Rt△ACH中,∵∠DAC=30°,∴CH=AC=∴AH==;(2)線段AH與AB+AC之間的數(shù)量關(guān)系:2AH=AB+AC.證明:如圖2,延長(zhǎng)AB和CH交于點(diǎn)F,取BF的中點(diǎn)G,連接GH.易證△ACH≌△AFH,∴AC=AF,HC=HF,∴GH∥BC,∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,∴∠AGH=∠AHG,∴AG=AH,∴AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2(AB+BG)=2AG=2AH.【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題,難度適中,考查了三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、三角形的中位線定理等知識(shí),熟練掌握這些性質(zhì)是本題的關(guān)鍵,第(2)問(wèn)構(gòu)建等腰三角形是關(guān)鍵.21、證明見(jiàn)解析.【解析】
要證明BE=CE,只要證明△EAB≌△EDC即可,根據(jù)題意目中的條件,利用矩形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可以得到兩個(gè)三角形全等的條件,從而可以解答本題.【詳解】證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠BAD=∠CDA=90°,∵△ADE是等邊三角形,∴AE=DE,∠EAD=∠EDA=60°,∴∠EAD=∠EDC,在△EAB和△EDC中,EA=∴△EAB≌△EDC(SAS),∴BE=CE.【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是明確題意,找出所求問(wèn)題需要的條件,利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.22、(1)證明見(jiàn)解析(2)當(dāng)∠ABC=60°時(shí),四邊形ABEF為矩形【解析】
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出CA=CE,CB=CF,根據(jù)平行四邊形的判定得出即可;(2)根據(jù)等邊三角形的判定得出△ABC是等邊三角形,求出AE=BF,根據(jù)矩形的判定得出即可.【詳解】(1)∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EFC,∴△ABC≌△EFC,∴CA=CE,CB=CF,∴四邊形ABEF是平行四邊形;(2)當(dāng)∠ABC=60°時(shí),四邊形ABEF為矩形,理由是:∵∠ABC=60°,AB=AC,∴△ABC
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