初中數(shù)學(xué)七年級上冊知識(shí)點(diǎn)與?？碱}型梳理

七年級上冊知識(shí)點(diǎn)與題型歸納

講次01有理數(shù)的分類及數(shù)軸

考點(diǎn)一、有理數(shù)分類

按照整數(shù)和分?jǐn)?shù)的分類

有理數(shù)分類注意事項(xiàng)：

1.無限不循環(huán)的小數(shù)不是有理數(shù)，比如：圓周率。

2.無限循環(huán)的小數(shù)是有理數(shù)，比如：0.6666666…

3.如200%,6/3能約分成整數(shù)的數(shù)不能算做分?jǐn)?shù)

考點(diǎn)二、數(shù)軸

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。

數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長度（重點(diǎn)）

畫數(shù)軸步驟：畫直線-取原點(diǎn)-規(guī)定正方向-單位長度

任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的。

數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)從左到右依次增大；原點(diǎn)左邊的數(shù)是負(fù)數(shù)，原點(diǎn)右邊的數(shù)是正數(shù).

實(shí)心點(diǎn)表示包括本數(shù)，空心點(diǎn)表示不包括本數(shù)。

命題角度一正負(fù)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

例題1.如果向東走2m記為+2m，則向西走3m可記為（）

A.+3mB.+2mC.-3mD.-2m

【解析】若向東走2，"記作+2"，則向西走3，”記作-3，〃，選C.

變式1.如果+20%表示增加20%,那么-6%表示（）

A.增加14%B.增加6%C.減少6%D.減少26%

【解析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示.“正”

和“負(fù)”相對，所以如果+20%表示增加20%,那么-6%表示減少6%.選C.

變式2.四個(gè)足球與足球規(guī)定質(zhì)量偏差如下：-3,+5,+10,-20（超過為正，不足為負(fù)）.質(zhì)

量相對最合規(guī)定的是（）

4.+10B.-20C.-3D.+5

【解析】最符合規(guī)定的是-3,選C.

變式3.花店、書店、學(xué)校依次坐落在一條東西走向的大街上，花店位于書店西邊100米處，

學(xué)校位于書店東邊50米處，小明從書店沿街向東走了20米，接著又向西走了-30米，此

時(shí)小明的位置（）

A.在書店B.在花店C.在學(xué)校D.不在上述地方

【解析】根據(jù)題意：小明從書店沿街向東走了20米，接著又向西走了-30米，即向東走了

50米，而學(xué)校位于書店東邊50米處，故此時(shí)小明的位置在學(xué)校.選C.

命題角度二有理數(shù)的分類

例題2.把下列各數(shù)填入它所在的數(shù)集的括號(hào)里.

1124

--,+5,-6.3,0,-—,2—,6.9,-7,21010.031,-43）-10%

2135

正數(shù)集合：｛...｝；整數(shù)集合：｛...｝

非負(fù)數(shù)集合：｛...｝；負(fù)分?jǐn)?shù)集合：｛

4

【解析】正數(shù)集合：｛+5,2-,6.9,210,0.031

整數(shù)集合：｛+5,0,-7,210,-43…｝;

4

非負(fù)數(shù)集合:｛+5,0,2-,6.9,210,0.031...｝；

,112

負(fù)分?jǐn)?shù)集合：｛---,-6.3,----,-10%...｝.

213

44

故答案為｛+5,2-,6.9,210,0.031...｝；｛+5,0,-7,210,-43...｝；｛+5,0,2-,6.9,

112

210,0.031...｝；｛--6.3,——,-10%...｝.

213

變式1.所有的正數(shù)組成正數(shù)集合，所有的負(fù)數(shù)組成負(fù)數(shù)集合，所有的整數(shù)組成整數(shù)集合,

所有的分?jǐn)?shù)組成分?jǐn)?shù)集合，請把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合中：

-2.5,3.14,-2,+72,-0.6,0.618,0,-0.101

正數(shù)集合：｛…｝;負(fù)數(shù)集合：｛…｝;

分?jǐn)?shù)集合：｛…｝;非負(fù)數(shù)集合：｛…｝.

【解析】正數(shù)集合：｛3.14,+72,0.618,

負(fù)數(shù)集合：｛-2.5,-2,-0.6,-0.101,...｝；

分?jǐn)?shù)集合：｛-2.5,3.14,-0.6,0,618,-0.101,...）；

非負(fù)數(shù)集合：｛3.14,+72,0.618,0,

變式2.（1）如圖，下面兩個(gè)圈分別表示負(fù)數(shù)集和分?jǐn)?shù)集，請你把下列各數(shù)填入它所在的數(shù)

集的圈里；

（2）上圖中，這兩個(gè)圈的重疊部分表示什么數(shù)的集合？

（3）列式并計(jì)算：在（1）的數(shù)據(jù)中，求最大的數(shù)與最小的數(shù)的和.

