2021年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)非數(shù)學(xué)類(lèi)

全國(guó)大學(xué)生競(jìng)賽歷年試題名師精講（非數(shù)學(xué)類(lèi)）（——）第五屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試卷（非數(shù)學(xué)類(lèi)）解答下列各題（每小題6分共24分，規(guī)定寫(xiě)出重要環(huán)節(jié)）1.求極限.解由于……（2分）；原式………………………(2分)；……(2分)2.證明廣義積分不是絕對(duì)收斂解記，只要證明發(fā)散即可?！?分）由于。…………（2分）而發(fā)散，故由比較鑒別法發(fā)散?！?分）3.設(shè)函數(shù)由擬定，求極值。解方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得………………（1分）故，令，得或………（2分）將代入所給方程得，將代入所給方程得，…………………（2分）又，故為極大值，為極小值?！?分）4.過(guò)曲線上點(diǎn)A作切線，使該切線與曲線及軸所圍成平面圖形面積為，求點(diǎn)A坐標(biāo)。解設(shè)切點(diǎn)A坐標(biāo)為，曲線過(guò)A點(diǎn)切線方程為……………（2分）；令，由切線方程得切線與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為。從而作圖可知，所求平面圖形面積，故A點(diǎn)坐標(biāo)為。……………………（4分）二、（滿分12）計(jì)算定積分解…………………（4分）……（2分）……………（4分）…………………（2分）三、（滿分12分）設(shè)在處存在二階導(dǎo)數(shù)，且。證明：級(jí)數(shù)收斂。解由于在處可導(dǎo)必持續(xù)，由得…………（2分）……（2分）由洛必塔法則及定義…（3分）因此……………（2分）由于級(jí)數(shù)收斂，從而由比較鑒別法極限形式收斂?！?分）四、（滿分12分）設(shè)，證明解由于，因此在上嚴(yán)格單調(diào)增，從而有反函數(shù)………………（2分）。設(shè)是反函數(shù)，則………（3分）又，則，因此…（3分）…（2分）五、（滿分14分）設(shè)是一種光滑封閉曲面，方向朝外。給定第二型曲面積分。試擬定曲面，使積分I值最小，并求該最小值。解記圍成立體為V，由高斯公式……………（3分）為了使得I值最小，就規(guī)定V是使得最大空間區(qū)域，即取，曲面……（3分）為求最小值，作變換，則，從而……（4分）使用球坐標(biāo)計(jì)算，得……（4分）六、（滿分14分）設(shè)，其中為常數(shù)，曲線C為橢圓，取正向。求極限解作變換（觀測(cè)發(fā)現(xiàn)或用線性代數(shù)里正交變換化二次型辦法），曲線C變?yōu)槠矫嫔蠙E圓（實(shí)現(xiàn)了簡(jiǎn)化積分曲線），也是取正向…（2分）并且（被積表達(dá)式?jīng)]變，同樣簡(jiǎn)樸！），………………（2分）曲線參數(shù)化，則有，…（3分）令，則由于，從而。因而當(dāng)時(shí)或時(shí)………（2分）而…（3分）。故所求極限為……………（2分）七（滿分14分）判斷級(jí)數(shù)斂散性，若收斂，求其和。解（1）記由于充分大時(shí)…………（3分）因此，而收斂，故收斂…（2分）（2）記，則=………………（2分）=…（2分）=………（2分）由于，因此，從而，故。因而。（也可由此用定義推知級(jí)數(shù)收斂性）……………（3分）第三屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試卷（非數(shù)學(xué)類(lèi)）一．計(jì)算下列各題（本題共3小題，每小題各5分，共15分，規(guī)定寫(xiě)出重要環(huán)節(jié)。）（1）.求；解：辦法一（用兩個(gè)重要極限）：辦法二（取對(duì)數(shù)）：（2）.求；解：辦法一（用歐拉公式）令其中，表達(dá)時(shí)無(wú)窮小量，辦法二（用定積分定義）（3）已知，求。解：二．（本題10分）求方程通解。解：設(shè)，則是一種全微分方程，設(shè)辦法一：由得由得辦法二：該曲線積分與途徑無(wú)關(guān)三．（本題15分）設(shè)函數(shù)f(x)在x=0某鄰域內(nèi)具備二階持續(xù)導(dǎo)數(shù)，且均不為0，證明：存在唯一一組實(shí)數(shù)，使得。證明：由極限存在性：即，又，①由洛比達(dá)法則得由極限存在性得即，又，②再次使用洛比達(dá)法則得③由①②③得是齊次線性方程組解設(shè)，則，增廣矩陣，則因此，方程有唯一解，即存在唯一一組實(shí)數(shù)滿足題意，且。四．（本題17分）設(shè)，其中，，為與交線，求橢球面在上各點(diǎn)切平面到原點(diǎn)距離最大值和最小值。