第01講 正數(shù)和負(fù)數(shù)、有理數(shù)5個知識點+3個考點+5個易錯分析（解析版）

第01講正數(shù)和負(fù)數(shù)、有理數(shù)(5個知識點+3個考點+5個易錯

分析）

模塊一思維導(dǎo)圖串知識1.借助生活中的實例體會引入負(fù)數(shù)的必要性，并能用

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）正、負(fù)數(shù)表示生活中具有相反意義的量。

模塊三核心考點舉一反三2.會判斷一個數(shù)是正數(shù)是負(fù)數(shù)

模塊四小試牛刀過關(guān)測3.理解有理數(shù)的意義，并能對有理數(shù)進(jìn)行分類。

4.能用正、負(fù)數(shù)解決有關(guān)實際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識。

知識點1：正數(shù)、負(fù)數(shù)的定義（重點）

1.正數(shù)

像2%,4,3.5這樣大于0的數(shù)叫做正數(shù).有時,為了明確表達(dá)意義,在正數(shù)的前面加上“+”(正)號.如+2,+0.7。

2.負(fù)數(shù)

像-3,-2.7%,-4.5這樣在正數(shù)前加上符號“-”(負(fù))的數(shù)叫做負(fù)數(shù)

3.“0”的特性

0既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù).0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界

【例1】下列各數(shù)中，哪些是正數(shù)？哪些是負(fù)數(shù)？

12549

3.2，-，，-1，+2.009，-108，+，81．

23625

第1頁共20頁.

24915

【答案】正數(shù)有：3.2，，+2.009，+，81；負(fù)數(shù)有：-，-1，

32526-108

【分析】根據(jù)正數(shù)，負(fù)數(shù)的定義進(jìn)行判斷作答即可．

24915

【詳解】解：由題意知，正數(shù)有：3.2，，+2.009，+，81；負(fù)數(shù)有：-，-1，-108．

32526

【點睛】本題考查了正數(shù)、負(fù)數(shù)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握．

【變式】任意寫出個正數(shù)和個負(fù)數(shù)，并分別把它們填入相應(yīng)的集合里．

【答案】5個正數(shù)：1、2、3、4、5；5個負(fù)數(shù)：-1、-2、-3、-4、-5；

方法總結(jié)：對于正數(shù)和負(fù)數(shù)不能簡單地理解為：帶“＋”號的數(shù)是正數(shù)，帶“－”號的數(shù)是負(fù)數(shù)，要看其本

質(zhì)是正數(shù)還是負(fù)數(shù).0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，后面會學(xué)到＋(－3)不是正數(shù)，－(－2)不是負(fù)數(shù)．

知識點2：用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量（重點）

1.日常生活中,表示相反意義的量的常用詞語:

收入盈利上升零上增加向東(南)…

支出虧損下降零下減少向西(北)…

2.具有相反意義的量的規(guī)定

為了區(qū)別具有相反意義的量,用正數(shù)和負(fù)數(shù)分別表示具有相反意義的量,若規(guī)定其中的一種量為正(可任意

選擇),則它的相反意義的量為負(fù).習(xí)慣上把“前進(jìn)、上升、收人、零上”等規(guī)定為正,把“后退、下降、支

出、零下”等規(guī)定為負(fù).

【例2】.下列各對量中，表示具有相反意義的量的是（）

A購進(jìn)50kg蘋果與賣出-50kg蘋果

B高出海平面786m與低于海平面230m

C向東走-9m和向西走10m

D飛機(jī)上升100m與飛機(jī)前進(jìn)100m

【答案】B

【易錯總結(jié)】向東走-9米實際意義是向西走9米?！?”本身就是意義相反的意思

【變式】如果某水庫警戒水位150米記作0米，那么151米記作，148米記作．

第2頁共20頁.

【答案】+1米-2米

【分析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負(fù)表示．

【詳解】解：如果某水庫警戒水位150米記作0米，

那么151米記作+1米，148米記作-2米．

故答案為：+1米；-2米．

【點睛】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對性，確定一對具有相反意義的量．

方法總結(jié)：用正、負(fù)數(shù)表示相反意義的量時，要抓住基準(zhǔn)，比基準(zhǔn)量多多少記為“＋”的多少，少多少

記為“－”的多少．另外，通常把“零上、上升、前進(jìn)、收入、運(yùn)進(jìn)、增產(chǎn)”等規(guī)定為正，與它們意義相反

的量表示為負(fù)．

知識點3：對“0”的認(rèn)識

1.表示沒有

例如,0個蘋果,意思是沒有蘋果

2.表示數(shù)時起到占位的作用

如10605中的兩個0,分別占的是十位和千位

3.表示某種量的基準(zhǔn)

例如,0℃不是表示沒有溫度,而是表示在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水開始結(jié)冰的溫度

4.表示某些數(shù)量的分界

0既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù),是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界.例如在攝氏溫度計上，“0”是零上溫度與零下溫度的分界

5.表示起點

例如,在米尺上,刻度的起點為“0”

【例3】下列對“0”的說法正確的個數(shù)是()

①0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點；②0只表示“什么也沒有”；③0可以表示特定的意義，如0℃；④0是正數(shù)；

⑤0是自然數(shù)．

A．3B．4C．5D．0

【詳解】：0除了表示“無”的意義，還表示其他的意義，所以②不正確；0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，所以

④不正確；其他的都正確．故選A.

