高中數(shù)學(xué)-選擇性必修第三冊(cè)第七章隨機(jī)變量及其分布

正態(tài)分布1.工人制造的零件尺寸在正常情況下服從正態(tài)分布N(μ,σ2),在一次正常的試驗(yàn)中,取1000個(gè)零件,不屬于(μ-3σ,μ+3σ)這個(gè)尺寸范圍的零件個(gè)數(shù)可能為()A.7 B.10 C.3 D.62.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1),且P(2≤X≤4)≈0.6827,則P(X>4)=()A.0.1588 B.0.15865 C.0.1586 D.0.15853.(多選題)下列可以作為正態(tài)分布概率密度函數(shù)的是(其中μ∈(-∞,+∞),σ>0)()A.f(x)=12πσeC.f(x)=12·2π4.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn),則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()A.2386 B.2718 C.3414 D.4772附:若X～N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.5.設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ～N(0,1),則P(ξ≤0)=________;P(-2<ξ<2)=________.

6.一批燈泡的使用時(shí)間X(單位:小時(shí))服從正態(tài)分布N(10000,4002),則這批燈泡使用時(shí)間在(9200,10800]內(nèi)的概率是________.

7.在某次數(shù)學(xué)考試中,考生的成績(jī)X服從正態(tài)分布N(90,100).(1)試求考試成績(jī)X位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少?(2)若這次考試共有2000名考生,試估計(jì)考試成績(jī)?cè)?80,100)間的考生大約有多少人?8.已知某地農(nóng)民工年均收入X服從正態(tài)分布,其概率密度函數(shù)圖像如圖所示.(1)寫(xiě)出此地農(nóng)民工年均收入的概率密度函數(shù)的表達(dá)式.(2)求此地農(nóng)民工年均收入在8000～8500元的人數(shù)所占的百分比.擴(kuò)展練習(xí)1.某廠生產(chǎn)的零件外徑X～N(10,0.04),今從該廠上午、下午生產(chǎn)的零件中各取一件,測(cè)得其外徑分別為9.9cm,9.3cm,則可認(rèn)為()A.上午生產(chǎn)情況正常,下午生產(chǎn)情況異常B.上午生產(chǎn)情況異常,下午生產(chǎn)情況正常C.上午、下午生產(chǎn)情況均正常D.上午、下午生產(chǎn)情況均異常2.(多選題)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其正態(tài)曲線在(-∞,80)上是增函數(shù),在(80,+∞)上為減函數(shù),且P(72<X≤88)=0.6827,則()A.μ=80B.σ=4C.P(X>64)=0.97725D.P(64<X≤72)=0.13593.為了了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況,抽查了該地區(qū)1000名年齡在17歲至19歲的高三男生的體重情況,抽查結(jié)果表明他們的體重X(單位:kg)服從正態(tài)分布N(μ,4),且正態(tài)分布密度曲線如圖所示.若體重大于58kg小于等于62kg屬于正常情況,則這1000名男生中屬于正常情況的人數(shù)約為()A.997 B.954 C.819 D.6834.隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),如果P(ξ≤1)=0.8413,則P(-1<ξ≤0)=________.

5.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),則下列結(jié)論正確的是________.(填序號(hào))

