高中物理競賽-話題11：巧用一次函數(shù)的平均值

PAGEPAGE7話題11：巧用一次函數(shù)的平均值在中學物理中，一次函數(shù)或等獲得了極其廣泛的應用。利用一次函數(shù)，不但能正確的表達諸如由時間決定的變力，彈簧類物體的彈力，線性變化的感應電動勢，靜液體的壓強，共軸轉(zhuǎn)動物體的各點的線速度等等一般的物理規(guī)律，更重要的是，還可以利用一次函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的平均值，來分析和解決許多比較復雜乃至極其困難的物理問題，從而刪繁就簡，化難為易，收到良好的教學效果。下面，我們試從三個方面展開討論。一、關于線性變力的做功問題這里所謂線性變力，是一種方向沿同一直線而大小隨位移均勻變化的力，亦即大小與位移成正比而方向相反的變力，其表達式為或。反映在數(shù)學中，這種變力是位移的一次函數(shù)。對解決這種變力做功的問題，使許多初學者感到困惑不解或十分棘手。但是，從另一個角度著眼，若利用這種函數(shù)在位移內(nèi)的平均值即，可把它作為恒力來對待，使這類問題得以順利解決。例1、如圖所示，把質(zhì)量為、底面積為的木塊，放入密度為的水內(nèi)的點即木塊下底面在水下深度處時，由于恰好受力平衡而靜止?，F(xiàn)用力下按使其豎直向下移動至點,然后釋放。求木塊由點返回到點時的瞬時速度。解析：分析表明，木塊在浮力、重力共同作用下做簡諧運動。選豎直向下為軸的坐標正方向，以點為坐標原點?？紤]到浮力遵守阿基米德定律，可得,其中為木塊沒入的深度。從而，可得木塊所受的合力為其中為木塊在任意位置偏離點的位移。依題意，當木塊在點時，再把式代入式，又得由此可見，木塊在此線性變力作用下做簡諧運動。不難求出合力在區(qū)間上的平均值為 設由點返回到點時的瞬時速度為，根據(jù)動能定理可得最后，由、式即可求出應該指出，當線性變力與另一恒力(如此例之重力)共同作用于一個物體時，其合力也是線性的，從而形成形式的線性變力，其平均值的表達式與前者亦有所不同。并且，這一點對于以時間為自變量的一次函數(shù)也是如此。例2、如圖所示，一根輕質(zhì)彈簧豎直站立、下端固定在水平支持面上，恰好在彈簧的正上方高度為的點，有一質(zhì)量為的物體由靜止自由下落。當物體彈簧上端的點時，彈簧開始被壓縮，而當它到達點時，物體的速度為零。試求：物體位移多大時達到最大速度？最大速度為多少？彈簧的最大壓縮量？解析：首先，分析可知物體在豎直向下的重力、豎直向上的彈力等共同作用下，做先加速、后減速最后靜止的變加速運動。選豎直向下為軸正方向，以點為坐標原點。由牛二定律，可得.其中為彈簧的彈力。然后，設物體自點下落至點時加速度為零，亦即物體達到最大速度；又設，亦即。于是，可得顯然，重力、彈力的合力在位移x內(nèi)的平均值為從而，由動能定理,我們不難得到由、和式，即可解得最后，依題意知物體自點下落到點時速度為零，再設彈簧的最大壓縮量即，我們由動能定理又得 顯然，上式是關于的一元二次方程。從而，又可解得由于，因而當根式前為號時，，舍去負解。從而，最后得到顯然，。再與比較，可知.亦即線段,，點不是線段的中點；若比較大，則段比段要大的多。右圖表示出合力隨位移變化的大致情形，“陰影”的面積則為合力在相應位移內(nèi)所做的功。由此例解析可見，雖然先、后在和兩段位移上都利用動能定理解決問題，但由于前者與后者的位移不同，使得同一合力的平均值顯然不同；從做功角度看，造成的原因，顯然是在一段位移上，重力做了比在段更多的正功。還應指出，若使上式中，可知物體由到恰好完成簡諧運動的半個全振動，此時點才是線段的中點，同時也是振動的平衡位置。二、關于線性變力沖量的問題這里所謂線性變力，是一種方向沿同一直線而大小隨時間均勻變化的力，其表達式為或。