【變式】判斷題

（l）0是自然數(shù)，也是偶數(shù)（）。

（2）0可以看成是正數(shù)，也可以看成是負(fù)數(shù)（）。

（3）溫度0℃就是沒有溫度（）。

【答案】√××

第3頁共20頁.

方法總結(jié)：“0”的意義不要單純地認(rèn)為表示“沒有”的含義，其實“0”表示的意義非常廣泛，比如：冰水

混合物的溫度就是0℃，0是正、負(fù)數(shù)的分界點等．

知識點4：有理數(shù)的相關(guān)概念（重點）

1.整數(shù)

正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù),如-3,-2,0,1,2,3等

2.分?jǐn)?shù)

正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù),如+1-,0.18,-1.35,-分?jǐn)?shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式,同時有

限小數(shù)和限循環(huán)小數(shù)又都可以化為分?jǐn)?shù).無限不循環(huán)小數(shù)不能轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù).

3.有理數(shù)

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，“有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，

4.幾個常用數(shù)學(xué)名詞的含義

(1)正整數(shù):既是正數(shù),又是整數(shù)的數(shù)

(2)負(fù)整數(shù):既是負(fù)數(shù),又是整數(shù)的數(shù)

(3)正分?jǐn)?shù):既是正數(shù),又是分?jǐn)?shù)的數(shù)

(4)負(fù)分?jǐn)?shù):既是負(fù)數(shù),又是分?jǐn)?shù)的數(shù)

(5)非負(fù)數(shù):正數(shù)和0.

(6)非正數(shù):負(fù)數(shù)和0.

(7)非負(fù)整數(shù)(也叫自然數(shù)):正整數(shù)和0.

(8)非正整數(shù):負(fù)整數(shù)和0.

(9)正有理數(shù):正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)

(10)負(fù)有理數(shù):負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)

(11)非正有理數(shù):0、負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)

(12)非負(fù)有理數(shù):0、正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)

452

【例4】下列各數(shù)：－，1，8.6，－7，0，，－4，＋101，－0.05，－9中，()

563

A．只有1，－7，＋101，－9是整數(shù)

B．其中有三個數(shù)是正整數(shù)

C．非負(fù)數(shù)有1，8.6，＋101，0

44

D．只有－，－4，－0.05是負(fù)分?jǐn)?shù)

55

【解析】根據(jù)有理數(shù)的有關(guān)概念，整數(shù)包括：1，－7，0，＋101，－9，故選項A錯誤；正整數(shù)只有兩個，

54

即1和＋101，故選項B錯誤；非負(fù)數(shù)包括有1，8.6，＋101，0，，故選項C錯誤；負(fù)分?jǐn)?shù)包括－，－

65

2

4，－0.05，故選項D正確．故選D.

3

方法總結(jié)：當(dāng)有理數(shù)只含有單個符號時，帶負(fù)號的數(shù)即為負(fù)數(shù)．然后再區(qū)分是整數(shù)還是分?jǐn)?shù)．

【變式】下列說法中正確的是（）

第4頁共20頁.

A．0不是有理數(shù)B．有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)

C．在有理數(shù)中有最小的數(shù)D．若a是有理數(shù)，則-a一定是負(fù)數(shù)

【答案】B

【詳解】解：A、0是有理數(shù)，錯誤；

B、有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)，正確；

C、在有理數(shù)中沒有最小的數(shù)，錯誤；

D、a是有理數(shù)，則-a不一定是負(fù)數(shù)，如a=0時，-a=0，故錯誤；

知識點5：有理數(shù)的分類（重點、難點）

1.有理數(shù)的分類：

ìì正整數(shù)ìì正整數(shù)

???正有理數(shù)í

?整數(shù)í零??正分?jǐn)?shù)

???

按意義分：有理數(shù)í?負(fù)整數(shù)；按符號分：有理數(shù)í零．

??

ì正分?jǐn)?shù)ì負(fù)整數(shù)

?分?jǐn)?shù)?負(fù)有理數(shù)

?í?í

??負(fù)分?jǐn)?shù)??負(fù)分?jǐn)?shù)

注意：（1）零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界；

（2）零和正數(shù)統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)；零和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為非正數(shù)．

（3）如果一個數(shù)是小數(shù)，它是否屬于有理數(shù)，就看它是否能化成分?jǐn)?shù)的形式，所有的有限小數(shù)和無限循環(huán)

小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)的形式，因而屬于有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)，不能化成分?jǐn)?shù)形式，因而不屬于有理

數(shù)．

2.集合

把滿足一定條件的所有數(shù)放在一起,就組成了一個集合,簡稱數(shù)集

1333

【例5】把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)．－10，8，－7，3，－10%，，2，0，3.14，－67，，0.618，

241017

－1，0.3080080008…

正數(shù)集合{…}；

負(fù)數(shù)集合{…}；

整數(shù)集合{…}；

分?jǐn)?shù)集合{…}．

【分析】要將各數(shù)填入相應(yīng)的集合里，首先要弄清楚有理數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，其次要弄清楚每個數(shù)的特征．在

填入相應(yīng)的集合時，要注意每個有理數(shù)，身兼不同的身份，所以解答時不要顧此失彼．

333

【詳解】正數(shù)集合{8，3，，2，3.14，，0.618，0.3080080008……}；

41017

1

負(fù)數(shù)集合{－10，－7，－10%，－67，－1…}；

2

第5頁共20頁.

