機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)試卷期末考試及答案(補(bǔ)充版)

第一、填空題1.組成優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的三要素是設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件。2.函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為，海賽矩陣為3.目標(biāo)函數(shù)是一項(xiàng)設(shè)計(jì)所追求的指標(biāo)的數(shù)學(xué)反映，因此對(duì)它最根本的要求是能用來評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣，，同時(shí)必須是設(shè)計(jì)變量的可計(jì)算函數(shù)。4.建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的根本原那么是確切反映工程實(shí)際問題，的根底上力求簡(jiǎn)潔。5.約束條件的尺度變換常稱規(guī)格化，這是為改善數(shù)學(xué)模型性態(tài)常用的一種方法。6.隨機(jī)方向法所用的步長(zhǎng)一般按加速步長(zhǎng)法來確定，此法是指依次迭代的步長(zhǎng)按一定的比例遞增的方法。7.最速下降法以負(fù)梯度方向作為搜索方向，因此最速下降法又稱為梯度法，其收斂速度較慢。8.二元函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的充分條件是必要條件是該點(diǎn)處的海賽矩陣正定9.拉格朗日乘子法的根本思想是通過增加變量將等式約束優(yōu)化問題變成無約束優(yōu)化問題，這種方法又被稱為升維法。10改變復(fù)合形形狀的搜索方法主要有反射，擴(kuò)張，收縮，壓縮11坐標(biāo)輪換法的根本思想是把多變量的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單變量的優(yōu)化問題12．在選擇約束條件時(shí)應(yīng)特別注意防止出現(xiàn)相互矛盾的約束，，另外應(yīng)當(dāng)盡量減少不必要的約束。13．目標(biāo)函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1,空間中描述出來，為了在n維空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用目標(biāo)函數(shù)等值面的方法。14.數(shù)學(xué)規(guī)劃法的迭代公式是，其核心是建立搜索方向，和計(jì)算最正確步長(zhǎng)15協(xié)調(diào)曲線法是用來解決設(shè)計(jì)目標(biāo)互相矛盾的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的。16.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般過程中，建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型是首要和關(guān)鍵的一步，它是取得正確結(jié)果的前提。二、名詞解釋1．凸規(guī)劃對(duì)于約束優(yōu)化問題假設(shè)、都為凸函數(shù)，那么稱此問題為凸規(guī)劃。2．可行搜索方向是指當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)沿該方向作微量移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值下降，且不會(huì)越出可行域。3．設(shè)計(jì)空間：n個(gè)設(shè)計(jì)變量為坐標(biāo)所組成的實(shí)空間，它是所有設(shè)計(jì)方案的組合4．.可靠度產(chǎn)品在規(guī)定的條件，規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成規(guī)定功能的概率.5．收斂性是指某種迭代程序產(chǎn)生的序列收斂于6.非劣解：是指假設(shè)有m個(gè)目標(biāo)，當(dāng)要求m-1個(gè)目標(biāo)函數(shù)值不變壞時(shí)，找不到一個(gè)X，使得另一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值比，那么將此為非劣解。7.黃金分割法：是指將一線段分成兩段的方法，使整段長(zhǎng)與較長(zhǎng)段的長(zhǎng)度比值等于較長(zhǎng)段與較短段長(zhǎng)度的比值。8.可行域：滿足所有約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)，它在設(shè)計(jì)空間中的活動(dòng)范圍稱作可行域。9.