反映于數(shù)學中，這種線性變力是時間的一次函數(shù)。類似地，若能利用線性變力在時間內(nèi)的平均值即，則也可把它作為恒力來對待，使求變力的沖量問題得以圓滿解決。例3、灑水車在灑水過程中，由于水流速度、噴水口面積等在比較長的時間內(nèi)，可以認為保持不變，即單位時間內(nèi)流出的水的質(zhì)量相等。因而，灑水車的質(zhì)量是時間的一次函數(shù)，可以寫作。其中為初始質(zhì)量，為質(zhì)量對時間的變化率，為灑水的時間?，F(xiàn)設灑水車的初速度為，初始質(zhì)量為，經(jīng)過的時間，車速增加為；再設它的牽引力恒定不變，與路面的摩擦因數(shù)為。試求：灑水車在時間內(nèi)損失的動量。解析：首先，分析可知灑水車在水平方向的牽引力和滑動摩擦力等作用下做加速度逐漸增大的加速運動。顯然，由于所受合力不為零，動量守恒定律不適用。但是我們可以先用合力的平均值求出合力的沖量，再利用動量定理即可求出動量的損失。然后，依題意，可知其合力為合力隨時間變化的情形如圖中直線所示，“陰影”的面積則表示了合力的沖量。在時間內(nèi)合力的平均值為設灑水過程中損失的動量為，由動量定理得由、式，可以解得.解答此題的關鍵有二：一則先用線性變力——合力對時間的平均值，求出合力的沖量；進而，再利用動量定理去求動量的變化。二則在全過程的動量變化之中，不但有末、初動量之差，同時必須包括流出的水帶走的動量，亦即題目所求的損失的動量。例4、在一根上端固定的細繩下端懸掛質(zhì)量為的物體，使得物體恰好與平整的豎直墻壁相接觸。再以水平力(為恒量，為時間)作用于物體上，如圖所示。當水平力開始作用的同時，用火燒斷細繩，物體即沿豎直墻壁向下運動而最終趨于靜止。設物體與墻壁之間的摩擦因數(shù)為，試計算物體沿墻壁運動的最大速度和總時間。解析：首先，分析可知物體在豎直向下的重力、豎直向上的滑動摩擦力等的共同作用下做先加速、后減速最終趨于靜止的變加速運動。然后，選豎直向下為軸坐標正方向，設物體運動的最大速度為。由牛二定律得，在加速度零時，可求出物體達到最大速度的時間由于物體所受合力為,它在時間內(nèi)的平均值則可表示為接下來，在這段時間內(nèi)，由動量定理可得再聯(lián)立、和式，從而，我們即可求出最大速度同理，設運動的總時間為，由動量定理又得亦即最后,我們求出運動的總時間右圖向右下傾斜的直線表示出合力隨時間變化的大致情形，“陰影”的面積則為合力在相應時間內(nèi)的沖量。若不采用合力對于時間的平均值，由于在高中物理中不能直接計算變力的沖量，此類問題就難以解決。需要強調(diào)，這里所謂線性變力對時間的平均值，是所設變力針對某一段時間的平均值；時間不同，則同一變力的平均值亦不同。這一點，從以上兩例解答過程中，略見一斑。三、線性長度導致的感應電動勢問題饒有趣味的是，電磁感應現(xiàn)象中也有一類隨位移或時間均勻變化的感應電動勢問題，即感應電動勢是位移或時間的一次函數(shù)。類似地，我們也可以利用求其平均值的方法去分析和解決。例5、如圖所示，兩條平行的虛線、之間存在著垂直紙面向內(nèi)、磁感應強度為的勻強磁場。在磁場的左側(cè)另有一個等腰梯形線框，已知它的邊的長度，底角，且總電阻為。現(xiàn)使線框自左至右以速度勻速進入磁場，自邊進入直到邊與磁場左邊界重合為止，所用的時間為，那么求在此過程中通過線框某一橫截面的電量。解析：分析可知，在題設過程中梯形線框切割部分的有效長度為由電磁感應規(guī)律得線框中的感應電動勢BB顯見，它是時間的一次函數(shù)。然后，該電動勢在時間內(nèi)的平均值最后由歐姆定律求出通過線框某一橫截面的電量.解決此題的關鍵在于，先求出線框勻