整數(shù)集合{－10，8，2，0，－67，－1…}；

1333

分?jǐn)?shù)集合{－7，3，－10%，，3.14，，0.618，0.3080080008……}．

241017

1522

【變式1】把以下各數(shù)填入相應(yīng)的集合里：-3.14，4.3，+72，0，，-6，-7.3，-12，0.4，-，，

367

26．

(1)正數(shù)集合：{…}；

(2)負(fù)數(shù)集合：{…}；

(3)正整數(shù)集合：{…}；

(4)負(fù)整數(shù)集合：{…}；

(5)非負(fù)數(shù)集合：{…}．

122

【答案】(1)4.3，+72，，0.4，，26

37

5

(2)-3.14，-6，-7.3，-12，-

6

(3)+72，26

(4)-6，-12

122

(5)4.3，+72，0，，0.4，，26

37

【分析】（1）根據(jù)正數(shù)的定義：像+3、+1.5、+584等大于0的數(shù)叫做正數(shù)即可解答；

1

（2）根據(jù)負(fù)數(shù)的定義：像-3、-1.5、-、-584等在正數(shù)前面加“-”號的數(shù)叫做負(fù)數(shù)即可解答；

2

（3）根據(jù)正整數(shù)的定義：除了0以外的自然數(shù)叫做正整數(shù)即可解答；

（4）根據(jù)負(fù)整數(shù)的定義：在自然數(shù)前面加上負(fù)號所得的數(shù)叫做負(fù)整數(shù)即可解答；

（5）根據(jù)非負(fù)整數(shù)的定義：正整數(shù)和零統(tǒng)稱非負(fù)整數(shù)即可解答．

122

【詳解】（1）解：正數(shù)集合：{4.3，+72，，0.4，，26…}；

37

122

故答案為：4.3，+72，，0.4，，26；

37

5

（2）解：負(fù)數(shù)集合：{-3.14，-6，-7.3，-12，-…}；

6

5

故答案為：-3.14，-6，-7.3，-12，-；

6

（3）解：正整數(shù)集合：{+72，26…}；

故答案為：+72，26；

（4）解：負(fù)整數(shù)集合：{-6，-12…}；

故答案為：-6，-12；

第6頁共20頁.

122

（5）解：非負(fù)數(shù)集合：{4.3，+72，0，，0.4，，26…}．

37

122

故答案為：4.3，+72，0，，0.4，，26．

37

【點睛】本題考查了正數(shù)的定義，負(fù)數(shù)的定義，正整數(shù)的定義，負(fù)整數(shù)的定義，非負(fù)整數(shù)的定義，熟記對

應(yīng)定義是解題的關(guān)鍵．

122

【變式2】把下列的數(shù)填入相應(yīng)的集合中：7，0.618，-3，-1，0，30%，+1006，

27

正分?jǐn)?shù)集合：（）；

非負(fù)整數(shù)集合：（）；

負(fù)分?jǐn)?shù)集合：（）．

221

【答案】0.618，30%，；7，0，+1006；-3

72

22

【詳解】解：正分?jǐn)?shù)集合：（0.618，30%，）；

7

非負(fù)整數(shù)集合：（7，0，+1006）；

1

負(fù)分?jǐn)?shù)集合：（-3）．

2

【變式3】把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里．

1

1，－0.20，3，325，－789，0，－23.13，0.618，－2004．

5

非正數(shù)集合：{…}；

非負(fù)數(shù)集合：{}；

非正整數(shù)集合：{…}；

非負(fù)整數(shù)集合：{}；

非正有理數(shù)集合：{…}；

非負(fù)有理數(shù)集合：{}．

【詳解】解：非正數(shù)集合：{-0.20，-789，0，-23.13，-2004…}；

1

非負(fù)數(shù)集合：{1，3，325，0，0.618，…}；

5

1

非正整數(shù)集合：{－0.20，3，－789，0，－23.13，0.618，－2004…}；

5

1

非負(fù)整數(shù)集合：{1，－0.20，3，325，0，－23.13，0.618，…}；

5

非正有理數(shù)集合：{-0.20，-789，0，-23.13，-2004…}；

1

非負(fù)有理數(shù)集合：{1，3，325，0，0.618，…}．

5

第7頁共20頁.