【解析】（1）根據(jù)題意如圖：

負(fù)數(shù)羹分?jǐn)?shù)里

（2）這兩個(gè)圈的重疊部分表示負(fù)分?jǐn)?shù)集合;

（3）?.?最大數(shù)是2016,最小數(shù)是-72,

???最大的數(shù)與最小的數(shù)之和2016+（-72）=1944.

命題角度三數(shù)軸的三要素及畫法

例題3.下列數(shù)軸畫正確的是（）

A.>B.Tfo~1~

C-2-1012>D.J、012,

【解析】4沒有單位長度，故錯(cuò)誤；B、沒有正方向，故錯(cuò)誤；C、原點(diǎn)、正方向、單位長

度都符合數(shù)軸的條件，故正確；。、數(shù)軸的左邊單位長度的表示有錯(cuò)誤.選C.

變式1.下列圖中數(shù)軸畫法不無碘的有（）.

（）（）（），

?-*1*0*1?~-1?----0?-?1A⑴3?o--------

4）-1-2-30123-2-1012

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)5個(gè)

【解析】（1）沒有正方向，數(shù)軸畫法不正確；（2）單位不統(tǒng)一，數(shù)軸畫法不正確;

（3）缺少單位長度，數(shù)軸畫法不正確；（4）單位不統(tǒng)一，數(shù)軸畫法不正確；

（5）符合數(shù)軸的定義，數(shù)軸畫法正確.選C.

變式2.下列各圖表示數(shù)軸正確的是（）

IIIIIIII

A~~,

-1-2-3-401234

1????????

艮-4-3-2-101234

c-4-3-2-101234

i1I??1?1?）

-1-2-3-401234

【解析】各圖表示數(shù)軸正確的是：

-4-3-2-101234

選C.

命題角度四用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)

例題4.如圖，在數(shù)軸上，小手遮擋住的點(diǎn)表示的數(shù)可能是（

A.-1.5D.0.5

【解析】由數(shù)軸可知小手遮擋住的點(diǎn)在-1和0之間，而選項(xiàng)中的數(shù)只有-0.5在-1和0之間,

所以小手遮擋住的點(diǎn)表示的數(shù)可能是-0.5,選C.

變式L如圖，數(shù)軸上蝴蝶所在點(diǎn)表示的數(shù)可能為（）

A.3B.2C.1D.-1

【解析】數(shù)軸上蝴蝶所在點(diǎn)表示的數(shù)可能為-1,選D

2

變式2.如圖，不倒數(shù)在數(shù)軸上表示的點(diǎn)位于下列兩個(gè)點(diǎn)之間（)

EFGHI

-101234

A.點(diǎn)￡和點(diǎn)尸B.點(diǎn)F和點(diǎn)GC.點(diǎn)F和點(diǎn)G。.點(diǎn)G和點(diǎn)H

255

【解析】一的倒數(shù)是一，二一在G和H之間，選。.

522

變式3.若間=-〃，則實(shí)數(shù)〃在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)一定在（）

A.原點(diǎn)左側(cè)B.原點(diǎn)或原點(diǎn)左側(cè)C.原點(diǎn)右側(cè)。.原點(diǎn)或原點(diǎn)右側(cè)

【解析】???⑷=七，六。一定是非正數(shù)，.?.實(shí)數(shù)。在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)一定在原點(diǎn)或原點(diǎn)左側(cè),

選B.

命題角度五利用數(shù)軸表示有理數(shù)的大小

例題5.實(shí)數(shù)”，〃在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，把-a,-b,0按照從小到大的順序

排列，正確的是（）

-------1--------1-------------1------->

a0b

A.-a<0<-hB.0<-a<-bC.-h<0<-aD.0<-h<-a

【解析】根據(jù)數(shù)軸得出。V0V4求出-b<0,-。>0,即得出答案.

,從數(shù)軸可知：a<0<bf/.-a>-b,-bVO,-a>0,-b<0<-a,

變式1.a,b在數(shù)軸上位置如圖所示，則a,b,-a,-b的大小順序是（)

b0a

A.-a<b<a<-bB.b<—a<—b<a

C.—a<—b<b<aD.b<—a<a<—b

【解析】從數(shù)軸上可以看出6<0<a,\b\>\a\,

-a<0,-a>b,-h>0,-h>a,即/選。.

