遼寧省鞍山市海城南臺(tái)高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

遼寧省鞍山市海城南臺(tái)高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），且滿足f（xy）=f（x）+f（y），如果對(duì)于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2的解集為（）A．[﹣1，0）∪（3，4] B．[﹣1，0） C．（3，4] D．[﹣1，4]參考答案：B【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由已知令x=y=1求得f（1）=0，再求f（2）=﹣1，即有f（4）=﹣2，原不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2即為f[﹣x（3﹣x）]≥f（4）．再由單調(diào)性即可得到不等式組，解出它們即可．【解答】解：由于f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=1則f（1）=2f（1），即f（1）=0，則f（1）=f（2×）=f（2）+f（）=0，由于，則f（2）=﹣1，即有f（4）=2f（2）=﹣2，不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2即為f[﹣x（3﹣x）]≥f（4）．由于對(duì)于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），則f（x）在（0，+∞）上遞減，則原不等式即為，即有，即有﹣1≤x＜0，即解集為[﹣1，0）．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用：解不等式，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題．2.函數(shù)的圖象可能是參考答案：A略3.函數(shù)＞，且的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上（其中m，n＞0），則的最小值等于A.16 B.12 C.9 D.8參考答案：D令，得，此時(shí)，所以圖象過定點(diǎn)A,點(diǎn)A在直線,所以，即.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，選D.4.設(shè)函數(shù)（

）A．0

B．1

C．

D．5參考答案：C5.設(shè)函數(shù)，則（

）A．在區(qū)間內(nèi)均有零點(diǎn)B．在區(qū)間內(nèi)均無零點(diǎn)C．在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)D．在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)

參考答案：D，根據(jù)根的存在定理可知，選D.6.在Rt△ABC中，，點(diǎn)D在斜邊AC上，且，E為BD的中點(diǎn)，則（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)題意可得為等腰直角三角形，且直角邊為2，斜邊為，所以轉(zhuǎn)化為、、之間的關(guān)系即可?！驹斀狻吭谥?，因?yàn)?，所以。因?yàn)?。所以、、【點(diǎn)睛】本題考查了向量平行四邊形法則。勾股定理的應(yīng)用，平面向量的基本定理，向量的夾角，其中容易忽略的是向量的夾角（共起點(diǎn)）7.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的函數(shù)圖象，則下列說法正確的是（

）A．y＝f(x)是奇函數(shù)

B．y＝f(x)的周期為πC．y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱

D．y＝f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

參考答案：D略8.對(duì)于實(shí)數(shù)，下列說法：①若，則；②若，則；③若，則；④若，且，則，其中正確的命題的個(gè)數(shù)（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B9.將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為A． B．

C．

D．參考答案：C10.已知函數(shù)，若數(shù)列滿足，且是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知=，=，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是

．參考答案：且略12.（1+x）（1+）5的展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)是

．參考答案：15【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】把（1+）5按照二項(xiàng)式定理展開，即可求得（1+x）（1+）5的展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)．【解答】解：（1+x）（1+）5=（1+x）（1+5+10x+10x+5x2+），∴展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)是：5+10=15．故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．13.我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對(duì)“黃金搭檔”．已知F1、F2是一對(duì)“黃金搭檔”的焦點(diǎn)，P是它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2=60°時(shí)，這一對(duì)“黃金搭檔”中雙曲線的離心率是．參考答案：考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：設(shè)F1P=m，F(xiàn)2P=n，F(xiàn)1F2=2c，由余弦定理4c2=m2+n2﹣mn，設(shè)a1是橢圓的長半軸，a1是雙曲線的實(shí)半軸，由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a1，m﹣n=2a1，由此能求出結(jié)果．解答：解：設(shè)F1P=m，F(xiàn)2P=n，F(xiàn)1F2=2c，由余弦定理得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，即4c2=m2+n2﹣mn，設(shè)a1是橢圓的實(shí)半軸，a2是雙曲線的實(shí)半軸，由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a1，m﹣n=2a2，∴m=a1+a2，n=a1﹣a2，將它們及離心率互為倒數(shù)關(guān)系代入前式得a12﹣4a1a2+a12=0，a1=3a2，e1?e2==1，解得e2=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線和橢圓的簡單性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正確理解“黃金搭檔”的含義．14.曲線y=2x﹣lnx在點(diǎn)（1，2）處的切線方程是．參考答案：x﹣y+1=0【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求出曲線的導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入即可得到切線的斜率，然后根據(jù)（1，2）和斜率寫出切線的方程即可．【解答】解：由函數(shù)y=2x﹣lnx知y′=2﹣，把x=1代入y′得到切線的斜率k=2﹣=1則切線方程為：y﹣2=（x﹣1），即x﹣y+1=0．故答案為：x﹣y+1=015.如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體積為．參考答案：【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】首先還原幾何體為正方體和三棱錐的組合體，分別計(jì)算體積得到所求．【解答】解：由三視圖得到幾何體如圖：其體積為；故答案為：16.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則_______.參考答案：17.函數(shù)的最小正周期是__________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（1）求，的值；（2）求；（3）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，有，解得．當(dāng)時(shí)，有，解得．……………2分（2）（法一）當(dāng)時(shí)，有,……………①．…②①—②得：，即：．…………5分．

．

………8分另解：．又當(dāng)時(shí)，有，

．…………8分（法二）根據(jù)，，猜想：．………………3分用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，有，猜想成立．

（Ⅱ）假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想也成立，即：．那么當(dāng)時(shí)，有，即：，………①又，

…………②

①-②得：，解，得．當(dāng)時(shí)，猜想也成立．

因此，由數(shù)學(xué)歸納法證得成立．………8分（3），

……………10分

．

………14分19.本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講：已知函數(shù)(1)解不等式;

(2)若不等式的解集為空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：.(1)

解得

……………5分(2)由的圖像可得

……………10分略20.已知拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，M為拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，為其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，直線MA與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.當(dāng)A為拋物線C的焦點(diǎn)且直線MA與其對(duì)稱軸垂直時(shí)，的面積為18.（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記，若t值與點(diǎn)M位置無關(guān)，則稱此時(shí)的點(diǎn)A為“穩(wěn)定點(diǎn)”，試求出所有“穩(wěn)定點(diǎn)”，若沒有，請(qǐng)說明理由.參考答案：（1）由題意，，，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為. （4分）（2）設(shè)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得..由對(duì)稱性，不妨設(shè).①當(dāng)時(shí)，同號(hào)，又，不論取何值，均與有關(guān)，即時(shí)，不是“穩(wěn)定點(diǎn)”.②當(dāng)時(shí)，異號(hào).又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，與無關(guān)，此時(shí)的點(diǎn)為“穩(wěn)定點(diǎn)”.（12分）21.（12分）設(shè)函數(shù)，其中，求的單調(diào)區(qū)間.參考答案：解析：由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?，且?）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，（2）當(dāng)時(shí)，由解得、隨的變化情況如下表—0+極小值從上表可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增.22.已知函數(shù)的最大值為（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），是的導(dǎo)函數(shù)。（1）求a的值；（2）任取兩個(gè)不等的正數(shù)，且，若存在正數(shù)，使得成立。求證：。參考答案：（1）.（2）見解析.【分析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分情況得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得在處取得最值，進(jìn)而求解；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，構(gòu)造函數(shù)，通過換元將等式右邊的函數(shù)改為，對(duì)此函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而得證.【詳解】（1）由題意得，顯然，∵，∴，令，解得，①.當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在處取得極大值，也是最大值，∴，解得；②當(dāng)時(shí)，易知與題意不符，