數(shù)列的概念（導(dǎo)學(xué)案）（原卷版）高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性）

4.1.1數(shù)列的概念導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解數(shù)列的有關(guān)概念與數(shù)列的表示方法.2.掌握數(shù)列的分類，了解數(shù)列的單調(diào)性.3.理解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任一項(xiàng).4.能根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：數(shù)列的有關(guān)概念與數(shù)列的表示方法、數(shù)列的通項(xiàng)公式.難點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特征，用數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求通項(xiàng)公式課前預(yù)習(xí)自主梳理知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列及其有關(guān)概念1．一般地，我們把按照排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的．?dāng)?shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)，常用符號(hào)a1表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)，用a2表示……，第個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，用an表示．其中第1項(xiàng)也叫做．2.數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為．思考數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是同一個(gè)數(shù)列嗎？答案不是．順序不一樣．知識(shí)點(diǎn)二數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)的數(shù)列無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)的數(shù)列知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)，記為an＝f(n)．知識(shí)點(diǎn)四數(shù)列的單調(diào)性遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)都的數(shù)列知識(shí)點(diǎn)五通項(xiàng)公式1．如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的．2．通項(xiàng)公式就是數(shù)列的，以前我們學(xué)過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)．思考既然數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，那么表示數(shù)列除了用通項(xiàng)公式外，還可以用哪些方法？答案還可以用列表法、圖象法．自主檢測1.判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”．1,1,1,1是一個(gè)數(shù)列．()數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}．()如果一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，那么它一定是遞減數(shù)列．()an與{an}表達(dá)不同的含義．()數(shù)列中的項(xiàng)互換次序后還是原來的數(shù)列．()所有的數(shù)列可分為遞增數(shù)列和遞減數(shù)列兩類．(){an}與an的意義一樣，都表示數(shù)列．()2.設(shè)數(shù)列滿足，則（

）A．0 B．4 C．5 D．83.在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．4.數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A． B． C． D．5.已知數(shù)列、、、、，那么在此數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是（

