2020-2021學年廣西梧州市高一年級上冊期末數(shù)學試卷(含解析)

2020-2021學年廣西梧州市高一上學期期末數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知集合A={%|log2%>0},B=（x\x<2},則（）

A.Ar\B=0B.AUB=RC.BQAD.AQB

2.已知函數(shù)f（x）=cos4%+sin2%,下列結論中錯誤的是（）

A.f（x）是偶函數(shù)B.函/（x）最小值為:

C.三是函f（x）的一個周期D.函f（x）在（0《）內是減函數(shù)

3.下列直線中，與直線2x-y+3=0平行的是（）

A.2%4-y—4=0B.x—2y4-4=0C.%4-2y—4=0D.2%—y+4=0

4.對于函數(shù)0,如果存在區(qū)間0,同時滿足下列條件：

①回在區(qū)內是單調的；②當定義域是回時，叵］的值域也是S，則稱S是該函數(shù)的

“和諧區(qū)間”.若函數(shù)s存在“和諧區(qū)間”，則□的取值范圍是（）

A.0B.0C.0D.0

5.函數(shù)f（x）=log2x-3sinx的零點個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

6.直線《：鴛黑40。的傾斜角是（）

A.40°B,50°C.130°D.140°

7.已知函數(shù)f（x）=W，給出下面三個結論：

①函數(shù)f（x）在區(qū)間（-5,0）上單調遞增，在區(qū)間（0尚）上單調遞減；

②函數(shù)/（x）沒有最大值，而有最小值；

③函數(shù)/（x）在區(qū)間（0,兀）上不存在零點，也不存在極值點.

其中，所有正確結論的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

8.下列關系式中，成立的是（）.

9.已知圓G：(x-a)2+(y+2)2=4與圓G：(%+b)2+(y+2)2=1相外切，則ab的最大值為()

A.漁B.1C.7D.2V3

224

,01_"S晟a,域“

10.己知法加時=用/如期，版粉叫M：魏聲!愛港沸噴刷瓦若步舂中在然=咻處連續(xù),

01?明，@靖,網(wǎng)會毗

則醐的值為()

II1I]

A.-B.-C.-D.2

蠲@2

11.一個幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖是正方形，則這個幾何體的體積是

()

A.1

B.2

C.3

D.4

12.三棱錐。一ABC中，底面是等腰直角三角形ABC,LA=90°,BC=正,

DA^AC,DALAB,E,F分別為DA,BC的中點，且直線。尸與平面力BC

所成角的正切值為企，則異面直線BE與CD所成角的余弦值為()

4O

-V1一O

A.5D.5

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

'做>覿福京:建弱J

13.己知函數(shù)庚崎；=d丁，則/。*期=_?

I轡,W蒯等

14.過點(2,-1),且傾斜角比直線y=：x-等的傾斜角大45。的直線方程為.

15.點P在直線4乂+3丫+20=0上，PA,PB與圓％2+y2=4相切于4B兩點，則四邊形P40B面

積的最小值為.

16.已知函數(shù)/■(>)=匕%2"，j；.若f(a)=2,則a=.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.設全集U=R,A=[x\^<2x<8],B={x\y=V2^}.

(I)求4nB；

(11)若(？=&氏2-2(<1+3)+(1(0+6)<0},(CiM)UC=R,求實數(shù)a的取值范圍.

18.已知zn為常數(shù)，函數(shù)/(x)=A焉為奇函數(shù).

(1)求根的值；

(11)若機>0,試判斷f(x)的單調性(不需證明)；

(HI)當僧>0時，若存在xe[-2,2],使得/(e'+x-k)+f(2)W0能成立，求實數(shù)k的最大值.

19.已知正方體ABC?！?B1GD1的棱長為1.

(1)在空間中與點4距離為:的所有點構成曲面S,曲面S將正方體

ABCD-AiBiGA分為兩部分，若設這兩部分的體積分別為匕，

彩(其中匕>%)，求的含值；

(2)在正方體表面上與點4的距離為|舊的點形成一條空間曲線，求這

條曲線的長度.

20.已知圓C：x2+y2-4x-4y-8=0,直線/過定點P(0,l),0為坐標原點.

(1)若圓C截直線，的弦長為46，求直線，的方程；

(2)若直線，的斜率為k,直線/與圓C的兩個交點為4B,且萬晨麗>-7,求斜率k的取值范圍.

