2022屆全國高考模擬信息卷 數(shù)學(xué)（理）試題（一）

高考模擬信息卷01（理）

（本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的。

1.已知集合4={。,刈/+9=1},集合B={（x,y）|y=|x|-1},則集合A口臺(tái)的真子集的個(gè)數(shù)為

（）

A.3B.4C.7D.8

2.設(shè)復(fù)數(shù)z=l-6（i是虛數(shù)單位），則z+目的值為（)

A.372B.272C.1D.2

3.已知sina=26sin(a+半｝則cos2a=()

771

A.一一B.-C.一—D.-

9933

4.十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來英國數(shù)

學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影

響深遠(yuǎn).若a>b>0,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.-<-B.log((7-Z?)>0

ab2

ii,

C?存〉片D.3">3>

5.如圖是某個(gè)閉合電路的一部分，每個(gè)元件出現(xiàn)故障的概率為：，

則從A到區(qū)這部分電源能通

電的概率為()

—CZ3—CZD——

97929n97919A98029口98019

A?B?C?

100000100000100000?100000

6.一動(dòng)圓尸過定點(diǎn)M(-4,0),且與已知圓N:(x-4)2+y2=i6相切,則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是

2222

A.----^=l(x.2)B.---乙=1(用，-2

412412

2222

C.土—匕=1D.匕—土=1

412412

7.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)4、3兩點(diǎn)滿足①點(diǎn)4、3都在函數(shù)/（力的圖像上；②點(diǎn)4、3關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱，則點(diǎn)（A3）是函數(shù)“X）的一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”.點(diǎn)對(duì)（A,3）與（民A）可看作是同一個(gè)“姊妹點(diǎn)

%2+2尤（％<0）

對(duì)”，已知函數(shù)〃x）=2,、，則的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有（）

京（20）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

8.運(yùn)用祖瞄原理計(jì)算球的體積時(shí)，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面

的任意一個(gè)平面所截，若截面面積都相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都

與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖1）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下

底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖2）,用任何一個(gè)平行于底

面的平面去截它們時(shí)，可證得所截得的兩個(gè)截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等.

22

現(xiàn)將橢圓工+匕=i繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖3）,類比上述方法，運(yùn)用祖

1636

9.如圖，在一個(gè)凸四邊形ABC。內(nèi)，順次連接四邊形各邊中點(diǎn)E,F,G,77而成的四邊形是一

個(gè)平行四邊形，這樣的平行四邊形被稱為瓦里尼翁平行四邊形.如圖，現(xiàn)有一個(gè)面積為12的凸四

邊形A5CZ）,設(shè)其對(duì)應(yīng)的瓦里尼翁平行四邊形為A用G2,記其面積為為，四邊形為人用G2對(duì)

應(yīng)的瓦里尼翁平行四邊形為482G2,記其面積為生，…，依次類推，則由此得到的第四個(gè)瓦里

尼翁平行四邊形484GA的面積為（）

43

A.1B.—C.—D.不確定

10.已知函數(shù)〃x）=cos（2x+“|小口爪x）=/（x）+￥r（x）為奇函數(shù)，則下述四個(gè)結(jié)論中

說法正確的是（）

A.tan=V3

B.〃司在［-。,。］上存在零點(diǎn)，則a的最小值為,

c.尸（X）在生）上單調(diào)遞增

D./（x）在有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)

11.對(duì)于棱長為1的正方體ABCD-AAGR,有如下結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（）

A.以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的幾何體可以是每個(gè)面都為直角三角形的四面體；

B.過點(diǎn)A作平面片8。的垂線，垂足為點(diǎn)H,則A,"，G三點(diǎn)共線；

C.過正方體中心的截面圖形不可能是正六邊形；

D.三棱錐A-耳CR與正方體的體積之比為1：3.

12.銳角AASC的三邊分別為。力,C,a=2bcos8,則f的取值范圍是（）

b

[1,3)B.P2

D.[1,2)

7

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數(shù)y=/⑴的圖象在點(diǎn)M（2"（2））處的切線方程是y=2x-8,則=

J⑴

22

14.如圖，雙曲線C:三-斗=1（。＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F2,過F?作線段鳥尸與C交

cib

于點(diǎn)Q,且Q為尸名的中點(diǎn).若等腰△尸耳?的底邊PF?的長等于C的半焦距，則C的離心率為

15.如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為以A為圓心，AB為半徑的圓弧上的任意

一點(diǎn)，設(shè)向量m=2現(xiàn)+〃正貝！|彳+〃最小值為

16.黎曼函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國著名的數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎曼發(fā)現(xiàn)提出，在高等數(shù)學(xué)中

,、當(dāng)尤=旦（。應(yīng)都是正整數(shù),旦是既約真分?jǐn)?shù)〕，、

有著廣泛的應(yīng)用，其定義為：R（x）PP上若函數(shù)

0,當(dāng)尤=0,1或［0,1］上的無理數(shù)

是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意x都有“2-"+“力=0,當(dāng)xe［0,l］時(shí)，/（x）=7?（x）,則

J（ln2）-/^=--------------?

