【解析】黑龍江省實驗校高三第三次模擬考試數(shù)學（文）試題

黑龍江省實驗中學聯(lián)盟校2020年高三第三次模擬考試文科數(shù)學能力測試考試時間：120分鐘總分：150分注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.答題時請按要求用筆.3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的），且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意首先求出集合B，然后進行交集運算即可.【詳解】由1?0=1,0?1=?1,1?1=0?0=0，故由題意可知：，結合交集的定義可知：故選：D.【點睛】本題主要考查集合的表示方法，交集的定義與運算等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力，屬于基礎題.，則在復平面上對應點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，再求其點所對應的象限即可.【詳解】因為，所以在復平面上對應的點為，在第三象限.故選：C【點睛】本題主要考查復數(shù)的代數(shù)運算及幾何意義，屬于簡單題.，滿足，，且，則向量與的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出向量的模，然后對兩邊平方，得到向量的數(shù)量積，最后根據(jù)夾角公式求解.【詳解】解：因為，所以，因為，所以，即，因為，，所以，得，設向量與的夾角為，則，故選：A【點睛】此題考查平面向量的夾角的計算，屬于基礎題.滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為（）A.10 B.9 C.8 D.4【答案】B【解析】【分析】作出可行域，看目標函數(shù)的截距即可【詳解】解：作可行域如圖：由得，當過，截距最大，此時故選：B【點睛】考查線性規(guī)劃求最大值，基礎題.的首項為1，公差不為0，若，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前8項的和為（）A.64 B.22 C.48 D.6【答案】C【解析】【分析】設公差為，運用等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的中項性質(zhì)，解方程可得公差，再由等差數(shù)列的前項和公式，即可求出結果．【詳解】等差數(shù)列的首項為，設公差（）．若，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以的前8項和為．故選：C．【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的前項和公式，考查等比數(shù)列的中項性質(zhì)，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．6.華羅庚是上世紀我國偉大的數(shù)學家，以華氏命名的數(shù)學科研成果有“華氏定理”、“華氏不等式”、“華王方法”等.他除了數(shù)學理論研究，還在生產(chǎn)一線大力推廣了“優(yōu)選法”和“統(tǒng)籌法”.“優(yōu)選法”，是指研究如何用較少的試驗次數(shù)，迅速找到最優(yōu)方案的一種科學方法.在當前防疫取得重要進展的時刻，為防范機場帶來的境外輸入，某機場海關在對入境人員進行檢測時采用了“優(yōu)選法”提高檢測效率：每16人為組，把每個人抽取的鼻咽拭子分泌物混合檢查，如果為陰性則全部放行；若為陽性，則對該16人再次抽檢確認感染者.某組16人中恰有一人感染（鼻咽拭子樣本檢驗將會是陽性），若逐一檢測可能需要15次才能確認感染者.現(xiàn)在先把這16人均分為2組，選其中一組8人的樣本混合檢查，若為陰性則認定在另一組；若為陽性，則認定在本組.繼續(xù)把認定的這組的8人均分兩組，選其中一組4人的樣本混合檢查……以此類推，最終從這16人中認定那名感染者需要經(jīng)過（）次檢測.A.3 B.4 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】類比二分法，將16人均分為兩組，選擇其中一組進行檢測，再把認定的這組的8人均分兩組，選擇其中一組進行檢測，以此類推，即可得解.【詳解】先把這16人均分為2組，選其中一組8人的樣本混合檢查，若為陰性則認定在另一組；若為陽性，則認定在本組，此時進行了1次檢測.繼續(xù)把認定的這組的8人均分兩組，選其中一組4人的樣本混合檢查，為陰性則認定在另一組；若為陽性，則認定在本組，此時進行了2次檢測.繼續(xù)把認定的這組的4人均分兩組，選其中一組2人的樣本混合檢查，為陰性則認定在另一組；若為陽性，則認定在本組，此時進行了3次檢測.