遼寧省鐵嶺市下二臺(tái)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

遼寧省鐵嶺市下二臺(tái)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知點(diǎn)P是雙曲線=1（a＞0，b＞0）右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，I為△PF1F2的內(nèi)心，若S=SS成立，則雙曲線的離心率為（）A．4 B． C．2 D．參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)圓I與△PF1F2的三邊F1F2、PF1、PF2分別相切于點(diǎn)E、F、G，連接IE、IF、IG，可得△IF1F2，△IPF1，△IPF2可看作三個(gè)高相等且均為圓I半徑r的三角形．利用三角形面積公式，代入已知式S=SS，化簡(jiǎn)可得|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|，再結(jié)合雙曲線的定義與離心率的公式，可求出此雙曲線的離心率．【解答】解：如圖，設(shè)圓I與△PF1F2的三邊F1F2、PF1、PF2分別相切于點(diǎn)E、F、G，連接IE、IF、IG，則IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它們分別是：△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，∴S=×|PF1|×|IF|=|PF1|，=×|PF2|×|IG|=|PF2|，S=×|F1F2|×|IE|=|F1F2|，其中r是△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑．∵S=SS，∴|PF1|=|PF2|+|F1F2|，兩邊約去得：|PF1|=|PF2|+|F1F2|，∴|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|，根據(jù)雙曲線定義，得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，∴2a=c?離心率為e=2，故選：C．2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線3x+4y﹣5=0與圓x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)等于（）A．3 B．2 C． D．1參考答案：B【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)．【分析】由直線與圓相交的性質(zhì)可知，，要求AB，只要求解圓心到直線3x+4y﹣5=0的距離【解答】解：由題意可得，圓心（0，0）到直線3x+4y﹣5=0的距離，則由圓的性質(zhì)可得，，即．故選B3.x，y滿(mǎn)足約束條件目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y，則z的取值范圍是（

）

（A）

（B）（C）[2，＋∞)

（D）[3，＋∞)參考答案：C試題分析：作出可行域及目標(biāo)函數(shù)如圖:將變形可得.平移目標(biāo)函數(shù)線使之經(jīng)過(guò)可行域,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線過(guò)點(diǎn)時(shí),縱截距最小,此時(shí)也取最小值為;因?yàn)槠揭颇繕?biāo)函數(shù)線時(shí)其縱截距,所以此時(shí).所以.故C正確.考點(diǎn)：線性規(guī)劃.4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的頂點(diǎn)A（0，4），C（0，﹣4），頂點(diǎn)B在橢圓上，則=（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】首先根據(jù)所給的橢圓的方程寫(xiě)出橢圓的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離，根據(jù)正弦定理得到角的正弦值之比就等于邊長(zhǎng)之比，把邊長(zhǎng)代入，得到比值【解答】解：∵△ABC的頂點(diǎn)A（0，4），C（0，﹣4），頂點(diǎn)B在橢圓上∴a=2，即AB+CB=2a，AC=2c∵由正弦定理知，∴則=．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)和正弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是把角的正弦值之比寫(xiě)成邊長(zhǎng)之比，進(jìn)而和橢圓的參數(shù)結(jié)合起來(lái)．5.已知定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)f(x)無(wú)極值，且，若在上與函數(shù)f(x)的單調(diào)性相同，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A.(－∞,－2] B.[－2,+∞)C.(－∞,2] D.[－2,－1]參考答案：A【分析】根據(jù)連續(xù)可導(dǎo)且無(wú)極值，結(jié)合，判斷出為單調(diào)遞減函數(shù).對(duì)求導(dǎo)后分離常數(shù)，利用三角函數(shù)的值域求得的取值范圍.【詳解】由于連續(xù)可導(dǎo)且無(wú)極值，故函數(shù)為單調(diào)函數(shù).故可令，使成立，故，故為上的減函數(shù).故在上為減函數(shù).即在上恒成立，即，由于，故，，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查利用導(dǎo)數(shù)求解不等式恒成立問(wèn)題，屬于中檔題.6.已知1+i=，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在(

) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專(zhuān)題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．分析：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和幾何意義即可得出．解答： 解：∵1+i=，∴z===在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限．故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．7.（原創(chuàng)）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的值域?yàn)椋?/p>

