2019-2020學(xué)年人教A版河北省保定市高一第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷 含解析

2019-2020學(xué)年高一第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.已知集合—{x|2W「3},L{x|VW4},則PnQ=()

A.(1,3]B.{2}C.[0,2]D.[0,3]

2.若sinaVO且tana>0,則a是()

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

3.函數(shù)y=l。g?(x-1)—的定義域?yàn)?

A.(1,2)U(2,+oo)B.(1,+8)

C.(1,2)D.8,0)U(1,2)

4.設(shè)a=(4，k),b=(3,1),若之E，則k—()

1

A.1B.-1cD.

-i2

5.已知平行四邊形48m的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為-4(-1,3),8(-2,1),G(2,2),

則頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為()

A.(-5,2)B.(-2,1)C.(1,0)D.(3,4)

6.已知函數(shù)y=A(x)的圖象是連續(xù)的曲線，且有如下的對(duì)應(yīng)值表

X123456

y121.435-7414.5-56.7-123.6

則函數(shù)y=A(x)在區(qū)間［1,6］上的零點(diǎn)至少有()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

7.如圖為函數(shù)y=A(x)的圖象，則其定義域和值域分別為()

/：

026

A.[-4,0]U[2,6]、[0,+8)B.[-4,0]U[2,6)、[0,+8)

C.[-4,0]U[2,6]、[0,6)D.[-4,6)、[0,+8)

742

8.已知25則a,b,c的大小關(guān)系為()

a=4?b=2,c=5

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

JTjr

9.將函數(shù)f(x)=cos(,2x——)的圖象向右平移一二個(gè)單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖

48

象，則y=g(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線()

10.若向量；，總《兩兩所成的角相等，且0=2,g=2,口=6,則lZ+E+W=()

A.4B.10C.4或10D.2或J1}

二、填空題

11.tan，(一-11?！?、一=

12.已知W為單位向量，|E|=&.若Q+E|=娓，則之與己的夾角為.

13.設(shè)函數(shù)f(x)=---]，若貝45(-a)=.

2+14

14.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a,4a)(a=#0),則sin2a=.

,、fex-3,(x>0),

15.已知函數(shù)f(x)={.則方程f|y(x)]=0的解的個(gè)數(shù)為_______

-X2-2X+1,(X40).

三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

9

16.已知：函數(shù)f(x)=a一一.

x

(1)若函數(shù)A(X)為奇函數(shù)，求a的值；

(2)試用定義判斷函數(shù)A(x)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性.

17.已知：a=(sin-_，V§)，b=(l，cos-|-),f(x)=a'b?

(1)求函數(shù)A(x)的最大值及其對(duì)應(yīng)的x的值；

(2)該函數(shù)的圖象可由y=2sinx的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換而得到？

rJTTT

18.已知sin2a=彳且a求：

(1)sin4a、cos4a；

(2)cos6a.

19.要建造一段5000加長(zhǎng)的高速公路，工程隊(duì)需要把380名施工人員分為兩組，一組負(fù)責(zé)

2000m的軟土地帶的施工，另一組完成剩下的3000勿硬土地帶的施工.根據(jù)工程技術(shù)人

員的測(cè)算，軟、硬地帶每米公路的工程量分別為50人/天和30人/天.

(1)設(shè)參與軟土地帶工作的人數(shù)為x人，試分別寫出在軟、硬地帶筑路的時(shí)間G(x),

t2(X)關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式；

(2)問如何安排兩組的人數(shù)，才能使全隊(duì)筑路工期最短？

20.在平面直角坐標(biāo)系x0中，已知4(12,5),8(-4,12).

(1)求cos)/比;

(2)將04繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到。C,求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)若將以繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到。,求證：

0SAAOB^-OB-OD.

參考答案

一、選擇題：(本題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.)

1.已知集合—{X|2WA<3},L{x|fW4},則PDQ=()

A.(1,3]B.{2}C.[0,2]D.[0,3]

【分析】求出集合尺o,由此能求出pnQ.