方法總結(jié)：在填數(shù)時要注意以下兩種方法：

(1)逐個考察給出的每一個數(shù)，看它是什么數(shù)，是否屬于某一集合；(2)逐個填寫相應(yīng)集合，從給出的數(shù)中找

出屬于這個集合的數(shù)，避免出現(xiàn)漏數(shù)的現(xiàn)象．

易錯點01對“0”的含義理解不準(zhǔn)確

小學(xué)階段開始學(xué)習(xí)數(shù)的時候,0表示沒有,學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)后,0除了表示“沒有”外,還是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界

易錯點02對負(fù)數(shù)表示的意義理解不清

具有相反意義的兩個量,若一個量規(guī)定為正,用正數(shù)表示,則另個量就為負(fù)，用負(fù)數(shù)表示

易錯點03用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時忽略了量的單位

易錯點04誤認(rèn)為凡帶有正號的數(shù)就是正數(shù)，凡帶有負(fù)號的數(shù)就是負(fù)數(shù)

正數(shù)前面的“+”號有時可以省略,省略“+”號后仍是正數(shù);但是帶有“+”號或省略“+”號的數(shù)不一定是

正數(shù),帶有“-”號的數(shù)不一定是負(fù)數(shù).

易錯點05不能正確理解有理數(shù)的分類而出錯

有理數(shù)的兩種分類不能混淆,要特別注意避免因忽略0而引起

考點一：正數(shù)、負(fù)數(shù)的實際應(yīng)用

考查題型一：用正數(shù)、負(fù)數(shù)記錄成績

例1.某班級抽查了10名同學(xué)的期末成績，以80分為基準(zhǔn)，超出的分?jǐn)?shù)記為正數(shù)，

不足的分?jǐn)?shù)記為負(fù)數(shù)，記錄的結(jié)果如下（單位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣

8、+1、5、+10．這10名同學(xué)中，

(1)最高分是多少？

(2)最低分是多少？

(3)10名同學(xué)的平均成績是多少？

【答案】(1)92分

(2)70分

(3)80.5分

【分析】（1）根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義，可得答案；

（2）根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義，可得答案；

（3）根據(jù)平均數(shù)的意義，可得答案．

【詳解】（1）最高分是80+12=92分；

（2）最低分是80-10=70分；

第8頁共20頁.

（3）10名同學(xué)的平均成績是80+8-3+12-7-10-3-8+1+5+10?10=80.5分．

【點睛】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，利用正負(fù)數(shù)的意義超出的分?jǐn)?shù)記為正數(shù)，不足的分?jǐn)?shù)記為負(fù)數(shù)是解題關(guān)

鍵．

【變式1-1】某班級抽查了10名同學(xué)的期末成績，以80分為基準(zhǔn)，超出的分?jǐn)?shù)記為正數(shù)，不足的分?jǐn)?shù)記為

負(fù)數(shù)，記錄的結(jié)果如下（單位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．這10名

同學(xué)中，

(1)最高分是多少？

(2)最低分是多少？

【答案】(1)92分

(2)70分

【分析】（1）根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義，可得答案；

（2）根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義，可得答案；

【詳解】（1）最高分是80+12=92分；

（2）最低分是80-10=70分；

【點睛】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，利用正負(fù)數(shù)的意義超出的分?jǐn)?shù)記為正數(shù)，不足的分?jǐn)?shù)記為負(fù)數(shù)是解題關(guān)

鍵．

【變式1-2】某班級抽查了10名同學(xué)的期末成績，以80分為基準(zhǔn)，超出的分?jǐn)?shù)記為正數(shù)，不足的分?jǐn)?shù)記為

負(fù)數(shù)，記錄的結(jié)果如下（單位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．這10名同學(xué)

中，

(1)最高分是多少？

(2)最低分是多少？

(3)10名同學(xué)的平均成績是多少？

【答案】(1)92分

(2)70分

(3)80.5分

【分析】（1）根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義，可得答案；

（2）根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義，可得答案；

（3）根據(jù)平均數(shù)的意義，可得答案．

【詳解】（1）最高分是80+12=92分；

（2）最低分是80-10=70分；

（3）10名同學(xué)的平均成績是80+8-3+12-7-10-3-8+1+5+10?10=80.5分．

【點睛】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，利用正負(fù)數(shù)的意義超出的分?jǐn)?shù)記為正數(shù)，不足的分?jǐn)?shù)記為負(fù)數(shù)是解題關(guān)

鍵．

第9頁共20頁.

【變式1-3】下表是某班5名同學(xué)某次數(shù)學(xué)測試成績，根據(jù)信息回答問題：

姓名王芳劉兵張沂李聰江文

成績8984

與全班平均分之差+20-6-2

(1)把表格補(bǔ)充完整；

(2)若不低于平均分的成績是合格，求5名同學(xué)的合格率?

