高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題及答案(共11單元)08無窮級數(shù)

習(xí)題9-11．寫出下列級數(shù)的前五項：（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）第一項為1，第二項為，第三項為，第四項為，第五項為。第一項為，第二項為，第三項為，第四項為，第五項為。第一項為-1，第二項為，第三項為，第四項為，第五項為。第一項為e，第二項為，第三項為，第四項為，第五項為。2．寫出下列級數(shù)的一般項：（1）…（2）…（3）…（4）…解（1）3．根據(jù)級數(shù)收斂與發(fā)散的定義，判別下列級數(shù)的斂散性，如果收斂，并求其和.（1）；（2）；（3）.解：（1）級數(shù)的部分和為因為所以級數(shù)發(fā)散.（2）因為所以級數(shù)的部分和為而所以級數(shù)收斂.且級數(shù)的和為.（3）因為所以級數(shù)的部分和為而所以級數(shù)收斂.且級數(shù)的和為.4．判別下列級數(shù)的斂散性，若收斂，并求其和.（1）…（2）…（3）…（4）…（5）（6）（7）…（8）解：（1）級數(shù)的部分和可寫為因為是的等比數(shù)列，收斂并且和為.同理是的等比數(shù)列，收斂并且和為.根據(jù)級數(shù)性質(zhì)，也收斂，其和為=-=（2）級數(shù)的部分和可寫為因為所以根據(jù)定義，該級數(shù)發(fā)散。（3）級數(shù)的部分和可寫為因為是的等比數(shù)列，收斂并且和為.同理是的等比數(shù)列，收斂并且和為.根據(jù)級數(shù)性質(zhì)，也收斂，其和為=+=1+1=2（4）是以為公比的等比數(shù)列，因為，所以，從而不存在，此級數(shù)發(fā)散.（5）所以由級數(shù)收斂的必要條件得原級數(shù)是發(fā)散的.（6）所以由級數(shù)收斂的必要條件得原級數(shù)是發(fā)散的.（7）級數(shù)的部分和可寫為因為是的等比數(shù)列，收斂并且和為.同理是的等比數(shù)列，收斂并且和為.根據(jù)級數(shù)性質(zhì)，也收斂，其和為=-=（8）因為所以級數(shù)的部分和為而所以級數(shù)收斂.且級數(shù)的和為.5．如果兩個級數(shù)一個收斂，一個發(fā)散兩個都發(fā)散則它們逐項相加后所得的級數(shù)是收斂還是發(fā)散？試說明理由.解：（1）如果兩個級數(shù)，一個收斂，一個發(fā)散，則它們逐項相加后所得的級數(shù)是發(fā)散的.證明如下：設(shè)級數(shù)收斂，其部分和為，且=，發(fā)散，其部分和為，由定義知不存在?？梢缘玫?仍然不存在。根據(jù)定義知+是發(fā)散的.（2）如果兩個級數(shù)，兩個都發(fā)散，則它們逐項相加后所得的級數(shù)可能是收斂的也可能是發(fā)散的.證明如下：設(shè)級數(shù)，發(fā)散，其部分和分別為，，由定義知，都不存在?？梢缘玫?可能存在也可能不存在。根據(jù)定義知+可能是收斂的也可能是發(fā)散的.習(xí)題9-21．判別下列級數(shù)的斂散性.（1）；（2）；（3）；（4）（）.解：（1）因為，而是的等比數(shù)列級數(shù)，故級數(shù)是收斂的.（2）易知是正項級數(shù)，因為，而發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散.因為，而級數(shù)是發(fā)散的，故級數(shù)發(fā)散.（4）當(dāng)時，有，而是的等比數(shù)列級數(shù)，故級數(shù)是收斂的.當(dāng)時，，而是發(fā)散的，故級數(shù)發(fā)散.2．判別下列級數(shù)的斂散性（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；解：（1），所以級數(shù)是收斂的.（2），所以級數(shù)是收斂的.（3），所以級數(shù)是發(fā)散的.（4）因為，而是的級數(shù)，故級數(shù)是發(fā)散的.（5），所以級數(shù)是發(fā)散的.習(xí)題9-3判別下列級數(shù)的斂散性，如果收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂：1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.（）.解：1.，，顯然有，且，故級數(shù)收斂.級數(shù)的每項取絕對值得級數(shù)，它是的級數(shù)，是發(fā)散的，因此級數(shù)條件收斂.2.