21.如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，/.ABC=60°,E,尸分別為DC,AB的中點，將△ZX4E沿

4E折起，使得/DEC=120°.

(I)求證：平面DCFJ?平面DCE；

(口)求點B到平面DCF的距離.

22.已知函數(shù)/(久)=—%3+3%2+以

(1)求/(x)的單調區(qū)間；

(2)若/(x)在區(qū)間［1,3］上的最大值為10,求它在該區(qū)間上的最小值.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：解：?.,集合4={x|log2%>0}={x|x>1}，B={x\x<2),

???n6={x|l<x<2},

AUB=R.

故選：B.

分別求出集合A和B,再求出4nB和AUB,由此能求出結果.

本題考查并集、交集的求法及應用，是基礎題，解題時要認真審題，注意交集、并集定義的合理運

用.

2.答案：D

解析：解：對于4，函數(shù)/(x)=cos。+siMx,其定義域為R,

對任意的xGR,有/(-x)=cos4(—x)+sin2(-x)=cos4x+sin2x=/(x),

所以〃x)是偶函數(shù)，故A正確；

對于B,/(X)=cos4x—cos2x+1=(cos2x—i)2+支

當cosx=爭寸f(%)取得最小值*，故B正確；

對于C,/(%)=(cos2x-1)2+~

,l+cos2x17.3

—一/X+z

COS22X,3

l+cos4x.3

=-^+z

COS4X,7

它的最小正周期為r=與=》故c正確；

對于。，f(x)=：cos4x+：,當x€(0,g)時，4xC(0,2兀)，

88N

f(x)先單調遞減后單調遞增，故。錯誤.

故選：D.

根據(jù)奇偶性的定義，判斷函數(shù)/(乃是偶函數(shù)；

化簡函數(shù)f。)，求出它的最小值為京

化簡/⑶，求出它的最小正周期為條

判斷/⑶在Xe（0吟）上無單調性.

本題考查了三角函數(shù)的化簡與運算問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質的應用問題，是綜合性題

目.

3.答案：D

解析：解：由題可知2x-y+3=0的斜率k=2,根據(jù)直線平行，斜率存在時，斜率相等的條件可

知，

42%+、一4=0的斜率一2,不滿足題意，

B：x—2y+4=0的斜率不滿足題意，

C：x+2y—4=0的斜率—%不滿足題意，

D：2x-y+4=0的斜率2,滿足題意.

故選：D.

由題可知2x-y+3=0的斜率k=2,根據(jù)直線平行，斜率存在時，斜率相等的條件可進行判斷.

本題主要考查了直線平行條件的應用，屬于基礎試題.

4.答案:A

解析：試題分析：由題意可得函數(shù)0在區(qū)間回上是單調的，所以

區(qū)1,則國，故加、n是方程回的兩個同號的實數(shù)根，即方程0有兩個同號的實數(shù)根，注意

到0，故只需因，解得國，結合國，可得岡。故選A。

考點：函數(shù)的單調性

點評：本題考查函數(shù)單調性的判斷和一元二次方程的根的分布，屬基礎題.

5.答案：B

解析：解：函數(shù)/（無）=log2x-3s譏x的零點個數(shù)

等價于函數(shù)y=log?》和y=3sinx的圖象的公共點

個數(shù)，

在同一個坐標系中作出它們的圖象可得它們有3個

公共點，

故選：B

原問題等價于函數(shù)y=log2%和y=3sinx的圖象的公共點個數(shù)，作出它們的圖象可得.

本題考查函數(shù)的零點的個數(shù)的判斷，數(shù)形結合是解決問題的關鍵，屬基礎題.

6.答案：B

解析：解：???』=/

sm40cos40

HPcos40°x=sin400y+sin40°,

所以直線l的斜率為k=絲努=tan50°,

stn40°

故直線，的傾斜角為50。，

故選B.

由題意將直線I先化為一般方程坐標，然后再計算直線，的傾斜角.

此題考查參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別和聯(lián)系，兩者要會互相轉化，根據(jù)實際情況選擇不同的方程進

行求解，這也是每年高考必考的熱點問題.

