2023年春季上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷

2023年上海市一般高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷一.填空題〔48分〕計算：lim3n2 n4n3方程log3

(2x1)1的解x 3.函數(shù)f(x)3x5,x[0,1]的反函數(shù)f1(x) 4.不等式12x0的解集是x15.圓Cx5)2y2圍是 .

r2(r0)和直線l:3xy50，假設(shè)圓C與直線l沒有公共點，則r的取值范6.f(x)是定義在(上的偶函數(shù).x(,0)f(x)xx4x(0,時，f(x) 電視臺連續(xù)播放6個廣告其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告要求首尾必需播放公益廣告，則共有 種不同的播放方式〔結(jié)果用數(shù)值表示〕.正四棱錐底面邊長為4，側(cè)棱長為3，則其體積為 .在ABC中，BC8,AC5，三角形面積為12，則cos2C 假設(shè)向量a、b的夾角為150，a 3，b4，則2ab 直線lP(2,1)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，則三角形OAB面積的最小值為 .同學(xué)們都知道，在一次考試后，假設(shè)按挨次去掉一些高分，那么班級的平均分將降低；反之，假設(shè)按順序去掉一些低分，那么班級的平均分將提高.這兩個事實可以用數(shù)學(xué)語言描述為：假設(shè)有限數(shù)列aa,1 2

a滿n足aa 1 2

a，則 〔結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示〕.n二．選擇題〔16分〕〔A〕.〔〔A〕.〔B〕.〔C〕.〔D〕.

4x的焦點坐標(biāo)為 ( )14.假設(shè)14.假設(shè)，則以下不等式成立的是()〔A〕

，〔B〕a2b2，〔C〕

，〔D〕acbc。a b c21 c21假設(shè)kR，則k3”是“方程x2

y2

1表示雙曲線”的( )k3 k3〔A〕充分不必要條件. 〔B〕必要不充分條件.〔C〕充要條件. 〔D〕既不充分也不必要條件.假設(shè)集合Ayy

，B yy2 ,0x

則A∩B等于( )1 x3,1〔A〕〔A〕(,1]，〔B〕[1,1].〔C〕.D〕。

1 1 x 三．解答題〔86分〕6題，解答以下各題必需寫出必要的步驟.(12分)ABCDABCD

3ABBC11 1 1所成角的大小〔結(jié)果用反三角函數(shù)值表示〕.

1 1 118.(18.(12分)復(fù)數(shù)滿足4(32ii為虛數(shù)單位〕，z52，求一個以為(14分)21826分. 函數(shù)f(x)2sin(x )2cosx,x[ , ]。〔1〕假設(shè)sinx

6 24f(x)〔2〕f(x)的值域。5(14分)21628分.學(xué)校科技小組在計算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗.設(shè)計方案如圖：航天器運行〔按順時針方向〕的軌跡方程為x2 y2

1，變軌〔即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€〕后返回的軌跡是以y軸為對稱軸、M(0,64)100 25 7為頂點的拋物線的實線局部，降落點為D(8,0).觀測點A(4,0)B(6,0)同時跟蹤航天器.求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程；試問：當(dāng)航天器在x軸上方時，觀測點A、B測得離航天器的距離分別為多少時，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？(16分)3142636分.f(x)x24x5?！?〕在區(qū)間[2,6]上畫出函數(shù)f(x)的圖像；〔2〕Axf(x)5B(2][0,4][6,。試推斷集合AB之間的關(guān)系，并給出證明；〔3〕當(dāng)k2時，求證：在區(qū)間[1,5]ykx3kf(x)圖像的上方.(18分)31428分.36分.數(shù)列aa1 2

, ,a30

，其中aa1 2

, ,a10

11a10

,a , ,a11

是公差為d的a20

,a , ,a21

是公差為d2的等差數(shù)列(d0)?！?〕假設(shè)a 40，求d；20試寫出a30

關(guān)于d的關(guān)系式，并求a30

的取值范圍；續(xù)寫數(shù)列，使得a30

,a , ,a31

是公差為d3的等差數(shù)列，……，依次類推，把數(shù)列推廣為無窮數(shù)列.提出同〔2〕類似的問題〔〔2〕應(yīng)當(dāng)作為特例〕，并進(jìn)展?fàn)幷?，你能得到什么樣的結(jié)論？2023年上海市一般高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)4..8..一．〔112題〕44..8..1. .2.2.3..5. .6.. 7.48.9..10.2.11.9..10.2.11.4.17.[解法一]連接，為異面直線與所成的角.……4分連接，在△中，，……6分則.……10分異面直線與所成角的大小為.……12分12.和二．〔1316題〕4分，否則一律得零分.12.和題號題號代號13B14C15A16B三．〔1722題〕[解法二]以為坐標(biāo)原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)則[解法二]以為坐標(biāo)原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)則，得.……6分設(shè)與的夾角為，則， ……10分與的夾角大小為，即異面直線設(shè)與的夾角為，則， ……10分與的夾角大小為，即異面直線與所成角的大小為.……12分18.[解法一]，……4分.……8分假設(shè)實系數(shù)一元二次方程有虛根，則必有共軛虛根.，所求的一個一元二次方程可以是.……12分[解法二]設(shè)，得，……4分19.[得，……4分19.[解]〔1〕，……2分……4分.……8分〔2〕，……10分，……4分.……8分〔2〕，……10分，，，函數(shù)的值域為〔1，2〕.……14分20.[解]〔1〕設(shè)曲線方程為，由題意可知，..……4分曲線方程為.……6分〔2〕設(shè)變軌點為，依據(jù)題意可知得，或〔不合題意，舍去〕.得或〔不合題意，舍去〕..……9分C點的坐標(biāo)為，……11分.答：當(dāng)觀測點A、B.答：當(dāng)觀測點A、BAC、BC距離分別為時，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令..……8分由于.……10.……8分由于.……10分〔3〕[解法一]當(dāng)時，.，……12分.又，21.[解]〔1〕〔2〕方程的解分別是和〔2〕方程的解分別是和，由于在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，因此①當(dāng)，即時，取，.則.……14分，②當(dāng)，即時，取，①當(dāng)，即時，取，.則.……14分，②當(dāng)，即時，取，＝.由①、②可知，當(dāng)時，，.[解法二]當(dāng)時，.因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方.……16分由得，令，解得或，……12分在區(qū)間時，的圖像與函數(shù)的圖像只交于一點時，的圖像與函數(shù)的圖像沒有交點.……14分當(dāng)時，.……12分〔3〕所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列11時，數(shù)列是公差為 的等差數(shù)列.……14分如圖可知，由于直線過點，當(dāng)時，直線是由直線繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到.因此，在區(qū)間如圖可知，由于直線過點，當(dāng)時，直線是由直線繞點