級數(shù)的每項取絕對值得級數(shù)，因為，而是的等比數(shù)列級數(shù)，是收斂的，因此級數(shù)收斂.故一定收斂，且絕對收斂.3.級數(shù)的每項取絕對值得級數(shù)是的級數(shù)，是收斂的，因此級數(shù)絕對收斂.它本身一定收斂.,,由級數(shù)收斂的必要條件得級數(shù)是發(fā)散的.，，顯然有，且，故級數(shù)收斂.級數(shù)的每項取絕對值得級數(shù)，因為，故，因為調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的，因此級數(shù)是發(fā)散的.故級數(shù)條件收斂級數(shù)的每項取絕對值得級數(shù)，因為它是收斂的，因此級數(shù)絕對收斂.，，顯然有，且，故級數(shù)收斂.級數(shù)的每項取絕對值得級數(shù)，因為，且級數(shù)是發(fā)散的，因此級數(shù)是發(fā)散的.故級數(shù)條件收斂級數(shù)的每項取絕對值得級數(shù)，因為，且是的等比級數(shù)，是收斂的，因此級數(shù)絕對收斂.習(xí)題9-41．求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間：（1）；（2）；（2）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.解：（1）級數(shù)的收斂半徑為故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為.（2）收斂半徑為，當(dāng)時，代入冪級數(shù)得，它是一個收斂的數(shù)項級數(shù).當(dāng)時，代入冪級數(shù)得，它是調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散的.故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為.（3）收斂半徑為，當(dāng)時，代入冪級數(shù)得，它是一個發(fā)散的數(shù)項級數(shù).當(dāng)時，代入冪級數(shù)得，它是發(fā)散的.故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為.（4）可以計算，所以收斂半徑為,當(dāng)時，代入冪級數(shù)得，它是一個發(fā)散的數(shù)項級數(shù).當(dāng)時，代入冪級數(shù)得，它也是發(fā)散的數(shù)項級數(shù).故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為.（5）收斂半徑為，當(dāng)時，代入冪級數(shù)得，它是一個收斂的數(shù)項級數(shù).當(dāng)時，代入冪級數(shù)得，它是調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散的.故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為.（6）可以計算，所以收斂半徑為,當(dāng)時，代入冪級數(shù)得，它是一個發(fā)散的數(shù)項級數(shù).當(dāng)時，代入冪級數(shù)得，它也是發(fā)散的數(shù)項級數(shù).故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為.（7）所給冪級數(shù)缺奇次項，不能用上面的方法求收斂半徑.由比值審斂法，得：根據(jù)比值審斂法，當(dāng)，即時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，級數(shù)成為發(fā)散的數(shù)項級數(shù).所以級數(shù)的收斂區(qū)間為.（8）收斂半徑為，當(dāng)時，代入冪級數(shù)得，它是一個收斂的數(shù)項級數(shù).當(dāng)時，代入冪級數(shù)得，它是發(fā)散的.故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為.2．求下列冪級數(shù)的和函數(shù)：（1）；（2）；（3），并求的值；（4），并求的值.解：（1）根據(jù)比值審斂法，當(dāng)，即時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，級數(shù)成為發(fā)散的數(shù)項級數(shù).當(dāng)時，級數(shù)成為發(fā)散的數(shù)項級數(shù).所以級數(shù)的收斂區(qū)間為.設(shè)和函數(shù)為，即，，.