高中數(shù)學(xué)檢測：等差數(shù)列及其前n項和含解析

限時規(guī)范訓(xùn)練(限時練·夯基練·提能練)A級基礎(chǔ)夯實(shí)練1．(北京東城區(qū)二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a3＝3,a5＝5,則S7的值是()A．30 B．29C．28 D．27解析：選C.由題意,設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則d＝eq\f(a5－a3,5－3)＝1,故a4＝a3＋d＝4,所以S7＝eq\f(7a1＋a7,2)＝eq\f(7×2a4,2)＝7×4＝28.故選C.2．(唐山統(tǒng)考)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S11＝22,則a3＋a7＋a8等于()A．18 B．12C．9 D．6解析：選D.由題意得S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝eq\f(112a1＋10d,2)＝22,即a1＋5d＝2,所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6,故選D.3．在等差數(shù)列{an}中,a1＝－2017,其前n項和為Sn,若eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2,則S2020＝()A．2020 B．－2020C．4040 D．－4040解析：選C.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝An2＋Bn,則eq\f(Sn,n)＝An＋B,∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差數(shù)列．∵eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2,∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的公差為1,又eq\f(S1,1)＝eq\f(a1,1)＝－2017,∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以－2017為首項,1為公差的等差數(shù)列,∴eq\f(S2020,2020)＝－2017＋2019×1＝2,∴S2020＝4040.故選C.4．(山西太原模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(diǎn)(n,Sn)(n∈N*)在函數(shù)y＝x2－10x的圖象上,等差數(shù)列{bn}滿足bn＋bn＋1＝an(n∈N*),其前n項和為Tn,則下列結(jié)論正確的是()A．Sn＜2Tn B．b4＝0C．T7＞b7 D．T5＝T6解析：選D.因為點(diǎn)(n,Sn)(n∈N*)在函數(shù)y＝x2－10x的圖象上,所以Sn＝n2－10n,所以an＝2n－11,又bn＋bn＋1＝an(n∈N*),數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,設(shè)公差為d,所以2b1＋d＝－9,2b1＋3d＝－7,解得b1＝－5,d＝1,所以bn＝n－6,所以b6＝0,所以T5＝T6,故選D.5．(江西南昌模擬)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第5節(jié)的容積為()A．1升 B．eq\f(67,66)升C.eq\f(47,44)升 D．eq\f(37,33)升解析：選B.設(shè)該等差數(shù)列為{an},公差為d,由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66).))∴a5＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).故選B.6．(山東五校聯(lián)考)下面是關(guān)于公差d＞0的等差數(shù)列{an}的四個命題：p1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列{eq\f(an,n)}是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列．其中的真命題為()A．p1,p2 B．p3,p4C．p2,p3 D．p1,p4解析：選D.{an}是等差數(shù)列,則an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d,因為d＞0,所以{an}是遞增數(shù)列,故p1正確；對p2,舉反例,令a1＝－3,a2＝－2,d＝1,則a1＞2a2,故{nan}不是遞增數(shù)列,p2不正確；eq\f(an,n)＝d＋eq\f(a1－d,n),當(dāng)a1－d＞0時,{eq\f(an,n)}遞減,p3不正確；an＋3nd＝4nd＋a1－d,4d＞0,{an＋3nd}是遞增數(shù)列,p4正確．故p1,p4是正確的,選D.7．(揭陽質(zhì)檢)數(shù)列{an}的首項為3,{bn}為等差數(shù)列且bn＝an＋1－an(n∈N*),若b3＝－2,b10＝12,則a8等于()A．0 B．3C．8 D．11解析：選B.∵{bn}為等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,由b3＝－2,b10＝12,∴7d＝b10－b3＝12－(－2)＝14,∴d＝2,∵b3＝－2,∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6,∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋eq\f(7×6,2)d＝7×(－6)＋21×2＝0,又b1＋b2＋…＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3,∴a8－3＝0,∴a8＝3.故選B.8．(日照二模)若數(shù)列{an}滿足a1＝15,且3an＋1＝3an－2,則使ak·ak＋1＜0的k值為________．解析：因為3an＋1＝3an－2,所以an＋1－an＝－eq\f(2,3),所以數(shù)列{an}是首項為15,公差為－eq\f(2,3)的等差數(shù)列,所以an＝15－eq\f(2,3)·(n－1)＝－eq\f(2,3)n＋eq\f(47,3),令an＝－eq\f(2,3)n＋eq\f(47,3)＞0,得n＜23.5,所以使ak·ak＋1＜0的k值為23.答案：239．(長春模擬)《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為：“今有女善織,日益功疾．初日織五尺,今一月日織九匹三丈．則月末日織幾何？”其意思為今有女子善織布,且從第2天起,每天比前一天多織相同量的布．若第一天織5尺布,現(xiàn)在一個月(按30天計)共織390尺布,則該女最后一天織________尺布．解析：由題意得,該女每天所織的布的尺數(shù)依次排列形成一個等差數(shù)列,設(shè)為{an},其中a1＝5,前30項和為390,于是有eq\f(305＋a30,2)＝390,解得a30＝21,即該女最后一天織21尺布．答案：2110．(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．已知S2＝2,S3＝－6.(1)求{an}的通項公式；(2)求Sn,并判斷Sn＋1,Sn,Sn＋2是否成等差數(shù)列．解：(1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q＝2，,a11＋q＋q2＝－6.))解得q＝－2,a1＝－2.故{an}的通項公式為an＝(－2)n.