選認定的這組的2人中一人進行樣本混合檢查，為陰性則認定是另一個人；若為陽性，則認定為此人，此時進行了4次檢測.所以，最終從這16人中認定那名感染者需要經(jīng)過4次檢測.故選：B.【點睛】本題考查的是二分法的實際應用，考查學生的邏輯推理能力，屬于基礎題.，，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到，，，即可得解；【詳解】解：因為，定義域為，在定義域上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞減，所以在定義域上單調(diào)遞增，由，，所以即故選：A【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應用，屬于基礎題.所有的棱都相等，過與平行的平面與交于點，則與所成角的大小是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】要求異面直線與所成角，又，根據(jù)異面直線所成的角的定義可知就是與所成角，而平面，由線面平行的性質(zhì)定理可得，再結合是的中點，可得是的中點，在正中即可求出的大小.【詳解】設，連接，由平面，平面，平面平面，所以，由是的中點，得是的中點，因為，所以就是與所成角，因為為正三角形，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查求異面直線所成的角，同時考查線面平行的性質(zhì)定理，屬于中檔題.，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為 B.關于點對稱C.在上單調(diào)遞減 D.的圖象關于直線對稱【答案】C【解析】【分析】根據(jù)倍角公式和輔助角公式化簡，得，求周期可直接判斷A的正誤；求看是否為，確定對稱中心，判斷B是否正確；求出的取值范圍，判斷的單調(diào)性，判斷C是否正確；把代入，看是否取得最值，即得的正誤.【詳解】.對A，的最小正周期為，故錯誤；對B，，關于點對稱，故B錯誤；對，當時，，又在上單調(diào)遞減，在正確；對，，不是最值，故錯誤.故選：C.【點睛】本題考查三角恒等變換和三角函數(shù)的周期性，單調(diào)性，對稱點，對稱軸等性質(zhì)，屬于中檔題.，，在球的球面上，，，，直線與截面所成的角為，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中數(shù)量關系和余弦定理可證為直角三角形，設的中點為，由球的性質(zhì)可知平面，由線面角的概念可知，在中可求出球的半徑，由此即可求出結果.【詳解】由題意可知，在中，，，由余弦定理可知，，所以，所以為直角三角形，設的中點為，連接，如下圖所示：由題意可知平面，又直線與截面所成的角為，所以，在中，，所以，即球的半徑為，所以球的表面積為.故選：B.【點睛】本題考查的知識點是球的表面積，其中根據(jù)已知條件求出球的半徑是解答本題的關鍵．，拋物線，為拋物線的焦點，為拋物線的準線，為拋物線上一點，過作，點為垂足，過作的垂線，與交于點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意畫出圖形，結合拋物線定義，轉(zhuǎn)化說明的最小值就是的距離的最小值.【詳解】解：由題意可知，直線為，根據(jù)拋物線的定義可得，所以為的垂直平分線，所以,所以，當且僅當三點共線取等號，所以的最小值為故選：D【點睛】此題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應用，考查數(shù)形結合以及轉(zhuǎn)化思想計算能力，屬于中檔題.的圖象上存在點，函數(shù)的圖象上存在點，且點關于原點對稱，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】原題等價于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點，即方程有解，即有解，令，利用導數(shù)法求出函數(shù)的值域，即可求得答案【詳解】函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于原點對稱，則原題等價于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點，即方程有解，即有解，令，則，當時，，當，，故，由，，故當時，故的取值范圍為.故選：B.【點睛】本題考查了圖象的對稱性，以及運用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值的求解，在利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間的過程中，要注意定義域的范圍．