【答案】(1)86，78，82，+5

(2)60%

【分析】根據(jù)有理數(shù)加減法在實際問題中的應(yīng)用，可知高于基準(zhǔn)為正，低于基準(zhǔn)為負(fù)，有張沂可知，平均

分為84分，由此即可求出其他同學(xué)的成績，由合格人數(shù)除以總?cè)藬?shù)乘以百分比即可求出答案．

【詳解】（1）解：由表格中張沂的信息可得出，平均分為84分，

∴劉兵成績：84+2=86（分），李聰成績：84-6=78（分），江文成績：84-2=82（分），王芳成績：

89-84=+5，

故答案是：86，78，82，+5；

（2）解：平均分為84分，合格有劉兵，張沂，王芳，

∴合格率是：(3?5)′100%=60%，

故答案是：60%．

【點睛】本題主要考查有理數(shù)的加減法的應(yīng)用，以及合格率的計算，解題的關(guān)鍵的找出“基準(zhǔn)”，且“高于基

準(zhǔn)為正，低于基準(zhǔn)為負(fù)”．

考查題型二：用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示誤差范圍

例2.如圖所示的是圖紙上一個零件的標(biāo)注，Φ30±0.02表示這個零件直徑的標(biāo)準(zhǔn)尺寸是30mm，實

際合格產(chǎn)品的直徑最小可以是29.98mm，最大可以是（）

A．30mmB．30.03mmC．30.3mmD．30.04mm

【答案】B

0.03

【詳解】解：由零件標(biāo)注Φ30±0.02可知，零件的直徑范圍最大30+0.03mm，最小30-0.02mm，

∴最大可以是30+0.03=30.03（mm）．

.

【變式2-1】一種面粉的質(zhì)量標(biāo)識為“25±0.25kg”，則下列面粉中合格的是（）

第10頁共20頁.

A．25.30kgB．24.80kgC．25.51kgD．24.70kg

【解答】解：一種面粉的質(zhì)量標(biāo)識為“25±0.25kg”

則面粉的質(zhì)量范圍在25﹣0.25＝24.75kg到25+0.25＝25.25kg之間的都合格．

各選項只有選項B，24.80kg在這個范圍之內(nèi)．

故選：B．

【變式2-2】“牛?！憋嬃瞎镜囊环N飲料包裝上有“500±30mL”字樣，其中500表示標(biāo)準(zhǔn)容量是500m

L，+30表示最多不超過30mL，那么-30表示．

【答案】最少不少于30mL

【詳解】解：500表示標(biāo)準(zhǔn)容量是500mL，+30表示最多不超過30mL，那么-30表示最少不少于30mL

【變式2-3】某飲料公司的一種瓶裝飲料外包裝上有“500±30(mL)”字樣，請問“500±30(mL)”是什么含

義？質(zhì)檢局對該產(chǎn)品抽查5瓶，容量分別為503mL，511mL，489mL，473mL，527mL，問抽查產(chǎn)品的容量是否

合格？

【分析】＋30mL表示比標(biāo)準(zhǔn)容量多30mL，－30mL表示比標(biāo)準(zhǔn)容量少30mL.則合格范圍是指容量在470～

530(mL)之間．

【詳解】“500±30(mL)”是500mL為標(biāo)準(zhǔn)容量，470～530(mL)是合格范圍，503mL，511mL，489mL，

473mL，527mL，抽查產(chǎn)品的容量是合格的．

方法總結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是理解“500±30(mL)”的含義，即500是標(biāo)準(zhǔn)，“＋”表示比標(biāo)準(zhǔn)多，

“－”表示比標(biāo)準(zhǔn)少．

考點二：與正數(shù)、負(fù)數(shù)相關(guān)的表格信息題

例3.某年，一些國家的服務(wù)出口額比上年的增長率如下：

美國德國英國中國日本意大利

-3.4%-0.9%-5.3%2.8%-7.3%7.0%

這一年，上述六國中哪些國家的服務(wù)出口額增長了？哪些國家的服務(wù)出口額減少了？哪國增長率最高？哪

國增長率最低？

【答案】中國、意大利的服務(wù)出口額增長了，美國、德國、英國、日本的服務(wù)出口額減少了，意大利的增

長率最高，日本的增長率最低．

【詳解】解：服務(wù)出口額增長的國家：中國，意大利；

國家的服務(wù)出口額減少的國家：美國、德國、英國、日本；

增長率最高的是意大利；

增長率最低的是日本．

【變式3-1】（2023秋?臺州期末）近年來，國家越來越重視新能源汽車的發(fā)展，為積極響應(yīng)國家推廣節(jié)能

減排的政策，王老師家買了一輛新能源汽車．王老師連續(xù)一星期記錄了每天行駛的路程（每天以20km為基

第11頁共20頁.