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知數(shù)列加“｝是公差不為0的等差數(shù)列，g=3,%%=

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式及??的前”項(xiàng)和S”的通項(xiàng)公式；

（2）a=5+：+...+:,求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式，并判斷a與々的大小.

did227

18.松山區(qū)教研室某課題組對(duì)“加強(qiáng)，語文閱讀理解，訓(xùn)練對(duì)提高，數(shù)學(xué)應(yīng)用題，得分率作用”這一課題

進(jìn)行專項(xiàng)研究.為此對(duì)松山區(qū)某中學(xué)高二甲、乙兩個(gè)同類班級(jí)進(jìn)行“加強(qiáng)，語文閱讀理解'訓(xùn)練對(duì)提

高，數(shù)學(xué)應(yīng)用題，得分率作用”的試驗(yàn)，其中甲班為試驗(yàn)班（加強(qiáng)語文閱讀理解訓(xùn)練），乙班為對(duì)比班

（常規(guī)教學(xué)，無額外訓(xùn)練），在試驗(yàn)前的測(cè)試中，甲、乙兩班學(xué)生在數(shù)學(xué)應(yīng)用題上的得分率基本一致,

試驗(yàn)結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)幾次數(shù)學(xué)應(yīng)用題測(cè)試的平均成績（均取整數(shù)汝口表所示：

60分以下61?7071?8081?9091?100

甲班（人數(shù)）36111812

乙班（人數(shù)）48131510

現(xiàn)規(guī)定平均成績?cè)?0分以上（不含80分）的為優(yōu)秀.

（1）試分別估計(jì)兩個(gè)班級(jí)的優(yōu)秀率；

（2）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2x2列聯(lián)表，并問是否有75%的把握認(rèn)為“加強(qiáng)，語文閱讀理解，訓(xùn)

練對(duì)提高，數(shù)學(xué)應(yīng)用題，得分率作用”有幫助？

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)

甲班

乙班

合計(jì)

參考公式及數(shù)據(jù)：小3)(：益%("“),其中…”+c+d.

2

P（K>k0）0.400.250.150.1000.0500.0250.010

k。0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635

19.如圖，四棱錐ST3c。的底面是正方形，SOI5??ABCD,SD=2a,AD=6a點(diǎn)、E是SD

上的點(diǎn)，且DE=2a(0</lW2)

(1)求證：對(duì)任意的九w(0,2],都有AC,鹿

(2)設(shè)二面角C—AE—O的大小為。，直線BE與平面A5CZ)所成的角為,，若sin*=cos。,

求2的值

22

20.已知橢圓\+%=l(a>6>0)的左焦點(diǎn)尸在直線3x-y+3忘=0上，且a+6=2+0.

(1)求橢圓的方程；

(2)直線/與橢圓交于A、C兩點(diǎn)，線段AC的中點(diǎn)為M,射線MO與橢圓交于點(diǎn)P,點(diǎn)。為AR4c

的重心，探求面積S是否為定值，若是，則求出這個(gè)值；若不是，則求S的取值范圍.

21.已知函數(shù)〃x)=2xlnx-依2_2彳+/(。>0)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).

(1)求”的取值范圍；

(2)設(shè)/'(x)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為xi,xi,證明：Jxj>e.

選做

[X=-0t

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線/的參數(shù)方程為2(t為參數(shù)).以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸

y=1+—/

12

的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為02cos2。=1,直線/與曲線C交于48兩

點(diǎn).

⑴求|A卻的長；

⑵若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為,求A3中點(diǎn)/到尸的距離.

