2020年高考數(shù)學(xué)（文）重難點(diǎn)07選考系列（解析版）

2020年高考數(shù)學(xué)（文）

重難點(diǎn)07選考系列（參數(shù)方程與不等式）

【高考考試趨勢(shì)】選考系列主要包含參數(shù)方程極坐標(biāo)，以及不等式是高考中二選一的一道解

答題，屬于相對(duì)比較簡(jiǎn)單的題目，共10分，是高考大題中分值最小的一道題目.對(duì)于參數(shù)方

程與極坐標(biāo)，一般均是簡(jiǎn)單一點(diǎn)的解析幾何.對(duì)于不等式部分，主要還是以絕對(duì)值不等式為

主.本專題中主要介紹幾種高考中常見(jiàn)的選做題類型，以及在后面【點(diǎn)睛】處有此類題型的

解決方法.通過(guò)本專題的講解與練習(xí)之后，在高考中，此類題型就能夠迎刃而解.拿到滿分.

【知識(shí)點(diǎn)分析以及滿分技巧】對(duì)于參數(shù)方程與極坐標(biāo)系方程屬于簡(jiǎn)單一點(diǎn)的解析幾何.

需要搞清楚極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系之間的等量轉(zhuǎn)化，相對(duì)于要學(xué)會(huì)將極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化成直角坐

標(biāo)去運(yùn)算，同理將直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)系去運(yùn)算.

對(duì)于絕對(duì)值不等式的求解，一般采用三段法，將絕對(duì)值不等式分成三段，從而進(jìn)行分段

討論運(yùn)算，應(yīng)注意計(jì)算技巧，計(jì)算是本類題目的易錯(cuò)點(diǎn).

【常見(jiàn)題型限時(shí)檢測(cè)】（建議用時(shí)：35分鐘）

一、解答題

1.（2020?寧夏高三月考（文））在平面直角坐標(biāo)系xOj中，曲線G的參數(shù)方程為

x=cos6x=-2--t

2”為參數(shù)）.

曲線G的參數(shù)方程為＜r

6,

y=3sin。

y

2

（1）求曲線G，的普通方程;

（2）求曲線G上一點(diǎn)p到曲線G距離的取值范圍.

【答案】（1）?+^-=1；^3x+y+2j3=0.

（2）[0,25/3].

【解析】

【分析】

（1）利用平方和代入法，消去參數(shù)即可得到曲線G，G的普通方程；

（2）由曲線G的方程，設(shè)P（cosa,3sina）,再由點(diǎn)到直線的距離公式和三角函數(shù)的

性質(zhì)，即可求解.

【詳解】

（八fx=cos。

（1）由題意，\.C（。為參數(shù)），則.八，平方相加，即可得C1：

y=3sin，M=sin6

x2y

-9

x--2--t

2

由，。為參數(shù)），消去參數(shù)，得C2：y=—g(x+2),即石羅233

爭(zhēng)

y

(2)設(shè)P(cosa,3sina),

P到C2的距離d_小。sa+3sina+2碼

2

*/ae[0,2K),當(dāng)sin1a+&=1時(shí)，即。=工，dn1a、=28，

\613

[TT4兀

當(dāng)sin|a+w=T時(shí)，即a==~,dmin=0.

I6J3

取值范圍為

【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程的互化，以及橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問(wèn)題,

其中解答中合理利用平方和代入，正確化簡(jiǎn)消去參數(shù)得到普通方程，再利用橢圓的參數(shù)

方程，把距離轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能

力.

X=3+2c（）、a

2.（2020?四川高三期末（文））已知曲線C的參數(shù)方程為《一，‘（。為參數(shù)），

y=1—2sina,

以直角坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，％軸非負(fù)半軸為極軸并取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線。的極坐標(biāo)方程，并說(shuō)明其表示什么軌跡.

（2）若直線/的極坐標(biāo)方程為sin。-2cos6=（,求曲線。上的點(diǎn)到直線I的最大距離.