解：?集合—{X|2WA<3},仁{x|/W4}={x|-2W后2},

.*.pno={2}.

故選：B.

2.若sinaV0且tana>0,則。是()

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【分析】由正弦和正切的符號(hào)確定角的象限，當(dāng)正弦值小于零時(shí)，角在第三四象限，當(dāng)

正切值大于零，角在第一三象限，要同時(shí)滿足這兩個(gè)條件，角的位置是第三象限，實(shí)際

上我們解的是不等式組.

解：sina<0,a在三、四象限；tana>0,a在一1、三象限.

故選：G.

3.函數(shù)y=l。g2(x-l)七七的定義域?yàn)?)

A.(1,2)U(2,+8)B.(1,+8)

C.(1,2)D.(-8,0)U(1,2)

【分析】由對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0,分式的分母不為0聯(lián)立不等式組求解.

x-l>0

解：由,,解得x>1且x#=2.

2-x#0

二函數(shù)y=l。gKx-l)+"4的定義域?yàn)?1,2)U(2,+oo).

/2-x

故選：A.

4.設(shè);=(卷，k),b=(3,1),IIb)貝1】力=()

A.1B.-1C.2D.

22

【分析】利用向量平行的性質(zhì)直接求解.

解：,**a=k),b=(3,1),a“b，

3=1

:._3_k,

F

解得〃=-￡.

故選：D.

5.已知平行四邊形48曲的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(-1,3),8(-2,1),C(2,2),

則頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為()

A.(-5,2)B.(-2,1)C.(1,0)D.(3,4)

【分析】利用向量相等的性質(zhì)直接求解.

解：設(shè)〃(x,y),

?.?平行四邊形4腦的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(-1,3),8(-2,1),C(2,2),

?"?AD=BC?(戶1，，-3)=(4,1)，

解得x=3,y=4,

二頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(3,4).

故選：D.

6.已知函數(shù)y=A(x)的圖象是連續(xù)的曲線，且有如下的對(duì)應(yīng)值表

X123456

y121.435-7414.5-56.7-123.6

則函數(shù)y=A(x)在區(qū)間［1,6］上的零點(diǎn)至少有()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【分析】利用已知條件，結(jié)合零點(diǎn)判定定理，轉(zhuǎn)化求解即可.

解：由題意可知f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0.

函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為：3.

故選：B.

7.如圖為函數(shù)y=A(x)的圖象，則其定義域和值域分別為()

A.[-4,0]U[2,6]、[0,+8)B.[-4,0]U[2,6)、[0,+°0)

C.[-4,0]U[2,6]、[0,6)D.[-4,6)、[0,+~)

【分析】由圖象觀察即可得到答案.

解：由圖可知，定義域?yàn)閇-4,0]U[2,6);值域?yàn)閇0,+8).

故選：B.

742

8.已知._y則a,b,c的大小關(guān)系為()

a=4,b-2n>c-5

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊點(diǎn)的函數(shù)值分別確定a,b,c的范圍，即可比較

大小

7-342I

解：Va=42>4=64,b=2#(1,2),c=5y>？7>2,

又c<5,

故a>c>b.

故選：C.

9.將函數(shù)f(x)=cos(2x——)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖

48

象，則y=g(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線()

【分析】由條件利用y=4)os(u)A+d))的圖象變換規(guī)律求得g(x)的解析式，再利用

正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論.

解：將函數(shù)f(x)=cos(2x——)圖象上所有點(diǎn)向右平移-工一個(gè)單位

48

兀兀

得到函數(shù)y=g(x)=cos[2——]

84

%

=cos=sin2x的圖象，

A兀KEk兀兀

令2x=kn+~^~,求得x=0+)，kGZ,

224

則y=g(x)的圖象的一條對(duì)稱軸是直線*=3-,

4

故選：C.

10.若向量之，E，3兩兩所成的角相等，且口1=2,g=2,%l=6,則Ia+b+cl=()

A.4B.10C.4或10D.2或J]}

【分析】由題意可得任意兩個(gè)向量的夾角為?；蛉龔S.分別求出|a+b+c|的值，從而

O

得出結(jié)論.