準(zhǔn)，超出記為正，不足記為負(fù)），如表：

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

路程(km)-3-4+20+7+35+23

（1）該汽車行駛路程最多的一天是，這一天的實際行駛路程是km．

（2）若該新能源汽車每行駛100km耗電量為15度，每度電約為0.5元，求王老師這一星期開新能源汽車的

電費(fèi)．

【分析】（1）根據(jù)題意及正數(shù)與負(fù)數(shù)的含義進(jìn)行分析求解即可；

（2）先求出這七天高于（或低于）的標(biāo)準(zhǔn)所行駛的路程，再加上七天按標(biāo)準(zhǔn)行駛的路程，即可求解．

【解答】解：（1）七天中，行駛路程最多的一天是星期六，

這一天的實際行駛路程是：20+35=55km，

故答案為：星期六，55；

（2）15′0.5′(20′7-3-4+2+0+7+35+23)?100=15元，

答：小明家這一星期的汽車的電費(fèi)為15元．

【點評】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算法則是關(guān)鍵．

【變式3-2】今年的“十?一”黃金周是7天的長假，徐州市呂梁風(fēng)景區(qū)在7天假期中每天旅游人數(shù)變化如

表（正號表示人數(shù)比前一天多，負(fù)號表示比前一天少）

日期1日2日3日4日5日6日7日

人數(shù)變化+1.1﹣0.6+0.2﹣0.4﹣0.2+0.4﹣0.5

單位：萬人

若9月30日的游客人數(shù)為0.1萬人，問：

（1）10月4日的旅客人數(shù)為萬人；

（2）七天中旅客人數(shù)最多的一天比最少的一天多萬人？

（3）如果每萬人帶來的經(jīng)濟(jì)收入為50萬元，則黃金周七天的旅游總收入為多少萬元？

【解答】解：（1）根據(jù)題意列得：0.1+（+1.1﹣0.6+0.2﹣0.4）＝0.4；

故答案是：0.4；

（2）10月1日有游客：0.1+1.1＝1.2（萬），

10月2日有游客：1.2﹣0.6＝0.6（萬），

10月3日有游客：0.6+0.2＝0.8（萬），

10月4日有游客：0.8﹣0.4＝0.4（萬），

10月5日有游客：0.4﹣0.2＝0.2（萬），

10月6日有游客：0.2+0.4＝0.6（萬），

10月7日有游客：0.6﹣0.5＝0.1（萬）；

7天中旅客最多的是1日為1.2萬人，最少的是7日為0.1萬人，

第12頁共20頁.

則七天中旅客人數(shù)最多的一天比最少的一天多1.2﹣0.1＝1.1（萬人）；

故答案為：1.1；

（3）黃金周七天游客：1.2+0.6+0.8+0.4+0.2+0.6+0.1＝3.9（萬人），

3.9×50＝195（萬元），

答：黃金周七天的旅游總收入約為195萬元．

【變式3-3】“十一”黃金周期間，某超市家電部大力促銷，收銀情況如下表，下表為當(dāng)天與前一天的營業(yè)

額的漲跌情況（上漲為正，下跌為負(fù)，單位：萬元）．已知9月30日的營業(yè)額為26萬元：

10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日

+4+3+20﹣1﹣3﹣5

（1）家電部黃金周內(nèi)哪天收入最高，為多少萬元？哪天收入最低，為多少萬元？

（2）家電部黃金周內(nèi)平均每天的營業(yè)額是多少萬元？（精確到0.01萬元）

【解答】解：（1）∵9月30日的營業(yè)額為26萬元，

∴10月1日的營業(yè)額為26+4＝30萬元，

10月2日營業(yè)額為30+3＝33萬元，

10月3日營業(yè)額為33+2＝35萬元，

10月4日營業(yè)額為35+0＝35萬元，

10月5日營業(yè)額為35﹣1＝34萬元，

10月6日營業(yè)額為34﹣3＝31萬元，

10月7日營業(yè)額為31﹣5＝26萬元，

∴10月7日最低，營業(yè)額為26萬元；10月3日、4日為最高，營業(yè)額為35萬元；

（2）（30+33+35+35+34+31+26）÷7＝32.00（萬元），

∴家電部黃金周內(nèi)平均每天的營業(yè)額是32.00萬元．

考點三：正數(shù)、負(fù)數(shù)的規(guī)律探究題

例4.觀察下列數(shù)列，填上空缺的數(shù)．

（1）1，，2，，3，______，______，______；

（2）1，，3，，5，______，______，______．

【答案】（1）-3，4，-4；（2）-6，7，-8．

【解析】（1）從舉出的數(shù)可以看出，兩數(shù)之間互為相反數(shù)即可；

（2）數(shù)字是1、2、3、4、5、6、7、8，偶數(shù)前面是負(fù)號，奇數(shù)前面是正號．

14．桌子上放有6枚正面朝上的硬幣，每次翻轉(zhuǎn)其中的4枚，至少翻轉(zhuǎn)次能使所有硬幣都反面朝

上．

【答案】3

【詳解】解：用“”表示正面朝上，用“”表示正面朝下，

第13頁共20頁.

開始時，

第一次，

第二次，

第三次，

至少翻轉(zhuǎn)3次能使所有硬幣都反面朝上，

【變式4-1】．觀察下面各數(shù)列，研究它們各自的變化規(guī)律，并接著填出后面的兩個數(shù)．

（1）1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，，；

（2）2，-4，6，-8，10，-12，14，-16，，；

（3）1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，，.

【答案】1,-1;18,-20;-1,0.

【詳解】(1)在該數(shù)列中，1與-1交替出現(xiàn)，故后面的兩個數(shù)分別為1，-1.