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共4小題，共20分）的一條切線的斜率是3，則切點的橫坐標為________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)曲線的切線斜率即對應的函數(shù)在切點處的導數(shù)值，令導數(shù)，解得x的值，結合函數(shù)定義域即可得解．【詳解】解：，，，解得（舍去）或，所以，故答案為2.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，曲線上某點處的切線斜率的意義以及函數(shù)的定義域，屬于基礎題.14.2019年7月1，《上海市生活垃圾管理條例》正式實施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“濕垃圾”、“干垃圾”分類標準進行分類，沒有對垃圾分類或未投放到指定垃圾桶內(nèi)都會被處罰.若某上海居民提著廚房里產(chǎn)生的“濕垃圾”隨意地投放到樓下的“可回收物”、“有害垃圾、“濕垃圾”，“干垃圾”四個垃圾桶內(nèi)，則該居民會被處罰的概率為______.【答案】【解析】【分析】由已知隨意投放有4中，錯誤投放有3種，即可求解.【詳解】“濕垃圾”隨意地投放到樓下的“可回收物”、“有害垃圾、“濕垃圾”、“干垃圾”四個垃圾桶內(nèi)，有4種投放方法，被處罰的投放有“可回收物”、“有害垃圾、“干垃圾”3種投法，該居民會被處罰的概率為.故答案為:.【點睛】本題考查古典概型的概率，屬于基礎題.的兩條漸近線分別為直線，，經(jīng)過右焦點且垂直于的直線分別交，于，兩點，且，則該雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】【分析】求出直線與漸近線的兩個交點，根據(jù)向量關系得到的一個等量關系，從而可求離心率.【詳解】雙曲線的漸近線的方程為.不妨設直線的方程為，由可得，所以.由可得，所以，因為，故，整理得到即，故，故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線的離心率，此類問題，一般是尋找的一個等量關系即可，關系的構建依靠坐標關系或幾何關系.16.紙張的規(guī)格是指紙張制成后，經(jīng)過修整切邊，裁成一定的尺寸.現(xiàn)在我國采用國際標準，規(guī)定以、、、、系列和系列，其中系列的幅面規(guī)格為：①、、、…、所有規(guī)格的紙張的幅寬（以表示）和長度（以表示）的比例關系都為；②將紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為規(guī)格，紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為規(guī)格，…，如此對開至、、、…、紙的寬度為，則紙的長度為______；、、…、八張紙的面積之和等于______.【答案】(1).8(2).【解析】【分析】可設的紙張的長度為，則數(shù)列成以為公比的等比數(shù)列，設的紙張的面積，則數(shù)列成以為公比的等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列的首項，并利用等比數(shù)列的求和公式求出答案.【詳解】可設的紙張的長度為，面積為，的長度為，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，紙的寬度為，則，紙的長度為所以紙的長度為所以，紙的面積為，又，，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此，這8張紙的面積之和等于.故答案為：；.【點睛】本題考查數(shù)列應用題的解法，考查等比數(shù)列通項公式與求和公式的應用，考查運算求解能力，屬于中等題.三、解答題（共70分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）（一）必考題（60分）17.如圖，在四棱錐中，平面，，，.（1）求證:平面平面；（2）若三棱錐的體積為，求的長.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）過點作于點.由已知可以證明出四邊形是等腰梯形，利用勾股定理的逆定理通過計算可以證明出，結合已知的線面垂直關系，可以得到，這樣通過線面垂直的判定定理和面面垂直的判斷定理證明即可；（2）利用三棱錐的體積公式和三棱錐的體積性質(zhì)進行求解即可.【詳解】（1）證明：如圖，過點作于點.因為，所以四邊形是等腰梯形，可得，所以，所以.又因為平面平面，所以.因為平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）.因為三棱錐的體積為，所以解得.在中，，所以.【點睛】本題考查了利用面面垂直的判定定理證明面面垂直，考查了三棱錐體積公式的應用，考查了推理論證能力和數(shù)學運算能力.