【答案】（1）02—6夕cosG—2夕sin6+6=0,表示以（3,1）為圓心，2為半役的圓；

（2）述+2.

5

y=psin3,

【解析】（1）把曲線C的參數(shù)方程利用平方關(guān)系轉(zhuǎn)化為普通方程，再結(jié)合《八轉(zhuǎn)

x=pcosO,

化為極坐標(biāo)方程；

（2）把直線/的極坐標(biāo)方程化為普通方程，利用點(diǎn)到直線的距離得到結(jié)果.

【詳解】

/、（x=3+2cosafx-3=2cosa,

解：1由?°.得1.

y=\-2sina[y-l=-20sma,

兩式兩邊平方并相加，得（x-3『+（y—1）2=4.

所以曲線C表示以（3,1）為圓心，2為半徑的圓.

y=psind,,

將＜_.代入得（pcose_3x）2~+（zQsing_lx）2=4,

X—L）COSU,

化簡(jiǎn)得p2-6pcos^-2psin^+6=0.

所以曲線C的極坐標(biāo)方程為夕2一6夕cos，-2Psin8+6=0.

（2）由sin。-2cos。=工，得psine-2pcos6=l,即y-2x=l,得2x-y+l=0.

所以直線/的直角坐標(biāo)方程為2%—y+l=0.

因?yàn)閳A心C（3,1）到直線1:2x—y+1=0的距離d=++"=竽

所以曲線C上的點(diǎn)到直線/的最大距離為4+r=述+2.

5

【點(diǎn)睛修數(shù)方程主要通過(guò)代入法或者已知恒等式（如cos2a+sin2a=1等三角恒等式）

消去參數(shù)化為普通方程，通過(guò)選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程，利用關(guān)系

222

x-pcosO[A+)-P

式〈.八，〈V等可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，本

y=psinO[—=tand

x

題這類問(wèn)題?般我們可以先把曲線方程化為直角坐標(biāo)方程，用直角坐標(biāo)方程解決相應(yīng)問(wèn)

題.

22

3.(2020.四川高三期末(文))在直角坐標(biāo)系X0Y中，曲線C的方程為土+匕=1.以

43

坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，》軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為

psin=-叵.

(1)求曲線C的參數(shù)方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線/與X軸和y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求APAB面積的最

大值.

x-2cosa

廣（a為參數(shù)），x—y—2=0（2）77+2

Iy=V3sina

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)橢圓參數(shù)方程形式和極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化原則即可得到結(jié)果；(2)可求出

AB=2枝,所以求解APA區(qū)面積最大值只需求出點(diǎn)P到直線/距離的最大值；通過(guò)假設(shè)

P(2cosa,6sina),利用點(diǎn)到直線距離公式得到j(luò),從而得到當(dāng)

sin(a—o)=l時(shí)，4最大，從而進(jìn)一步求得所求最值.

【詳解】

J2(x=2cosa

(1)由二+L=1,得C的參數(shù)方程為《L(a為參數(shù))

43y=Vasina

由psin^-―I=

（2）在x—y—2=0中分別令y=0和尤=0可得:A（2,0）,8（0,—2）

=AB=2叵

設(shè)曲線C上點(diǎn)尸（2cosa,岳ina卜則p到/距離:

（62）

12cosa-Vasina-21|V3sina-2cosa+2|sina——7=coscr+2

IV7V77

"=6=6-V2

=叵牛也1其中：8S0=￡，sin展年

夜V7V7

當(dāng)sin（a—。）=1，

所以4上43面積的最大值為,*2血*里=2=，7+2

2V2

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓參數(shù)方程、極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)以及橢圓上的點(diǎn)到直線距離的最值

問(wèn)題求解，求解此類最值問(wèn)題的關(guān)鍵是利用參數(shù)表示出橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

三角關(guān)系式的化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的范圍來(lái)進(jìn)行求解.