變式2.實(shí)數(shù)a,〃在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（）

一J_?_?_二_

-3-2-10123

A.a>-2B.a<-3C.a>-bD.a<-b

【解析】試題分析：A.如圖所示：故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.如圖所示：-3<a<-2,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.如圖所示：1<匕<2,則-2<-方<-1,又-3<〃<-2,故故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

D.由選項(xiàng)C可得，此選項(xiàng)正確.選。.

變式3.有理數(shù)機(jī)，〃在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（）

-3-2-10123

A.m<-lB.n>3C.m<-nD.m>-n

【解析】由數(shù)軸可得，-1〈機(jī)<0V2<〃<3,選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，

選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)。正確

命題角度六數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題

例題6.如圖1,圓的周長為4個(gè)單位，在該圓的4等分點(diǎn)處分別標(biāo)上字母相、”、p、q,如

圖2,先讓圓周上表示，〃的點(diǎn)與數(shù)軸原點(diǎn)重合，再將數(shù)軸按逆時(shí)針方向環(huán)繞在該圓上，則數(shù)

軸上表示-2019的點(diǎn)與圓周上重合的點(diǎn)對應(yīng)的字母是（）

A.mB.nC.pD.q

【解析】由于圓的周長為4個(gè)單位長度，所以只需先求出此圓在數(shù)軸上環(huán)繞的距離，再用這

個(gè)距離除以4,如果余數(shù)分別是0,-1,-2,-3,則分別與圓周上表示字母為〃?，q,p,〃的

點(diǎn)重合.2019+4=504...3,故-2016與〃點(diǎn)重合.

變式1.在數(shù)軸上,把表示-4的點(diǎn)移動(dòng)I個(gè)單位長度后，所得到的對應(yīng)點(diǎn)表示的數(shù)為（）

A.-2B.-6C.-3或-5D.無法確定

【解析】把表示-4的點(diǎn)向左移動(dòng)1個(gè)單位長度為一5,向右移動(dòng)1個(gè)單位長度為-3.選C.

變式2.已知數(shù)軸上的三點(diǎn)A、B、C,分別表示有理數(shù)“、1、-1,那么|。+1|表示為（）

A.A、B兩點(diǎn)間的距離B.A、C兩點(diǎn)間的距離

C.A、8兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和D.A、C兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和

【解析】因?yàn)閨a+l|=|a—（―1）|,所以|。+1|表示A點(diǎn)與C點(diǎn)之間的距離，選8

變式3.如圖，半徑為1的圓從表示1的點(diǎn)開始沿著數(shù)軸向左滾動(dòng)一周，圓上的點(diǎn)A與表示

1的點(diǎn)重合，滾動(dòng)一周后到達(dá)點(diǎn)B,點(diǎn)B表示的數(shù)是（）

A.-2兀B.1-2KC.-7tD,l-Ti

【解析】解：..?直徑為1個(gè)單位長度的圓從原點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向左滾動(dòng)一周，

.??AB之間的距離為圓的周長=2兀，A點(diǎn)在數(shù)軸上表示1的點(diǎn)的左邊.

：.A點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是1-27T.選B.

講次02絕對值與相反數(shù)

考點(diǎn)一相反數(shù)

只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù).（絕對值相等,符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)）

注意：

1、通常〃與“互為相反數(shù)；2、〃表示任意一個(gè)數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)，也可以是0；

3、特別注意，。的相反數(shù)是0.

考點(diǎn)二絕對值

正數(shù)的絕對值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。（互為相反數(shù)的兩個(gè)

數(shù)的絕對值相等。).

命題角度一求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)

例題1.■的相反數(shù)是()

225

A.--B.-C.--

552

2?

【解析】的相反數(shù)是：二.選B.

變式1.如果a表示有理數(shù)，那么下列說法中正確的是()

A.+〃和一(⑷互為相反數(shù)B.+a和-a一定不相等

C.-a一定是負(fù)數(shù)D.-(+a)和+(-“)一定相等

【解析】A.-(-a)=a,兩個(gè)數(shù)相等，故錯(cuò)誤B當(dāng)。=0時(shí)，+。與一a相等，故錯(cuò)誤.

仁一?？梢允钦龜?shù)，也可以是負(fù)數(shù)，還可以是0.故錯(cuò)誤.￡>.正確，選D

變式2.-(—6)的相反數(shù)是()

A.|-6|B.-6C.0.6D.6

【解析】-(-6尸6,；.6的相反數(shù)是-6,選A

變式3.已知同=1,b是2的相反數(shù)，則a+b的值為()

A.-3B.-1C.-1或-3D.1或-3

【解析】v|a|=l,b是2的相反數(shù)，.?.a=l或a=-l,b=-2,

當(dāng)a=l時(shí)，a+b=1~2=-1；當(dāng)a=T時(shí)，a+b=-1-2=-3；

綜上，a+b的值為-1或-3,選C.