7.答案：D

解析：解：?.?函數(shù)/(%)=詈表示(0,0)與(x,sinx)點連線的斜率,

.?.當xe(-],())時，函數(shù)/(x)單調遞增,

當xe(0《)時，函數(shù)/(%)單調遞減，故①正確；

當0時，/(x)-?1,而故/'(%)<1,即函數(shù)沒有最大值，

當(0,0)與(x,s譏x)點連線與y=sin的圖象相切時，/(x)有最小值，

故函數(shù)f(x)沒有最大值，而有最小值，

故②正確；

當x6(0,兀)時，sinx0,故/(x)40,即函數(shù)/'(x)在區(qū)間(0,兀)上不存在零點，

而x6(0,兀)時，函數(shù)/(%)單調遞減，也不存在極值，

故③正確：

故正確的結論的序號是①②③，

故選：。

由函數(shù)f(x)=等表示(0,0)與(x,s譏為點連線的斜率，結合正弦型函數(shù)的圖象和性質，逐一分析三個

結論的真假，可得答案.

本題以命題的真假判斷為載體，考查正弦函數(shù)的圖象和性質，其中正確理解函數(shù)/Q)=詈表示(0,0)

與(x,sinx)點連線的斜率，是解答的關鍵.

8.答案：A

解析：試題分析：I二?=11』如期可;油雕倒卬/=1］瞬北］瞰?；:lh密=31，故選A

…"-E

考點：指數(shù)對數(shù)比較大小問題

9答案:C

解析：

【試題解析】

本題考查圓與圓之間的位置關系，基本不等式等知識，屬于中檔題.

根據(jù)圓與圓之間的位置關系，兩圓外切則圓心距等于半徑之和，得到|a+b|=3.利用基本不等式即

可求出ab的最大值.

解：由已知，

圓G：(工一。)2+。+2)2=4的圓心為。1(七一2),半徑ri=2.

圓C2：(x+b)2+(y+2)2=1的圓心為。2(—6,—2),半徑七=1.

???圓Ci：—a/+(y+2)2=4與圓C2：(%+b)2+(y+2)2=1相外切，

???IGGI=丁1+72?

即|a+b|=3.

由基本不等式，得必4(竽)2=：.

24

故選：C.

10.答案：B

AM'IZf>A*AM.IR——l'vAHH挑"~~|1工

解析.試題分析.蒯鮑郁H=旗向a-------------=—AS-------------------.:=1m------――-

=1嗑，

痣=一g："陶=3

考點：函數(shù)連續(xù)性

點評：若函數(shù)例喻在出處有定義，且黑木施磷=里冷河通=.施嚼，則函數(shù)鯽喻在幅處連續(xù)

11.答案：B

解析：解：由三視圖還原原幾何體如圖：

該幾何體為一個四棱錐，其底面為對角線長為2的正方形,

故其底面積為&xV2=2.

其中241底面ABCD,且PC=g.

PA=J(713)2-22=3-

則力-ABCD=§X2X3=2.

故選：B.

由三視圖可得原幾何體是四棱錐，其底面ABC。為對角線長為2的正方形，且側棱P41底面4BCD,

由已知求出底面積及高，則體積可求.

本題考查空間兒何體的三視圖，關鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.

12.答案：C

解析：解：如圖，由。4_L4C,DALAB,得D4JL平面ABC,

又AF==圣直線。?與平面ABC所成角的正切值為企,

.-.DA=1.

以4為坐標原點，分別以48,AC,AD所在直線為x,y,z軸

建立空間直角坐標系，

則B(1,O,O),E(0,0,1).C(O,1,O),0(0,0,1).

BE-CD=(0,—1,1)，

Vio

cos<BE,CD>—

|B￡|'|CD|io?

.?.異面直線BE與CC所成角的余弦值為嚕.

故選：C.

由已知可得，平面ABC,并求得4。=4B=4C=1,以4為坐標原點，分別以AB,AC,力。所在

直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，再由空間向量求解.

本題考查空間角的求法，訓練了利用空間向量求解空間角，是中檔題.

13.答案：

4!

解析：試題分析：￡頻3=1噫［=飛箋々=一&.舞:耀京=￡1聞=鬻電=9.

考點：1.分段函數(shù)；2,指數(shù)與對數(shù)運算.