所以（2）根據(jù)比值審斂法，當(dāng)，即時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，級數(shù)成為發(fā)散的數(shù)項級數(shù).當(dāng)時，級數(shù)成為發(fā)散的數(shù)項級數(shù).所以級數(shù)的收斂區(qū)間為.設(shè)和函數(shù)為，因為，所以，兩邊求導(dǎo)得：，（3）根據(jù)比值審斂法，當(dāng)，即時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，即時級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，級數(shù)成為發(fā)散的數(shù)項級數(shù).當(dāng)時，級數(shù)成為發(fā)散的數(shù)項級數(shù).所以級數(shù)的收斂區(qū)間為.設(shè)和函數(shù)為，因為，所以，兩邊求導(dǎo)得：，即，將代入得：（4）根據(jù)比值審斂法，當(dāng)，即時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，級數(shù)成為發(fā)散的數(shù)項級數(shù).所以級數(shù)的收斂區(qū)間為.設(shè)和函數(shù)為，因為，所以，兩邊求導(dǎo)得：，即，將代入得：習(xí)題9-5將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：（1）因為把上式中的換為，得：（2）因為，將中的換為，得：（3）因為，將中的換為，得：（4）因為把上式中的換為，得：所以，（5），可先求的展開式：現(xiàn)在來求得展開式.因為，所以將中的用代替，可得與的展開式相加便得：（6）令，則將（）中的換成得：因為，，所以，將下列函數(shù)展開成指定的冪級數(shù)，并指出收斂區(qū)間.（1）展開成的冪級數(shù)；（2）展開成的冪級數(shù)；（3）展開成的冪級數(shù).解：（1）把的展開式中的換為得：整理得：（2）（3）因為將與展開式中的替換成后得：所以，，求下列各近似值：（1），精確到；（2），精確到；（3），取展開式的前三項；解：（1）因為，由的展開式得：，且取前六項為其近似值時，其誤差滿足條件，所以，（2）因為，由的展開式得：因為，所以，由交錯級數(shù)的有關(guān)結(jié)論得取前兩項為其近似值時，其誤差不大于第三項，所以，（3）將被積函數(shù)按冪級數(shù)展開，有（）兩邊積分得：若取前3項作為其近似值，則誤差不大于第四項，所以習(xí)題9-6將下列周期為的函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)，并做出及其展開式的圖象.1.2.，解：1.①計算傅里葉系數(shù)：②寫出傅里葉級數(shù)③討論斂散性：滿足收斂定理的條件且在上連續(xù)，所以由收斂定理可得即為傅里葉級數(shù)的和函數(shù)，其圖形如圖所示00①計算傅里葉系數(shù)：②寫出傅里葉級數(shù)③討論斂散性：滿足收斂定理的條件且在上連續(xù)，所以由收斂定理可得即為傅里葉級數(shù)的和函數(shù)，其圖形如圖所示習(xí)題9-7將函數(shù)（）展開為正弦級數(shù).將函數(shù)（）分別展開為正弦級數(shù)和余弦級數(shù).解：（1）對函數(shù)進(jìn)行奇延拓，如圖將代入到正弦級數(shù)中并由收斂定理得（）先求正弦級數(shù)。為此對函數(shù)進(jìn)行奇延拓，如圖將代入到正弦級數(shù)中并由收斂定理得（）再求余弦級數(shù)，為此對進(jìn)行偶延拓，如圖將代入到余弦級數(shù)中并由收斂定理得：（）習(xí)題9-8將下列各圖形所表示的周期函數(shù)展開為傅立葉級數(shù).（1）（2）解：（1）是周期為2T的函數(shù)，它在上的表達(dá)式為（為常數(shù)），將展開為傅立葉級數(shù).此時，代入公式得：（）將求得的系數(shù)，代入公式（1），并根據(jù)收斂定理得：(;)（2）是周期為T的函數(shù)，它在上的表達(dá)式為（為常數(shù)），因為為偶函數(shù)，所以展開式為余弦級數(shù).此時，代入公式得：（）將求得的系數(shù)代入公式，并根據(jù)收斂定理得：將下列函數(shù)展開為正弦級數(shù).（1）（）（2）解：（1）將進(jìn)行奇延拓，此時,代入正弦級數(shù)中并由收斂定理得：（）（2）將進(jìn)行奇延拓，此時,()代入正弦級數(shù)中并由收斂定理得：（）將下列函數(shù)展開為余弦級數(shù).（1）（）（2）解