命題角度二判斷兩個(gè)數(shù)是否互為相反數(shù)

例題2.下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是()

4.-(-1)與1B.(-1)2與1C.|-1|與1D.一口與1

【解析】選項(xiàng)A,-(-1)與1不是相反數(shù),選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)8,(-1)2與1不是互為相

反數(shù)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C,I-1I與1不是相反數(shù)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)。，一12與1是相

反數(shù)，選項(xiàng)正確.故答案選。.

變式1.4,8是數(shù)軸上兩點(diǎn)，線段AB上的點(diǎn)表示的數(shù)中，有互為相反數(shù)的是()

,4名

,4』,D.

01230123

【解析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)到原點(diǎn)的距離相等，并且在原點(diǎn)的兩側(cè)，可知只有B答

案正確.選B.

變式2.如圖，數(shù)軸上有A,B,C,。四個(gè)點(diǎn)，其中到原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)是()

ABC,D

?

-2-1017

A.點(diǎn)B與點(diǎn)DB.點(diǎn)A與點(diǎn)CC.點(diǎn)A與點(diǎn)。。.點(diǎn)8與點(diǎn)C

【解析】到原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)互為相反數(shù)，選C

變式3.下列各對數(shù)互為相反數(shù)的是()

A.+(+3)與一(一3)B.+(—3)與一(+3)

C.+|+3|與+|一3|D.+|一3|與一|+3|

【解析】人+(+3)=3,-(-3)=3,兩者相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、+(-3)=-3,一(+3)=-3,兩者相等,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C、+|+3|=3,+|—3|=3,兩者相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

D、+|—3|=3,—|+3|=-3,兩者互為相反數(shù)，故本選項(xiàng)正確；選D

命題角度三多重符號(hào)化簡

例題3.下列化簡，正確的是()

A.-(-3)=-3B.-[-(-10)]=-10

C.-(+5)=5D.-[-(+8)]=-8

【解析】A、-(-3)=3,故錯(cuò)誤；By-[-(-10)]=-10＞故正確;

C、-(+5)=5故錯(cuò)誤；C、-(+8)1=8,故正確.選8?

變式L化簡一(+2)的結(jié)果是()

A.-2B.2C.±2D.0

【解析】-(+2)=-2,選A.

變式2.下列各數(shù)中互為相反數(shù)的是()

A.+(-5)與-5B,一(+5)與一5

C.一(+5)與一|一51D.-(-5)與4-(-5)

【解析】A、+(-5)=-5,選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、-(+5)=-5,選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、-(+5)=-5,-|-5|=-5,選項(xiàng)錯(cuò)誤;

。、-(-5)=5,+(-5)=-5,5與-5互為相反數(shù)，選項(xiàng)正確，選￡>.

變式3.-(-3)的絕對值是(

A,-3

【解析】(-3)=3,3的絕對值等于3,

-(-3)的絕對值是3,即I-(-3)1=3.選C.

命題角度四相反數(shù)的應(yīng)用

例題4.已知x-4與2-3x互為相反數(shù)，貝Ux=()

3

B.-1

2

【解析】因?yàn)閤-4與2-3x互為相反數(shù)，所以x-4+2-3k0,解得:K1.選B.

變式1.若3根-7和9-m互為相反數(shù)，則加的值是()

C.-1D.-4

【解析】由題意知13/律一7+9-相=0,則3加-帆=7-9,2m--2,加=—1,選C.

變式2.如果。與1互為相反數(shù)，則|a+2|等于()

【解析】由a與1互為相反數(shù)，得。+1=0,即a=-l,故|。+析=|-1+2|=1.選C

命題角度五求一個(gè)數(shù)的絕對值

例題5.|-2019|=()

1

A.2019B.-2019C.-------D.

2019

【解析】|-2019|=2019.^4.

變式1.如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)的絕對值為()

-2A~0

B.-1

【解析】由數(shù)軸可得：點(diǎn)A表示的數(shù)是-1.

-11=1,.?.數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)的絕對值為1.選A.

變式2.已知。與1的和是一個(gè)負(fù)數(shù)，則同=()

A.aB.-aC.a或-aD.無法確定

【解析】?.％與1的和是一個(gè)負(fù)數(shù)，1..[d=-”?選8.

A.0B.-1C.2D.-3

【解析】??,|T|=1，|0|=0,|2|=2,13|=3,...這四個(gè)數(shù)中,絕對值最小的數(shù)是0；選A.

