2023-2024學(xué)年黑龍江省安達(dá)市重點(diǎn)中學(xué)高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023-2024學(xué)年黑龍江省安達(dá)市重點(diǎn)中學(xué)高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)且，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，，若總有恒成立.記的最小值為，則的最大值為（）A．1 B． C． D．3．命題：的否定為A． B．C． D．4．已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的傾斜角為，且，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C．2 D．45．已知三棱錐的外接球半徑為2，且球心為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最大值為（）A． B． C． D．6．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值等于（）A． B． C． D．7．在菱形中，，，，分別為，的中點(diǎn)，則（）A． B． C．5 D．8．已知為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．9．若兩個(gè)非零向量、滿(mǎn)足，且，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．10．設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)與β平行C．α，β平行于同一條直線(xiàn)D．α，β垂直于同一平面11．已知，則，不可能滿(mǎn)足的關(guān)系是（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A． B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，且，則___________.14．設(shè)，滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為_(kāi)_____.15．某市公租房源位于、、三個(gè)小區(qū)，每位申請(qǐng)人只能申請(qǐng)其中一個(gè)小區(qū)的房子，申請(qǐng)其中任意一個(gè)小區(qū)的房子是等可能的，則該市的任意位申請(qǐng)人中，恰好有人申請(qǐng)小區(qū)房源的概率是______.（用數(shù)字作答）16．在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和點(diǎn)，若點(diǎn)在的平分線(xiàn)上，且，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知?jiǎng)訄AQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且與定直線(xiàn)相切（其中a為常數(shù)，且）.記動(dòng)圓圓心Q的軌跡為曲線(xiàn)C．（1）求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線(xiàn)？（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)P作曲線(xiàn)C的切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，若過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)m與曲線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn)，則是否存在直線(xiàn)m，使得？若存在，求出直線(xiàn)m斜率的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（12分）已知圓上有一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形為平行四邊形，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn).（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線(xiàn)與軸分別交于兩點(diǎn)，求證：線(xiàn)段的中點(diǎn)為定點(diǎn)，并求出面積的最大值.19．（12分）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)P是橢圓上異于短軸端點(diǎn)A，B的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于Q，線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)為M.直線(xiàn)AM與直線(xiàn)交于點(diǎn)N，D為線(xiàn)段BN的中點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷以O(shè)D為直徑的圓與點(diǎn)M的位置關(guān)系.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）求直線(xiàn)的普通方程及曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于，，求的值．21．（12分）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.數(shù)列滿(mǎn)足，其前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為．（1）求和的直角坐標(biāo)方程；（2）已知為曲線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線(xiàn)段的中點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】項(xiàng)，由得到，則，故項(xiàng)正確；項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，該不等式不成立，故項(xiàng)錯(cuò)誤；項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，即不等式不成立，故項(xiàng)錯(cuò)誤；項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，即不等式不成立，故項(xiàng)錯(cuò)誤．綜上所述，故選．2、C【解析】

根據(jù)總有恒成立可構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得,求得,再換元求導(dǎo)分析最大值即可.【詳解】由題,總有即恒成立.設(shè),則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調(diào)遞增,無(wú)最大值.若,則當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.故在處取得最大值.故,化簡(jiǎn)得.故,令,可令,故,當(dāng)時(shí),,在遞減；當(dāng)時(shí),,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問(wèn)題,需要根據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進(jìn)而求導(dǎo)構(gòu)造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.3、C【解析】

命題為全稱(chēng)命題，它的否定為特稱(chēng)命題，將全稱(chēng)量詞改為存在量詞，并將結(jié)論否定，可知命題的否定為，故選C．4、A【解析】

由傾斜角的余弦值，求出正切值，即的關(guān)系，求出雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】解：設(shè)雙曲線(xiàn)的半個(gè)焦距為，由題意又，則，，，所以離心率，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題5、C【解析】

由題可推斷出和都是直角三角形，設(shè)球心為，要使三棱錐的體積最大，則需滿(mǎn)足，結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解【詳解】先畫(huà)出圖形，由球心到各點(diǎn)距離相等可得，，故是直角三角形，設(shè)，則有，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值4，要使三棱錐體積最大，則需使高，此時(shí)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查由三棱錐外接球半徑，半徑與球心位置求解錐體體積最值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題6、D【解析】

設(shè)，，去絕對(duì)值，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出．【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿(mǎn)足，設(shè)，，，恒成立，，故則的最小值等于.故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．7、B【解析】

據(jù)題意以菱形對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出，再根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算出結(jié)果.【詳解】設(shè)與交于點(diǎn)，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，的方向?yàn)檩S，建立直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查建立平面直角坐標(biāo)系解決向量的數(shù)量積問(wèn)題，難度一般.長(zhǎng)方形、正方形、菱形中的向量數(shù)量積問(wèn)題，如果直接計(jì)算較麻煩可考慮用建系的方法求解.8、D【解析】

判斷，利用函數(shù)的奇偶性代入計(jì)算得到答案.【詳解】∵，∴．故選：【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求值，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.9、A【解析】

設(shè)平面向量與的夾角為，由已知條件得出，在等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得的值，即為所求.【詳解】設(shè)平面向量與的夾角為，，可得，在等式兩邊平方得，化簡(jiǎn)得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的模求夾角的余弦值，考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.10、B【解析】