①P(|ξ|<a)=P(ξ<a)+P(ξ>-a)(a>0);②P(|ξ|<a)=2P(ξ<a)-1(a>0);③P(|ξ|<a)=1-2P(ξ<a)(a>0);④P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|>a)(a>0).6.3D打印通常是采用數(shù)字技術(shù)材料打印機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)的,常在模具制造、工業(yè)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域被用于制造模型,后逐漸用于一些產(chǎn)品的直接制造,已經(jīng)有使用這種技術(shù)打印而成的零部件.該技術(shù)應(yīng)用十分廣泛,可以預(yù)計(jì)在未來(lái)會(huì)有廣闊的發(fā)展空間.某制造企業(yè)向A高校3D打印實(shí)驗(yàn)團(tuán)隊(duì)租用一臺(tái)3D打印設(shè)備,用于打印一批對(duì)內(nèi)徑有較高精度要求的零件.該團(tuán)隊(duì)在實(shí)驗(yàn)室打印出了一批這樣的零件,從中隨機(jī)抽取10件零件,度量其內(nèi)徑如表所示(單位:μm).序號(hào)12345678910內(nèi)徑979798102105107108109113114(1)計(jì)算平均值μ與標(biāo)準(zhǔn)差σ;(2)假設(shè)這臺(tái)3D打印設(shè)備打印出的零件內(nèi)徑Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2).該團(tuán)隊(duì)到工廠安裝調(diào)試后,試打了5個(gè)零件,度量其內(nèi)徑分別為(單位:μm):86,95,103,109,118,試問(wèn)此打印設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試,為什么?7.某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X服從正態(tài)分布N(4,0.052),質(zhì)量檢查人員從該廠生產(chǎn)的1000個(gè)零件中隨機(jī)抽查一個(gè),測(cè)得它的外直徑為3.7cm,該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格?參考答案1.工人制造的零件尺寸在正常情況下服從正態(tài)分布N(μ,σ2),在一次正常的試驗(yàn)中,取1000個(gè)零件,不屬于(μ-3σ,μ+3σ)這個(gè)尺寸范圍的零件個(gè)數(shù)可能為()A.7 B.10 C.3 D.6分析：選C.因?yàn)镻(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.9973,所以不屬于區(qū)間(μ-3σ,μ-3σ)內(nèi)的零件個(gè)數(shù)約為1000×(1-0.9973)≈3.2.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1),且P(2≤X≤4)≈0.6827,則P(X>4)=()A.0.1588 B.0.15865 C.0.1586 D.0.1585分析：選B.由于X服從正態(tài)分布N(3,1),故正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)軸為x=3,所以P(X>4)=P(X<2),故P(X>4)=1-P(3.(多選題)下列可以作為正態(tài)分布概率密度函數(shù)的是(其中μ∈(-∞,+∞),σ>0)()A.f(x)=12πC.f(x)=12·分析：選ACD.對(duì)于A,f(x)=12由于μ∈(-∞,+∞),所以-μ∈(-∞,+∞),故它可以作為正態(tài)分布概率密度函數(shù);對(duì)于B,若σ=1,則應(yīng)為f(x)=12πe-(x-μ)4.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn),則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()A.2386 B.2718 C.3414 D.4772附:若X～N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.分析：選C.由P(-1<X≤1)≈0.6827,得P(0<X≤1)≈0.3414,則陰影部分的面積約為0.3414,故估計(jì)落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10000×0.3415.設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ～N(0,1),則P(ξ≤0)=________;P(-2<ξ<2)=________.

分析：因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸為x=0,所以P(ξ≤0)=P(ξ>0)=12P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈0.9545.答案:126.一批燈泡的使用時(shí)間X(單位:小時(shí))服從正態(tài)分布N(10000,4002),則這批燈泡使用時(shí)間在(9200,10800]內(nèi)的概率是________.

分析：由題知,μ=10000,σ=400,所以P(9200<X≤10800)=P(10000-2×400<X≤10000+2×400)≈0.9545.答案:0.95457.在某次數(shù)學(xué)考試中,考生的成績(jī)X服從正態(tài)分布N(90,100).(1)試求考試成績(jī)X位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少?(2)若這次考試共有2000名考生,試估計(jì)考試成績(jī)?cè)?80,100)間的考生大約有多少人?分析：因?yàn)閄～N(90,100),所以μ=90,σ=100=10.(1)由于X在區(qū)間(μ-2σ,μ+2σ)內(nèi)取值的概率是0.9545,而該正態(tài)分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考試成績(jī)X位于區(qū)間(70,110)內(nèi)的概率就是0.9545.(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.由于變量X在區(qū)間(μ-σ,μ+σ)內(nèi)取值的概率是0.6827,所以考試成績(jī)X位于區(qū)間(80,100)內(nèi)的概率是0.6827,一共有2000名考生,所以考試成績(jī)?cè)?80,100)間的考生大約有2000×0.6827≈1365(人).8.已知某地農(nóng)民工年均收入X服從正態(tài)分布,其概率密度函數(shù)圖像如圖所示.(1)寫(xiě)出此地農(nóng)民工年均收入的概率密度函數(shù)的表達(dá)式.(2)求此地農(nóng)民工年均收入在8000～8500元的人數(shù)所占的百分比.分析：設(shè)農(nóng)民工年均收入X～N(μ,σ2),結(jié)合題圖可知,μ=8000,σ=500.(1)此地農(nóng)民工年均收入的正態(tài)分布的概率密度函數(shù)表達(dá)式為φμ,σ(x)=12πσe-(2)因?yàn)镻(7500<X<8500)=P(8000-500<X<8000+500)≈0.6827,所以P(8000<X<8500)=12即農(nóng)民工年均收入在8000～8500元的人數(shù)所占的百分比約為34.14%.擴(kuò)展練習(xí)1.某廠生產(chǎn)的零件外徑X～N(10,0.04),今從該廠上午、下午生產(chǎn)的零件中各取一件,測(cè)得其外徑分別為9.9cm,9.3cm,則可認(rèn)為()A.上午生產(chǎn)情況正常,下午生產(chǎn)情況異常B.上午生產(chǎn)情況異常,下午生產(chǎn)情況正常C.上午、下午生產(chǎn)情況均正常D.上午、下午生產(chǎn)情況均異常分析：選A.因?yàn)闇y(cè)量值X為隨機(jī)變量,又X～N(10,0.04),所以μ=10,σ=0.2,記I=(μ-3σ,μ+3σ)=(9.4,10.6),則9.9∈I,9.3?I.2.(多選題)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其正態(tài)曲線在(-∞,80)上是增函數(shù),在(80,+∞)上為減函數(shù),且P(72<X≤88)=0.6827,則()A.μ=80B.σ=4C.P(X>64)=0.97725D.P(64<X≤72)=0.1359分析：選ACD.因?yàn)檎龖B(tài)曲線在(-∞,80)上是增函數(shù),在(80,+∞)上為減函數(shù),所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=80對(duì)稱(chēng),所以μ=80;因?yàn)镻(72<X≤88)=0.6827結(jié)合P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,可知σ=8;因?yàn)镻(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545,且P(X<64)=P(X>96),所以P(X<64)≈12×(1-0.9545)=1因?yàn)镻(X≤72)=12(1-P(72<X≤88))=1所以P(64<X≤72)=P(X>64)-P(X>72)=0.97725-(1-0.15865)=0.1359.3.為了了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況,抽查了該地區(qū)1000名年齡在17歲至19歲的高三男生的體重情況,抽查結(jié)果表明他們的體重X(單位:kg)服從正態(tài)分布N(μ,4),且正態(tài)分布密度曲線如圖所示.若體重大于58kg小于等于62kg屬于正常情況,則這1000名男生中屬于正常情況的人數(shù)約為()A.997 B.954 C.819 D.683分析：選D.由題意可知μ=60,σ=2,故P(58<X≤62)=P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,從而屬于正常情況的人數(shù)約為1000×0.6827≈683.4.隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),如果P(ξ≤1)=0.8413,則P(-1<ξ≤0)=________.