(2)該數(shù)列可以看作是先將正整數(shù)中的偶數(shù)從小到大逐個排列起來再從第二個數(shù)開始每隔一個數(shù)在原數(shù)前

面添加負(fù)號而得到的.根據(jù)這一規(guī)律，后面的兩個數(shù)分別為：18，-20.

(3)該數(shù)列可以看作是以1，0，-1，0為一個基本單元并不斷重復(fù)而得到的.根據(jù)這一規(guī)律，后面的兩個數(shù)

分別為：-1，0.

【變式4-2】（1）有一列數(shù)：1，-2，-3，4，-5，-6，7，-8，…．那么接下來的3個數(shù)分別

是，，；

1234

（2）有一列數(shù)：，，，，…．那么接下來的第7個數(shù)是．

251017

7

【答案】-9,10,-11;

50

【詳解】(1)這一列數(shù)可以看作是先將正整數(shù)從小到大逐個排列起來再從第二個數(shù)開始每隔一個數(shù)在原數(shù)前

面添加負(fù)號而得到的.根據(jù)這一規(guī)律，接下來的3個數(shù)分別為：-9，10，-11.

(2)對這一列數(shù)的分子與分母的規(guī)律分別進(jìn)行討論.

①這一列數(shù)的分子可以看作是將正整數(shù)從小到大逐個排列起來而得到的.

②觀察這列數(shù)的分母可以看出，2=1′1+1，5=2′2+1，10=3′3+1，17=4′4+1，…

因此，這列數(shù)的分母可以看作是該分?jǐn)?shù)的分子與其自身之積再加上1而得到的.

7

根據(jù)上述規(guī)律，第7個數(shù)的分子應(yīng)為7，第7個數(shù)的分母應(yīng)為7′7+1=50，即第7個數(shù)應(yīng)為.

50

【變式4-3】觀察下面依次排列的一列數(shù)，請接著寫出后面的3個數(shù)，你能說出第10個數(shù)、第105個數(shù)、

第2015個數(shù)嗎？

(1)一列數(shù)：1，－2，3，－4，5，－6，______，______，______，…；

111

(2)一列數(shù)：－1，，－3，，－5，，____，____，____，….

246

【分析】(1)第n個數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時，此數(shù)為n；當(dāng)n為偶數(shù)時，此數(shù)為－n；(2)第n個數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)

第14頁共20頁.

1

時，此數(shù)為－n；當(dāng)n為偶數(shù)時，此數(shù)為.

n

【詳解】(1)7，－8，9；第10個數(shù)為－10，第105個數(shù)是105，第2015個數(shù)是2015；

11

(2)－7，，－9；第10個數(shù)為，第105個數(shù)是－105，第2015個數(shù)是－2015.

810

方法總結(jié)：解答探索規(guī)律的問題，應(yīng)全面分析所給的數(shù)據(jù)，特別要注意觀察符號的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)字排列

的特征．

一、單選題

2

1．（23-24七年級上·廣東汕頭·期末）在-2，+3.5，0，-，-0.7中分?jǐn)?shù)有（）個．

3

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【分析】本題考查有理數(shù)，根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義進(jìn)行判斷即可．

22

【詳解】解：在-2，+3.5，0，-，-0.7中，分?jǐn)?shù)有+3.5，-，-0.7，共3個，

33

故選：C．

2．（23-24七年級上·河南許昌·期中）在十月份結(jié)束的杭州亞運(yùn)會女子舉重49公斤級比賽中，朝鮮選手

李盛金創(chuàng)造該組賽會記錄和世界記錄，以總成績216公斤奪冠，中國選手蔣惠花以總成績213公斤拿到銀

牌，泰國選手素乍龍以總成績199公斤獲得銅牌．若將216公斤記為+1，則199公斤可記為（）

A．+1B．-17C．-16D．+17

【答案】C

【分析】本題考查的是正負(fù)數(shù)的實際應(yīng)用，理解基準(zhǔn)的確定是解本題的關(guān)鍵，先確定基準(zhǔn)為215公斤是解本

題的關(guān)鍵．

【詳解】解：將216公斤記為+1，則215公斤記為0，

那么，199公斤可記為199-215=-16，

故選C

3．（23-24七年級上·廣東廣州·期中）初中一年級女生仰臥起坐滿分標(biāo)準(zhǔn)為50個，個數(shù)為54個記為+4

個，則個數(shù)為46個應(yīng)記為（）

A．-8個B．-4個C．4個D．+46個

【答案】B

【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的意義，理解題意是解題關(guān)鍵．根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義即可得．

【詳解】解：初中一年級女生仰臥起坐滿分標(biāo)準(zhǔn)為50個，

則個數(shù)為46個應(yīng)記為-4個，

第15頁共20頁.