14.答案：y=2x—5

解析：解：設過點(2,-1)的直線的傾斜角為8,直線y=：工一等的傾斜角為十，貝|J：e-ef=

45°,tand1=

3

tanO--,,

???tan(0—夕)=—i--=1,解得tern。=2,

l+-tan6

二所求直線方程為：y+1=2(x—2),即y=2x—5.

故答案為：y=2x-5.

根據(jù)條件可求出過點(2,-1)的直線的斜率，然后根據(jù)直線的點斜式方程即可寫出所求直線的方程.

本題考查了兩角差的正切公式，直線的點斜式方程，考查了計算能力，屬于基礎題.

15.答案：1

解析：解：根據(jù)題意，圓的方程為％2+y2=4,則圓心(0,0),半徑r=2,

又由PA=PB,PA1OA,PB1OB,

則SpAOB=2sApa。=2x—xPA-AO=2PA,

在RtAPA。中，^PA2=PO2-r2=PO2-4,

則當P。最小時，PA最小，此時所求的面積也最小，

點P是直線4x+3y+20=0上的動點，則PO的最小值為d=擢^=4,

P4的最小值為Jc/2—4=2A/3?

故SPAOB=2PA>4V3,

故答案為：45/3.

由題意可得，PA=PB,PA1OA,PB1OB,分析可得=2xgxP4?4。=2P4

轉化為求PA最小值，由于PA2=p02-4,當p。最小時，P力最小，結合點到直線的距離公式可知當

P0J.1時，P。有最小值，由點到直線的距離公式可求答案.

本題考查直線與圓的位置關系，根據(jù)題意得出P。12時所求圓的面積最小是解本題的關鍵.

16.答案:4

解析：

由函數(shù)f(x)=g%2%::二,分類討論可得滿足條件的a值.

本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，分類討論思想，函數(shù)求值，屬于基礎題.

解：r(x)=｛哭2%;2

當a<0時，/(a)=2。=2,

解得：a=1(舍去)；

當a>0時，f(a)=log2a=2,

解得：a=4(滿足a>0)；

綜上可得：a=4,

故答案為：4.

17.答案：解：(1)由［±2*<8,解得一2Wx<3,即4=［-2,3),

由2-%>0,解得x42,即B=(-8,2],

??AC\B=[—2,2],

(II)C={x\x2-2(a+3)+a(a+6)<0}=(a,a+6),

vCyA=(-oo,-2)U[3,+8),(CuA)UC=R,

MJ"，解得一3口<一2,

故Q的取值范圍為［-3,-2).

解析：【試題解析】

(I)化簡4,B根據(jù)交集的定義即可求出；

(口)化簡。，根據(jù)補集的定義求出Q4再根據(jù)(QM)UC=R即可求出.

此題考查了交、并、補集的混合運算，集合間的包含關系，以及交集及其運算，熟練掌握各自的定

義是解本題的關鍵.

18.答案：解：(I)】?函數(shù)/(乃=霽眾為奇函數(shù)，

??.對于其定義域內的任意x有/(一幻=一，。)，即

黑三=一三高,整理得：On?—1)(2工+1)=°恒成立.

m2=1,m=±1；

(H)若m>0,則?n=l,函數(shù)/(%)=^=-1+島?

???為增函數(shù),

fM=淆7=系-1為減函數(shù)；

(HI)當m>0時，函數(shù)/(%)為減函數(shù),

2X-1

又/(r)=高=通=一密=一3

~2X-

■■/(X)為奇函數(shù).

由存在[-2,2],使得/(靖+工-卜)+/(2)W0能成立，得

存在xG[-2,2],使得/(峭+x-k)<-/(2)=/(-2)能成立.

即e*+x—k>—2,也就是k<ex+x+2能成立.

令g(x)=ex+x+2.

則g'(x)=ex+1>1.

???g(x)=/+x+2在[-2,2]上為增函數(shù).

g(X)max=e2+4.

???若存在xe[-2,2],使得/(/+萬一/0+/(2)40能成立，則實數(shù)k的最大值為e?+4.

解析：(I)直接由f(一乃=一/Q)恒成立整理得到(m2-1)(2、+1)=0恒成立，由此求得m的值；

(11)當771>。時有m=1,代入原函數(shù)借助于指數(shù)函數(shù)的單調性判斷/(x)的單調性；

(見)判斷出函數(shù)f(x)的奇偶性，結合單調性把存在xe[-2,2],使得/(婚+x-/c)+/(2)<0能成立,

轉化為存在xG[-2,2],使得k<ex+x+2能成立.利用導數(shù)求出函數(shù)g(x)=ex+x+2在[-2,2]上

的最大值得答案.