）A． B． C． D．新課導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)探究環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 (一)章引言的教學(xué)引導(dǎo)語：這一階段我們將學(xué)習(xí)一個(gè)新的內(nèi)容——數(shù)列，請(qǐng)大家跟隨老師的問題來了解數(shù)列的內(nèi)容與學(xué)習(xí)方法.在生活中，常有按順序記錄數(shù)據(jù)來研究事物變化規(guī)律的事例.例如，一棵樹在某一時(shí)刻的高度為2m,如果在每年的同一時(shí)刻都記錄下這棵樹的高度，并按時(shí)間的先后順序排列起來，就得到一列數(shù).通過對(duì)記錄下來的這列數(shù)的分析，可以研究樹的生長規(guī)律.將某個(gè)學(xué)生某一學(xué)科的歷次考試成績按考試時(shí)間順序逐個(gè)記錄，據(jù)此可研究該學(xué)生這科成績的變化情況.問題1：你能舉出幾個(gè)類似的用按順序排成一列的數(shù)來研究變化規(guī)律的事例嗎？問題2：對(duì)數(shù)列的研究，既有實(shí)際需求，也有數(shù)學(xué)本身的需求.章頭圖沙灘上的圖形，顯示了古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用小石子擺出的三角形數(shù)、正方形數(shù)和五邊形數(shù).你能分別將表示三角形數(shù)、正方形數(shù)和五邊形數(shù)的點(diǎn)數(shù)按順序排成一列寫下來嗎？你能用一個(gè)式子表示這些數(shù)嗎？問題3：上述樹的高度、小石子的個(gè)數(shù)問題是否能用函數(shù)關(guān)系來刻畫？為什么？對(duì)數(shù)列的研究源于現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活的需要．例如，一棵樹在某一時(shí)刻的高度是2m，如果在每年的同一時(shí)刻都記錄下這棵樹的高度，并按先后順序排列起來，就得到一列數(shù)．人們常用這樣的一列數(shù)有序地表達(dá)一類事物，或者記錄一個(gè)過程．像這樣按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列．如果用正整數(shù)表示事物發(fā)展過程的先后順序，并且把這樣的正整數(shù)看作自變量的取值，把事物的對(duì)應(yīng)數(shù)值看作相應(yīng)的函數(shù)值，那么數(shù)列就是定義在正整數(shù)集（或正整數(shù)集的有限子集）上的一類離散函數(shù)．?dāng)?shù)列無論在理論研究還是在實(shí)際應(yīng)用中都非常重要．環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念先看教科書上的兩個(gè)例子：在現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常需要根據(jù)問題的意義，通過對(duì)一些數(shù)據(jù)按特定順序排列的方法來刻畫研究對(duì)象．例如：1．王芳從1歲到17歲，每年生日那天測量身高．將這些身高數(shù)據(jù)（單位：cm）依次排成一列數(shù)：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168．①記王芳第歲時(shí)的身高為，那么，，，．我們發(fā)現(xiàn)，中的反映了身高按歲數(shù)從1到17的順序排列時(shí)的確定位置，即是排在第1位的數(shù)，是排在第2位的數(shù)……是排在第17位的數(shù)，它們之間不能交換位置．所以，①是具有確定順序的一列數(shù)．2．在兩河流域發(fā)掘的一塊泥版（編號(hào)K90，約產(chǎn)生于公元前7世紀(jì)）上，有一列依次表示一個(gè)月中從第1天到第15天每天月亮可見部分的數(shù)①：①把滿月分成240份，則從初一到十五每天月亮的可見部分可用一個(gè)代表份數(shù)的數(shù)來表示．5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240．②問題4：根據(jù)上述兩個(gè)例子回答下列問題：（1）例（1）中的第3,8個(gè)數(shù)的實(shí)際意義是什么？（2）例（2）中哪一天的月亮可見部分?jǐn)?shù)為128?（3）按順序排列實(shí)際上確定了怎樣的一種關(guān)系？問題5：我們能否引入一個(gè)符號(hào)，表示上述問題中的數(shù)？記第天月亮可見部分的數(shù)為，那么，，…，．這里，中的反映了月亮可見部分的數(shù)按日期從1到15的順序排列時(shí)的確定位置，即是排在第1位的數(shù)，是排在第2位的數(shù)……是排在第位的數(shù)，它們之間不能交換位置．所以，②也是具有確定順序的一列數(shù)．追問1:的值分別是多少?追問2:怎樣用符號(hào)來表示例（2）中這列數(shù)中的每一個(gè)數(shù)?追問3:按這樣的表述,的實(shí)際意義是什么?問題6:我們?cè)賮砜聪旅嬉粋€(gè)例子:3．的次冪按1次冪、2次冪、3次冪、4次冪……依次排成一列數(shù)：③思考你能仿照上面的敘述，說明③也是具有確定順序的一列數(shù)嗎？問題7:上面三個(gè)例子的共同特征是什么?環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列(sequenceofnumber)，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．?dāng)?shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號(hào)表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，用表示……第個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)，用表示．其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng)．①是按年齡從小到大的順序排列的，②是按每月的日期從小到大的順序排列的，③是按冪指數(shù)從小到大的順序排列的，它們都是從第1項(xiàng)開始的．項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列．?dāng)?shù)列的一般形式是，，…，，…，簡記為．問題8:若將上面的次冪所得的數(shù)列記作,則的值各為多少?由于數(shù)列中的每一項(xiàng)與它的序號(hào)有下面的對(duì)應(yīng)關(guān)系：所以數(shù)列是從正整數(shù)集(或它的有限子集)到實(shí)數(shù)集的函數(shù)，其自變量是序號(hào)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第項(xiàng)，記為．也就是說，當(dāng)自變量從1開始，按照從小到大的順序依次取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，，…，，…，就是數(shù)列．另一方面，對(duì)于函數(shù)，如果有意義，那么，，…，，…，構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列．以前我們學(xué)過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)．環(huán)節(jié)四辨析理解，深化概念問題9:我們已經(jīng)歸納出了數(shù)列的概念,從給出的具體例子中你能發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系嗎?你能從函數(shù)的角度解釋一下這三個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)嗎?例如,它們是不是函數(shù)?如果是,那么它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域分別是什么?與其他函數(shù)一樣，數(shù)列也可以用表格和圖象來表示．例如，數(shù)列①可以表示為表．表n1234567891011121314151617758796103110116120128138145153158160162163165168它的圖象如圖所示．問題10:一般地,數(shù)列能否看作是一個(gè)函數(shù)?如果能,數(shù)列的定義域又有怎樣的特點(diǎn)?從表和圖中，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)列①中的項(xiàng)隨序號(hào)的變化呈現(xiàn)出的特點(diǎn)嗎？問題11:分別寫出一個(gè)遞減的無窮數(shù)列和一個(gè)遞增的有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式.與函數(shù)類似，我們可以定義數(shù)列的單調(diào)性．從第２項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；從第２項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞減數(shù)列．特別地，各項(xiàng)都相等的數(shù)列叫做常數(shù)列．如果數(shù)列的第項(xiàng)與它的序號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．例如，數(shù)列③的通項(xiàng)公式為．顯然，通項(xiàng)公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，根據(jù)通項(xiàng)公式可以寫出數(shù)列的各項(xiàng)．環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例1根據(jù)下列數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫出數(shù)列的前5項(xiàng)，并畫出它們的圖象．（1）；（2）．例2根據(jù)下列數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）；（2）．練習(xí):教科書第5頁練習(xí)第4題.環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升問題12:回顧章引言,概述本章的主要內(nèi)容.問題13:回顧數(shù)列的概念及其表示方法的學(xué)習(xí)過程,說說其中運(yùn)用了怎樣的思想方法.環(huán)節(jié)七