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C8.已知，是兩條不同直線，，是兩個(gè)不同的平面，且，，則下列敘述正確的是（A）若，則

（B）若，則（C）若，則

（D）若，則參考答案：DA中m，n可能異面；B中，可能相交；C中可能或，故選D.9.某學(xué)生離家去學(xué)校，由于怕遲到，所以一開(kāi)始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下圖中y軸表示離學(xué)校的距離，x軸表示出發(fā)后的時(shí)間，則適合題意的圖形是(

)參考答案：D10.（2009安徽卷理）i是虛數(shù)單位，若，則乘積的值是

（A）－15

（B）－3

（C）3

（D）15參考答案：B解析：，∴，選B。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對(duì)任意實(shí)數(shù)x和任意，恒有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)____．參考答案：a或a【分析】原不等式等價(jià)于（3+2sinθcosθ﹣asinθ﹣acosθ）2，θ∈[0，]，從而可得a，或a，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題加以解決，對(duì)上述分式進(jìn)行合理變形，利用函數(shù)單調(diào)性、基本不等式即可求得最值．【詳解】原不等式等價(jià)于（3+2sinθcosθ﹣asinθ﹣acosθ）2，θ∈[0，]①，由①得a②，或a③，在②中，，（sinθ+cosθ），顯然當(dāng)1≤x時(shí)，f（x）＝x為減函數(shù)，從而上式最大值為f（1）＝1，由此可得a；在③中，（sinθ+cosθ），當(dāng)且僅當(dāng)sinθ+cosθ時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，由此可得a，綜上，a或a．故答案為：a或a．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題是解決該類(lèi)題目的常用方法，解決本題的關(guān)鍵是先對(duì)不等式進(jìn)行等價(jià)變形去掉x，變?yōu)殛P(guān)于θ的恒等式處理．12.在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知圓的極坐標(biāo)方程為，則該圓的圓心到直線(為參數(shù))的距離是_________.參考答案：13.已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=4，若點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，且P到AB，AC距離分別為m，n，則的最小值為．參考答案：

【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】根據(jù)題意，作出△ABC的圖形，分析可得PE=PB，PF=PC，結(jié)合題意分析可得m+n=2，由此可以變形為=（）（）=（5++），由基本不等式分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，如圖所示，過(guò)點(diǎn)P做PE⊥AB，PF⊥AC，則PE=m，PF=n，又由AB=AC，∠BAC=120°，則∠ABC=∠ACB=30°，則PE=PB，PF=PC，即m=PB，n=PC，又由PB+PC=BC=4，即m+n=2，則=（）（）=（5++）≥，即的最小值為，此時(shí)m=2n．故答案為：．14.設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件，則的最小值為_(kāi)______.參考答案：－6【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】由約束條件作出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，有最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．15.已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的，滿(mǎn)足，，考查下列結(jié)論：①；②為偶函數(shù)；③數(shù)列為等比數(shù)列；④數(shù)列為等差數(shù)列。其中正確的是_________.參考答案：①③④16.若執(zhí)行如下圖所示的框圖，輸入x1＝1，x2＝2，x3＝4，x4＝8，則輸出的數(shù)等于________．參考答案：17.已知函數(shù)f(x)=x2+bx+1滿(mǎn)足f(一x）=f(x+1），若存在實(shí)數(shù)t，使得對(duì)任意實(shí)

數(shù)x∈[l，m]，都有f(x+t）≤x成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為

參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖（4），三棱柱的底面是邊長(zhǎng)的正三角形，側(cè)棱與底面垂直，且長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)．（1）求證：∥平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；

圖（4）（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.參考答案：（1）證明：連結(jié)，∵三棱柱的側(cè)棱與底面垂直

∴四邊形是矩形，

∴為的中點(diǎn)．

∵是的中點(diǎn)，

∴是三角形的中位線，

∴∥．∵平面，平面，

∴∥平面．（2）解：作于，連結(jié)∵平面∴平面平面,且平面平面∴平面，∴為直線與平面所成的角，在直角三角形中，∵

∴.(3)以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示：若在線段上存在點(diǎn)滿(mǎn)足題設(shè)，設(shè)，則，，，，