解：由于向量；，b,《兩兩所成的角相等，故任意兩個(gè)向量的夾角為o或其二.

O

再由|a|=2,|bI=2,|c|=6,可得

①若任意兩個(gè)向量的夾角為0,則G+E+3|=2+2+6=10.

②若任意兩個(gè)向量的夾角為與~,貝。Z?E=2X2XCOS21L=-2,a-c=b-c=2x6

Oo

2兀

Xcos—^―=-6,

故Ia+b+cI=Va2+b2+c2+2a-b+2b-c+2a-^=V4+4+36-4-12-12=4,

故選：C.

二、填空題(本題共5個(gè)小題，每小題5分，)

?/11兀、一V3

11.tan(--T-)=_-T-_?

b3

【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求解.

解:tan(-^^)=tan(《-2幾)=tang=坐.

6663

故答案為：華

12.已知之為單位向量，|b|=V2,若|W+E|=V^,則：與二的夾角為45。

【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)及向量的夾角公式可求.

解：設(shè)之與E的夾角為。，

因?yàn)镮ZI=1,|b|=V2.|"a+b|=V5.

所以5=；2+g2+2；.1=i+2+2a?b，

所以，a'b=h

a,b1_'h

則cos9x"

laI|bIiV2-T'

所以e=45°.

故答案為：45°.

13.設(shè)函數(shù)f(x)=-----]，若f(a)=-[,貝4尸(-a)=-y

2+124~4：—

【分析】根據(jù)題意，分析可得尸(x)+A(-x)=0,即可得函數(shù)尸(x)為奇函數(shù)，據(jù)此

分析可得答案.

解：根據(jù)題意，f(x)貝寸A(-x)='—2X1

XXX

2+122+12~2+1~2

112X1

則f(x)+f(-x)=)+(-------)=1-1=0,即函數(shù)A(x)為奇函

2X+122X+12

數(shù)，

若f(a)=-7,則尸(-a)=-f(a)=”；

44

故答案為：4

4

14.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a,4a)(a=#0),則sin2a=_年

25

【分析】由已知利用任意角的三角函數(shù)定義求得sina,cosa的值，再由倍角公式求解.

解：由已知可得，點(diǎn)(3a,4a)到原點(diǎn)的距離r={9a2+16@2=5|軟|,

4a43a324

若a>0,則sina-=>—,cosa=——=—,貝"sin2a=2sinacosa

5a55a525

4.0Ao04.

若HVO,則sina=~--=^—,cosQ=~~--,貝寸sin2a=2sinacosa

-5a5-5a525

24

sin2a.

25

故答案為：照24.

,、fex-3,(x>0),

15.已知函數(shù)f(x)=〈.則方程丹尸(x)]=0的解的個(gè)數(shù)為上

-X2-2X+1,(X40).

【分析】由題意畫出大致圖象，將方程f[f(x)]=0分f(x)大于0或小于等于。兩

種情況討論可得方程的解A(x)的值，轉(zhuǎn)化為與函數(shù)5(x)的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合可得

方程f[A(x)]=0的解的個(gè)數(shù).

解：當(dāng)f(x)>0,則方程f[A(x)]=0可得e"c-3=0,可得尸(x)=/〃3,而/"3

G(1,2),由圖象可知，f(x)=/H與函數(shù)A(x)有3個(gè)交點(diǎn)，即是方程f[2(x)]

=0有3個(gè)解；

當(dāng)f(x)<0,則方程/V(x)]=0可得-6(x))2-2f(x)+1=0,

可得/'(x)=-1--.[2<-2,由圖象可知尸(x)=T-刃與函數(shù)f(x)僅有一個(gè)交

點(diǎn)，

所以方程丹尸(x)]=0僅有一個(gè)解；

綜上所述：方程f[A(x)]=0有4個(gè)解.

故答案為：4.

2

16.已知：函數(shù)f(x)=a--.

x

(1)若函數(shù)2(x)為奇函數(shù),求a的值；

(2)試用定義判斷函數(shù)A(x)在區(qū)間(0,+℃)上的單調(diào)性.

