復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)

復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)先復(fù)習(xí)一元函數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則第2頁,共50頁，2024年2月25日，星期天一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則這個復(fù)合過程，下面先對二元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)進行討論可以形象的用一條鏈來描述：第3頁,共50頁，2024年2月25日，星期天定理1且下述復(fù)合過程可以形象的用一條鏈來描述：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則簡言之即：“分道相加，連線相乘”第4頁,共50頁，2024年2月25日，星期天解第5頁,共50頁，2024年2月25日，星期天說明：簡單表示為1.第6頁,共50頁，2024年2月25日，星期天解第7頁,共50頁，2024年2月25日，星期天2.復(fù)合過程兩者的區(qū)別xf??為了區(qū)別將其改為可以形象的用一條鏈來描述：第8頁,共50頁，2024年2月25日，星期天例3解第9頁,共50頁，2024年2月25日，星期天定理1可推廣到中間變量和自變量多于兩個的情形3.復(fù)合過程形象的用一條鏈來描述：第10頁,共50頁，2024年2月25日，星期天例2.解:第11頁,共50頁，2024年2月25日，星期天例4解第12頁,共50頁，2024年2月25日，星期天復(fù)合過程形象的用一條鏈來描述：第13頁,共50頁，2024年2月25日，星期天解第14頁,共50頁，2024年2月25日，星期天復(fù)合過程形象的用一條鏈來描述：第15頁,共50頁，2024年2月25日，星期天解第16頁,共50頁，2024年2月25日，星期天例7解第17頁,共50頁，2024年2月25日，星期天為簡便起見,引入記號例8

設(shè)

f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:令則第18頁,共50頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)題第19頁,共50頁，2024年2月25日，星期天第20頁,共50頁，2024年2月25日，星期天第21頁,共50頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)題答案第22頁,共50頁，2024年2月25日，星期天第23頁,共50頁，2024年2月25日，星期天第24頁,共50頁，2024年2月25日，星期天二、隱函數(shù)求導(dǎo)法證明第25頁,共50頁，2024年2月25日，星期天若F(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù)

:則還有第26頁,共50頁，2024年2月25日，星期天例1解第27頁,共50頁，2024年2月25日，星期天令則提示：練習(xí)第28頁,共50頁，2024年2月25日，星期天證明第29頁,共50頁，2024年2月25日，星期天由對稱性解第30頁,共50頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)解第31頁,共50頁，2024年2月25日，星期天解令則第32頁,共50頁，2024年2月25日，星期天例4.設(shè)解法1利用隱函數(shù)求導(dǎo)再對

x

求導(dǎo)第33頁,共50頁，2024年2月25日，星期天解法2

利用公式設(shè)則兩邊對

x求偏導(dǎo)第34頁,共50頁，2024年2月25日，星期天三、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)的全微分為可見無論

u,v是自變量還是中間變量,

則復(fù)合函數(shù)都可微,其全微分表達

形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.第35頁,共50頁，2024年2月25日，星期天例1.例1.利用全微分形式不變性解解:所以的全微分第36頁,共50頁，2024年2月25日，星期天隱函數(shù)的求導(dǎo)法則小結(jié)第37頁,共50頁，2024年2月25日，星期天思考題第38頁,共50頁，2024年2月25日，星期天思考題解答第39頁,共50頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)題第40頁,共50頁，2024年2月25日，星期天第41頁,共50頁，2024年2月25日，星期天第42頁,共50頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)題答案第43頁,共50頁，2024年2月25日，星期天第44頁,共50頁，2024年2月25日，星期天二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由F、G

的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱為F、G的雅可比行列式.以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例,即第45頁,共50頁，2024年2月25日，星期天定理3.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)且有偏導(dǎo)數(shù)公式:①在點②的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:導(dǎo)數(shù)；第46頁,共50頁，2024年2月25日，星期天定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：(P85)第47頁,共50頁，2024年2月25日，星期天有隱函數(shù)組則兩邊對x求導(dǎo)得設(shè)方程組在點P

的某鄰域內(nèi)