∴，，．

設(shè)是平面的法向量，

則由得令，則，，

∴是平面的一個(gè)法向量．

∵，則，設(shè)平面的法向量，

∴即令，則，，，又，即，解得，∴存在點(diǎn)，使得平面平面且．略19.現(xiàn)有正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)表如下：第一行：1第二行：12第三行：1123第四行：11211234第五行：1121123112112345…第k行：先抄寫(xiě)第1行，接著按原序抄寫(xiě)第2行，然后按原序抄寫(xiě)第3行，…，直至按原序抄寫(xiě)第k﹣1行，最后添上數(shù)k．（如第四行，先抄寫(xiě)第一行的數(shù)1，接著按原序抄寫(xiě)第二行的數(shù)1，2，接著按原序抄寫(xiě)第三行的數(shù)1，1，2，3，最后添上數(shù)4）．將按照上述方式寫(xiě)下的第n個(gè)數(shù)記作an（如a1=1，a2=1，a3=2，a4=1，…，a7=3，…，a14=3，a15=4，…）（1）用tk表示數(shù)表第k行的數(shù)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列{tk}的前k項(xiàng)和Tk；（2）第8行中的數(shù)是否超過(guò)73個(gè)？若是，用表示第8行中的第73個(gè)數(shù)，試求n0和的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）令Sn=a1+a2+a3+…+an，求S2017的值．參考答案：【考點(diǎn)】8B：數(shù)列的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)題意先求出{tk}的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可，（2）由得第8行中共有27=128個(gè)數(shù)，得到第8行中的數(shù)超過(guò)73個(gè)，按上述順序依次寫(xiě)下的第73個(gè)數(shù)應(yīng)是第7行的第73﹣63=10個(gè)數(shù)，同上過(guò)程知a73=a10=2，即可求出答案，（3）根據(jù)錯(cuò)位相減法求出得=2n+1﹣n﹣2，再逐一展開(kāi)得到S2017=（211﹣12）+（210﹣11）+（29﹣10）+（28﹣9）+（27﹣8）+（26﹣7）+（24﹣5），即可求出．【解答】解：（1）當(dāng)k≥2時(shí)，tk=t1+t2+…+tk﹣1+1，tk+1=t1+t2+…+tk+1，于是tk+1﹣tk=t1，即tk+1=2tk，又t2=2t1，t1=1所以，故．（2）由得第8行中共有27=128個(gè)數(shù)，所以，第8行中的數(shù)超過(guò)73個(gè)，，從而，，由26﹣2=63＜73，27﹣1=127＞73，所以，按上述順序依次寫(xiě)下的第73個(gè)數(shù)應(yīng)是第7行的第73﹣63=10個(gè)數(shù)，同上過(guò)程知a73=a10=2，所以，．（3）由于數(shù)表的前n行共有2n﹣1個(gè)數(shù)，于是，先計(jì)算．在前2n﹣1個(gè)數(shù)中，共有1個(gè)n，2個(gè)n﹣1，22個(gè)n﹣2，…，2n﹣k個(gè)k，…，2n﹣1個(gè)1，因此…+2×2n﹣2+1×2n﹣1，則+k×2k+1+…+2×2n﹣1﹣n﹣2，兩式相減，得=2n+1﹣n﹣2．∴S2017=+S994，=++S483，=+++S228，=++++S101，=+++++S38，=++++++S7，=（211﹣12）+（210﹣11）+（29﹣10）+（28﹣9）+（27﹣8）+（26﹣7）+（24﹣5）=3986【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義的應(yīng)用，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式公式和求和公式，以及錯(cuò)位相減法，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．20.已知函數(shù)，．（1）求f(x)單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求f(x)在的最大值和最小值．參考答案：（1）由∴遞增區(qū)間為．（2）∵∴∴，．21.某高校在2010年的自主招生考試中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)分組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組得到的頻率分布直方圖如圖所示，（1）求第三、四、五組的頻率；（2）為了以選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，學(xué)校決定在筆試成績(jī)高的第三、四、五組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第三、四、五組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試。（3）在（2）的前提下，學(xué)校決定在這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受甲考官的的面試，求第四組至少有一名學(xué)生被甲考官面試的概率。參考答案：解：（1）由題設(shè)可知，第三組的頻率為0．06×5=0．3第四組的頻率為0．04×5=0．2第五組的頻率為0．02×5=0．1（2）第三組的人數(shù)為0．3×100=30第四組的人數(shù)為0．2×