1

x=—+tcosa

4.（2020?四川高三期末（文））在直角坐標(biāo)系宜力中，直線/的參數(shù)方程為<2

y=fsina

（，為參數(shù)，0<a<?）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，無(wú)軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C

2cos。

的極坐標(biāo)方程為夕=

sin7?

（1）求曲線。的直角坐標(biāo)方程;

（2）設(shè)直線/與曲線C相交于AB兩點(diǎn)，若|AB|=8,求a值.

【答案】（1）產(chǎn):？%；（2）a=工或?qū)W

66

【解析】

（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化原則即可求得結(jié)果；（2）將直線參數(shù)方程代入曲線直角

坐標(biāo)方程，可求得4+「2和丫2,根據(jù)直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義可知

IAB|=,-胃="億+葉）2_4%，代入可求得結(jié)果.

【詳解】

2cosa

(1)山夕=---得夕sin26=2cose

sin'，

/.p1sin20=2pcos6,BPy2=2x

（2）將直線/的參數(shù)方程代入曲線。的方程得：入出2a_21cosa—1=0

A=（-2cosor）2+4sin2a=4>0

、「r、E-r2cos（71

設(shè)4,12是方程的根，則：［+J=.1，邛2=^~2~

sin"asina

??.|AB|=|=+亮=^=8

21

/.sin*-a=—,又Oca<乃

4

.1乃…5萬(wàn)

sina=—a=—或一

266

【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程的幾何意義的應(yīng)用，關(guān)鍵是

夠根據(jù)幾何意義將已知弦長(zhǎng)表示為韋達(dá)定理的形式，構(gòu)造出關(guān)于a的方程，屬中檔題.

5.（2020?四川高三期末（文））已知函數(shù)/（x）=|x+a|+|2x—5|（a>0）.

（1）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式/（幻25；

（2）當(dāng)xe［a,2a-2］時(shí)，不等式/（x）W|x+旬恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Q|3

【答案】（1）{x|xW2或x?§}；（2）（2,y］.

【分析】

（1）分類討論去絕對(duì)值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到a的取值

范圍，判斷x+a,x+4為正，去掉絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為|2x-5|44—a在xe［a,2a-2］時(shí)

恒成立，得到a<4,a-4<2x-5<4-a,在2a-2］恒成立，從而得到。的取

值范圍.

【詳解】

3—3x,x<—2

(1)當(dāng)a=2時(shí)，/(x)=|x+2|+|2x-5|=>7—x,—24x4—,

2

c5

3x-3o,x>—

2

xv—2

/、x<—2

由/(x"5,得(22<，即｛2<x<-2

x<——

3

-2<x<-

-2<x<2

7-x>5x<2

3x-3>5

Q

綜上：x<2或

Q

所以不等式5的解集為｛*|無(wú)42或x2§｝.

(2)/(x)<|x+4|,/(%)=|x+?|+|2x-5|<|x+4|,

因?yàn)閤e[a,2a-2],2a-2>a,

所以。>2,

又X￡[G,2Q-2],工+。>0,x+4>0,

得x+。+12x—5gx+4.

不等式恒成立，即|2x-5區(qū)4—a在x2a-2]時(shí)恒成立,

不等式恒成立必須。44,a-4<2x-5<4-a,

解得a+l<2x<9-a.

2。2a+1

所以L,八，

4a—4W9—a

13

解得1<。,

結(jié)合2<〃<4,

13

所以2<。工不，

(13一

即Q的取值范圍為[2,《.

【點(diǎn)睛】本題考查分類討論解絕對(duì)值不等式，含有絕對(duì)值的不等式的恒成立問(wèn)題.屬于中

檔題.

6.(2020.福建省龍巖第一中學(xué)高三期中(文))已知函數(shù)/(x)=|x+5]一卜一4|.

(1)解關(guān)于龍的不等式/(x)Zx+l；

(2)若函數(shù)/(x)的最大值為M,設(shè)。，〃為正實(shí)數(shù)，且(a+1)9+1)=M,求他的

最大值.

【答案】(1)(-oo,-10]u[0,8]:(2)4.