23.設(shè)函數(shù)/(x)=|尤-2|+2x-3,記/(x)4-l的解集為

(I)求M；

(II)當(dāng)xeM時(shí),證明：x[/(x)]2-x2/W<0

高考模擬信息卷01(理)

(本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的。

1.已知集合4={(兌刈f+/=1},集合B={?刈則集合APB的真子集的個(gè)數(shù)為

()

A.3B.4C.7D.8

答案：C

2.設(shè)復(fù)數(shù)z=l-0i(i是虛數(shù)單位)，貝！J|z+W的值為()

A.3也B.2A/2C.1D.2

答案：D

3.已知sina=2&sin]a+S）,則cos2a=（）

71

A.D.

93

答案：A

4.十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來英國數(shù)

學(xué)家哈利奧特首次使用“v，，和“〉，，符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影

響深遠(yuǎn).若a>b>0,則下列結(jié)論帶送的是()

A.-<-B.log(^-Z?)>0

ab2

ii,

C.”>按D.3">/

答案：B

5.如圖是某個(gè)閉合電路的一部分，每個(gè)元件出現(xiàn)故障的概率為：，則從A到3這部分電源能通

電的概率為()

CZJ—GZD——1

97929979199802998019

------B.------

100000100000100000100000

答案：A

6.一動(dòng)圓P過定點(diǎn)加(-4,0),且與已知圓N:(x-4尸+:/二房相切，則動(dòng)圓圓心產(chǎn)的軌跡方程是

22

A.---上=1（總2）B.---&=1（蒼，-2）

412412

答案：C

7.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)4、5兩點(diǎn)滿足①點(diǎn)4、3都在函數(shù)/(x)的圖像上；②點(diǎn)A、3關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱，則點(diǎn)(A3)是函數(shù)“X)的一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”.點(diǎn)對(duì)(A3)與(民A)可看作是同一個(gè)“姊妹點(diǎn)

x2*4+2x(x<0)

對(duì)”，已知函數(shù)4%)=2/小，則/(%)的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有()

小。)

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

答案：C

8.運(yùn)用祖瞄原理計(jì)算球的體積時(shí)，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面

的任意一個(gè)平面所截，若截面面積都相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都

與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖1）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下

底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖2）,用任何一個(gè)平行于底

面的平面去截它們時(shí)，可證得所截得的兩個(gè)截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等.

22

現(xiàn)將橢圓31rl繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖3）,類比上述方法，運(yùn)用祖

眠原理可求得其體積等于（）

32兀

答案：C

9.如圖，在一個(gè)凸四邊形ABCD內(nèi)，順次連接四邊形各邊中點(diǎn)E,F,G,77而成的四邊形是一

個(gè)平行四邊形，這樣的平行四邊形被稱為瓦里尼翁平行四邊形.如圖，現(xiàn)有一個(gè)面積為12的凸四

邊形A5CZ）,設(shè)其對(duì)應(yīng)的瓦里尼翁平行四邊形為4瓦G。，記其面積為為，四邊形為對(duì)

應(yīng)的瓦里尼翁平行四邊形為482G2,記其面積為生，…，依次類推，則由此得到的第四個(gè)瓦里

尼翁平行四邊形484GA的面積為（）

43

A.1B.—C.—D.不確定

答案：C

10.已知函數(shù),f（x）=cos（2x+e）"|<|^,尸（x）=〃x）+岑尸⑴為奇函數(shù)，則下述四個(gè)結(jié)論中

說法正確的是（）

A.tancp=^3

B."%）在［-々，句上存在零點(diǎn)，則。的最小值為弓

c.*X）在二，3上單調(diào)遞增

D./（x）在有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)

答案：B

11.對(duì)于棱長為1的正方體48。-A耳G2,有如下結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（）

A.以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的幾何體可以是每個(gè)面都為直角三角形的四面體；

B.過點(diǎn)A作平面的垂線，垂足為點(diǎn)H,則A,"，G三點(diǎn)共線；

C.過正方體中心的截面圖形不可能是正六邊形；

D.三棱錐與正方體的體積之比為1：3.

答案：C

12.銳角AASC的三邊分別為4c,a=2bcosB,則，的取值范圍是（）

b

A.[1,3）B.[川

C.1夸D.[1,2）

答案：D

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數(shù)y=〃x）的圖象在點(diǎn)“（2"（2））處的切線方程是y=2x-8,則%=.

