高思奧數(shù)導(dǎo)引小學(xué)五年級(jí)含詳解答案第17講：計(jì)算綜合一

第17講計(jì)算綜合一內(nèi)容概述了解等比數(shù)列的基本概念，學(xué)會(huì)利用錯(cuò)位相減的方法進(jìn)行求和；靈活使用各種方法簡(jiǎn)化比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)算式；具有一定綜合性的“定義新運(yùn)算”問題；較復(fù)雜的數(shù)列與數(shù)表問題。典型問題興趣篇1.計(jì)算：（1）；（2）。2.計(jì)算：。3.計(jì)算：。4.計(jì)算：。5.計(jì)算：。6.規(guī)定新運(yùn)算“*”為：。（1）計(jì)算：；（2）已知，求。7.圖17-1中除了每行兩端的數(shù)之外，其余每個(gè)數(shù)都是與它相連的上一行的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，例如：2.75是2.5和3的平均數(shù)。請(qǐng)問：第100行中的各數(shù)之和是多少？8.有這樣一列數(shù)，前兩個(gè)數(shù)分別是0和1，從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…。請(qǐng)問：這個(gè)數(shù)列的第1000個(gè)數(shù)除以8所得的余數(shù)是多少？9.觀察下面的數(shù)陣：根據(jù)前五行數(shù)所表達(dá)的規(guī)律，求（1）這個(gè)數(shù)在由上至下的第幾行？在這一行中，它是由左向右第幾個(gè)？（2）第28行第19個(gè)數(shù)是什么？10.觀察數(shù)列，，，，，，，，，，，，，，，…，求：（1）數(shù)列中第150項(xiàng)；（2）數(shù)列中前300項(xiàng)的和。拓展篇1.如圖17-2，有一個(gè)邊長(zhǎng)為81厘米的等邊三角形，將它每條邊三等分，以中間那一份為邊向外作等邊三角形，得到圖17-3。由圖17-3通過同樣方法又得到圖17-4。如果再由圖17-4通過同樣方法得到一個(gè)新的圖形，試問：這個(gè)新的圖形的周長(zhǎng)是多少？2.計(jì)算：（1）；（2）。3.某工廠生產(chǎn)一種新型的乒乓球，第一天生產(chǎn)出了若干個(gè)，接下來每天的產(chǎn)量恰好是前一天的1.5倍，且每天都生產(chǎn)整數(shù)個(gè)乒乓球。請(qǐng)問：第一周的總產(chǎn)量至少是多少？4.計(jì)算：。5.計(jì)算：。6.對(duì)于任意的兩個(gè)自然數(shù)和，規(guī)定新運(yùn)算“”為：。如果，求的值。7.定義新運(yùn)算為與之間（包含）所有與奇偶性相同的自然數(shù)的平均數(shù)，例如：，。（1）計(jì)算：；（2）在算式的方框中填入恰當(dāng)?shù)淖匀粩?shù)后可使等式成立，請(qǐng)問：所填的數(shù)是什么？8.1至2008這2008個(gè)自然數(shù)的所有數(shù)字之和是多少？9.有一串?dāng)?shù)如下：1，2，4，7，11，16…。它的規(guī)律是：由1開始，依次加1，加2，加3，…，逐個(gè)產(chǎn)生這串?dāng)?shù)，直到第50個(gè)數(shù)為止。求第50個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)。10.70個(gè)數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個(gè)數(shù)以外，每個(gè)數(shù)的3倍都恰好等于它相鄰的兩個(gè)數(shù)之和。這一行最左邊的幾個(gè)數(shù)是這樣的：0，1，3，8，21，…。請(qǐng)問：這列數(shù)中除以6余1的數(shù)有多少個(gè)？11.觀察數(shù)列，，，，，，，，，；，…，，的規(guī)律，問：（1）數(shù)列中第2008項(xiàng)是什么？（2）數(shù)列中前2008項(xiàng)的和是多少？12.將從1開始的自然數(shù)按照如圖17-5所示的規(guī)律排成數(shù)陣，數(shù)1000所在的行與列中分別有一個(gè)最小的數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)的和。超越篇1.求所有分母為360的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的和。