命題角度六化簡絕對值

例題6.實(shí)數(shù)〃、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則代數(shù)式|c-a|-|a+句的值等于（）

ba0

A.c+。B.b-cC.c-2a+bD.c-2a-b

【解析】由數(shù)軸可知，b<a<0<c,/.c-a>0fa+h<0,

貝“。a|-|q+b|=c-〃+4+/?=c+b,選A.

變式L當(dāng)1<水2時(shí)，代數(shù)式2TI1一的值是（)

A.-1B.1C.3D.—3

【解析】當(dāng)1V〃V2時(shí)，。-2|+|1-。|二2--1=1.選反

變式2.已知時(shí)=5,網(wǎng)=2,^\a-b\=b-a,則a+6的值為（)

A.3或7B.-3或-7C.-3D.-7

【解析】由|a?b|=b-a,知b>a9又由悶=5,步|=2,知a=-5,b=2或-2,當(dāng)o=?5,b=2時(shí),a+b=-3f

當(dāng)a=-5>b=-2時(shí)，a+b=-7,故a+b=-3或-7.二|。一b\-b-a,b>a,

V|a|=5,步|=2,：.a=-5fb=2或一2,

當(dāng)a=-5,b=2時(shí)，a+b=-3,當(dāng)a=-5,b=~2時(shí)，a+b=T,a+b=-3或一7.選B.

命題角度七絕對值非負(fù)性的應(yīng)用

例題7.已知|a+3|+g-1|=0,貝ija+b的值是（）

A.-4B.4C.2D.-2

【解析】根據(jù)題意得，〃+3=0,/?-1=0,解得。=-3,b=l,

所以a+h=-3+i=-2.選D.

變式L已知|〃+1|與I8一4|互為相反數(shù),則"的值是（）。

A.-1B.1C.-4D.4

【解析】因?yàn)閨。+1|與|b-4|互為相反數(shù),所以|〃+1|+g?4|=0,所以a+l=0,Z?-4=0,

所以〃=-1力=4,所以=（一1）4=1.選8.

變式2.若卜+1|+忖-2kk+3|=0,則(a7)(b+2)(c-3)=()

A.-48B.48C.0D.無法確定

【解析】V|a+l|+|h-2|+|c+3|=0,|a+l|>0,|b-2|>0,|c+3|>0,

6r+l=0>6-2=0、c+3=0,*.a=-\,b=2,c=-3,

：.(a-l)0+2)(c-3)=(-l-l)x(2+2)x(-3-3)=48,選B.

講次03有理數(shù)的加減法

考點(diǎn)一有理數(shù)的加法

有理數(shù)的加法法則：(先確定符號(hào)，再算絕對值)

1.同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對值相加；

2.異號(hào)兩數(shù)相加，絕對值不相等時(shí)，取絕對值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對值減去

較小的絕對值；

3.互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；(如果兩個(gè)數(shù)的和為0,那么這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù))

4.一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。

有理數(shù)的加法運(yùn)算律：

1.兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a+Z?=〃+a；

2.三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變。即

(a+b)+c=1+(/?+c)。

考點(diǎn)二有理數(shù)的減法

有理數(shù)的減法法則：

減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。即。一〃=a+(-Z?)。

【注意減法運(yùn)算2個(gè)要素發(fā)生變化】：減號(hào)變成加號(hào)；減數(shù)變成它的相反數(shù)。

有理數(shù)減法步驟：

1.將減號(hào)變?yōu)榧犹?hào)。

2.將減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)。

3.按照加法法則進(jìn)行計(jì)算。

命題角度一有理數(shù)加法運(yùn)算

例題1.計(jì)算一+其結(jié)果為()

A.-2B.2C.0D.-1

【解析】由題可得：原式=1+1=2,選B.

變式1.有理數(shù)8在數(shù)軸上的位置如圖所示，則。+方的值()

aO1b

A.大于0B.小于0C.小于。D.大于。

【解析】根據(jù)小6兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置可知，a<0,b>0,且|b|>同，所以〃+〃>().選A.

變式2.若。=2,\h\=5,則“+6=()

A.-3B.7C.-7D.-3或7

【解析】|^|=5,b=±5,”+6=2+5=7或a+b=2-5=-3；選￡).

變式3.若|〃?|=3,|〃|=5,Km-n>0,則zn+〃的值是()

A.-2B.-8或8C.-8或-2D.8或-2

【解析】|m|=31|n|=5,.'.m=±3,n=±5,

m-n>0,m-±3,n--5,m+n=±3-5,.,.nz+”=-2或〃?+”=-8.選C.