答案：-2

22

14.如圖，雙曲線-斗=1（。＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過F?作線段匕尸與C交

ab

于點(diǎn)Q,且Q為尸乙的中點(diǎn).若等腰△尸耳?的底邊PF?的長等于C的半焦距，則C的離心率為

2+2萬

答案:

7

15.如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為以A為圓心，AB為半徑的圓弧上的任意

一點(diǎn)，設(shè)向量而=2麻+〃正貝!|彳+〃最小值為

答案：|

16.黎曼函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國著名的數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎曼發(fā)現(xiàn)提出，在高等數(shù)學(xué)中

,、,,當(dāng)尤=應(yīng)都是正整數(shù)，旦是既約真分?jǐn)?shù)〕，、

有著廣泛的應(yīng)用，其定義為：R(x)pP上若函數(shù)”X)

0,當(dāng)尤=0,1或［0,1］上的無理數(shù)

是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意X都有〃2-力+〃力=0,當(dāng)xe［0,l］時(shí)，/(x)=7?(x),則

加n"］)-------------?

答案:

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知數(shù)列｛““｝是公差不為0的等差數(shù)列，4=3,%.%=的二

(1)求｛可｝的通項(xiàng)公式及明的前”項(xiàng)和S,,的通項(xiàng)公式；

(2)2=5+：+...+:,求數(shù)列也,｝的通項(xiàng)公式，并判斷"與々的大小.

di%27

解：(1)設(shè)。1=〃，公差為d,貝!Ja(〃+3d)=(a+d)2,解得d=〃=3,

所以4=3〃，Sn=———2.

2

71112<1111112rl

從而勿=)+行+……+-MJ=支一百

18.松山區(qū)教研室某課題組對(duì)“加強(qiáng)，語文閱讀理解，訓(xùn)練對(duì)提高，數(shù)學(xué)應(yīng)用題，得分率作用”這一課題

進(jìn)行專項(xiàng)研究.為此對(duì)松山區(qū)某中學(xué)高二甲、乙兩個(gè)同類班級(jí)進(jìn)行“加強(qiáng)，語文閱讀理解'訓(xùn)練對(duì)提

高，數(shù)學(xué)應(yīng)用題，得分率作用”的試驗(yàn)，其中甲班為試驗(yàn)班（加強(qiáng)語文閱讀理解訓(xùn)練），乙班為對(duì)比班

（常規(guī)教學(xué)，無額外訓(xùn)練），在試驗(yàn)前的測(cè)試中，甲、乙兩班學(xué)生在數(shù)學(xué)應(yīng)用題上的得分率基本一致,

試驗(yàn)結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)幾次數(shù)學(xué)應(yīng)用題測(cè)試的平均成績（均取整數(shù)汝口表所示：

60分以下61?7071?8081?9091?100

甲班（人數(shù)）36111812

乙班（人數(shù)）48131510

現(xiàn)規(guī)定平均成績?cè)?0分以上（不含80分）的為優(yōu)秀.

（1）試分別估計(jì)兩個(gè)班級(jí)的優(yōu)秀率；

（2）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2x2列聯(lián)表，并問是否有75%的把握認(rèn)為“加強(qiáng)，語文閱讀理解，訓(xùn)

練對(duì)提高，數(shù)學(xué)應(yīng)用題'得分率作用”有幫助？

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)

甲班

乙班

合計(jì)

______W。)’_______,其中〃

參考公式及數(shù)據(jù)：K2==〃+b+c+d?

+》)(c+d)(〃+c),+d)

2

P(K>k0)0.400.250.150.1000.0500.0250.010

k。0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635

解：（1）由題意可得：甲乙兩班的人數(shù)均為50人，

甲班優(yōu)秀人數(shù)為30人，優(yōu)秀率為：親=60%;

25

乙班優(yōu)秀人數(shù)為25人，優(yōu)秀率為：益=5。％.

（2）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2x2列聯(lián)表，

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)

甲班302050

乙班252550

合計(jì)5545100

,n(ad-bc^100x(30x25-20x25?

K2=----'、,~~--------=------------------?1.010<2.706.

(Q+b)(c+d)(〃+c)(Z?+d)50x50x55x45

故沒有75%的把握認(rèn)為“加強(qiáng)，語文閱讀理解，訓(xùn)練對(duì)提高，數(shù)學(xué)應(yīng)用題，得分率”有幫助.

19.如圖，四棱錐ST3C。的底面是正方形，SD1TOABCD,SD=2a,缶點(diǎn)E是切

上的點(diǎn)，且OE=&?(0<；142)

AB

(1)求證：對(duì)任意的2eQ2],都有AC,鹿

(2)設(shè)二面角C—AE—O的大小為。，直線BE與平面A3C。所成的角為?，若sine=cos。，

求X的值

解：(1)證法：以。為原點(diǎn)，方可覺，麗的方向分別作為x,?z軸的正方向建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，

y

則D(0,0,0),A(^2a,0,0),8(伍,缶,0),C(0,缶,0),E(0,0,/La),

AC=(-垃a,y/2a,0),BE=(-/2a,-y/2a,Aa)

2

AC-BE=2a2—2a+0-4Q=0，

即AC±BE；

(2)由(1)得麗=(缶,0,-孫方=(0,缶,-而)屈=(-缶，-缶/Q).