2.有一種運(yùn)算“*”，滿足以下條件：①；②；③。（這里的“+”是通常的加號(hào)）請(qǐng)計(jì)算：。3.下面的數(shù)列是按某種規(guī)律排列的：1，3，4，7，11，18，29，47，…。試問：（1）其中第300個(gè)數(shù)被6除余幾？（2）如果數(shù)列按第組含有個(gè)數(shù)的規(guī)律分組，成為：，，，…，那么第300組內(nèi)各數(shù)之和除以6的余數(shù)是多少？4.如圖17-6所示的三角形數(shù)陣中，從第2行起，每行都是把上一行抄一遍，然后在相鄰兩數(shù)之間填入它們的和。請(qǐng)問：第999行各數(shù)之和被7除所得的余數(shù)是多少？5.有一個(gè)圓，第一次用一條直徑將圓周分成兩個(gè)半圓周，在每個(gè)分點(diǎn)上標(biāo)上1；第二次，再將兩個(gè)半圓周分別分成兩個(gè)圓周，在新產(chǎn)生的分點(diǎn)上標(biāo)上相鄰兩數(shù)之和的；第三次，再次四個(gè)圓周分別分成兩個(gè)圓周，在新產(chǎn)生的分點(diǎn)上標(biāo)上相鄰兩數(shù)之和的；第四次，再將八個(gè)圓周分別分成兩個(gè)圓周，在新產(chǎn)生的分點(diǎn)上標(biāo)上相鄰兩數(shù)之和的……如此進(jìn)行了100次。請(qǐng)問：最后圓周上的所有數(shù)之和是多少？6.將非零自然數(shù)按照?qǐng)D17-7中的規(guī)律不斷寫出，發(fā)現(xiàn)有些數(shù)字被寫出多次，還有些數(shù)永遠(yuǎn)不會(huì)出現(xiàn)。請(qǐng)問：99在數(shù)表中出現(xiàn)過幾次？最后一次位于哪里？最小的永不出現(xiàn)的數(shù)是多少？7.請(qǐng)寫出5個(gè)不同的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，分子都是2，而且這5個(gè)分?jǐn)?shù)組成一個(gè)等差數(shù)列。8.規(guī)定運(yùn)算“”對(duì)任意的都滿足，，試求。第17講計(jì)算綜合一內(nèi)容概述了解等比數(shù)列的基本概念，學(xué)會(huì)利用錯(cuò)位相減的方法進(jìn)行求和；靈活使用各種方法簡(jiǎn)化比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)算式；具有一定綜合性的“定義新運(yùn)算”問題；較復(fù)雜的數(shù)列與數(shù)表問題。典型問題興趣篇1.計(jì)算：（1）；（2）。【分析】（1）原式=1+2+4+8+16+32+64+128+2562原式=2+4+8+16+32+64+128+256+5122原式-原式=512-1原式=511（2）原式=原式=原式-原式=1-原式=原式=2.計(jì)算：?！痉治觥吭?3+32+33+34+35+363原式=32+33+34+35+36+373原式-原式=37-32原式=2184原式=10923.計(jì)算：?！痉治觥吭?.計(jì)算：?！痉治觥吭?.計(jì)算：?！痉治觥空麛?shù)部分=1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99+100=0+3+6+9+…+96+100=（3+96）×32÷2+100=1684分?jǐn)?shù)部分：三個(gè)數(shù)一組，每組的和為則分?jǐn)?shù)部分原式=168+=17036.規(guī)定新運(yùn)算“*”為：。（1）計(jì)算：；（2）已知，求?！痉治觥浚?）=（2）7.圖17-1中除了每行兩端的數(shù)之外，其余每個(gè)數(shù)都是與它相連的上一行的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，例如：2.75是2.5和3的平均數(shù)。請(qǐng)問：第100行中的各數(shù)之和是多少？【分析】經(jīng)計(jì)算得，每一行都比上一行的和多1×0.5+3×0.5=2那么，第100行比第一行的和多99×2=198那么，第100行各數(shù)之和為1+2+3+198=2048.有這樣一列數(shù)，前兩個(gè)數(shù)分別是0和1，從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…。