中，角，，的對邊分別為，，，.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化邊，利用余弦定理求角；（2）由用正弦定理化為角的關系，由，，轉(zhuǎn)化為只含角的方程，化簡求出角，求出.【詳解】（1）∵，∴由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得，∵，∴.（2）∵，由正弦定理得：，又，，∴，整理可得：，即，∴，由，，所以，，.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理，兩角和差公式，輔助角公式，還考查了分析推理能力，運算能力，屬于中檔題.19.某生活超市有一專柜預代理銷售甲乙兩家公司的一種可相互替代的日常生活用品．經(jīng)過一段時間分別單獨試銷甲乙兩家公司的商品，從銷售數(shù)據(jù)中隨機各抽取50天，統(tǒng)計每日的銷售數(shù)量，得到如下的頻數(shù)分布條形圖．甲乙兩家公司給該超市的日利潤方案為：甲公司給超市每天基本費用為90元，另外每銷售一件提成1元；乙公司給超市每天的基本費用為130元，每日銷售數(shù)量不超過83件沒有提成，超過83件的部分每件提成10元．（Ⅰ）求乙公司給超市的日利潤（單位：元）與日銷售數(shù)量的函數(shù)關系；（Ⅱ）若將頻率視為概率，回答下列問題：（1）求甲公司產(chǎn)品銷售數(shù)量不超過87件的概率；（2）如果僅從日均利潤的角度考慮，請你利用所學過的統(tǒng)計學知識為超市作出抉擇，選擇哪家公司的產(chǎn)品進行銷售？并說明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）；（2）超市應代理銷售乙公司的產(chǎn)品較為合適．【解析】【分析】（Ⅰ）分別在和兩種情況下得到關系式，進而得到結果；（Ⅱ）（1）利用頻率的計算方式可求得對應的概率；（2）分別計算甲、乙兩公司給到超市的日利潤的平均數(shù)，選擇平均數(shù)較大的產(chǎn)品進行銷售.【詳解】（Ⅰ）當時，元；當時，；乙公司給超市的日利潤（單位：元）與銷售數(shù)量的函數(shù)關系為：.（Ⅱ）（1）記事件：“甲公司產(chǎn)品銷售數(shù)量不超過87件”，則；（2）甲公司給超市的日利潤為元，則的所有可能取值為，，，，，（元）；設乙公司給超市的日利潤為元，則的所有可能取值為，，，，，則（元）；，所以超市應代理銷售乙公司的產(chǎn)品較為合適．【點睛】本題考查函數(shù)關系式的求解、利用頻數(shù)條形圖計算頻率、頻數(shù)條形圖的實際應用問題；關鍵是能夠準確讀懂頻數(shù)條形圖，屬于基礎題型.：的上頂點為，左，右焦點分別為，，的面積為，直線的斜率為.為坐標原點.（1）求橢圓的方程；（2）設過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點.，且，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由的面積為可得，，由直線的斜率為，有，再根據(jù)，可解得的值，得到橢圓方程.

（2）設直線的方程為，，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立解出點坐標，由，得出點坐標，再由，得為的垂直平分線與的交點，所以，根據(jù)由得出斜率的值,從而得出直線方程.【詳解】（1）因為的面積為，所以由直線的斜率為,則，又，所以，，故橢圓方程為.（2）設直線的方程為，，由，可得，解得或，所以，，設，有，，由，得，所以，解得，由，得為的垂直平分線與的交點，所以，由，得，得，解得，所以，直線的方程為.【點睛】本題考查根據(jù)條件求橢圓的方程，考查方程聯(lián)立求點的坐標，根據(jù)直線的垂直關系求解直線的方程，考查運算能力，屬于中檔題.．（Ⅰ）當時，試判斷零點的個數(shù)；（Ⅱ）若時，，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）有且只有一個零點；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）求導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及即可確定函數(shù)的零點；（Ⅱ）分和兩種情況，分別判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最大值，由求解即可．【詳解】（Ⅰ）當時，，．所以，在上單調(diào)遞減，又，∴有且只有一個零點．（Ⅱ）∵，．（1）當時，上恒成立，∴在上單調(diào)遞增，∴，不符合題意．（2）當時，設，當即時，恒成立，所以在上恒成立，∴在上單調(diào)遞減，∴，符合題意，∴．當即時，有兩不等實根，設為因