(2)由(1)可得Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝－eq\f(2,3)＋(－1)n·eq\f(2n＋1,3).由于Sn＋2＋Sn＋1＝－eq\f(4,3)＋(－1)n·eq\f(2n＋3－2n＋2,3)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)＋－1n·\f(2n＋1,3)))＝2Sn,故Sn＋1,Sn,Sn＋2成等差數(shù)列．B級能力提升練11．(濰坊模擬)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若eq\f(a8,a7)＜－1,則()A．Sn的最大值是S8 B．Sn的最小值是S8C．Sn的最大值是S7 D．Sn的最小值是S7解析：選D.由已知條件得eq\f(Sn,n)＜eq\f(Sn＋1,n＋1),即eq\f(na1＋an,2n)＜eq\f(n＋1a1＋an＋1,2n＋1),所以an＜an＋1,所以等差數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．又eq\f(a8,a7)＜－1,所以a8＞0,a7＜0,即數(shù)列{an}前7項均小于0,第8項大于零,所以Sn的最小值為S7,故選D.12．如圖,點(diǎn)列{An},{Bn}分別在某銳角的兩邊上,且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|,An≠An＋2,n∈N*,|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|,Bn≠Bn＋2,n∈N*(P≠Q(mào)表示點(diǎn)P與Q不重合)．若dn＝|AnBn|,Sn為△AnBnBn＋1的面積,則()A．{Sn}是等差數(shù)列 B．{Seq\o\al(2,n)}是等差數(shù)列C．{dn}是等差數(shù)列 D．{deq\o\al(2,n)}是等差數(shù)列解析：選A.作A1C1,A2C2,A3C3,…,AnCn垂直于直線B1Bn,垂足分別為C1,C2,C3,…,Cn,則A1C1∥A2C2∥…∥AnCn.∵|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|,∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|.設(shè)|A1C1|＝a,|A2C2|＝b,|B1B2|＝c,則|A3C3|＝2b－a,…,|AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3),∴Sn＝eq\f(1,2)c[(n－1)b－(n－2)a]＝eq\f(1,2)c[(b－a)n＋(2a－b)],∴Sn＋1－Sn＝eq\f(1,2)c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝eq\f(1,2)c(b－a),∴數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列．13．(南充模擬)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,若eq\f(a11,a10)＜－1,且它們的前n項和Sn有最大值,則使Sn＞0的n的最大值為________．解析：∵eq\f(a11,a10)＜－1,且Sn有最大值,∴a10＞0,a11＜0,且a10＋a11＜0,∴S19＝eq\f(19a1＋a19,2)＝19·a10＞0,S20＝eq\f(20a1＋a20,2)＝10(a10＋a11)＜0,故使得Sn＞0的n的最大值為19.答案：1914．(山東菏澤二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,n∈N*,滿足a1＋a2＝10,S5＝40.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝|13－an|,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意知,a1＋a2＝2a1＋d＝10,S5＝5a3＝40,即a3＝8,所以a1＋2d＝8,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,d＝2，))所以an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2.(2)令cn＝13－an＝11－2n,bn＝|cn|＝|11－2n|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11－2n，n≤5，,2n－11，n≥6，))設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Qn,則Qn＝－n2＋10n.當(dāng)n≤5時,Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝Qn＝－n2＋10n.當(dāng)n≥6時,Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝c1＋c2＋…＋c5－(c6＋c7＋…＋cn)＝－Qn＋2Q5＝n2－10n＋2(－52＋10×5)＝n2－10n＋50.∴Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－n2＋10n，n≤5，,n2－10n＋50，n≥6.))15．(惠州市二調(diào))在公差不為0的等差數(shù)列{an}中,a1,a4,a8成等比數(shù)列．(1)若數(shù)列{an}的前10項和為45,求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn＝eq\f(1,anan＋1),且數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,若Tn＝eq\f(1,9)－eq\f(1,n＋9),求數(shù)列{an}的公差．解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),由a1,a4,a8成等比數(shù)列可得aeq\o\al(2,4)＝a1·a8,即(a1＋3d)2＝a1·(a1＋7d),解得a1＝9d.由數(shù)列{an}的前10項和為45得10a1＋45d＝45,即90d＋45d＝45,所以d＝eq\f(1,3),a1＝3.故數(shù)列{an}的通項公式為an＝3＋(n－1)×eq\f(1,3)＝eq\f(n＋8,3).(2)因為bn＝eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋1))),所以數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝eq\f(1,d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)－\f(1,a2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－\f(1,a3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋1)))＝eq\f(1,d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)－\f(1,an＋1))),即Tn＝eq\f(1,d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)－\f(1,a1＋nd)))＝eq\f(1,d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9d)－\f(1,9d＋nd)))＝eq\f(1,d2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)－\f(1,9＋n)))＝e