維修度在規(guī)定的條件下使用的產(chǎn)品發(fā)生故障后，在規(guī)定的維修條件下，在規(guī)定的維修時(shí)間t內(nèi)修復(fù)完畢的概率1、設(shè)計(jì)變量答：在優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)程中，一組需要優(yōu)選的、作為變量來處理的獨(dú)立設(shè)計(jì)參數(shù)〔或需要優(yōu)選的參數(shù)，它們的數(shù)值在優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中是變化的一組獨(dú)立的設(shè)計(jì)參數(shù)〕2、目標(biāo)函數(shù)答：在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，用來評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案優(yōu)劣程度、并能夠用設(shè)計(jì)變量所表達(dá)成的函數(shù)，稱為目標(biāo)函數(shù)〔或用設(shè)計(jì)變量來表達(dá)所追求目標(biāo)的函數(shù)〕3、設(shè)計(jì)約束答：在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，對(duì)設(shè)計(jì)變量取值的限制條件，稱為約束條件和設(shè)計(jì)約束〔或?qū)υO(shè)計(jì)變量取值限制的附加設(shè)計(jì)條件〕4、最優(yōu)點(diǎn)、最優(yōu)值和最優(yōu)解答：選取適當(dāng)優(yōu)化方法，對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，可解得一組設(shè)計(jì)變量，記作：ｘ*＝[x1*，x2*，x3*，．．．．，xｎ*]T使該設(shè)計(jì)點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)Ｆ(x*)為最小，點(diǎn)x*稱為最優(yōu)點(diǎn)〔極小點(diǎn)〕。相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值Ｆ(x*)稱為最優(yōu)值〔極小值〕。一個(gè)優(yōu)化問題的最優(yōu)解包著最優(yōu)點(diǎn)〔極小點(diǎn)〕和最優(yōu)值〔極小值〕。把最優(yōu)點(diǎn)和最優(yōu)值的總和通稱為最優(yōu)解?；颍簝?yōu)化設(shè)計(jì)就是求解n個(gè)設(shè)計(jì)變量在滿足約束條件下使目標(biāo)函數(shù)到達(dá)最小值，即minf(x)=f(x*)x∈Ｒns.t.ｇu〔ｘ〕≤0，ｕ＝1,2,．．．,m；ｈv〔ｘ〕＝0，ｖ＝1,2,．．．,p<n稱x*為最優(yōu)解，f(x*)為最優(yōu)值。最優(yōu)點(diǎn)x*和最優(yōu)值f(x*)即構(gòu)成了最優(yōu)解三、簡(jiǎn)答題1．什么是內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法？什么是外點(diǎn)懲罰函數(shù)法？他們適用的優(yōu)化問題是什么？在構(gòu)造懲罰函數(shù)時(shí)，內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法和外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的懲罰因子的選取有何不同？1〕內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法是將新目標(biāo)函數(shù)定義于可行域內(nèi)，序列迭代點(diǎn)在可行域內(nèi)逐步逼近約束邊界上的最優(yōu)點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)法只能用來求解具有不等式約束的優(yōu)化問題。內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的懲罰因子是由大到小，且趨近于0的數(shù)列。相鄰兩次迭代的懲在可行域之外，序列迭代點(diǎn)從可行域之外逐漸逼近約束邊界上的最優(yōu)點(diǎn)。外點(diǎn)法可以用來求解含不等式和等式約束的優(yōu)化問題。外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的懲罰因子，它是由小到大，且趨近于的數(shù)列。懲罰因子按下式遞增，式中為懲罰因子的遞增系數(shù)，通常取2．共軛梯度法中，共軛方向和梯度之間的關(guān)系是怎樣的？試畫圖說明。.對(duì)于二次函數(shù)，,從點(diǎn)出發(fā)，沿G的某一共軛方向作一維搜索，到達(dá)點(diǎn)，那么點(diǎn)處的搜索方向應(yīng)滿足，即終點(diǎn)與始點(diǎn)的梯度之差與的共軛方向正交。3．為什么說共軛梯度法實(shí)質(zhì)上是對(duì)最速下降法進(jìn)行的一種改良？.答：共軛梯度法是共軛方向法中的一種，在該方法中每一個(gè)共軛向量都依賴于迭代點(diǎn)處的負(fù)梯度構(gòu)造出來的。共軛梯度法的第一個(gè)搜索方向取負(fù)梯度方向，這是最速下降法。其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度，也就是對(duì)負(fù)梯度進(jìn)行修正。所以共軛梯度法的實(shí)質(zhì)是對(duì)最速下降法的一種改良。4.寫出故障樹的根本符號(hào)及表示的因果關(guān)系。略5.算法的收斂準(zhǔn)那么由哪些？試簡(jiǎn)單說明。略6.優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型一般有哪幾局部組成？