本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了函數(shù)的性質，考查了數(shù)學轉化思想方法，訓練了利用導數(shù)求函

數(shù)的最值，解答此題(HI)的關鍵在于對題意的理解，是中檔題.

19.答案：解：(1)根據(jù)彩對應的幾何體為空間中與點4距離不大于[的所有點構造的幾何體，

即一個:球，

8

該球的半徑為：

?*,^2=-X-7TX(-)3=

N83162

“=1-毒，

皿匕_1一擊_162-加

川吃一擊—〃.

(2)由題意：以4球心，|百為半徑的球面與正方體AG各側面的截交線均為圓弧段.

球面與側面AC、AB1、4久所截得的圓弧段，如下圖所示:

DC

由=AB=1,則cos4EAB=遺，則=g進而/EAF=￡,

32^6

故這三段弧可視作均以4為圓心，圓心角均為｝半徑均為:百的圓弧，

63

從而相應圓弧段長為￡x2遮=3兀；

639

球面與側面G4、GB、GD所截得的圓弧段，

可視作分別以4、B、D為圓心，圓心角均為5，

半徑均為J(|V3)2-I2=4的圓弧，

從而相應圓弧段長為￡X色=更兀；

236

從而球面與整個正方體相相截所得的空間區(qū)間長為3x(勺兀+隹兀)=三行兀.

16976

解析：(1)根據(jù)彩對應的幾何體為空間中與點a距離不大于!的所有點構造的幾何體，即一個5球，求

出體積后，進而求出匕，可得看值；

(2)在正方體表面上與點a的距離為|舊的點形成的曲線是六段圓弧，分別求出其長度后，相加可得

答案.

本題考查的知識點是球的體積，弧長公式，正方體的幾何特征，球的幾何特征，要求有較強的空間

想像能力及運算能力，屬于難題.

20.答案：解：(1)根據(jù)題意，設直線I與圓C的交點為4、B-,

圓C：x2+y2—4%—4y—8=0,即(％—2)2+(y—2)2=16.

則圓心為(2,2),半徑r=4；

若圓C截直線I的弦長為4百，則圓心C到直線I的距離d=J16-哼)2=2，

若直線斜率k不存在，可得方程為：x=0,符號題意.

若直線斜率k存在，可設方程為：y—1=kx,即kx—y+l=0；

此時有d=—=2,解可得k=/

則直線的方程為y=+即3x+4y—4=0；

綜合可得：直線，的方程為％=0或3x+4y—4=0.

(2)根據(jù)題意，可設直線方程為kx-y+l=0,

直線I與圓C的兩個交點為4、B,設4(X]%),B(x2,y2),

則有"M,仁°，

(x4-y—4x—4y—8=0

整理可得：(1+fc2)%2—(2k+4)x-11=0,

則mil與?+不=訴2fc,+4與右=一五聲11,

2

則為力=(kxi+l)(/cx2+1)=fc%ix2+k(X]+x2)+1=廣;

又由雨?而>—7,則y,2+X]X2=一_黑產(chǎn)-三>—7,

變形可得：/c2-4/c+3<0,

解可得：1<k<3,

即k的取值范圍為(1,3).

解析：(1)利用點斜式設出方程，根據(jù)直線被圓截得弦長公式即可求解.需對k是否存在進行討論；

(2)利用設而不求的思想，設出兒B坐標,聯(lián)立直線與圓的方程可得(1+k2)x2-(2k+4)x-11=0,

2

根據(jù)韋達定理可得+X2=霍I，Xxx2=一3篙，進而可得乃乃=(kx：i+l)(/cx2+1)=kxrx2+

Zc(xi+X2)+1，又由萬5?函>一7,則丫1%+與小=當滬一部>一7,變形解可得k的取值

范圍，即可得答案.

本題考查直線與圓方程的應用，涉及直線和圓的位置關系以及弦長公式，屬于綜合題.

21.答案：證明：(I)由已知4EJ.DE,AE1CE,DEr\CE=E,

AE