變式4.若根是有理數(shù)，則帆+〃z的值是()

人正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.0或正數(shù)D.0或負(fù)數(shù)

【解析】如果m是正數(shù)，則M+/"是正數(shù)；如果m是負(fù)數(shù)，則帆+機(jī)是0；如果，〃是0,

則1+是。.選C

命題角度二有理數(shù)加法中的符號(hào)問題

例題2.將6-(+3)+(-2)改寫成省略括號(hào)的和的形式是()

A.6-3-2B.-6-3-2C.6-3+2D.6+3-2

【解析】將6-(+3)+(-2)改寫成省略括號(hào)的和的形式為6-3-2.選A.

變式1.把(+3)-(+5)-(-1)+(-7)寫成省略括號(hào)的和的形式是().

A.-3-5+1-7B.3-5-1-7C.3-5+1-7D.3+5+1-7

【解析1(+3)-(+5)-(-1)+(-7)=(+3)+(-5)+(+1)+(-7)=3-5+1-7

選C.

變式2.若兩個(gè)非零的有理數(shù)“，6滿足：\a\^~a,\b\=b,a+h<0,則在數(shù)軸上表示數(shù)a,

〃的點(diǎn)正確的是()

A~~b6q-&bd『

c-y-b-----~~d—

【解析】〈a、b是兩個(gè)非零的有理數(shù)滿足:\a\=-a,\b\=bf。+。<0,，〃V0,b>0,

???Q+8V0,?,?間>|訃.,?在數(shù)軸上表示為如下圖，選。.

j-d—

變式3.如果。<0,b>0,a+b<0,那么下列關(guān)系式中正確的是()

A.-a>b>-b>aB.a>-a>b>—b

C.a>b>-b>-aD.h>a>-h>—a

【解析】'."a<0,b>0,a+b<0,\a\>b,.'.-a>b,-b>a,

.,.a,8,-a,-6的大小關(guān)系為：-〃>6>-b>a,選4.

命題角度三有理數(shù)加法在實(shí)際生活中的應(yīng)用

例題3.下列溫度是由-3℃上升5℃的是()

A.2℃B.-2℃C.8℃D.-8℃

【解析】(一3℃)+5℃=2℃,選4

變式1.在學(xué)習(xí)“有理數(shù)的加法與減法運(yùn)算”時(shí)，我們做過如下觀察：“小亮操控遙控車模沿

東西方向做定向行駛練習(xí)，規(guī)定初始位置為0,向東行駛為正，向西行駛為負(fù).先向西行駛

3成，在向東行駛1m,這時(shí)車模的位置表示什么數(shù)？”用算式表示以上過程和結(jié)果的是()

A.(-3)-(+1)=-4B.(-3)+(+1)=-2

C.(+3)+(-1)=+2D.(+3)+(+1)=+4

【解析】由題意可得：(-3)+(+1)=-2.選8.

變式2.一家快餐店一周中每天的盈虧情況如下(盈利為正)：37元，-26元，-15元，27

元，-7元，128元，98元，這家快餐店總的盈虧情況是()

A.盈利了290元B.虧損了48元C.盈利了242元D.盈利了-242元

【解析】；37+(-26)+(-15)+27+(-7)+128+98=242(元),

二一周總的盈虧情況是盈利242元.選擇C.

變式3.面粉廠規(guī)定某種面粉每袋的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為50±0.2依，現(xiàn)隨機(jī)選取10袋面粉進(jìn)行質(zhì)

量檢測，結(jié)果如下表所示：

序號(hào)12345678910

質(zhì)量

5050.149.950.149.750.1505049.949.95

(kg)

則不符合要求的有（）

A.1袋8.2袋C.3袋D4袋

【解析】???每袋的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為50±0.2依，即質(zhì)量在49.8kg一一50.2kg之間的都符合要求,

根據(jù)統(tǒng)計(jì)表可知第5袋49.1kg不符合要求,選A

命題角度四有理數(shù)加法運(yùn)算律

例題4.計(jì)算1-3+5-7+9=（1+5+9）+（-3-7）是應(yīng)用了（）

人加法交換律B.加法結(jié)合律C.分配律D.加法交換律與結(jié)合律

【解析】計(jì)算1-3+5-7+”（工+S+q）+（-3-7）是應(yīng)用了加法交換律與結(jié)合律.選。.

變式1.計(jì)算（_29+（+三）+（一）+（+12）等于（）

4646

A.-1B.1C.0D.4

【解析】原式=（-2：）+（―［）+（|）+（+1，）=（一3）+2=—1.選A.