簡(jiǎn)單說明。略7．簡(jiǎn)述隨機(jī)方向法的根本思路答：隨機(jī)方向法的根本思路是在可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)，利用隨機(jī)數(shù)的概率特性，產(chǎn)生假設(shè)干個(gè)隨機(jī)方向，并從中選擇一個(gè)能使目標(biāo)函數(shù)值下降最快的隨機(jī)方向作為可行搜索方向。從初始點(diǎn)出發(fā)，沿搜索方向以一定的步長(zhǎng)進(jìn)行搜索，得到新的值，新點(diǎn)應(yīng)該滿足一定的條件，至此完成第一次迭代。然后將起始點(diǎn)移至，重復(fù)以上過程，經(jīng)過假設(shè)干次迭代計(jì)算后，最終取得約束最優(yōu)解。8數(shù)值計(jì)算迭代法的根本思想和迭代格式。數(shù)值計(jì)算迭代法的根本思想：數(shù)值計(jì)算迭代法完全是依賴于計(jì)算機(jī)的數(shù)值計(jì)算特點(diǎn)而產(chǎn)生的，它不是分析方法，而是具有一定邏輯結(jié)構(gòu)并按一定格式反復(fù)運(yùn)算的一種方法。〔5分〕其迭代法計(jì)算的根本格式是：從一點(diǎn)出發(fā)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)在該點(diǎn)的某些信息，確定本次迭代計(jì)算的一個(gè)方向S(k)和適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)α(k)，從而到一個(gè)新點(diǎn)，即：X(k+1)＝x(k)＋α(k)S(k)k=0,1,2,3……….式中：x(k)——前一步取得的設(shè)計(jì)方案〔迭代點(diǎn)〕。在開始計(jì)算時(shí)，即為迭代的初始點(diǎn)x(0)；X(k+1)——新的修改設(shè)計(jì)方案〔新的迭代點(diǎn)〕；S(k)——第k次迭代計(jì)算的搜索方向〔可以看作本次修改設(shè)計(jì)的定向移動(dòng)方向〕；α(k)——第k次迭代計(jì)算的步長(zhǎng)因子，是個(gè)數(shù)量的。計(jì)算題1．試用牛頓法求的最優(yōu)解，設(shè)。初始點(diǎn)為，那么初始點(diǎn)處的函數(shù)值和梯度分別為，沿梯度方向進(jìn)行一維搜索，有為一維搜索最正確步長(zhǎng)，應(yīng)滿足極值必要條件，從而算出一維搜索最正確步長(zhǎng)那么第一次迭代設(shè)計(jì)點(diǎn)位置和函數(shù)值，從而完成第一次迭代。按上面的過程依次進(jìn)行下去，便可求得最優(yōu)解。2、試用黃金分割法求函數(shù)的極小點(diǎn)和極小值，設(shè)搜索區(qū)間〔迭代一次即可〕解：顯然此時(shí)，搜索區(qū)間，首先插入兩點(diǎn)，由式計(jì)算相應(yīng)插入點(diǎn)的函數(shù)值。因?yàn)?。所以消去區(qū)間，得到新的搜索區(qū)間，即。第一次迭代：插入點(diǎn)，相應(yīng)插入點(diǎn)的函數(shù)值，由于，故消去所以消去區(qū)間，得到新的搜索區(qū)間，那么形成新的搜索區(qū)間。至此完成第一次迭代，繼續(xù)重復(fù)迭代過程，最終可得到極小點(diǎn)。3．用牛頓法求目標(biāo)函數(shù)+5的極小點(diǎn)，設(shè)。解：由，那么，其逆矩陣為因此可得：，從而經(jīng)過一次迭代即求得極小點(diǎn)，4.下表是用黃金分割法求目標(biāo)函數(shù)的極小值的計(jì)算過程，請(qǐng)完成下表。迭代序號(hào)ab比擬00.211迭代序號(hào)ab比擬00.20.50560.6944140.0626〉29.496210.50560.69440.8111129.4962〉25.4690求二元函數(shù)f(x1,x2)=x12+x22-4x1-2x2+5在x0=[00]T處函數(shù)變化率最大的方向和數(shù)值？解：由于函數(shù)變化率最大的方向是梯度方向，這里用單位向量P表示函數(shù)變化率最大和數(shù)值是梯度的模IIII。求f(x1,x2)在點(diǎn)處的梯度方向和數(shù)值，計(jì)算如下：===IIII==P=在平面上畫出函數(shù)等值線和〔0,0〕點(diǎn)處的梯度方向P，如圖2-1所示。從圖中可以看出，在點(diǎn)函數(shù)變化率最大的方向P即為等值線的法線方向，也就是同心圓的半徑方向。用共軛梯度法求二次函數(shù)f(x1,x2)=x12+2x22-4x1-2x1x2的極小點(diǎn)及極小值？解：取初始點(diǎn)x0那么g0=取d0=-g0=沿d0方向進(jìn)行一維搜索，得x1=x0+d0=其中的為最正確步長(zhǎng)，可通過f〔x1〕=求得=那么x1==為建立第二個(gè)共軛方向d1，需計(jì)算x1點(diǎn)處的梯度及系數(shù)值，得g1=f〔x1〕=從而求得第二個(gè)共軛方向d1=-g1+d0=再沿d1進(jìn)行一維搜索，得x2=x1+d1=其中的為最正確步長(zhǎng)，通過f〔x2〕=求得=1那么x2==計(jì)算x2點(diǎn)處的梯度g2=f〔x2〕=說明x2點(diǎn)滿足極值必要條件，再根據(jù)x2點(diǎn)的海賽矩陣G(x2)=是正定的，可知x2滿足極值充分必要條件。故x2為極小點(diǎn)，即而函數(shù)極小值為。7、求約束優(yōu)化問題Minf(x)=(x1-2)2+(x2-1)