【分析】余數(shù)的和等于和的余數(shù)我們找找這個(gè)數(shù)列除以8的余數(shù)的規(guī)律：0，1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，1，1，…我們發(fā)現(xiàn)，12個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán)，那么，1000÷12=83……4所以，第1000個(gè)數(shù)除以8的余數(shù)與第4個(gè)數(shù)除以8的余數(shù)一樣，即2。請(qǐng)問：這個(gè)數(shù)列的第1000個(gè)數(shù)除以8所得的余數(shù)是多少？9.觀察下面的數(shù)陣：根據(jù)前五行數(shù)所表達(dá)的規(guī)律，求（1）這個(gè)數(shù)在由上至下的第幾行？在這一行中，它是由左向右第幾個(gè)？（2）第28行第19個(gè)數(shù)是什么？【分析】我們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)分?jǐn)?shù)所在行數(shù)等于這個(gè)分?jǐn)?shù)分子分母的和減1，而其在這行第幾個(gè)數(shù)就是這個(gè)分?jǐn)?shù)分母的值。（1）在第99行，在這一行的第67個(gè)。（2）第28行第19個(gè)數(shù)的分母為19，分子為28+1-19=10，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)為。10.觀察數(shù)列，，，，，，，，，，，，，，，…，求：（1）數(shù)列中第150項(xiàng)；（2）數(shù)列中前300項(xiàng)的和?！痉治觥浚?）我們把這一列數(shù)分組，分母相同的放在同一組中。那么，到第一組一共有1個(gè)數(shù)，到第二組一共有4個(gè)數(shù)，到第三組一共有9個(gè)數(shù)，所以到第幾組一共就有n2個(gè)數(shù)。距150最近的平方數(shù)為144。所以到第12組一共有144個(gè)數(shù)，那么數(shù)列中第150項(xiàng)為第13組第6個(gè)數(shù)，即。（2）仍然按照（1）的方法分組，第幾組中，所有數(shù)之和為。依照（1）的辦法，我們找到前300項(xiàng)共17組，還有11個(gè)數(shù)，分別為，，…，。那么它們的和為1+2+3+…+17+拓展篇1.如圖17-2，有一個(gè)邊長(zhǎng)為81厘米的等邊三角形，將它每條邊三等分，以中間那一份為邊向外作等邊三角形，得到圖17-3。由圖17-3通過同樣方法又得到圖17-4。如果再由圖17-4通過同樣方法得到一個(gè)新的圖形，試問：這個(gè)新的圖形的周長(zhǎng)是多少？【分析】經(jīng)觀察，每個(gè)圖形周長(zhǎng)都是上一個(gè)圖形周長(zhǎng)的。那么新圖形周長(zhǎng)為（81×3）×××=576（厘米）2.計(jì)算：（1）；（2）。【分析】（1）設(shè)S=1+2+22+23+24+25+26+272S=2+22+23+24+25+26+27+282S-S=28-1S=255（2）設(shè)S=S=S-S=1-S=S=3.某工廠生產(chǎn)一種新型的乒乓球，第一天生產(chǎn)出了若干個(gè)，接下來每天的產(chǎn)量恰好是前一天的1.5倍，且每天都生產(chǎn)整數(shù)個(gè)乒乓球。請(qǐng)問：第一周的總產(chǎn)量至少是多少？【分析】設(shè)第一天生產(chǎn)n個(gè)，則第二天生產(chǎn)個(gè)，第三天生產(chǎn)個(gè)，…，第七天生產(chǎn)個(gè)。對(duì)于最小的整數(shù)，只有當(dāng)n=26=64時(shí)實(shí)現(xiàn)。所以第一天生產(chǎn)64個(gè)，第二天生產(chǎn)，…，第七天生產(chǎn)總生產(chǎn)量為（個(gè)）4.計(jì)算：?！痉治觥吭?5.計(jì)算：。【分析】原式6.對(duì)于任意的兩個(gè)自然數(shù)和，規(guī)定新運(yùn)算“”為：。如果，求的值?！痉治觥课覀兘?jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，表示連續(xù)自然數(shù)乘積，從a開始乘，一共乘b個(gè)數(shù)。設(shè)，則，由于15600=24×25×26，則y=24，由于24=2×3×4，則x=2。7.