專(zhuān)題10 最值模型-胡不歸問(wèn)題（原卷版）

專(zhuān)題10最值模型---胡不歸問(wèn)題最值問(wèn)題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，可將胡不歸問(wèn)題看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類(lèi)考試中都以高檔題為主，中考說(shuō)明中曾多處涉及。本專(zhuān)題就最值模型中的胡不歸問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問(wèn)題主要依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短?！灸Ｐ捅尘啊繌那坝袀€(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無(wú)反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說(shuō)，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？看到這里很多人都會(huì)有一個(gè)疑問(wèn)，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問(wèn)題.【模型解讀】一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。ㄗ⒁馀c阿氏圓模型的區(qū)分）1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問(wèn)題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短。例1．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為_(kāi)____．例2．（2022·湖北武漢·一模）如圖，在中，，，半徑為的經(jīng)過(guò)點(diǎn)，是圓的切線，且圓的直徑在線段上，設(shè)點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)不含端點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．例3．（2021·眉山市·中考真題）如圖，在菱形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．例4．（2022·山東淄博·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的坐標(biāo)是，點(diǎn)是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上移動(dòng)時(shí)，始終保持是等邊三角形（點(diǎn)P不在第二象限），連接，求得的最小值為（

）A． B．4 C． D．2例5．（2021·資陽(yáng)市·中考真題）拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P是拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線沿方向平移，使點(diǎn)D落在點(diǎn)處，且，點(diǎn)M是平移后所得拋物線上位于左側(cè)的一點(diǎn)，軸交直線于點(diǎn)N，連結(jié)．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求的長(zhǎng)．例6．（2020·湖南·中考真題）已知直線與拋物線（b，c為常數(shù)，）的一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)直線與拋物線（b，c為常數(shù)，）的另一個(gè)交點(diǎn)為該拋物線的頂點(diǎn)E時(shí)，求k，b，c的值及拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)D在拋物線上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，當(dāng)?shù)淖钚≈刀鄷r(shí)，求b的值．例7．（2022·四川成都·中考模擬）6．如圖，已知拋物線為常數(shù)，且與軸從左至右依次交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為．（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，求的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到，再沿線段以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·河北·九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接BP，則AP+PB的最小值是（）A． B． C． D．22．（2022·江蘇·九年級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，點(diǎn)D、F分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD交BC于點(diǎn)E，垂足為G，連接GF，則GF+FB的最小值是（）A．B．C． D．3．（2022·山東·九年級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．4．（2022·重慶·九年級(jí)期中）如圖所示，菱形的邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線的長(zhǎng)為，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A．4 B．5 C． D．5．（2022·浙江寧波·九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若C為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值為_(kāi)_________．6．（2022·湖南·九年級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD為等邊三角形點(diǎn)E為△BCD圍成的區(qū)域（包括各邊）的一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，交直線AC于點(diǎn)M作EN∥AC交直線AB于點(diǎn)N，則AN+AM的最大值為．7．（2022·湖北武漢·九年級(jí)期末）如圖，?中，，，為邊上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．8．（2022·成都市七中育才九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l分別交x、y軸于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則的最小值是______．9．（2022·四川自貢·一模）如圖，中，，，于點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是__________．10．（2022·廣東·一模）已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段OC上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求直線BC解析式．(2)如圖①，求OP＋PA的和取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)如圖②，求AQ＋QP的最小值．(4)如圖③，求AQQC的最小值．11．（2022·江蘇·中考模擬）如圖，拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，交軸于，兩點(diǎn)，連接，，已知，．（Ⅰ）求拋物線的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：（1）為軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，問(wèn)：是否存在點(diǎn)使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）設(shè)為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再沿線段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少？12．（2020·四川樂(lè)山市·中考真題）已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交軸于點(diǎn)，連結(jié)，且，如圖所示．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交線段于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，連結(jié)、，求的面積的最大值；②連結(jié)，求的最小值．13．（2021·四川達(dá)州市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）將線段繞著點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角為，連接，，求的最小值．（3）為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；14．（2022·廣西·南寧三中一模）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)是軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．15．（2022·廣東·東莞市三模）已知，如圖，二次函數(shù)圖像交軸于，交交軸于點(diǎn)，是拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸經(jīng)過(guò)軸上的點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)關(guān)系式；（2）對(duì)稱(chēng)軸與交于點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)．①求的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；②在①的條件下，把沿著軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，設(shè)與重疊部分面積記為，求與之間的函數(shù)表達(dá)式