【分析】(1)結(jié)合奇函數(shù)的定義可知A(-X)=-》(x),代入即可求解a,

(2)設(shè)0V*V用，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，利用作差法比較尸(乂)與fQx：的大小

即可判斷.

解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)尸(x)為奇函數(shù)，

所以/(-x)=a^-=-f(x)=-a^—,

XX

所以，當(dāng)且=-2時(shí)，即a=0,

(2)設(shè)OVXVM,

222(X2-XP

貝4A(M)-2(及)=-(--------)=-------------

Xxxx

12l2

因?yàn)?＜乂＜及，所以*及＞0,Xz-x＞0,

所以/1(X)＜f(.Xi),

所以函數(shù)A(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增.

17.已知：a=(sirry?b=(l?cos.,f(x)=a,b-

(1)求函數(shù)A(X)的最大值及其對(duì)應(yīng)的x的值；

(2)該函數(shù)的圖象可由y=2sinx的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換而得到？

【分析】1)根據(jù)已知關(guān)系式以及數(shù)量積直接求出函數(shù)的最值，及相應(yīng)的集合.

(2)利用三角函數(shù)的平移變換和伸縮變換求出結(jié)果

解：(1)由題意得:

A(x)=：?E=siir|+Fcos￡=2sin(j+g),

所以函數(shù)f(x)的最大值為2,

由兀=2攵Fpx=4kn+-^-f〃￡Z.

2323

(2)y=2sinx向左平移個(gè)單位得出y=2sin(

o

再把函數(shù)的橫標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍得到：y=2sin的圖象.

乙O

CTTTT

18.已知sin2a=彳且a求：

XOri4

(1)sin4a、cos4a;

(2)cos6a.

【分析】(1)由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos2a的值，進(jìn)而根據(jù)二倍角

公式即可求解.

(2)由(1)及兩角和的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算求值得解.

解：(1)由一^—<a得—V2aVre,

422

一5

又因?yàn)閟in2a=75，

J.O

所以cos2a=-小-壹2=-"!，

所以sin4a=sin[2X(2a)]=2sin2acos2a=2X^-X,

1313169

c11q

cos4a=cos[2X(2a)]=1-2sin22a=1-2X(--)2=——.

13169

12、1195

(2)cos6a=cos(2a+4a)=cos2acos4a-sin2asin4a=(-—r-)X-------—

1316913

、,120、_-1428+600_828

xif--------)=----------------=----------.

169169X132197

19.要建造一段5000〃長(zhǎng)的高速公路，工程隊(duì)需要把380名施工人員分為兩組，一組負(fù)責(zé)

2000m的軟土地帶的施工，另一組完成剩下的3000加硬土地帶的施工.根據(jù)工程技術(shù)人

員的測(cè)算，軟、硬地帶每米公路的工程量分別為50人/天和30人/天.

(1)設(shè)參與軟土地帶工作的人數(shù)為X人，試分別寫出在軟、硬地帶筑路的時(shí)間自(X),

t2(x)關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式；

(2)問如何安排兩組的人數(shù)，才能使全隊(duì)筑路工期最短？

【分析】(1)參與軟土地帶工作的人數(shù)為X人，則在硬地帶工作的人數(shù)為(380-X)人，

列出函數(shù)的解析式.

(2)要使工期最短，需軟硬地帶同時(shí)完工.結(jié)合(1)令a=h求出x=200.利用函

數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最小值，得到結(jié)果.

解：(1)因?yàn)閰⑴c軟土地帶工作的人數(shù)為X人，則在硬地帶工作的人數(shù)為(380-X)人

所以，在軟土地帶筑路的時(shí)間為：

,、50X2000100000

tl(X)=---------------=------------,

XX

(、30x300090000甘七=小

tl(X)=^T—-------=——,其中XG(0,380),xGN,

380-x380-x

(2)要使工期最短，需軟硬地帶同時(shí)完工.結(jié)