矩陣與行列式基礎(chǔ)知識(shí)

矩陣與行列式基礎(chǔ)知識(shí)

介紹我們常常會(huì)碰到一些求解方程的問題：能否如一元一次方程一樣求解?矩陣概念的引入把方程組系數(shù)抽取出來(lái)，形成一個(gè)數(shù)字方塊，取名為系數(shù)矩陣，記為A在系數(shù)矩陣最后一列添加方程右端的常數(shù)列，稱之為增廣矩陣，記為B矩陣的概念

一.矩陣的定義：由個(gè)數(shù)排成的m行n列數(shù)表，稱為m行n列矩陣。表示矩陣A的第i行第j列的元素。矩陣表示如下：

A=

矩陣A也記作m=n時(shí)，稱A為n階矩陣（n階方陣）.矩陣概念的引入引入矩陣形式：類比怎樣求解矩陣方程？？

因此，有必要了解和學(xué)習(xí)矩陣和行列式的相關(guān)知識(shí)，以便方便的求解矩陣方程。相等矩陣記為A=B.

特殊矩陣零矩陣:如行矩陣、列矩陣：行矩陣、列矩陣也稱為向量矩陣的相關(guān)概念對(duì)角矩陣：aii

稱為對(duì)角元.單位矩陣：方程組的矩陣和向量表示形式

m個(gè)方程n個(gè)未知量的線性方程組：向量形式矩陣形式若右端向量矩陣的運(yùn)算

1.矩陣的加法運(yùn)算加法定義：有矩陣，那么矩陣為A和B的和。

C=

記作：C=A+B注意：

(1)同型矩陣才能相加、減；

(2)相加、減結(jié)果為同型矩陣;

負(fù)矩陣：減法：

2.減法運(yùn)算

設(shè)有一個(gè)矩陣，是一個(gè)數(shù)，那么矩陣

稱為矩陣A與數(shù)的乘積（簡(jiǎn)稱矩陣的數(shù)乘），記作．3.矩陣的數(shù)乘

矩陣的線性運(yùn)算律：加法、數(shù)乘.①②③④⑤1.乘法的定義：和，如果則矩陣C中每個(gè)元素都是A的行，B的列對(duì)應(yīng)元素之積的和。即我們把矩陣C稱為矩陣A與B的乘積，記作．4.矩陣的乘法注：矩陣的乘法不滿足交換律，即在一般情況下，矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律：(AB)C=A(BC)k(AB)=(kA)B=A(kB)A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA4.矩陣的轉(zhuǎn)置

1.定義（轉(zhuǎn)置）例2.運(yùn)算律①(AT)T=A②(A+B)T=AT+BT

(kA)T=kAT

④(AB)T=BTAT⑤(A1A2……Ak)T=ATk

ATk-1……AT1

例

已知

，，求解

因?yàn)?/p>

所以

另解

行列式行列式是為了求解線性方程組而引入的，但在線性代數(shù)和其它數(shù)學(xué)領(lǐng)域以及工程技術(shù)中，行列式是一個(gè)很重要的工具。本節(jié)主要介紹行列式的定義、性質(zhì)及其計(jì)算方法。一、二階行列式與三階行列式注：該定義稱之為對(duì)角線法則。一階行列式：二階行列式：三階行列式：二、全排列與逆序數(shù)例

把3個(gè)不同的數(shù)字1、2、3排成一列，共有多少種排法？顯然，左邊位置上可以從1、2、3三個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，所以有三種放法；中間位置上只能從剩下的兩個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，所以有2種放法；右邊位置上只能放最后剩下的一個(gè)數(shù)字，所以只有1種放法．因此共有3×2×1=6種放法.這6種不同的排法是123，231，312，132，213，321.逆序數(shù)：一個(gè)排列中所有逆序的總和稱之為這個(gè)排列的逆序數(shù)。奇排列與偶排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。計(jì)算排列逆序數(shù)的方法：

不妨設(shè)n個(gè)元素為1至n這n個(gè)自然數(shù)，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序。設(shè)p1p2…pn為這n個(gè)自然數(shù)的一個(gè)排列，考慮元素pi(i=1,2,…n)，如果比pi大的且排在pi

前面的元素有τi個(gè)，就說pi

這個(gè)元素的逆序數(shù)是

i，即：

(p1

p2…pn)=

1+

2+…+

n

就是這個(gè)排列的逆序數(shù)。

對(duì)于n個(gè)不同的元素，也可以提出類似的問題，把n個(gè)不同的元素排列成一列，共有幾種不同的排法？把n個(gè)不同的元素排成一列，叫做這n個(gè)元素的全排列（簡(jiǎn)稱排列）．一般,n個(gè)自然數(shù)1,2,…,n的一個(gè)排列可以記作

其中是某種次序下的自然數(shù).n個(gè)不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用表示.由例結(jié)果可知仿照例子的推導(dǎo)方式我們?nèi)菀椎玫?/p>

對(duì)于n個(gè)不同的元素，先規(guī)定各元素間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序（例如n個(gè)不同的自然數(shù)，可規(guī)定自小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序；此時(shí)，對(duì)應(yīng)的排列稱作自然排列），于是在這n個(gè)元素的任意排列中，當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就說有一個(gè)逆序.一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記作?。嫘驍?shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.

例1排列83265147是偶排列還是奇排列？解把自然排列12345678及排列83265147的元素分別排成平行的兩行，連接上下兩行所有相同元素（要避免出現(xiàn)三條連線相交于一點(diǎn)的情況），得到排列的交叉圖.那么，交叉圖中交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是排列的逆序數(shù).

12345678

83265147n階行列式的定義所有位于不同行不同列的n個(gè)數(shù)乘積之“和”行列式的性質(zhì)性質(zhì)1.設(shè)是n階矩陣，是A的轉(zhuǎn)置矩陣，則即行列式經(jīng)過轉(zhuǎn)置后其值不變.那么D等于下列兩行列式的和，即，其中性質(zhì)2.如果行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，例如行列式D的第i行的元素都是兩數(shù)之和

性質(zhì)3（行列式的初等變換）設(shè)A為n階矩陣，（1）交換A第i,j行（列）的位置得到A1，則;

（2）把A的第j行（列）乘以數(shù)得到A2

，則；

（3）把的第j行（第i列）的k倍加到第i行（第j列）上得到A3，則