定義新運(yùn)算為與之間（包含）所有與奇偶性相同的自然數(shù)的平均數(shù)，例如：，。（1）計(jì)算：；（2）在算式的方框中填入恰當(dāng)?shù)淖匀粩?shù)后可使等式成立，請(qǐng)問：所填的數(shù)是什么？【分析】（1）原式=（10+12+14+16+18）÷5=14（2）□可得（□+59）÷2=80或（□-1+60）÷2=80那么□為100或101。8.1至2008這2008個(gè)自然數(shù)的所有數(shù)字之和是多少？【分析】首先，我們計(jì)算000～999的，所有數(shù)字之和45×100+45×100+45×100=13500，其次我們計(jì)算1000～1999的所有數(shù)字之和13500+1×1000=14500。最后計(jì)算2000～2008的所有數(shù)字和2×9+1+2+…+8=54。那么，所有數(shù)字之和為13500+14500+54=28054。9.有一串?dāng)?shù)如下：1，2，4，7，11，16…。它的規(guī)律是：由1開始，依次加1，加2，加3，…，逐個(gè)產(chǎn)生這串?dāng)?shù)，直到第50個(gè)數(shù)為止。求第50個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)?！痉治觥坑珊偷挠鄶?shù)等于余數(shù)的和可知，這列數(shù)除以3的余數(shù)為：1，2，1，1，2，1，1，2，1，…，我們發(fā)現(xiàn)3個(gè)數(shù)一循環(huán)。我們看看有幾組50÷3=16……2。第2個(gè)數(shù)除以3余2，則第50個(gè)數(shù)除以3也余2。10.70個(gè)數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個(gè)數(shù)以外，每個(gè)數(shù)的3倍都恰好等于它相鄰的兩個(gè)數(shù)之和。這一行最左邊的幾個(gè)數(shù)是這樣的：0，1，3，8，21，…。請(qǐng)問：這列數(shù)中除以6余1的數(shù)有多少個(gè)？【分析】由余數(shù)定理可知，我們不需要將原數(shù)一個(gè)一個(gè)列出來，只需要找到余數(shù)即可。如下所示：0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，…，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)余數(shù)列以12個(gè)數(shù)為一個(gè)周期。每個(gè)周期中有2個(gè)余數(shù)為1。因?yàn)?0÷12=5……10，所以70個(gè)余數(shù)包含了5個(gè)完整的周期，和一周期的前10個(gè)數(shù)。那么這70個(gè)余數(shù)里總共有5×2+2=12（個(gè)）余數(shù)為1。11.觀察數(shù)列，，，，，，，，，；，…，，的規(guī)律，問：（1）數(shù)列中第2008項(xiàng)是什么？（2）數(shù)列中前2008項(xiàng)的和是多少？【分析】我們把數(shù)列寫成數(shù)表形式：，，，，，，…，，…，。（1）我們發(fā)現(xiàn)第n行m列表示的數(shù)為經(jīng)計(jì)算1+2+3+…+62=（1+62）×62÷2=1953<2008。那么第2008項(xiàng)是第63行的第55項(xiàng)。則該數(shù)為。（2）前2008個(gè)數(shù)中，包含完整的前62行和第63行的前55個(gè)數(shù)。第1行中數(shù)的和為；第2行中數(shù)的和為；…所以前6行中所有數(shù)的和是：第63行前55個(gè)數(shù)的和為：所以，前2008個(gè)數(shù)的和為：。12.將從1開始的自然數(shù)按照如圖17-5所示的規(guī)律排成數(shù)陣，數(shù)1000所在的行與列中分別有一個(gè)最小的數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)的和?！痉治觥课覀兿葎澐?jǐn)?shù)表，如下所示：12910…43811…56712…16151413…17…………轉(zhuǎn)折處數(shù)字是有規(guī)律的，可以發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)轉(zhuǎn)折處的數(shù)字是1×1-0=1；第二個(gè)轉(zhuǎn)折處的數(shù)字是2×2-1=3；第三個(gè)轉(zhuǎn)折處的數(shù)字是3×3-2=7；…經(jīng)計(jì)算，第32個(gè)轉(zhuǎn)折處的數(shù)是32×32-31=993<1000，由于偶數(shù)轉(zhuǎn)折點(diǎn)左面的數(shù)字比右邊大。