本題考查了空間兩個(gè)平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．【詳解】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線(xiàn)都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線(xiàn)都與平行，所以?xún)?nèi)兩條相交直線(xiàn)都與平行是的必要條件，故選B．【點(diǎn)睛】面面平行的判定問(wèn)題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯(cuò)誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類(lèi)的錯(cuò)誤．11、C【解析】

根據(jù)即可得出，，根據(jù)，，即可判斷出結(jié)果．【詳解】∵；∴，；∴，，故正確；，故C錯(cuò)誤；∵，故D正確故C．【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，以及基本不等式：和不等式的應(yīng)用，屬于中檔題12、B【解析】

根據(jù)整體的奇偶性和部分的奇偶性，判斷出的值.【詳解】依題意是奇函數(shù).而為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，故，也即，化簡(jiǎn)得，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由向量平行的坐標(biāo)表示得出，求解即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量共線(xiàn)或平行求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.14、29【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為以原點(diǎn)為圓心的圓，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖：聯(lián)立，解得，目標(biāo)函數(shù)是以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，由圖可知，此圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，半徑最大，此時(shí)也最大，最大值為.所以本題答案為29.【點(diǎn)睛】線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域、分界線(xiàn)是實(shí)線(xiàn)還是虛線(xiàn)，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線(xiàn)的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線(xiàn)的斜率、還是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.15、【解析】

基本事件總數(shù)，恰好有2人申請(qǐng)小區(qū)房源包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出該市的任意5位申請(qǐng)人中，恰好有2人申請(qǐng)小區(qū)房源的概率．【詳解】解：某市公租房源位于、、三個(gè)小區(qū)，每位申請(qǐng)人只能申請(qǐng)其中一個(gè)小區(qū)的房子，申請(qǐng)其中任意一個(gè)小區(qū)的房子是等可能的，該市的任意5位申請(qǐng)人中，基本事件總數(shù)，該市的任意5位申請(qǐng)人中，恰好有2人申請(qǐng)小區(qū)房源包含的基本事件個(gè)數(shù)：，該市的任意5位申請(qǐng)人中，恰好有2人申請(qǐng)小區(qū)房源的概率是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．16、【解析】

點(diǎn)在的平分線(xiàn)可知與向量共線(xiàn)，利用線(xiàn)性運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在的平線(xiàn)上，所以存在使，而，可解得，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線(xiàn)性運(yùn)算，利用向量的坐標(biāo)求向量的模，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），拋物線(xiàn)；（2）存在，.【解析】

（1）設(shè)，易得，化簡(jiǎn)即得；（2）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可得，要使，只需.聯(lián)立直線(xiàn)m與拋物線(xiàn)方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可解決.【詳解】（1）設(shè)，由題意，得，化簡(jiǎn)得，所以動(dòng)圓圓心Q的軌跡方程為，它是以F為焦點(diǎn)，以直線(xiàn)l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn).（2）不妨設(shè).因?yàn)?，所以，從而直線(xiàn)PA的斜率為，解得，即，又，所以軸.要使，只需.設(shè)直線(xiàn)m的方程為，代入并整理，得.首先，，解得或.其次，設(shè)，，則，..故存在直線(xiàn)m，使得，此時(shí)直線(xiàn)m的斜率的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及拋物線(xiàn)中的存在性問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】

（Ⅰ）先畫(huà)出圖形，結(jié)合垂直平分線(xiàn)和平行四邊形性質(zhì)可得為一定值，，故可確定點(diǎn)軌跡為橢圓（），進(jìn)而求解；（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)方程為，點(diǎn)坐標(biāo)分別為，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程得，，分別由點(diǎn)斜式求得直線(xiàn)KA的方程為，令得，同理得，由結(jié)合韋達(dá)定理即可求解，而，當(dāng)重合交于點(diǎn)時(shí)，可求最值；【詳解】（Ⅰ），所以點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)，半焦距，所以，軌跡的方程為.（Ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，與曲線(xiàn)無(wú)交點(diǎn).當(dāng)直線(xiàn)的斜率不為0時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程為，點(diǎn)坐標(biāo)分別為.直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立得消去，得.則，.直線(xiàn)KA的方程為.令得.同理可得.所以.所以的中點(diǎn)為.不妨設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的上方，則.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)橢圓的定義求橢圓的方程，橢圓中的定點(diǎn)定值問(wèn)題，屬于中檔題19、（1）（2）點(diǎn)在以為直徑的圓上【解析】

（1）根據(jù)題意列出關(guān)于，，的方程組，解出，，的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，則，，求出直線(xiàn)的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)的坐標(biāo)，下面結(jié)合點(diǎn)在橢圓上證出，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上．【詳解】（1）由題意可知，，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)點(diǎn)，，則，，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的方程為：，令得，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，又點(diǎn)，在橢圓上，，，，點(diǎn)在以為直徑的圓上．【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓方程，考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及平面向量的基本知識(shí)，屬于中檔題．20、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由（為參數(shù)）直接消去參數(shù)，可得直線(xiàn)的普通方程，把兩邊同時(shí)乘以，結(jié)合，可得曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）把代入，化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及參數(shù)的幾何意義求解．【詳解】解：（Ⅰ）由（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得．∵，∴，即．∴曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為；（Ⅱ）把代入，得．設(shè)，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，．不妨設(shè)，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程化普通方程，明確直線(xiàn)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵，是中檔題．21、（1），；（2）.【解析】

（1）令可求得的值，令，由得出，兩式相減可推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，運(yùn)用數(shù)列的分組求和和裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)可得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，得，即，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，.；（2）由（1）知數(shù)列是首項(xiàng)為，