解：設(shè)上任一點(diǎn)，令，則橢球面在上點(diǎn)M處法向量為：在點(diǎn)M處切平面為：原點(diǎn)到平面距離為，令則，當(dāng)前求在條件，下條件極值，令則由拉格朗日乘數(shù)法得：，解得或，相應(yīng)此時(shí)或此時(shí)或又由于，則因此，橢球面在上各點(diǎn)切平面到原點(diǎn)距離最大值和最小值分別為：，五．（本題16分）已知S是空間曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)形成橢球面上半某些（）取上側(cè)，是S在點(diǎn)處切平面，是原點(diǎn)到切平面距離，表達(dá)S正法向方向余弦。計(jì)算：（1）；（2）解：（1）由題意得：橢球面S方程為令則，切平面法向量為，方程為，原點(diǎn)到切平面距離將一型曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分得：記(2)辦法一：辦法二（將一型曲面積分轉(zhuǎn)化為二型）：記，取面向下，向外，由高斯公式得：，求該三重積分辦法諸多，現(xiàn)給出如下幾種常用辦法：先一后二：②先二后一：③廣義極坐標(biāo)代換：六．（本題12分）設(shè)f(x)是在內(nèi)可微函數(shù)，且，其中，任取實(shí)數(shù)，定義證明：絕對(duì)收斂。證明：由拉格朗日中值定理得：介于之間，使得，又得級(jí)數(shù)收斂，級(jí)數(shù)收斂，即絕對(duì)收斂。七．（本題15分）與否存在區(qū)間上持續(xù)可微函數(shù)f(x)，滿足，？請(qǐng)闡明理由。解：假設(shè)存在，當(dāng)時(shí)，由拉格朗日中值定理得：介于0，x之間，使得，同理，當(dāng)時(shí)，由拉格朗日中值定理得：介于x，2之間，使得即，顯然，，又由題意得即，不存在，又由于f(x)是在區(qū)間上持續(xù)可微函數(shù)，即存在，矛盾，故，原假設(shè)不成立，因此，不存在滿足題意函數(shù)f(x)。第二屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試卷（非數(shù)學(xué)類(lèi)）第一屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試卷（非數(shù)學(xué)類(lèi)）一、填空題（每小題5分，共20分）1．計(jì)算____________，其中區(qū)域由直線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形區(qū)域.解：令，則，，（*）令，則，，，2．設(shè)是持續(xù)函數(shù)，且滿足，則____________.解：令，則，,解得。因而。3．曲面平行平面切平面方程是__________.解：因平面法向量為，而曲面在處法向量為，故與平行，因而，由，知，即，又，于是曲面在處切平面方程是，即曲面平行平面切平面方程是。4．設(shè)函數(shù)由方程擬定，其中具備二階導(dǎo)數(shù)，且，則________________.解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得因，故，即，因而二、（5分）求極限，其中是給定正整數(shù).解:因故因而三、（15分）設(shè)函數(shù)持續(xù)，，且，為常數(shù)，求并討論在處持續(xù)性.解：由和函數(shù)持續(xù)知，因，故，因而，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，這表白在處持續(xù).四、（15分）已知平面區(qū)域，為正向邊界，試證：（1）；（2）.證:因被積函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)持續(xù)在上持續(xù)，故由格林公式知（1）而關(guān)于和是對(duì)稱(chēng)，即知因而（2）因故由知即五、（10分）已知，，是某二階常系數(shù)線性非齊次微分方程三個(gè)解，試求此微分方程.解設(shè)，，是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程三個(gè)解，則和都是二階常系數(shù)線性齊次微分方程解，因而特性多項(xiàng)式是，而特性多項(xiàng)式是因而二階常系數(shù)線性齊次微分方程為，由和，知，二階常系數(shù)線性非齊次微分方程為六、（10分）設(shè)拋物線過(guò)原點(diǎn).當(dāng)時(shí),,又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形面積為.試擬定,使此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成旋轉(zhuǎn)體體積最小.解因拋物線過(guò)原點(diǎn)，故，于是即而此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周