2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)知識(shí)梳理第5章平面向量與復(fù)數(shù)第2講平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

第二講平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使a＝λ1e1＋λ2e2.知識(shí)點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸，y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)任一向量a，有唯一一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得：a＝xi＋yj，(x，y)叫做向量a的直角坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，顯然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).知識(shí)點(diǎn)三平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1．向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).2．向量坐標(biāo)的求法(1)若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).知識(shí)點(diǎn)四向量共線的坐標(biāo)表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.歸納拓展1．若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.2．已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).3．已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).4．若a＝(x，y)≠0，則與a共線的單位向量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,\r(x2＋y2))，\f(y,\r(x2＋y2))))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,\r(x2＋y2))，－\f(y,\r(x2＋y2)))).雙基自測(cè)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)在△ABC中，{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))}可以作為基底．(√)(2)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).(×)(4)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變．(√)(5)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)．(√)題組二走進(jìn)教材2．(必修2P60T2(6)改編)下列各組向量中，可以作為基底的是(B)A．e1＝(0,0)，e2＝(1,3)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,4)))[解析]A選項(xiàng)中，零向量與任意向量都共線，故其不可以作為基底；B選項(xiàng)中，不存在實(shí)數(shù)λ，使得e1＝λe2.故兩向量不共線，故其可以作為基底；C選項(xiàng)中，e2＝2e1，兩向量共線，故其不可以作為基底；D選項(xiàng)中，e1＝4e2，兩向量共線，故其不可以作為基底．故選B.3．(多選題)(必修2P30T1改編)在平面上的點(diǎn)A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，下面結(jié)論正確的是(BC)A.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→)) D．eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))[解析]點(diǎn)A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，選項(xiàng)A中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(4,0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2，－1)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))≠eq\o(BC,\s\up6(→))，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0,2)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))成立，故正確；選項(xiàng)C中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0,2)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,1)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))成立，故正確；選項(xiàng)D中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0,2)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－2,1)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))≠eq\o(OC,\s\up6(→))，故錯(cuò)誤．故選BC.4．(必修2P60T6改編)已知A(－2,1)，B(3，－2)兩點(diǎn)，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝4eq\o(PB,\s\up6(→))，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(C)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,5))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)，2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(7,5))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,5)，2))[解析]先設(shè)P的坐標(biāo)，然后表示向量的坐標(biāo)，結(jié)合向量相等的條件可求．設(shè)P(x，y)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x＋2，y－1)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(3－x，－2－y)，∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝4eq\o(PB,\s\up6(→))，∴(x＋2，y－1)＝4(3－x，－2－y)，即(x＋2，y－1)＝(12－4x，－8－4y)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝12－4x，,y－1＝－8－4y，))解得x＝2，y＝－eq\f(7,5)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(7,5))).故選C.題組三走向高考5．(2015·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，2,5分)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，則向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝(A)A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)[解析]設(shè)C(x，y)，∵A(0,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y－1＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2，))∴C(－4，