故選：B．

二、填空題

4．大米包裝袋上10±0.1kg的標(biāo)識表示此袋大米重量的范圍是．

【答案】9.9~10.1kg

【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)和負(fù)數(shù)在題目中的實際意義，根據(jù)大米包裝袋上

的質(zhì)量標(biāo)識，求出大米質(zhì)量范圍，即可．

【詳解】∵大米包裝袋上的質(zhì)量標(biāo)識為10±0.1kg，

∴大米的重量范圍為：9.9~10.1kg．

故答案為：9.9~10.1kg．

5．（23-24七年級上·廣東肇慶·期末）某廠家生產(chǎn)一種袋裝食品的標(biāo)準(zhǔn)重量是500克，質(zhì)檢員把每袋超

出的部分記作正數(shù)，不足的部分記作負(fù)數(shù)，質(zhì)檢員隨機(jī)測得袋食品質(zhì)量為501克，則記作．

【答案】+1

【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的意義，根據(jù)“超出的部分記作正數(shù)，不足的部分記作負(fù)數(shù)”即可作答．

【詳解】解：由題意可知：501=500+1，應(yīng)記作+1．

故答案為：+1．

6．（23-24七年級下·福建福州·期中）某蓄水池的標(biāo)準(zhǔn)水位記為0m，若+0.08m表示水面高于標(biāo)準(zhǔn)水位

0.08m，則水面低于標(biāo)準(zhǔn)水位1.2m，可記為m．

【答案】-1.2

【分析】此題主要考查了正負(fù)數(shù)的意義，首先審清題意，明確“正”和“負(fù)”所表示的意義；再根據(jù)題意

作答．

【詳解】解：若+0.08m表示水面高于標(biāo)準(zhǔn)水位0.08m，則水面低于標(biāo)準(zhǔn)水位1.2m，可記為-1.2m．

故答案為：-1.2．

三、解答題

2

7．如圖，兩個圈分別表示正數(shù)集和整數(shù)集，請你從-3，9，0，-10%，3.14，，1300這些數(shù)中，選擇適

7

當(dāng)?shù)臄?shù)填入圖中相應(yīng)的位置．

【答案】見解析

【分析】本題考查了有理數(shù)的分類．正數(shù)集合與整數(shù)集合的交集是正整數(shù)集合．注意數(shù)字0，它不屬于正數(shù)

和負(fù)數(shù)，是整數(shù)．根據(jù)正數(shù)及整數(shù)的概念進(jìn)行區(qū)分判斷，兩個集合里都含有的數(shù)就是符合條件的數(shù)．

第16頁共20頁.

2

【詳解】解：-3，9，0，-10%，3.14，，1300中，

7

2

屬于正數(shù)的有：9，3.14，，1300；

7

屬于整數(shù)的有：-3，9，0，1300．

所以既是正數(shù)也是整數(shù)的是9，1300．

填入數(shù)字如下圖所示：

3

8．把下列各數(shù)按要求分類填在相應(yīng)的大括號內(nèi)：-11，-，-9，0，+12，-6.2，-p，-4%．

5

(1)整數(shù)集合：｛｝

(2)分?jǐn)?shù)集合：｛｝

(3)非負(fù)整數(shù)集合：｛｝

(4)負(fù)有理數(shù)集合：｛｝

【答案】(1)-11，-9，0，+12

3

(2)-，-6.2，-4%

5

(3)0，+12

3

(4)-11，-，-9，-6.2，-4%

5

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的分類：

（1）根據(jù)整數(shù)的定義求解即可；

（2）根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義求解即可；

（3）根據(jù)非負(fù)整數(shù)是大于等于0的整數(shù)進(jìn)行求解即可；

（4）根據(jù)負(fù)有理數(shù)是小于0的整數(shù)和分?jǐn)?shù)進(jìn)行求解即可．

【詳解】（1）解：整數(shù)集合：｛-11，-9，0，+12｝，

故答案為：-11，-9，0，+12；

3

（2）解：分?jǐn)?shù)集合：｛-，-6.2，-4%｝，

5

3

故答案為：-，-6.2，-4%；

5

第17頁共20頁.

（3）解：非負(fù)整數(shù)集合：｛0，+12｝，

故答案為：0，+12；

3

（4）解：負(fù)有理數(shù)集合：｛-11，-，-9，-6.2，-4%｝，

5

3

故答案為：-11，-，-9，-6.2，-4%．

5

9．（2023秋?荔灣區(qū)期末）某學(xué)校校運(yùn)會開幕式上舉行火炬?zhèn)鬟f儀式，共安排了12名火炬手跑完全程，平

均每人傳遞里程為60米．以60米為基準(zhǔn)，其中實際里程超過基準(zhǔn)的米數(shù)記為正數(shù)，不足的記為負(fù)數(shù)，并

將其稱為里程波動值．下表記錄了部分火炬手的里程波動值．

棒次123456789101112

里程26-53-20-5-841

波動

值

（1）第2棒火炬手的實際里程為66米，第6棒火炬手的實際里程為米；

（2）若第4棒火炬手的實際里程為61米，求第10棒火炬手的實際里程．

【分析】（1）根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的實際意義列式計算即可；

（2）根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的實際意義列式計算即可．

【解答】解：（1）60+6=66（米)，60-2=58（米)，

即第2棒火炬手的實際里程為66米，第6棒火炬手的實際里程為58米，

故答案為：66；58；

（2）Q第4棒火炬手的實際里程為61米，

\第4棒火炬手的里程波動值為1，

則60+0-(2+6-5+