分析：如圖所示,因?yàn)镻(ξ≤1)=0.8413,所以P(ξ>1)=1-0.8413=0.1587,所以P(ξ≤-1)=0.1587,所以P(-1<ξ≤0)=0.5-0.1587=0.3413.答案:0.34135.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),則下列結(jié)論正確的是________.(填序號(hào))

①P(|ξ|<a)=P(ξ<a)+P(ξ>-a)(a>0);②P(|ξ|<a)=2P(ξ<a)-1(a>0);③P(|ξ|<a)=1-2P(ξ<a)(a>0);④P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|>a)(a>0).分析：因?yàn)镻(|ξ|<a)=P(-a<ξ<a),所以①不正確;因?yàn)镻(|ξ|<a)=P(-a<ξ<a)=P(ξ<a)-P(ξ<-a)=P(ξ<a)-P(ξ>a)=P(ξ<a)-(1-P(ξ<a))=2P(ξ<a)-1,所以②正確,③不正確;因?yàn)镻(|ξ|<a)+P(|ξ|>a)=1,所以P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|>a)(a>0),所以④正確.答案:②④6.3D打印通常是采用數(shù)字技術(shù)材料打印機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)的,常在模具制造、工業(yè)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域被用于制造模型,后逐漸用于一些產(chǎn)品的直接制造,已經(jīng)有使用這種技術(shù)打印而成的零部件.該技術(shù)應(yīng)用十分廣泛,可以預(yù)計(jì)在未來(lái)會(huì)有廣闊的發(fā)展空間.某制造企業(yè)向A高校3D打印實(shí)驗(yàn)團(tuán)隊(duì)租用一臺(tái)3D打印設(shè)備,用于打印一批對(duì)內(nèi)徑有較高精度要求的零件.該團(tuán)隊(duì)在實(shí)驗(yàn)室打印出了一批這樣的零件,從中隨機(jī)抽取10件零件,度量其內(nèi)徑如表所示(單位:μm).序號(hào)12345678910內(nèi)徑979798102105107108109113114(1)計(jì)算平均值μ與標(biāo)準(zhǔn)差σ;(2)假設(shè)這臺(tái)3D打印設(shè)備打印出的零件內(nèi)徑Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2).該團(tuán)隊(duì)到工廠安裝調(diào)試后,試打了5個(gè)零件,度量其內(nèi)徑分別為(單位:μm):86,95,103,109,118,試問(wèn)此打印設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試,為什么?分析：(1)μ=110σ2=110×[(-8)2+(-8)2+(-7)2+(-3)2+02+22+32+42+82+92]=36,所以(2)需要進(jìn)一步調(diào)試.理由如下:如果機(jī)器正常工作,則Z服從正態(tài)分布N(105,62),則P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=P(87<Z<123)≈0.9973,零件內(nèi)徑在