則1000在第32行，25列，該行最小的數(shù)字是993。該列所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是第25個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，25×25-24=601，第25列是奇數(shù)列，上面的數(shù)字比下面大。所以601就是該列最小數(shù)字。所以1000所在列和行的最小值的和為993+601=1594。超越篇1.求所有分母為360的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的和?！痉治觥肯扔?jì)算1～360中所有2，3，5的倍數(shù)的和，利用容斥原理可得：這個(gè)和=[（2+4+6+…+360）+（3+6+9+…+360）+（5+10+15+…+360）]-[（6+12+18+…+360）+（10+20+30+…+360）+（15+30+45+…+360）]+（30+60+90+…+360）=32580+21780+13140-10980-4500-6660+2340=47700這樣的話，所求結(jié)果的分子=（1+2+3+…+360）-47700=361×360÷2-47700=17280則所求為17280÷360=48。2.有一種運(yùn)算“*”，滿足以下條件：①；②；③。（這里的“+”是通常的加號(hào)）請(qǐng)計(jì)算：?！痉治觥坑捎?*3=5，則8*3=2*3+2*3+2*3+2*3=5×4=20那么8*9=8*3+8*3+8*3=20×3=603.下面的數(shù)列是按某種規(guī)律排列的：1，3，4，7，11，18，29，47，…。試問：（1）其中第300個(gè)數(shù)被6除余幾？（2）如果數(shù)列按第組含有個(gè)數(shù)的規(guī)律分組，成為：，，，…，那么第300組內(nèi)各數(shù)之和除以6的余數(shù)是多少？【分析】首先，我們先找到這列數(shù)被6除余數(shù)的規(guī)律：24個(gè)數(shù)一循環(huán)。1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，5，2，1，3，4，…（1）300÷24=12……12，前300個(gè)數(shù)一共有12組，余12個(gè)數(shù)。那么，第12個(gè)數(shù)除以6的余數(shù)就是第300個(gè)數(shù)除以6的余數(shù)。（2）首先，我們先找到第299組最后一個(gè)數(shù)被6除的余數(shù)。到第299組最后一個(gè)數(shù)為止一共有1+2+3+…+299=44850個(gè)數(shù)。44850÷24=1868……18。那么這最后一個(gè)數(shù)被6除余0。由于300÷24=12……12，則第300組內(nèi)各數(shù)之和被6除的余數(shù)為這個(gè)循環(huán)后6個(gè)數(shù)與這個(gè)循環(huán)所有數(shù)的和的12倍與這個(gè)循環(huán)前6個(gè)數(shù)的和被6除的余數(shù)。即4。4.如圖17-6所示的三角形數(shù)陣中，從第2行起，每行都是把上一行抄一遍，然后在相鄰兩數(shù)之間填入它們的和。請(qǐng)問：第999行各數(shù)之和被7除所得的余數(shù)是多少？【分析】我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)表格下一行數(shù)的和與上一行數(shù)的和的關(guān)系：設(shè)下一行為an+1，上一行為an，則有an+1=3an-2。我們找每一行各數(shù)之和被7除余數(shù)為2，4，3，0，5，6，2，4，3，0，…，6個(gè)數(shù)一循環(huán)，而999÷6=166……3。則第999行各數(shù)之和被7除所得的余數(shù)與第3行相同，為3。5.有一個(gè)圓，第一次用一條直徑將圓周分成兩個(gè)半圓周，在每個(gè)分點(diǎn)上標(biāo)上1；第二次，再將兩個(gè)半圓周分別分成兩個(gè)圓周，在新產(chǎn)生的分點(diǎn)上標(biāo)