變式2.—1+2—3+4—5+6+...—2017+2018的值為（）

A.1B.-1C.2018D,1009

變式3.下列交換加數(shù)的位置的變形中，正確的是

13111311

4.1-4+5-4=1-4+4-5B.一一+-------=一+--------

34644436

C.1-2+3-4=2-1+4-3D.4.5-1.7-2.5+1.8=4.5-2.5+1.8-1.7

【解析】A.1-4+5-4=1—4-4+5,故錯(cuò)誤；

C.1-2+3-4=-2+1-4+3,故錯(cuò)誤;

D.4.5-1.7-2.5+1.8M.5-2.5+1.8-1.7,故正確.選D

命題角度五有理數(shù)減法運(yùn)算

例題5.-3-（-2）的值是（）

A,-1B.1C.5D.-5

【解析1-3-（-2）=-3+2=-1,選A.

變式1.比-1小2的數(shù)是（）

A?3B.1C.-2D.-3

【分析】根據(jù)題意可得算式，再計(jì)算即可.【解析】-1-2=3,選D

變式2.若|。|=3,\h\=\,且〃＞人，那么a-h的值是（）

A.4B.24或2

【解析】V|tz|=3,\b\=l9Aa=±3,b=±L???有兩種情況：

①〃=3,b=\,貝!J：a—b=2；②a=3,b=-\,則選。.

變式3.若x<0,則卜一(一X)|等于()

A.—xB.0C.2xD.—2x

【解析】卜―(—x)=|x+X=|2x|,?.?x<0，.?.2x<0,...原式=|2R=-2x.選。.

命題角度六有理數(shù)減法在實(shí)際生活中的應(yīng)用

例題6.某市有一天的最高氣溫為2℃,最低氣溫為-8℃,則這天的最高氣溫比最低氣溫高

()

A.10"CB.6℃C.-6℃D.-10℃

【解析】2-（-8）=2+8=10（℃）.選4.

變式1.某地一周前四天每天的最高氣溫與最低氣溫如右表，則這四天中溫差最大的是（）

星期—.二三四

最高氣溫10℃12℃11℃9℃

最低氣溫3℃0℃-2℃-3℃

A.星期一B.星期二C.星期三D.星期四

【分析】利用每天的最高溫度減去最低溫度求得每一天的溫差，比較即可解答.

【解析】星期一溫差：W-3=7℃；星期二溫差：工2-。=12℃;

星期三溫差：11-(-2)—13℃；星期四溫差：Q-(-3)=12℃；

綜上，周三的溫差最大.選C.

變式2.我市冬季里某一天的最低氣溫是T0℃,最高氣溫是5℃,這一天的溫差為

A.-5℃B.5℃C.10℃D.15℃

【解析】5-(-10)=5+10=15。選解

變式3.甲、乙、丙三地海拔分別為20m,-15m,-10m,那么最高的地方比最低的地

方高()

A.10mB.25mC.35mD.5m

【解析】由正數(shù)與負(fù)數(shù)的意義得：最高的地方的海拔為20機(jī)，最低的地方的海拔為-15”

則最高的地方比最低的地方高20-(-15)=20+15=35(加)，選C.

命題角度七有理數(shù)加減混合運(yùn)算

例題7.計(jì)算：①-13+(-20)-(-33)；②(+,)-(--)+(--)-(+-)

2346

【解析】

①-13+(-20)-(-33)=-33+33=0；

?1、1、1、1111164325

234623461212121212

變式1.計(jì)算：(I)6-7+8-9(2)-2-(-5)+(-8)-5

【解析】(1)6—7+8-9——1+8—9—7—9———2

(2)—2—(—5)+(—8)—5=—2+5—8—5=3—8—5=—5—5=—10

變式2.請根據(jù)如圖所示的對話解答下列問題.

我不小心把老師留的作

業(yè)健弄丟了,只記得式

(■IL^-a+b-c.

我告訴你.”的相反數(shù)是3.6的

絕對隹(是7.c與6的和及-8.

求：(l)a,b,c的值；(2)8—a+b—c的值.

【解析】(1)的相反數(shù)是3,。的絕對值是7,.,.“=-3,b=+l；

a=-3,b=+l,c和」的和是-8,當(dāng)b=7時(shí),c=-15,

當(dāng)6=-7時(shí)，c=-\,

(2)當(dāng)。=-3,b=7,c=-15時(shí)，8-〃+/?-c=8-(-3)+7-(-15)=33；

當(dāng)。=-3,b=-7,c=-l時(shí)，8?a+b-c=8-(-3)+(-7)-(-1)=5.

故答案為(1)a=-3,b=±7；c=-l或-15;(2)33或5.