【分析】

(1)通過(guò)討論x的范圍，解不等式，求出不等式的解集即可：

(2)根據(jù)絕對(duì)值三角不等式求得了(x)的最大值，結(jié)合柯西不等式解出即可.

【詳解】

(1)小)小+汩1。+1等價(jià)寸一(尤+5)+(1)"+1,

-5<x<4x>4

nVv、、<

(x+5)+(x-4)>x+L(zx+5)-(x-4)>x+L

解得x4-10,或0Vx<4,或44x48,

于是原不等式的解集為(-8，-10[30,8]

(2)易知|x+5]一|x—4]?|(%+5)—(x-4)|=9,即M=9.

所以(a+1)(匕+1)=9,

即9=(a+l)(7?+l)=[(G)+1(班)+1>[4ab+l^,

于是JM+1W3,解得。人44,當(dāng)且僅當(dāng)。=6=2時(shí)等號(hào)成立，

即時(shí)的最大值為4.

【點(diǎn)睛】本題考查了解絕對(duì)值不等式的問(wèn)題，考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)及柯西不等式的應(yīng)

用，是一道中檔題.

7.(2019?福建高考模擬(文))己知函數(shù)/(幻=卜+2?-4].

(1)求不等式/(x)43x的解集;

(2)若/(x)NZ(x-l)對(duì)任意xwR恒成立，求&的取值范圍.

【答案】(1)[2,+00)(2)(-℃,2]

【分析】

(1)把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再

取并集，即得所求;

|x+2|+|x-4|

(2)對(duì)x分類討論，當(dāng)xw1時(shí)，k<,借助絕對(duì)值不等式即可得到右側(cè)的最

k-1!

小值，從而得到人的取值范圍.

【詳解】

(1)當(dāng)x>4時(shí)，原不等式等價(jià)于x+2+x—4W3x,解得xN-2,所以x>4；

2

當(dāng)x<—2時(shí)，原不等式等價(jià)于—x—2—x+4W3x,解得，所以此時(shí)不等式無(wú)解;

當(dāng)—24xK4時(shí)，原不等式等價(jià)于x+2—x+4<3x,解得x22,所以2Kx<4；

綜上所述，不等式解集為[2,??).

(2)由得|x+2Hx_42

當(dāng)x=l時(shí)，6NO恒成立，所以&eR；

|X4-2|+|X-4||X-1+3|+|X-1-3|

當(dāng)XW1時(shí),yIT=FTi+AWA

1十三川-白閆〔1+WH>9)=2

因?yàn)?/p>

當(dāng)且僅當(dāng)(1+aw一3

|>0即x24或x<—2時(shí),等號(hào)成立

x-1

所以，k<2

綜上，女的取值范圍是(F2].

【點(diǎn)睛】

本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，絕對(duì)值三角不等式，體現(xiàn)了等價(jià)

轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

8.(2019?河北高考模擬(文))已知函數(shù)/(力=|2.+|2%+3|+m，meR.

(1)當(dāng)加=一2時(shí)，求不等式/(x)<3的解集;

2

(2)若Vxe(fo,0),都有f(x"x+—恒成立，求相的取值范圍.

【答案】⑴-2,1；(2)m>-3-2y/2

【分析】

4x+l,x>0

3

(1)當(dāng)加=-2時(shí),f(x)=|2x|+|2x+3卜2=<1,一一<x<0,分段解不等式即可.

2

,u3

-4x—5,x<——

12

3+/77,--<X<0

232

(2)f(x)=|2x|+|2x+3|+m=<.當(dāng)—<4。時(shí)，得3+相2%~1—,

/c,32x

-Ax-3+m,x<——

2

32

當(dāng)工<一一時(shí)，得“25x+—+3,利用恒成立求最值，可得m的取值范圍.

2x

【詳解】

4x+l,x>0

(1)當(dāng)m=-2時(shí),f(x)=|2x|+|2x+3卜2=<1,—<x<0

2

3