設(shè)平面ACE的法向量為5=(九,y,z),則由n1EA,n±ECW

n?EA=0[V2x-2z=0

—，即/-，

n-EC=0Xz=0

取z=5/2，得〃=(，,、,A/2)?

易知平面ABCD與平面ADE的一個(gè)法向量分別為麗=(0,0,2a)與

DC=(0,^,0),/.sin^=^^=^_,cos^^-^=-^_.

sin0=cos0,即/j=/:<=>分=2.

，X+4v24+2

由于Xe(0,2],解得彳=忘,即為所求.

22

20.已知橢圓|y+2=l(a>b>0)的左焦點(diǎn)F在直線3x-y+3忘=0上，且°+6=2+夜.

(1)求橢圓的方程；

(2)直線/與橢圓交于4、C兩點(diǎn)，線段AC的中點(diǎn)為",射線MO與橢圓交于點(diǎn)P,點(diǎn)。為△R4C

的重心，探求△PAC面積S是否為定值，若是，則求出這個(gè)值；若不是，則求S的取值范圍.

a2-b2=2

解:(1):直線3x-y+30"=O與x軸的交點(diǎn)為(一夜,0),??c=A/2)??

a+Z?=2+

_22

解得a=2,6=0,.?.橢圓的方程為土+匕=1.

42

(2)若直線/的斜率不存在，則MO在x軸上，此時(shí)10H=a=2,因?yàn)辄c(diǎn)。為AR4c的重心，所

以|OM|=g=l,將|尤|=1代入橢圓方程，可得回一9]=手，即卜日，所以

S=\PM\-\AM\=3-^-=^~；

若直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為丫=履+根，代入橢圓方程，

整理得(1+24尤2+4/巾%+2租2—4=0

設(shè)C(x2,y2),

。

ni1l4km2(m-2).(2m

貝^+j=一^，j，芳+%=左(%+%)+2，〃=17^.

1?乙K

由題意點(diǎn)。為AR4c的重心，設(shè)尸（x。,%）,貝［占+；+%=0,y+%=0,

所以=%=一（乂+%）=一^^，

22221+2左2

4km2m2.2

代入橢圓工+匕=1徨-------7+-------------------2T=1nHZ=

行(1+2左2/(1+2V)

422

\m\

設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)0到直線/的距離為d,則d=

Jl+公

則APAC的面積S=；|AC|?3d

=1A/T7F|X1-X2|-3-J=L

-無21Ml

MX片

32012(1+2公)-1

2l+2k2

1+2/^__

2(1+2F)-

J1+2F3A/6.

=3A/2-

1+2/7T-

綜上可得，“AC面積S為定值乎.

21.已知函數(shù)“尤）=2尤lnx-?x2-2x+/（a>0）在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).

（1）求。的取值范圍；

（2）設(shè)〃尤）兩個(gè)極值點(diǎn)分別為xi,*2,證明：百元〉e.

解：（1）由題意得〃尤）的定義域是（。,+?）,

/(x)=2xlnx-ar2-2x+tz(?>0),

貝"(x)=21nx+2-2ax-2,令制x)=。，得Inx-5=。,

問題轉(zhuǎn)化為方程Inx-?=。在（0,+?）上有2個(gè)異根,

令g（x）=lnx-辦，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）有2個(gè)不同的零點(diǎn),

而g，(x)」_a=l"(無>0),

xx

a>0,當(dāng)0<x<—時(shí)，g,x)>0,當(dāng)x>—時(shí)，<。,

故g(x)在單調(diào)遞增，在1，+力單調(diào)遞減,

故g(X)的極大值為g=In-1,

又：當(dāng)尤-0時(shí)，g(尤-oo,當(dāng)x-*+oo時(shí),又X)->YO,

于是只需g(x)的極大值大于零，即In：-1>0,故

即a的取值范圍是[。，：,

(2)證明：由(1)可知xi,也分別是方程lnx-av=0的兩個(gè)根,

即In玉=axx,lnx2=ax2,

\h.

設(shè)芯>%,作差得ln」x=a