講次04有理數(shù)的乘除法

考點(diǎn)一有理數(shù)的乘法

有理數(shù)的乘法法則：

(1)兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對值相乘。

(2)任何數(shù)同0相乘，都得0.

倒數(shù)：乘積是1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。

1

【注意】o沒有倒數(shù)。(數(shù)a(awO)的倒數(shù)是1)

確定乘積符號(hào)：

(1)若“<0,人>0,貝!Ja6<0;(2)若“<0,b<0,貝U46>0;(3)若“匕>0,貝!］a、b同號(hào)

(4)若出?<0,則a、b異號(hào)(5)若出？=0,則〃、人中至少有一個(gè)數(shù)為0.

多個(gè)有理數(shù)相乘的法則及規(guī)律：

(1)幾個(gè)不是。的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí),

積是正數(shù)。確定符號(hào)后，把各個(gè)因數(shù)的絕對值相乘。

(2)幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0,積為0：反之，如果積為0,那么至少有一個(gè)因數(shù)是0.

［注意］在乘法計(jì)算時(shí)，遇到帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先化為假分?jǐn)?shù)；遇到小數(shù)，應(yīng)先化成分?jǐn)?shù)，再計(jì)算。

有理數(shù)的乘法運(yùn)算律

乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即。><6=6X4。

乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等。即

(axz?)xc=￡zx(/?xc)o

乘法分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加。

即ax(Z7+c)=ax6+axc。

考點(diǎn)二有理數(shù)的除法

有理數(shù)除法法則：

(1)除以一個(gè)不為0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。即=

b

(2)兩數(shù)相除(被除數(shù)不為0),同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對值相除。

【注意】0除以任何不為0的數(shù)，都得0。

除法步驟：1.將除號(hào)變?yōu)槌颂?hào)。2.將除數(shù)變?yōu)樗牡箶?shù)。3.按照乘法法則進(jìn)行計(jì)算。

命題角度一有理數(shù)的乘法運(yùn)算

例題1.在-2,3,4,-5這四個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)相乘，所得積中最大的是()

A.20B.-20C.12D.10

【解析】本題考查的是有理數(shù)的乘法

根據(jù)有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，而正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，可知同號(hào)兩

數(shù)相乘的積大于異號(hào)兩數(shù)相乘的積，則只有兩種情況，-2x(-5)與3x4,比較即可得出.

-圖:源j：-顏:=：!幽，魯留勾=：!&,二所得積最大的是：］,篝，選C。

變式1.已知：a=-2+(-10),fe=-2-(-10),c=-2x(-±),下列判斷正確的是()

10

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.a>c>b

【解析】a=-2+(-10)=-12,b--2-(-10)=-2+10=8,c=-2x(--L)=1,

105

V8>1>-12,：.b>c>a,選B.

5

變式2.若|a|=4,\b\=5,且a〃<0,則a+h的值是()

A.1B.-9C.9或-9O.1或-1

【解析】V\a\=4,|例=5,且"VO,,".a=4,b=-5；a=-4,b=5,

則a+b^I或-1,選D

變式3.已知兩個(gè)有理數(shù)db,如果必<0且a+h>0,那么()

A.a>0,b>0B.?<0,b>0C.a、b同號(hào)

D.a,6異號(hào)，且正數(shù)的絕對值較大

【解析】’."仍<0,b異號(hào),

?：a+b>0,正數(shù)的絕對值較大，選。.

命題角度二有理數(shù)乘法的運(yùn)算律

例題2.用分配律計(jì)算-:一g)x1—g),去括號(hào)后正確的是()

1431143414

A.---x----------B.——x-----x------X—

438124383123

143414143414

C.——x—+—x------X—D.——x-+—x—H---X—

43831234383123

1314143414

【解析】x---x——F—x——|X—，選￡）.

481234383123

22

變式L在4x（-7）x—乂（-5）=（4乂5）乂（7乂一）中，運(yùn)用的是乘法的（)

77

A.交換律B.結(jié)合律C.分配律D.交換律和結(jié)合律

22

【解析】4x（-7）x-x（-5）=（4x5）x（7x-）,運(yùn)用了乘法的交換律與結(jié)合律.選D

變式2.若2019X24=%,則2019X25的值可表示為（）

A.m+\B.nz+24C.機(jī)+2019D.m+25

【解析】V2019X25=2019X(24+1)=2019X24+2019X1=2019X24+2019,

又；2019X24=m,/.2019X25=機(jī)+2019.選C.

57

變式3.運(yùn)用分配律計(jì)算13—X—時(shí)，下列變形最簡便的是（）

716